Proprietà della media aritmetica e altri indici di posizione
Media secondo Chisini
Un valore M è una media secondo Chisini se data una funzione dei dati vale che
Media secondo Chisini
Media secondo Chisini
La media aritmetica è una media di Chisini in cui la funzione f è la somma
Media secondo Chisini
Proprietà della media aritmetica:
- Internalità.
- Baricentricità.
- Equivarianza rispetto alle trasformazioni lineari.
- Associativa.
- Minimizzazione della somma degli scarti quadrati.
L’internalità o criterio di Cauchy:
L'internalità o criterio di Cauchy
La media come baricentro della distribuzione:
Affermare che la media è il baricentro della distribuzione equivale a dire che la somma delle differenze tra i valori e la loro media aritmetica, è pari a zero.
La media come baricentro della distribuzione
Dimostrazione
Equivarianza rispetto alle trasformazioni linerari:
Consideriamo una variabile X con media μx e consideriamo la seguente combinazione lineare (vedi figura 1):
Si dimostra che (vedi figura 2):
La proprietà Associativa:
Se un collettivo viene suddiviso in “G” sottoinsiemi disgiunti, allora la media aritmetica generale si può ottenere come media ponderata delle medie dei sottoinsiemi con pesi uguali alle loro numerosità.
Consideriamo una variabile X raggruppata in G gruppi di numerosità non necessariamente uguale e con ognuno una propria media.
Proprietà della media aritmetica e altri indici di posizione
Ad esempio N=22; G=4
Esempio
Proprietà della media aritmetica e altri indici di posizione
La media aritmetica della variabile X sarà (vedi figura):
Una media ponderata delle medie dei sottoinsiemi con dei pesi uguali alle loro numerosità.
Media aritmetica
Minimizzazione della somma degli scarti quadrati:
La somma degli scarti al quadrato dei valori da una costante “k” è minima quando “k” è uguale alla media aritmetica.
Minimizzazione della somma degli scarti quadrati
La media ponderata
La media aritmetica ponderata di un insieme di n valori osservati di un carattere quantitativo X con pesi non negativi, è data da:
La media ponderata
La media ponderata: un esempio
- Si consideri uno studente che fatto quattro esami con i seguenti voti: 27, 25, 30, 21
- I crediti corrispondenti agli esami sono: 6,6, 3, 9.
- Si calcoli il voto medio ponderato per i crediti
- Si noti che la media aritmetica non ponderata è pari a 25.75
La media ponderata: un esempio
La media troncata
- La media troncata è la media aritmetica calcolata su una fissata percentuale di valori centrali di un insieme di dati. La media troncata elimina l’influenza dei valori anomali.
- Ad esempio, nella media troncata al 50% si escludono il 25% dei valori più piccoli e il 25% dei valori più grandi.
Esempio
Con valori del carattere (3, 5, 5, 6, 8, 8, 9, 150) la media troncata al 50% sarà ottenuta escludendo i due valori più piccoli e i due più grandi.
Esempio
La media geometrica:
La media geometrica è una media analitica utilizzata soprattutto nel caso in cui l’insieme dei dati è costituito da valori positivi generati da rapporti (ad es. tassi di variazione o crescita).
Calcolo sulla distribuzione unitaria
Calcolo sulla distribuzione di frequenze
Proprietà della media geometrica:
La media geometrica elevata all’n-esima potenza è pari alla produttoria delle osservazioni (vedi figura 1).
Il logaritmo della media geometrica è pari alla media aritmetica dei logaritmi dei dati (vedi figura 2).
Figura 1. Proprietà della media geometrica
Figura 2. Proprietà della media geometrica
La media geometrica: un esempio
Considerando i laureati dell’Ateneo Federico II nel triennio 2004-2006, si calcoli il tasso medio annuo di crescita (vedi tabella).
Si calcoli i tassi di variazione (vedi figura).
Tabella
Tassi di variazione
La media geometrica: un esempio
La media geometrica fra i due tassi sarà (vedi figura 1):
Oppure con i logaritmi (vedi figura 2):
Figura 1. La media geometrica
Figura 2. La media geometrica
Indici di Variabilità
- Varianza
- Scarto quadratico medio
- Coefficiente di variazione
Le lezioni del Corso
1. Un'introduzione alla Statistica
2. Le variabili: sintesi e rappresentazioni grafiche
3. Esercitazione. Le variabili: sintesi e rappresentazioni grafich...
4. Indici di tendenza centrale
5. Proprietà della media aritmetica e altri indici di posizione
6. Esercitazione. Indici di tendenza centrale
8. Ulteriori indici di variabilità
9. ESERCITAZIONE - Indici di variabilità
10. Mutua variabilità e Concentrazione
11. Studio della forma della distribuzione
12. ESERCITAZIONE - Concentrazione e Forma di una distribuzione
13. L'associazione fra due variabili qualitative
14. L'associazione fra variabili quantitative
15. ESERCITAZIONE - L'associazione fra due variabili
16. Elementi di calcolo delle probabilità
17. Principali Teoremi del calcolo della probabilità
18. ESERCITAZIONE - Calcolo delle probabilità
19. Principali Teoremi del calcolo della Probabilità II - Le Varia...
20. Modelli per variabili causali discrete
21. ESERCITAZIONE - Le probabilità totali, il teorema di Bayes e l...
