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Amalia Caputo » 26.Il diagramma di dispersione

Il diagramma di dispersione: introduzione

Il diagramma di dispersione o scattergram viene utilizzato per rappresentare due grandezze che possono essere correlate fra di loro e per individuare eventuali relazioni tra due caratteristiche diverse di una “popolazione”.

Si ricorre allo scattergram quando le grandezze poste sull’asse delle X e sull’asse delle Y sono grandezze misurate con scale metriche (discrete o continue).

Per questo …

… la relazione fra due variabili cardinali si rappresenta mediante il diagramma di dispersione (scatter diagram o scattergram).

Come si costruisce uno scattergram?

Per costruire un diagramma di dispersione o scattegram o scatterdiagram è necessario seguire quattro passaggi.

I e II passaggio

1. Si considera solo il I quadrante dell’asse cartesiano, ossia quello delimitato dalle parti positive dei due assi (I passaggio);
2. in ascissa si rappresentano i valori della variabile indipendente (X) e in ordinata quelli della dipendente (Y).

I passaggio.

II passaggio.

III e IV passaggio

3. solitamente l’origine degli assi rappresenta il valore 0 o il valore minimo assunto da una o da entrambe le variabili: ogni asse è dunque una variabile;

4. ogni punto è un caso. L’insieme dei casi vanno a costituire la cosiddetta nuvola dei punti e quindi ogni punto rappresenta la coppia di valori relativi ad un singolo caso (IV passaggio).

III passaggio.

IV passaggio.

Gli outlier

Tipi di relazione tra variabili cardinali

La relazione tra due variabili cardinali può essere:

monotonica /non monotonica

Una relazione fra due serie di grandezze ordinate si definisce monotonica se:
a. l’elemento A è maggiore dell’elemento B in una serie, lo è anche nell’altra;
b. l’elemento A è maggiore dell’elemento B in una serie, l’elemento A è minore dell’elemento B nell’altra (Marradi,1993).

lineare / non lineare

Sulla base della presenza/assenza di monotonicità e linearità si ottengono 6 tipi di relazioni

Relazione monotonica lineare
Relazione monotonica lineare inversa
Relazione monotonica non lineare
Relazione monotonica non lineare inversa
Relazione curvilinea non monotonica:
Assenza di relazione

Le relazioni monotoniche lineari

1. Relazione monotonica lineare (positiva)
Il tasso di crescita del punteggio in ordinata (Y) cresce (o decresce) insieme al punteggio in ascissa (X) in modo costante.

2. Relazione monotonica lineare inversa (negativa)
Il tasso di crescita del punteggio in ordinata (Y) decresce al crescere del punteggio in ascissa (X) – e viceversa – in modo costante.

Relazione monotonica lineare (positiva).

Relazione monotonica lineare inversa (negativa).

Le relazioni monotoniche non lineari

3. Relazione monotonica non lineare
Il tasso di crescita del punteggio in ordinata (Y) cresce al crescere del punteggio in ascissa (X) ma non in modo costante

4. Relazione monotonica non lineare inversa
Il tasso di crescita del punteggio in ordinata (Y) decresce al crescere del punteggio in ascissa (X) ma non in modo costante

Relazione monotonica non lineare.

Relazione monotonica non lineare inversa.

Relazioni non monotoniche

5. Relazione curvilinea non monotonica
Y cresce insieme ad X ma fino ad una certa soglia oltre la quale al crescere di X, Y decresce

6. Assenza di relazione

Relazione curvilinea non monotonica Assenza di relazione

Relazione curvilinea non monotonica.

Assenza di relazione.

Relazioni lineari: la retta di regressione

Se la relazione è lineare …

. . . tutti i punti giacciono sulla retta e quindi è più probabile che conoscendo la collocazione di un caso i su si possa prevedere la sua collocazione su Y (riduzione proporzionale dell'errore).

Se la relazione non è lineare . . .

. . . i punti non giacciono sulla retta

I residui (o errori)

Quando la relazione non è lineare (e quindi i punti non giacciono sulla retta) si riscontrano degli errori detti residui.

Residuo = la distanza (differenza) tra il valore effettivo di Y e il valore di atteso di Y (valore di Y se la relazione fosse lineare ovvero se ci fosse relazione tra X e Y).

$e_i=Y_i-\hat Y$

Più i residui sono piccoli, più è possibile prevedere i punteggi di Y per ogni categoria di X (anche per i casi non presenti nel diagramma).

↓

Occorre individuare quella retta sulla quale i residui siano pari a 0 (relazione lineare) ovvero una retta dove il valore atteso dei residui è nullo per qualsiasi valore xi.