Amalia Caputo » 17.Trasformazioni delle variabili: standardizzazione e deflazione

Che cosa è la standardizzazione?

È una doppia normalizzazione:

1. ogni dato è trasformato nel suo scarto dalla media della distribuzione (prima normalizzazione);
2. il dato viene trasformato dall’unità di misura o di conto di quella variabile in unità del suo scarto-tipo s ovvero viene normalizzato per il miglior coefficiente sintetico (seconda normalizzazione). Si ricorre ad S perché – al pari dello scarto dalla media – è una grandezza lineare.

z = distribuzione dei punti standard calcolati a partire da tutti i punti della variabile x;
xi = caso di cui si vuole calcolare il punto z;
sx = lo scarto tipo della distribuzione del carattere x.

Distribuzione di una variabile e distribuzione di una variabile standardizzata

Nota
Le distribuzioni fortemente asimmetriche comportano conseguenze negative in sede di analisi bi e multivariata. È possibile ‘correggere’ l’asimmetria sostituendo ad ogni valore la sua radice quadrata o un suo logaritmo.

Distribuzione di una variabile e distribuzione di una variabile standardizzata (segue)

Figura 1: Media, scarto-tipo e varianza delle distribuzioni A e P
Figura 2: Rappresentazione grafica delle distribuzioni A e P
Quanto detto sin qui è facilmente dimostrabile facendo ricorso alle rappresentazioni grafiche della distribuzione di una variabile e della corrispettiva distribuzione standardizzata.

Immaginiamo di aver rilevato i voti conseguiti in italiano da sette studenti delle scuole medie superiori di un istituto privato (distribuzione A) e di volerli confrontare con quelli conseguiti nella stessa materia da una classe composta da 12 studenti di una scuola superiore pubblica (distribuzione P).

1. Le due distribuzioni hanno media uguale e differente varianza e scarto-tipo (Fig. 1).
2. La distribuzione P è platicurtica, presenta una considerevole dispersione dei dati intorno alla media.
3. La distribuzione A è leptocurtica, presenta una dispersione dei dati intorno alla media molto più limitata (Fig. 2).

Distribuzione di una variabile e distribuzione di una variabile standardizzata

(segue)

Procediamo alla standardizzazione:

I Normalizzazione: trasformazione dei dati negli scarti dalla media (traslazione delle distribuzioni, la cui forma rimane identica, da una posizione attorno alla media effettiva di quella distribuzione a una posizione attorno a una media 0).
Si passa così da A ad A’ e da P a P’.

II Normalizzazione: divisione degli scarti dalla media di ogni distribuzione per il suo scarto tipo.
La distribuzione P’ (platicurtica), tenderà a comprimersi trasformandosi nella Z_(P), perché il suo scarto tipo sarà minore dello scarto tipo di partenza, come è illustrato.
La distribuzione A’ (leptocurtica), tenderà a dilatarsi trasformandosi in Z _(A) poiché il suo scarto tipo sarà maggiore dello scarto tipo di partenza.

La procedura di deflazione

Come la standardizzazione, si compone di due normalizzazioni:

I normalizzazione: considera la tendenza di ciascun soggetto ad attribuire punteggi troppo alti o troppo bassi. Se il numero dei punteggi forniti soggetti è sufficientemente ampio e comprendente una gamma di temi differenziata, la media dei punteggi può essere considerata una ragionevole stima della tendenza di ciascun individuo a fornire punteggi alti o bassi; si sottrae quindi a ciascun punteggio di ogni soggetto la media dei suoi punteggi.

II normalizzazione: considera la tendenza dei soggetti ad usare un arco più o meno ampio di punteggi.
Ciò di cui si tiene conto è, cioè, la dispersione dei punteggi di ciascun soggetto dalla sua media, in questo caso lo scarto tipo può essere pensato come il valore che fornisce una indicazione di tale dispersione.
Per questo motivo, si divide l’esito della I normalizzazione per lo scarto tipo dei punteggi del soggetto, in questo modo si assume che le risposte degli intervistati siano riconducibili a “stili” personali differenti e non ad una scelta consapevole, cioè come specifica reazione allo stimolo. Per poter procedere alla II normalizzazione è, però, necessario che il numero e la varietà degli stimoli sia elevato.