Vai alla Home Page About me Courseware Federica Living Library Federica Federica Podstudio Virtual Campus 3D Le Miniguide all'orientamento Gli eBook di Federica La Corte in Rete
 
I corsi di Sociologia
 
Il Corso Le lezioni del Corso La Cattedra
 
Materiali di approfondimento Risorse Web Il Podcast di questa lezione

Giancarlo Ragozini » 19.Principali Teoremi del calcolo della Probabilità II - Le Variabili causali


Teorema delle probabilità composte

La probabilità del prodotto di due eventi è uguale al prodotto della probabilità di uno degli eventi per la probabilità condizionata dell’altro purché il primo abbia avuto luogo.

Equazione delle Probabilità Composte

Equazione delle Probabilità Composte


Teorema sull’unione di due eventi

La probabilità che si verifichi almeno uno di due eventi qualsiasi A e B, la probabilità dell’unione di A e B, è pari alla somma delle singole probabilità P(A) e P(B) diminuita della probabilità della loro intersezione.

Equazione dell’unione

Equazione dell'unione


Teorema delle probabilità totali

Siano gli eventi Ei una partizione di Ω.

Per un evento A

Per un evento A


Teorema di Bayes

Quando si calcola la probabilità condizionata si utilizza l’informazione circa il verificarsi di un evento per determinare la probabilità che un altro evento si verifichi. Un’estensione di tale concetto permette di aggiornare una probabilità sulla base di nuove informazioni e di calcolare la probabilità che un certo effetto sia il risultato di una particolare causa. Tale procedura va sotto il nome di teorema di Bayes.

Equazione del Teorema di Bayes

Equazione del Teorema di Bayes


Variabile casuale

Funzione d’insieme a valori reali che associa ad ogni evento un numero reale: X(E): Ω→R

Es. Nella prova “lancio di un dado” che genera gli eventi elementari : E1, E2, E3, E4, E5, E6 è immediato definire la variabile casuale X che associa ad ogni faccia il numero xi dei punti che essa presenta. In tal caso xi = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Esempio Variabile Causale

Esempio Variabile Causale


Variabili casuali discrete e continue

  • Una variabile casuale discreta può assumere un insieme discreto (finito o numerabile) di numeri reali.
  • Una variabile casuale continua può assumere tutti i valori compresi in un intervallo reale.

Ω discreto -> V.C. discreta

Ω continuo -> V.C. discreta o continua

Tipi di Variabili casuali – Variabili causali discrete

X assume i valori {x1, x2,…,xn} o un insieme illimitato {x1, x2,…} (es. lancio di una moneta, lancio di un dado,…)

La probabilità che X assuma valore xi si indica con pi -> pi= P(X=xi)

Una variabile casuale discreta è definita se è nota la sua distribuzione di probabilità.

Esempio di variabile casuale discreta

Esempio di variabile casuale discreta


Tipi di Variabili casuali – Variabili causali continue

X può assumere tutti gli infiniti valori in un certo intervallo (a, b) o (-∞, +∞)

La probabilità che X assuma un certo valore x è pari a 0 o P(X=x) = 0.

Esempio:di variabile casuale continua

Esempio:di variabile casuale continua


Funzione di densità

Per descrivere la probabilità si usa una funzione f(x): Funzione di densità

La distribuzione di probabilità di una variabile casuale, X, scritta come p(x), indica la probabilità della variabile casuale per ciascuno dei suoi valori possibili.

Una funzione di densità, f (x), è una curva della probabilità, regolare (senza angoli, smussata) che rappresenta la distribuzione f (x) di probabilità di una variabile casuale continua.

Distribuzione di probabilità

Distribuzione di probabilità

Funzione di Densità

Funzione di Densità


Funzione di ripartizione

Data una v.c. continua X, la funzione che fa corrispondere ai valori x le probabilità cumulate P(X_ x) viene detta funzione di ripartizione.

  • F(x) è sempre crescente
  • F(-∞) = 0
  • F(+∞) = 1
Esempio di ripartizione

Esempio di ripartizione


Valore atteso

Il valore atteso di una variabile continua X è definito come: (analogo della media aritmetica).

E(aX+bY) = aE(X) + bE(Y)

Var(aX+bY) = a2Var(X) + b2Var(Y) + 2abCov(X,Y)

Se X e Y sono indipendenti

cov(X,Y) = 0

Var(aX+bY) = a2Var(X) + b2Var(Y)

Variabili casuali discrete

Variabili casuali discrete

Variabili casuali continue

Variabili casuali continue


Varianza


Combinazione lineare di due variabili casuali

Data una coppia di variabili casuali (X,Y) e data una combinazione lineare aX+bY

  • Contenuti protetti da Creative Commons
  • Feed RSS
  • Condividi su FriendFeed
  • Condividi su Facebook
  • Segnala su Twitter
  • Condividi su LinkedIn
Progetto "Campus Virtuale" dell'Università degli Studi di Napoli Federico II, realizzato con il cofinanziamento dell'Unione europea. Asse V - Società dell'informazione - Obiettivo Operativo 5.1 e-Government ed e-Inclusion