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Luciano Rosati » 1.Geometria delle aree

Geometria delle Aree I

Sia un dominio regolare dello spazio Euclideo. Ad esso si possono associare alcune misure che ne rappresentano le proprietà geometriche. Nella Meccanica dei Solidi, identica la regione occupata da un corpo: ad esempio nella flessione delle travi, rappresenta la sezione retta. Sia un dominio regolare del piano e cioè un dominio contenente al piu un numero finito di angoli e cuspidi. Denoteremo con r il raggio vettore che individua la posizione di un generico punto di in un sistema di riferimento cartesiano con origine in O.

Si definiscono le seguenti proprietà di:

il volume ovvero la misura di

il vettore momento statico

ed il tensore d’inerzia

Il dominio nel piano

Geometria delle Aree II

Il tensore gode delle seguenti proprietà: • è simmetrico, • è definito positivo.

La positività di scaturisce dal fatto che:

per ogni versore

Si definisce baricentro del dominio il punto G rispetto al quale il momento statico è nullo. Detto il vettore posizione di G, il baricentro è individuato dalla condizione

pertanto, essendo costante, dalla definizione di momento statico si ottiene;

che consente di determinare la posizione di G.

Posizione vettore posizione

Geometria delle Aree III

Nel caso in cui il dominio sia piano, l’espressione fornisce l’area di ; in tal caso il baricentro è dato da

dove A rappresenta l’area.

Nel seguito si farà esplicito rifermento al caso di un dominio piano essendo questo, il caso più significativo per le applicazioni.

Detta la base di un riferimento cartesiano con origine in , il vettore posizione è definito da

ovvero

Il vettore momento statico ed il tensore d’inerzia hanno la seguente rappresentazione matriciale

Geometria delle Aree IV

A differenza di quanto comunemente riportato nei testi di Scienza delle Costruzioni, la componente rappresenta il momento statico lungo l’asse x o, equivalentemente, il momento statico rispetto all’asse ortogonale.

Con l’ultima locuzione, si vuole intendere che le distanze vengono prese ortogonalmente all’asse y. Anologhe precisazioni valgono per le componenti del tensore d’inerzia; ad esempio la componente rappresenta il momento d’inerzia lungo l’asse y, quantità che comunemente viene denotata con ed indicata come momento d’inerzia rispetto all’asse x.

Alcune formule notevoli I

L’applicazione delle formule precedenti al caso di domini piani richiede l’uso di integrali doppi estesi al dominio Di fatto, quindi, il calcolo di tali integrali è possibile solo per domini particolari quali rettangolo, cerchio, ecc. Tuttavia il teorema della divergenza consente di pervenire ed espressioni di gran lunga più semplici poichè esse coinvolgono solo il calcolo di integrali estesi alla frontiera del dominio. Nel caso di domini piani ciò comporta il calcolo di soli integrali di linea. Viceversa nel caso di domini spaziali, le proprietà geometriche del dominio si ottengono mediante integrali di superficie anziché di volume.

Detta d la dimensione dello spazio Euclideo cui appartiene il dominio vale la formula seguente:

dove è il versore della normale uscente alla frontiera che delimita il dominio, supposta generalmente regolare.

Alcune formule notevoli II

Per fissare le idee supporremo poichè la dimostrazione è concettualmente analoga nel caso Applicando il teorema della divergenza si ottiene:

il pedice “,k” denota derivazione parziale rispetto all’indice corrispondente. Applicando al secondo membro la regola di derivazione del prodotto si ha:

e quindi osservando che

L’espressione precedente si riduce alla seguente

Alcune formule notevoli III

risulta quindi

e cioè la formula cercata per

Nel caso di domini piani, si ha per e rispettivamente,

La trattazione illustrata è facilemente estendibile a casi più complessi, di estremo interesse per le applicazioni, in cui vogliamo calcolare misure, di carattere non più geometrico, analoghe a quelle appena descritte ma associate ad arbitrarie distribuzioni di quantità scalari positive definite in

Un esempio applicatico I

Per illustrare concretamente l’utilizzo delle formule precedenti si vogliono calcolare le misure geometriche di un’ellisse, rimandando ad una sezione successiva la loro specializzazione al caso di domini il cui contorno sia di tipo poligonale. Si consideri l’ellisse di equazione parametrica

in base alla formula che esprime l’area

essendo il versore della normale uscente in un generico punto del contorno dell’ellisse.

Detto il corrispondente versore tangente, risulta

dove denota il versore della normale al piano contenente

Un esempio applicativo II

Essendo

risulta infine

Il vettore momento statico vale invece

come era da prevedersi in quanto l’origine del riferimento coincide con il baricentro.

Un esempio applicativo III

Infine

Integrando per parti il primo integrale, risulta

da cui, ponendo nell’ultimo integrale, si ricava:

Analogamente si dimostra che

Un esempio applicativo IV

da cui, ponendo nell’ultimo integrale, si ricava:

Analogamente si dimostra che

Peranto il risultato finale è

Un esempio applicativo V

Le espressioni precedenti si specializzano banalmente al caso di un cerchio ponendo Il caso di una corona circolare delimitata da due circonferenze di raggio esterno e raggio interno si può trattare immaginando di sovrapporre al cerchio esterno, cui sia stato assegnato una densità di massa, quello interno di densità

Si ha in tal modo

dove indica il tensore identico.

Più in generale questa tecnica può essere condotta per calcolare le proprietà geometriche di domini pluriconnessi.

Formule di trasporto I

Nel valutare le proprietà geometriche di un dominio si adotta come sistema di riferimento quello nel quale è più semplice o naturale assegnare la rappresentazione parametrica della frontiera del dominio o le coordinate dei suoi vertici.

Tuttavia, nelle applcazioni è spesso necessario conoscere tali proprietà in un sistema di riferimento diverso da quello scelto inizialmente. Il calcolo può essere condotto a partire dalle proprietà geometriche calcolate nel riferimento iniziale mediante semplici operazioni algebriche che vanno sotto il nome di formule di trasporto.

A tale scopo si consideri la figura a lato e sia il vettore che definisce la posizione dell’origine del nuovo sistema di riferimento i cui assi si assumono paralleli ed equiversi a quelli del sistema di riferimento iniziale.

Essendo l’area una quantità scalare, e quindi invariante con il sistema di riferimento, occorre calcolare solo e .

Dominio in un sistema di riferimento

Formule di trasporto II

In base alla definizione risulta

Nel caso in cui il punto coincida con il baricentro si ottiene

Quest’ultima relazione, così come quella relativa al momento statico, viene comunemente derivata calcolando in funzione di

Ad essa si fa infatti riferimento affermando che il tensore d’inerzia valutato rispetto ad un sistema di riferimento con origine in punto O, con assi paralleli e concordi a quelli del sistema iniziale nel baricentro G, si ottiene sommando a il tensore d’inerzia rispetto al nuovo sistema dovuto all’area della figura immaginata concentrata nel baricentro.

Dominio in un sistema di riferimento

Formule di trasporto III

Qualora il nuovo sistema di riferimento nel punto sia individuato rispetto a quello con origine in mediante i vettori

il vettore momento statico ed il tensore d’inerzia nel nuovo sistema si ottengono mediante le formule

Nel caso più frequente in cui i riferimenti sono semplicemente ruotati l’uno rispetto all’altro, il tensore è costituito da un tensore ortogonale definito, nel riferimento assegnato, dalla rappresentazione matriciale

essendo l’angolo formato dal primo asse dei due riferimenti. Le espressioni di e di si specializzano allora come segue:

Dominio in un sistema di riferimento

Formule di trasporto IV

ovvero in componenti

Le componenti del tensore d’inerzia sono:

In particolare detti

i versori che definiscono gli assi del nuovo sistema di riferimento, le formule precedenti si esprimono in modo più sintetico nella forma

Calcolo delle proprietà geometriche di domini poligonali I

Il caso più frequente nelle applicazioni è quello nel quale il dominio , ha una frontiera di tipo poligonale e cioè definita da un numero n di lati rettilinei. La specializzazione delle, che forniscono, l’area, il momento statico ed il tensore d’inerzia conduce ad esprimere gli integrali curvilinei mediante formule, di immediata implementazione in un codice di calcolo, dipendenti dalle sole coordinate dei vertici del dominio. Si supponga allora che i vertici della frontiera , di , siano numerati consecutivamente percorrendo , in senso antiorario e siano e , i vettori che individuano la posizione dei vertici ed estremi del lato Si assumerà inoltre in corrispondenza dell’ultimo lato di . L’equazione parametrica del lato è dunque

il versore della normale al lato orientato verso l’esterno di in accordo col teorema della divergenza, è quindi definito da

essendo la lunghezza del lato e il tensore emisimmetrico che associa ad ogni vettrore del piano il suo ortogonale, ottenuto ruotando di in senso antiorario rispetto a

Calcolo delle proprietà

In altri termini

E’ evidente che, qualora si decidesse di numerare i vertici percorrendo la frontiera di \partial\Omega\, in verso orario, l’espressione della normale diventerebbe

La formula notevole che fornisce l’area della figura poligonale diventa quindi:

$\begin{array}{ll}A & ={\displaystyle \frac{\mathit{1}}{2}\intop_{\Omega}\mathbf{r\left(\mathit{s}\right)\cdot n\left(\mathit{s}\right)}ds=\frac{\mathit{1}}{2}\sum_{i=i}^{n}\intop_{0}^{l_{i}}\mathbf{r\left(\mathit{s_{i}}\right)\cdot n_{\mathit{i}}}ds_{i}=}\\ & ={\displaystyle \frac{\mathit{1}}{2}\sum_{i=i}^{n}\intop_{0}^{1}\mathbf{\left(r^{*}\left(\mathit{\lambda_{i}}\right)\cdot n_{\mathit{i}}\right)}l_{i}d\lambda_{i}=}\\ & ={\displaystyle \frac{\mathit{1}}{2}\sum_{i=i}^{n}\intop_{0}^{1}\mathbf{r_{\mathit{i}}\cdot n_{\mathit{i}}}l_{i}d\lambda_{i}=\frac{\mathit{1}}{2}\sum_{i=i}^{n}\left(\mathbf{r_{\mathit{i}}\cdot n_{\mathit{i}}}\right)l_{i}=\frac{\mathit{1}}{2}\sum_{i=i}^{n}\mathbf{r}_{\mathit{i}}\cdot\mathbf{r}_{i+1}^{\perp}}\end{array}$

poichè

$\left(\mathbf{r_{\mathit{i}}\cdot n_{\mathit{i}}}\right)l_{i}=\mathbf{r}_{\mathit{i}}\cdot\left[\left(\mathbf{r}_{i+1}-\mathbf{r}_{1}\right)\times\mathbf{e}_{3}\right]=\mathbf{r}_{\mathit{i}}\cdot\left(\mathbf{r}_{i+1}\times\mathbf{e}_{3}\right)=\mathbf{r}_{\mathit{i}}\cdot\mathbf{r}_{i+1}^{\perp}$

per le proprietà del prodotto misto.

Si noti che le sommatorie sono estese al numero $\mathbf{n}_{i}\$ , dei lati del poligono e che il prodotto $\mathbf{r}^{*}\left(\mathit{\lambda_{i}}\right)\cdot\mathbf{n}_{\mathit{i}},\$ , costante su ciascun lato, è stato posto pari a $\mathbf{r_{\mathit{i}}\cdot n_{\mathit{i}}.\,}$

Calcolo delle proprietà geometriche di domini poligonali III

Il vettore momento statico si calcola come segue

$\mathbf{s_{\mathit{O}}}&={\displaystyle \mathit{\frac{1}{3}}\intop_{\partial\Omega}\mathbf{\left[\mathbf{r\left(\mathit{s}\right)\otimes}\mathbf{r\left(\mathit{s}\right)}\right]n\left(\mathit{s}\right)}ds=\mathbf{\frac{\mathit{1}}{\mathit{3}}\mathit{\sum_{i=i}^{n}\intop_{0}^{l_{i}}}\left[\mathbf{r\left(\mathit{s_{i}}\right)\cdot n\left(\mathit{s_{i}}\right)}\right]r\left(\mathit{s_{i}}\right)\mathit{ds_{i}=}}}$

$={\displaystyle \frac{\mathit{1}}{3}\sum_{i=i}^{n}\intop_{0}^{1}\mathbf{\left[r^{*}\left(\mathit{\lambda_{i}}\right)\cdot n_{\mathit{i}}\right]r^{*}\left(\mathit{\lambda_{i}}\right)}l_{i}d\lambda_{i}=}$

$={\displaystyle \frac{\mathit{1}}{3}\sum_{i=i}^{n}\intop_{0}^{1}\mathbf{\left(r_{\mathit{i}}\cdot n_{\mathit{i}}\right)}\left[\left(1-\lambda_{i}\right)\mathit{\mathbf{r}}_{\mathit{i}}+\lambda_{i}\mathbf{r}_{\mathit{i+1}}\right]l_{i}d\lambda_{i}=}$

$={\displaystyle \frac{\mathit{1}}{3}\sum_{i=i}^{n}\mathbf{r}_{\mathit{i}}\cdot\mathbf{r}_{i+1}^{\perp}\left(\mathbf{r}_{\mathit{i}}\intop_{0}^{1}\mathbf{\left(\mathit{\mathit{1}-\lambda_{i}}\right)}d\lambda_{i}+\mathbf{r}_{\mathit{i+1}}\intop_{0}^{1}\lambda_{i}d\lambda_{i}\right)=}$

$={\displaystyle \frac{\mathit{1}}{6}\sum_{i=i}^{n}\left(\mathbf{r}_{\mathit{i}}\cdot\mathbf{r}_{i+1}^{\perp}\right)\left(\mathbf{r}_{\mathit{i}}+\mathbf{r}_{\mathit{i+1}}\right)}$

Calcolo delle proprietà geometriche di domini poligonali IV

Infine per il tensore d’inerzia si ha:

$\mathbf{J}_{O}&{\displaystyle \mathit{=\frac{1}{4}}\intop_{\partial\Omega}\mathbf{\left[\mathbf{r\left(\mathit{s}\right)\cdot}\mathbf{n\left(\mathit{s}\right)}\right]\mathbf{r\left(\mathit{s}\right)\otimes}\mathbf{r\left(\mathit{s}\right)}}ds=}$

$=\frac{\mathit{1}}{\mathit{4}}\mathit{\sum_{i=i}^{n}\intop_{0}^{l_{i}}}\left[\mathbf{r\left(\mathit{s_{i}}\right)\cdot n\left(\mathit{s_{i}}\right)}\right]\mathbf{r\left(\mathit{s_{i}}\right)\otimes r\left(\mathit{s_{i}}\right)}\mathit{ds_{i}=}$

$=\frac{\mathit{1}}{4}\sum_{i=i}^{n}\intop_{0}^{1}\mathbf{\left[r^{*}\left(\mathit{\lambda_{i}}\right)\cdot n_{\mathit{i}}\right]r^{*}\left(\mathit{\lambda_{i}}\right)\otimes r^{*}\left(\mathit{\lambda_{i}}\right)}l_{i}d\lambda_{i}=$

$=\frac{\mathit{1}}{4}\sum_{i=i}^{n}\intop_{0}^{1}\mathbf{\left(r_{\mathit{i}}\cdot n_{\mathit{i}}\right)}\left[\left(1-\lambda_{i}\right)\mathit{\mathbf{r}}_{\mathit{i}}+\lambda_{i}\mathbf{r}_{\mathit{i+1}}\right]\otimes\left[\left(1-\lambda_{i}\right)\mathit{\mathbf{r}}_{\mathit{i}}+\lambda_{i}\mathbf{r}_{\mathit{i+1}}\right]l_{i}d\lambda_{i}=$

$=\frac{\mathit{1}}{4}\sum_{i=i}^{n}\mathbf{r}_{\mathit{i}}\cdot\mathbf{r}_{i+1}^{\perp}\left[\mathbf{r}_{\mathit{i}}\otimes\mathbf{r}_{\mathit{i}}\intop_{0}^{1}\mathbf{\left(\mathit{\mathit{1}-\lambda_{i}}\right)^{2}}d\lambda_{i}+\left(\mathbf{\mathbf{r}_{\mathit{i}}\otimes r}_{\mathit{i+1}}\right.+\right.$ $\left.\left.\mathbf{r}_{\mathit{i+1}}\otimes\mathbf{r}_{\mathit{i}}\right)\intop_{0}^{1}\left(1-\lambda_{i}\right)d\lambda_{i}+\mathbf{r}_{\mathit{i+1}}\otimes\mathbf{r}_{\mathit{i+1}}\intop_{0}^{1}\lambda_{i}^{2}d\lambda_{i}\right]=}$

Calcolo delle proprietà geometriche di domini poligonali V

$=\frac{\mathit{1}}{12}\sum_{i=i}^{n}\left(\mathbf{r}_{\mathit{i}}\cdot\mathbf{r}_{i+1}^{\perp}\right)\left[\mathbf{r}_{\mathit{i}}\otimes\mathbf{r}_{\mathit{i}}+\frac{1}{2}\left(\mathbf{r}_{\mathit{i}}\otimes\mathbf{r}_{\mathit{i+1}}+\mathbf{r}_{\mathit{i+1}}\otimes\mathbf{r}_{\mathit{i}}\right)+\mathbf{r}_{\mathit{i+1}}\otimes\mathbf{r}_{\mathit{i+1}}\right]$

Per completezza le formule precedenti sono anche riportate in componenti dopo aver posto

$c_{i}=x_{i}y_{i+1}-y_{i}x_{i+1}=\mathbf{r}_{\mathit{i}}\cdot\mathbf{r}_{i+1}^{\perp}$

Risulta allora

$A=\frac{\mathit{1}}{2}\sum_{i=i}^{n}c_{i}$

$\left\{ \mathbf{s}_{o}\right\} _{1}=\frac{\mathit{1}}{6}\sum_{i=i}^{n}c_{i}\left(x_{\mathit{i}}+x_{i+1}\right);\qquad\left\{ \mathbf{s}_{o}\right\} _{2}=\frac{\mathit{1}}{6}\sum_{i=i}^{n}c_{i}\left(y_{\mathit{i}}+y_{i+1}\right)$

$\left\{ \mathbf{J}_{O}\right\} _{11}&{\displaystyle =\frac{\mathit{1}}{12}\sum_{i=i}^{n}c_{i}\left[x_{\mathit{i}}\cdot x_{i}+x_{\mathit{i}}\cdot x_{i+1}+x_{\mathit{i}+1}\cdot x_{i+1}\right]}$

$\left\{ \mathbf{J}_{O}\right\} _{22}&{\displaystyle =\frac{\mathit{1}}{12}\sum_{i=i}^{n}c_{i}\left[y_{\mathit{i}}\cdot y_{i}+y_{\mathit{i}}\cdot y_{i+1}+y_{\mathit{i}+1}\cdot y_{i+1}\right]}$

Calcolo delle proprietà geometriche di domini poligonali VI

$\left\{ \mathbf{J}_{O}\right\} _{12}&{\displaystyle =\frac{\mathit{1}}{12}\sum_{i=i}^{n}c_{i}\left[x_{\mathit{i}}\cdot y_{i}+\frac{1}{2}\left(x_{\mathit{i}}\cdot y_{i+1}+x_{\mathit{i}+1}\cdot y_{i}\right)+x_{\mathit{i}+1}\cdot y_{i+1}\right]}$

Il caso di un dominio pluriconnesso, delimitato da un contorno poligonale esterno e da uno o più contorni poligonali interni, si può trattare analogamente al caso della corona circolare. I vertici di ciascuno dei contorni saranno numerati consecutivamente nello stesso verso, ad esempio, quello orario. Si calcolerano quindi le proprietà geometriche relative a ciascuno dei contorni con le formule appena descritte attribuendo a quello esterno una densità di massa $\mu=+1\,$ e a quelli interni la densità $\mu=-1.\,$

Un metodo alternativo, benchè equivalente a quello descritto, consiste nel numerare consecutivamente i vertici di ciascuno dei contorni che definisconoil dominio ma con versi di percorrenza opposti per il contorno esterno e quelli interni. Sicchè se il verso di percorrenza prescelto per il contorno esterno è antiorario, i cotorni interni dovranno essere percorsi in verso orario.

La sezione rettangolare I

A titolo di esempio le formule precedenti vengono applicate al caso della sezione rettangolare di dimensioni $\left(b\times h\right)\,$ riportata a lato.

I vertici sono quindi individuati dai vettori posizione:

$\mathbf{r}_{\mathit{1}}=\left(\begin{array}{c} 0\\ 0 \end{array}\right)\quad\mathbf{r}_{\mathit{2}}=\left(\begin{array}{c} b\\ 0 \end{array}\right)$

$\mathbf{r}_{\mathit{3}}=\left(\begin{array}{c} b\\ h \end{array}\right)\quad\mathbf{r}_{\mathit{4}}=\left(\begin{array}{c} 0\\ h \end{array}\right)$

Risulta inoltre

$\mathbf{r}_{\mathit{1}}^{\perp}=\left(\begin{array}{c} 0\\ 0 \end{array}\right)\quad\mathbf{r}_{\mathit{2}}^{\perp}=\left(\begin{array}{c} 0\\ -b \end{array}\right)$

$\mathbf{r}_{\mathit{3}}^{\perp}=\left(\begin{array}{c} h\\ -b \end{array}\right)\quad\mathbf{r}_{\mathit{4}}^{\perp}=\left(\begin{array}{c} h\\ 0 \end{array}\right)$

Sezione rettangolare

La sezione rettangolare II

L’area $A\,$ del rettangolo è quindi pari a

$A=\frac{\mathit{1}}{2}\sum_{i=i}^{n}\mathbf{r}_{\mathit{i}}\cdot\mathbf{r}_{i+1}^{\perp}=\frac{\mathit{1}}{2}\left(0+bh+bh+0\right)=bh$

Risultando nullo il prodotto scalare $\mathbf{r}_{\mathit{i}}\cdot\mathbf{r}_{i+1}^{\perp}\,$ per $i=1\,$ e $i=2,\,$ la formula relativa al momento statico si specializza come segue:

$\mathbf{s}_{o}=\frac{\mathit{bh}}{6}\left(\mathbf{r}_{\mathit{2}}+\mathbf{r}_{3}\right)+\frac{\mathit{bh}}{6}\left(\mathbf{r}_{\mathit{3}}+\mathbf{r}_{4}\right)=\frac{\mathit{bh}}{6}\left(\mathbf{r}_{\mathit{2}}+2\mathbf{r}_{3}+\mathbf{r}_{4}\right)=\frac{\mathit{bh}}{2}\left\{ \begin{array}{c}b\\h\end{array}\right\}$

e in base alla definizione di baricentro, $\mathbf{r}_{G}\,$ è fornito da

$\mathbf{r}{}_{G}=\frac{\mathbf{s}_{o}}{A}=\frac{1}{2}\left\{ \begin{array}{c}b\\h\end{array}\right\}$

Infine, il tensore d’inerzia $\mathbf{J}_{O}\,$ rispetto all’origine O  del sistema di riferimento si calcola mediante la formula delle slides precedenti.

La sezione rettangolare III

Essendo come detto, $\mathbf{r}_{1}\cdot\mathbf{r}_{2}^{\perp}=\mathbf{r}_{\mathit{4}}\cdot\mathbf{r}_{1}^{\perp}=0\:$ occorre considerare le seguenti quantità:

$\begin{array}{l}i=2\\\mathbf{r}_{2}\otimes\mathbf{r}_{2}=\left(\begin{array}{ll}b^{2} & 0\\0 & 0\end{array}\right),\qquad\mathbf{r}_{2}\otimes\mathbf{r}_{3}=\left(\begin{array}{ll}b^{2} & bh\\0 & 0\end{array}\right),\qquad\mathbf{r}_{3}\otimes\mathbf{r}_{2}=\left(\begin{array}{ll}b^{2} & 0\\bh & 0\end{array}\right)\end{array}$
$\begin{array}{l}i=3\\\mathbf{r}_{3}\otimes\mathbf{r}_{3}=\left(\begin{array}{ll}b^{2} & bh\\bh & h^{2}\end{array}\right),\qquad\mathbf{r}_{3}\otimes\mathbf{r}_{4}=\left(\begin{array}{ll}0 & bh\\0 & h^{2}\end{array}\right)\\\mathbf{r}_{4}\otimes\mathbf{r}_{3}=\left(\begin{array}{ll}0 & 0\\bh & h^{2}\end{array}\right),\qquad\mathbf{r}_{4}\otimes\mathbf{r}_{4}=\left(\begin{array}{ll}0 & 0\\0 & h^{2}\end{array}\right)\end{array}$

Si ottiene in tal modo:

$\mathbf{J}_{O}={\displaystyle \frac{bh}{12}\left(\begin{array}{cc}b^{2}+\frac{2b^{2}}{2}+b^{2} & \frac{bh}{2}+bh\\\frac{bh}{2}+bh & h^{2}\end{array}\right)+\frac{bh}{12}\left(\begin{array}{cc}b^{2} & bh+\frac{bh}{2}\\bh+\frac{bh}{2} & h^{2}+\frac{2h^{2}}{2}+h^{2}\end{array}\right)}$

e cioè

$\mathbf{J}_{O}{\displaystyle =\left(\begin{array}{cc}\frac{b^{3}h}{3} & \frac{b^{2}h^{2}}{4}\\\frac{b^{2}h^{2}}{4} & \frac{bh^{3}}{3}\end{array}\right)}$

La sezione rettangolare IV

Applicando le formule precedenti, può essere calcolato il tensore d’inerzia $\mathbf{J}_{G}\,$ nel riferimento cartesiano traslato rispetto a quello iniziale ed avente il baricentro G come origine:

$\mathbf{J}_{G}=\mathbf{J}_{O}-A\mathbf{r}_{G}\otimes\mathbf{r}_{G}$

Essendo

$\mathbf{r}_{G}\otimes\mathbf{r}_{G}=\left\{ \begin{array}{c}\frac{h}{2}\\\frac{h}{2}\end{array}\right\} \otimes\left\{ \begin{array}{c}\frac{h}{2}\\\frac{h}{2}\end{array}\right\} =\left(\begin{array}{cc}\frac{b^{2}}{4} & \frac{bh}{4}\\\frac{bh}{4} & \frac{h^{2}}{4}\end{array}\right)$

Infine si ha

$\mathbf{J}_{G}=\left(\begin{array}{cc}\frac{b^{3}h}{3} & \frac{b^{2}h^{2}}{4}\\\frac{b^{2}h^{2}}{4} & \frac{bh^{3}}{3}\end{array}\right)-bh\left(\begin{array}{cc}\frac{b^{2}}{4} & \frac{bh}{4}\\\frac{bh}{4} & \frac{h^{2}}{4}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{b^{3}h}{12} & 0\\0 & \frac{bh^{3}}{12}\end{array}\right)$

Pertanto, il momento d’inerzia del rettangolo rispetto all’asse baricentrico $x_{G}\,$ è fornito dal prodotto $\frac{bh^{3}}{12};\,$ infatti in base alla terminologia introdotta precedentemente, esso coincide con il momento d’inerzia lungo l’asse $y_{G.\,}$

Nocciolo d’inerzia di domini piani I

Si consideri un sistema di riferimento baricentrico e sia $\mathbf{J_{G}}\:$ il tensore d’inerzia di un arbitrario dominio piano $\mathbf{\Omega.}\:$
Sia assegnata una retta $a\:$ di equazione parametrica

$\mathbf{a=\rho_{\mathit{a}}+\lambda\mathbf{t}\mathit{_{a}}}\;\;\;\lambda\in R$

essendo $\mathbf{\rho}_{a}\:$ il vettore posizione di un punto generico della retta e $\mathbf{t}_{a}\:$ versore diretto lungo a, si veda la figura a lato.
Si definisce centro relativo del dominio $\mathbf{\Omega\:}$ rispetto alla retta $a\:$ il punto $C_{a}\:$ baricentro della distribuzione di momenti statici di $\mathbf{\Omega\:}$ rispetto alla retta.

Detto $\mathbf{c}_{a}\:$ il vettore che individua la posizione di $C_{a}\:$ rispetto al baricentro, risulta

$\mathbf{c}_{a}-\mathbf{\rho}_{a}=\frac{{\displaystyle \intop_{\Omega}\left[\left(\mathbf{\rho-\rho_{\mathit{a}}}_{\mathbf{}}\right)\cdot\mathbf{n}_{a}\right]\left(\mathbf{\rho-\rho}_{\mathbf{\mathit{a}}}\right)d\Omega}}{{\displaystyle \intop_{\Omega}\left(\mathbf{\rho-\rho}_{\mathbf{\mathit{a}}}\right)\cdot\mathbf{n}_{a}d\Omega}}$

con $\mathbf{n}_{a}\:$ versore ortogonale a $\mathbf{t}_{a}\:$ . Poichè il sistema di riferimento è baricentrico, la relazione precedente diventa

$\mathbf{c}_{a}-\mathbf{\rho}_{a}=\frac{\mathbf{{\displaystyle J}_{\mathit{G}}n_{\mathit{a}}}+A\left(\mathbf{\rho_{\mathit{a}}\otimes\rho_{\mathit{a}}}\right)\mathbf{n}_{\mathit{a}}}{{\displaystyle -\mathbf{A\rho}_{a}\cdot\mathbf{n}_{a}}}=-\frac{{\displaystyle \mathbf{J}}_{\mathit{G}}\mathbf{n}_{\mathit{a}}}{\mathbf{A\rho}_{a}\cdot\mathbf{n}_{a}}-\mathbf{\rho}_{a}$