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Giancarlo Ragozini » 5.Proprietà della media aritmetica e altri indici di posizione


Proprietà della media aritmetica e altri indici di posizione

Media secondo Chisini

Un valore M è una media secondo Chisini se data una funzione dei dati vale che

Media secondo Chisini

Media secondo Chisini


Media secondo Chisini

La media aritmetica è una media di Chisini in cui la funzione f è la somma

Media secondo Chisini

Media secondo Chisini


Proprietà della media aritmetica:

  • Internalità.
  • Baricentricità.
  • Equivarianza rispetto alle trasformazioni lineari.
  • Associativa.
  • Minimizzazione della somma degli scarti quadrati.

L’internalità o criterio di Cauchy:

L’internalità o criterio di Cauchy

L'internalità o criterio di Cauchy


La media come baricentro della distribuzione:

Affermare che la media è il baricentro della distribuzione equivale a dire che la somma delle differenze tra i valori e la loro media aritmetica, è pari a zero.

La media come baricentro della distribuzione

La media come baricentro della distribuzione

Dimostrazione

Dimostrazione


Equivarianza rispetto alle trasformazioni linerari:

Consideriamo una variabile X con media μx e consideriamo la seguente combinazione lineare (vedi figura 1):

Si dimostra che (vedi figura 2):

Figura 1. Equivarianza rispetto alle trasformazioni linerari
Figura 2. Equivarianza rispetto alle trasformazioni linerari
Dimostrazione

La proprietà Associativa:

Se un collettivo viene suddiviso in “G” sottoinsiemi disgiunti, allora la media aritmetica generale si può ottenere come media ponderata delle medie dei sottoinsiemi con pesi uguali alle loro numerosità.

Consideriamo una variabile X raggruppata in G gruppi di numerosità non necessariamente uguale e con ognuno una propria media.

Proprietà della media aritmetica e altri indici di posizione

Ad esempio N=22; G=4

Esempio

Esempio


Proprietà della media aritmetica e altri indici di posizione

La media aritmetica della variabile X sarà (vedi figura):

Una media ponderata delle medie dei sottoinsiemi con dei pesi uguali alle loro numerosità.

Media aritmetica

Media aritmetica


Minimizzazione della somma degli scarti quadrati:

La somma degli scarti al quadrato dei valori da una costante “k” è minima quando “k” è uguale alla media aritmetica.

Minimizzazione della somma degli scarti quadrati

Minimizzazione della somma degli scarti quadrati


La media ponderata

La media aritmetica ponderata di un insieme di n valori osservati di un carattere quantitativo X con pesi non negativi, è data da:

La media ponderata

La media ponderata


La media ponderata: un esempio

  • Si consideri uno studente che fatto quattro esami con i seguenti voti: 27, 25, 30, 21
  • I crediti corrispondenti agli esami sono: 6,6, 3, 9.
  • Si calcoli il voto medio ponderato per i crediti
  • Si noti che la media aritmetica non ponderata è pari a 25.75
La media ponderata: un esempio

La media ponderata: un esempio


La media troncata

  • La media troncata è la media aritmetica calcolata su una fissata percentuale di valori centrali di un insieme di dati. La media troncata elimina l’influenza dei valori anomali.
  • Ad esempio, nella media troncata al 50% si escludono il 25% dei valori più piccoli e il 25% dei valori più grandi.

Esempio

Con valori del carattere (3, 5, 5, 6, 8, 8, 9, 150) la media troncata al 50% sarà ottenuta escludendo i due valori più piccoli e i due più grandi.

Esempio

Esempio


La media geometrica:

La media geometrica è una media analitica utilizzata soprattutto nel caso in cui l’insieme dei dati è costituito da valori positivi generati da rapporti (ad es. tassi di variazione o crescita).

Calcolo sulla distribuzione unitaria

Calcolo sulla distribuzione unitaria

Calcolo sulla distribuzione di frequenze

Calcolo sulla distribuzione di frequenze


Proprietà della media geometrica:

La media geometrica elevata all’n-esima potenza è pari alla produttoria delle osservazioni (vedi figura 1).

Il logaritmo della media geometrica è pari alla media aritmetica dei logaritmi dei dati (vedi figura 2).

Figura 1. Proprietà della media geometrica

Figura 1. Proprietà della media geometrica

Figura 2. Proprietà della media geometrica

Figura 2. Proprietà della media geometrica


La media geometrica: un esempio

Considerando i laureati dell’Ateneo Federico II nel triennio 2004-2006, si calcoli il tasso medio annuo di crescita (vedi tabella).

Si calcoli i tassi di variazione (vedi figura).

Tabella

Tabella

Tassi di variazione

Tassi di variazione


La media geometrica: un esempio

La media geometrica fra i due tassi sarà (vedi figura 1):

Oppure con i logaritmi (vedi figura 2):

Figura 1. La media geometrica

Figura 1. La media geometrica

Figura 2. La media geometrica

Figura 2. La media geometrica


Indici di Variabilità

  • Varianza
  • Scarto quadratico medio
  • Coefficiente di variazione
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