Giancarlo Ragozini » 17.Principali Teoremi del calcolo della probabilità

Ancora sugli eventi

Eventi incompatibili e necessari

• Se A ∩ B = ∅ i due eventi sono INCOMPATIBILI
• Se A ∪ B = Ω i due eventi sono NECESSARI

Un insieme di eventi incompatibili e necessari da una partizione dello spazio campione.

Ancora sulle prove

Prove e sottoprove

• Spesso una singola prova può essere scomposta per comodità in sottoprove, ovvero in esperimenti più piccoli
• In questo caso bisogna capire se le sottoprove sia indipendenti o non indipendenti
• Nel caso di estrazione con ripetizione le sottoprove sono indipendenti
• Nel caso di estrazione senza ripetizione, o senza reimmisione, le sotto prove non sono indipendenti

Regole del calcolo delle probabilità

Unione di eventi mutamente esclusivi

Gli eventi sono mutuamente esclusivi quando si verifica l’uno non si può verificare l’altro. (es. nel lancio della moneta se si è verificato l’evento testa non si può contemporaneamente verificare l’evento croce). In tal caso, la probabilità che si verifichi l’evento A oppure l’evento B è data dalla somma della probabilità di A e della probabilità di B.

Se A ∩ B = ∅ allora P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Unione di eventi non mutuamente esclusivi

Se gli eventi NON sono mutuamente esclusivi, (es. gli eventi pioggia e vento: se c’è pioggia non esclude il fatto che ci sia vento), la probabilità che si verifichi l’evento A oppure l’evento B è data da:

Se A ∩ B ≠ ∅ allora P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

Probabilità condizionata

P(A/B) è la probabilità che si verifica A dato che già si è verificato B.

P(A/B) = P(A∩B)/P(B)

es. La probabilità di avere il livello di colesterolo elevato dato che si ha la glicemia elevata.

Indipendenza stocastica

P(A/B) = P(A) A è indipendente da B

La probabilità condizionata di A è uguale alla probabilità di A non condizionata. Ovvero il verificarsi di B non modifica la probabilità di A.

P(B/A) = P(B) B è indipendente da A

Probabilità composta

P(A/B) = P(A∩B)/P(B)

P(B) > 0

P(A∩B) = P(A/B)⋅P(B)

P(B∩A) = P(B/A)⋅P(A)

Se A e B sono indipendenti P(A/B) = P(A)

P(A∩B) = P(A)⋅P(B)

Intersezione per eventi indipendenti e dipendenti

Indipendenza: due eventi si dicono indipendenti quando il verificarsi dell’uno non influenza il verificarsi dell’altro.

P(A ∩ B) = P(A)P(B)

Dipendenza: due eventi si dicono dipendenti quando il verificarsi dell’uno influenza il verificarsi dell’altro.

P(A ∩ B) = P(A B) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B)

Esempio di Unione di eventi mutuamente esclusivi

In Italia la probabilità che un individuo sia del gruppo sanguigno B è 0,10 e la probabilità che sia del gruppo 0 è di 0,46.

Qual è la probabilità di incontrare casualmente un soggetto con gruppo sanguigno B oppure 0?

• P(B) = 0,10
• P(0) = 0,46
• P(B+0) = P(B) + P(0) = 0,10 + 0,46 = 0,56

Esempio di Unione di eventi non mutuamente esclusivi

In Italia la probabilità che un individuo sia del gruppo sanguigno B è 0,10 e la probabilità che sia del gruppo 0 è

di 0,46.

Qual è la probabilità di incontrare casualmente un soggetto con gruppo sanguigno B oppure 0?

• P(B) = 0,10
• P(0) = 0,46
• P(B+0) = P(B) + P(0) = 0,10 + 0,46 = 0,56

Esempio di Intersezione di eventi indipendenti

Supponiamo che, al di sopra dei 65 anni, la probabilità di avere livelli elevati di glicemia sia del 40% e quella di presentare un’ulcera sia del 3%. Qual è la probabilità di avere contemporaneamente livelli elevati di glicemia e l’ulcera dopo i 65 anni di età?

P(glicemia) = 0,40 ; P(ulcera) = 0,03

P(glicemia e ulcera) = P(glicemia) P(ulcera) = 0,40 x 0,03 = 0,012 = 1,2%

Esempio di Intersezione di eventi non indipendenti

Supponiamo che oltre i 65 anni la probabilità di avere il livello di colesterolo alto sia del 60%, quella di avere la pressione alta sia del 50% e la probabilità di avere la pressione alta dato che si ha il livello di colesterolo alto sia del 68%. Qual è la probabilità, oltre i 65 anni., di avere colesterolo alto e pressione alta?

P(colest.) = 0,60 ; P(pressione) = 0,50 ; P(pressione | colest.) = 0,68

P(colest. e pressione) = P(colest.)x P(pressione | colest.) = 0,60 x 0,68 = 0.408 = 40,8%

Esempio di Probabilità condizionata

Supponiamo di voler calcolare la probabilità che un televisore venga acquistato da un soggetto che ne ha pianificato l’acquisto, vale a dire P (acquisto effettivo | acquisto pianificato). Sapendo che il soggetto ha pianificato l’acquisto di un televisore, lo spazio campionario si riduce ai soli 250 soggetti che hanno risposto sì alla domanda “hai intenzione di acquistare un televisore nei prossimi 12 mesi?”. Dei 250 soggetti in questione, 200 hanno effettivamente acquistato il televisore; quindi la probabilità condizionata che un soggetto acquisti un televisore dato che ne ha pianificato l’acquisto è pari a:

P (acquisto effettivo | acquisto pianificato) = numero di soggetti che hanno pianificato l’acquisto e lo hanno realizzato = 200/250 = 0.80 = numero di soggetti che hanno pianificato l’acquisto

Esempio di Probabilità composta

Nella vetrina di una cartoleria sono esposte 20 penne, di cui 6 rosse e 14 blu. Scelte a caso 2 penne, si calcoli la probabilità che entrambe siano rosse.

Definiti gli eventi: A _r = la seconda penna scelta è rossa; B _r = la prima penna scelta è rossa

La regola della probabilità composta si applica nel seguente modo:

P(A _r e B _r ) = P(A _r | B _r) P(B _r)

La probabilità che la prima penna scelta sia rossa è pari a 6/20 poiché 6 delle 20 penne esposte sono rosse. La probabilità che la seconda penna sia ancora rossa dipende dal risultato della prima estrazione. Se la prima penna non viene rimessa in vetrina dopo averne osservato il colore (estrazione senza reimissione) il numero rimaste di penne è pari a 19. Quindi, ipotizzando che la prima penna estratta sia rossa, la probabilità che la seconda sia a sua volta rossa è pari a 5/19, poiché, quando viene effettuata la seconda estrazione, in vetrina sono rimaste 5 penne rosse su 19. Applicando l’equazione sopra descritta si ha quindi:

P(A _r e B _r )= (5/19)(6/20)=30/380=0.079

La probabilità di scegliere due penne entrambe rosse è pari a 0.079