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Giancarlo Ragozini » 11.Studio della forma della distribuzione

Studio della forma della distribuzione

Forma di una distribuzione:

La forma di un insieme di dati descrive come i dati si distribuiscono intorno ai valori centrali relativamente alla simmetria o alla curtosi.
Due distribuzioni possono avere la stessa posizione e la stessa variabilità ma possono differire per l’importanza dei valori più grandi o più piccoli, rispetto al valore centrale, a causa di un comportamento differenziato nelle due “code” della distribuzione.

Studio della forma della distribuzione

Forma di una distribuzione:

Quando i dati sono distribuiti uniformemente su entrambi i lati del picco la distribuzione è simmetrica.
Quando i dati non sono distribuiti uniformemente su entrambi i lati del picco la distribuzione è asimmetrica.
Se la distribuzione è molto appuntita si dice leptocurtica.
Se la distribuzione è molto piatta si dice platicurtica.

Distribuzione simmetrica

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Forma di una distribuzione:

In una distribuzione unimodale valgono le seguenti relazioni:

Media = Mediana = Moda (simmetria)
Moda < Mediana < Media (asimmetria +)
Media < Mediana < Moda (asimmetria -)

Distribuzione asimmetrica

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Indice di asimmetria di Fisher:

γ=0 → Simmetria
γ>0 → Asimmetria positiva
γ<0 → Asimmetria negativa

Per una serie numerica l’indice è espresso in prima immagine.

Per una distribuzione in classi l’indice è espresso in seconda immagine.

Esempio di calcolo

Indice per una serie numerica

Indice per una distribuzione in classi

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La Curtosi:

Per curtosi si intende il maggiore o minore appuntimento e, conseguentemente, il peso più o meno marcato delle code rispetto alla parte centrale della distribuzione.
L’indice di curtosi proposto da Pearson (immagine) vale 3 per una distribuzione teorica simmetrica; per ottenere un valore confrontabile con zero, si introduce l’indice di curtosi di Fisher.

Esempio di calcolo

Studio della forma della distribuzione

Indice di curtosi di Fisher:

γ₂=0 → Mesocurtica
γ₂>0 → Leptocurtica
γ₂<0 → Platicurtica

L’indice è espresso da γ₂=β₂- 3

Confronto tra una distribuzione leptocurtica (blu), mesocurtica (nero) e platicurtica (rosso)

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Exploratory Data Analysis:

In questo tipo di analisi si enfatizza l’esplorazione dei dati ed è usata come analisi preliminare ed indispensabile per qualsiasi altro di tipo analisi.
Lo spirito è quello di utilizzare strumenti analitici, di tipo robusto, e grafici per evidenziare tutte le caratteristiche strutturali dei dati.

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Sintesi a cinque

Studio della forma della distribuzione

Il Box Plot:

Un grafico a scatola è una rappresentazione grafica che utilizza le statistiche di sintesi per rappresentare la distribuzione di un insieme di dati.

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Il Box Plot:

Per la costruzione della scatola i valori da considerare sono Q1 – Me – Q3.

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Il Box Plot:

Il valore di riferimento inferiore di un grafico a scatola è il valore numerico più grande tra xmin e Q1 – 1.5 (IQR).
Il valore di riferimento superiore di un grafico a scatola è il valore numerico più piccolo tra xmax e Q3 + 1.5 (IQR).

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Identificazione dei valori anomali:

L_I = Q₁- 1,5 (Q₃-Q₁)

L_S = Q₃- 1,5 (Q₃-Q₁)

I valori della nostra distribuzione che sono superiori ad L_S sono valori eccezionalmente alti e quindi considerati anomali.
I valori della nostra distribuzione che sono inferiori ad L_I sono valori eccezionalmente bassi e quindi considerati anomali.