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Luciano Rosati » 1.Geometria delle aree


Geometria delle Aree I

Sia  un dominio regolare dello spazio Euclideo. Ad esso si possono associare alcune misure che ne rappresentano le proprietà geometriche. Nella Meccanica dei Solidi,  identi ca la regione occupata da un corpo: ad esempio nella flessione delle travi,  rappresenta la sezione retta. Sia  un dominio regolare del piano e cioè un dominio contenente al piu un numero finito di angoli e cuspidi. Denoteremo con r il raggio vettore che individua la posizione di un generico punto di  in un sistema di riferimento cartesiano con origine in O.

Si de finiscono le seguenti proprietà di:

il volume ovvero la misura di 



il vettore momento statico



ed il tensore d’inerzia

  

Il dominio nel piano

Il dominio nel piano


Geometria delle Aree II

Il tensore  gode delle seguenti proprietà: • è simmetrico,  • è definito positivo.

La positività di   scaturisce dal fatto che:

per ogni versore  

Si definisce baricentro del dominio  il punto G rispetto al quale il momento statico è nullo. Detto  il vettore posizione di G, il baricentro è individuato dalla condizione

pertanto, essendo   costante, dalla definizione di momento statico si ottiene;

che consente di determinare la posizione di G.

Posizione vettore posizione

Posizione vettore posizione


Geometria delle Aree III

Nel caso in cui il dominio  sia piano, l’espressione  fornisce l’area di ; in tal caso il baricentro è dato da



dove A rappresenta l’area.

Nel seguito si farà esplicito rifermento al caso di un dominio piano essendo questo, il caso più significativo per le applicazioni.

Detta  la base di un riferimento cartesiano con origine in , il vettore posizione  è definito da

ovvero

Il vettore momento statico ed il tensore d’inerzia hanno la seguente rappresentazione matriciale

Geometria delle Aree IV

A differenza di quanto comunemente riportato nei testi di Scienza delle Costruzioni, la componente  rappresenta il momento statico lungo l’asse x o, equivalentemente, il momento statico rispetto all’asse ortogonale.

Con l’ultima locuzione, si vuole intendere che le distanze vengono prese ortogonalmente all’asse y. Anologhe precisazioni valgono per le componenti del tensore d’inerzia; ad esempio la componente  rappresenta il momento d’inerzia lungo l’asse y, quantità che comunemente viene denotata con  ed indicata come momento d’inerzia rispetto all’asse x.

 

 

 

 

Alcune formule notevoli I

L’applicazione delle formule precedenti al caso di domini piani richiede l’uso di integrali doppi estesi al dominio  Di fatto, quindi, il calcolo di tali integrali è possibile solo per domini particolari quali rettangolo, cerchio, ecc. Tuttavia il teorema della divergenza consente di pervenire ed espressioni di gran lunga più semplici poichè esse coinvolgono solo il calcolo di integrali estesi alla frontiera del dominio. Nel caso di domini piani ciò comporta il calcolo di soli integrali di linea. Viceversa nel caso di domini spaziali, le proprietà geometriche del dominio si ottengono mediante integrali di superficie anziché di volume.

Detta d la dimensione dello spazio Euclideo cui appartiene il dominio  vale la formula seguente:

dove  è il versore della normale uscente alla frontiera  che delimita il dominio, supposta generalmente regolare.

 

Alcune formule notevoli II

Per fissare le idee supporremo  poichè la dimostrazione è concettualmente analoga nel caso  Applicando il teorema della divergenza si ottiene:

 

il pedice “,k” denota derivazione parziale rispetto all’indice corrispondente. Applicando al secondo membro la regola di derivazione del prodotto si ha:

e quindi osservando che

L’espressione precedente si riduce alla seguente

 

Alcune formule notevoli III

risulta quindi

e cioè la formula cercata per 

Nel caso di domini piani,   si ha per  e   rispettivamente,



La trattazione illustrata è facilemente estendibile a casi più complessi, di estremo interesse per le applicazioni, in cui vogliamo calcolare misure, di carattere non più geometrico, analoghe a quelle appena descritte ma associate ad arbitrarie distribuzioni di quantità scalari positive definite in 

Un esempio applicatico I

Per illustrare concretamente l’utilizzo delle formule precedenti si vogliono calcolare le misure geometriche di un’ellisse, rimandando ad una sezione successiva la loro specializzazione al caso di domini il cui contorno sia di tipo poligonale. Si consideri l’ellisse di equazione parametrica

in base alla formula che esprime l’area

essendo  il versore della normale uscente in un generico punto del contorno dell’ellisse.

Detto  il corrispondente versore tangente, risulta

dove  denota il versore della normale al piano contenente  

 

Un esempio applicativo II

Essendo  

risulta infine



Il vettore momento statico vale invece

 

come era da prevedersi in quanto l’origine del riferimento coincide con il baricentro. 

Un esempio applicativo III

Infine





Integrando per parti il primo integrale, risulta

da cui, ponendo  nell’ultimo integrale, si ricava:



Analogamente si dimostra che



 

Un esempio applicativo IV

da cui, ponendo  nell’ultimo integrale, si ricava:



Analogamente si dimostra che

Peranto il risultato finale è



Un esempio applicativo V

Le espressioni precedenti si specializzano banalmente al caso di un cerchio ponendo    Il caso di una corona circolare delimitata da due circonferenze di raggio esterno  e raggio interno  si può trattare immaginando di sovrapporre al cerchio esterno, cui sia stato assegnato una densità di massa,  quello interno di densità  

Si ha in tal modo



dove  indica il tensore identico.

Più in generale questa tecnica può essere condotta per calcolare le proprietà geometriche di domini pluriconnessi.

Formule di trasporto I

Nel valutare le proprietà geometriche di un dominio  si adotta come sistema di riferimento quello nel quale è più semplice o naturale assegnare la rappresentazione parametrica della frontiera del dominio o le coordinate dei suoi vertici.

Tuttavia, nelle applcazioni è spesso necessario conoscere tali proprietà in un sistema di riferimento diverso da quello scelto inizialmente. Il calcolo può essere condotto a partire dalle proprietà geometriche calcolate nel riferimento iniziale mediante semplici operazioni algebriche che vanno sotto il nome di formule di trasporto.

A tale scopo si consideri la figura a lato e sia  il vettore che definisce la posizione dell’origine del nuovo sistema di riferimento i cui assi si assumono paralleli ed equiversi a quelli del sistema di riferimento iniziale.

Essendo l’area una quantità scalare, e quindi invariante con il sistema di riferimento, occorre calcolare solo  e . 

 

 

Dominio in un sistema di riferimento

Dominio in un sistema di riferimento


Formule di trasporto II

In base alla definizione risulta

 

 .

Nel caso in cui il punto  coincida con il baricentro  si ottiene



Quest’ultima relazione, così come quella relativa al momento statico, viene comunemente derivata calcolando  in funzione di

Ad essa si fa infatti riferimento affermando che il tensore d’inerzia valutato rispetto ad un sistema di riferimento con origine in punto O, con assi paralleli e concordi a quelli del sistema iniziale nel baricentro G, si ottiene sommando a  il tensore d’inerzia rispetto al nuovo sistema dovuto all’area della figura immaginata concentrata nel baricentro.

 

Dominio in un sistema di riferimento

Dominio in un sistema di riferimento


Formule di trasporto III

Qualora il nuovo sistema di riferimento nel punto  sia individuato rispetto a quello con origine in  mediante i vettori



il vettore momento statico  ed il tensore d’inerzia  nel nuovo sistema si ottengono mediante le formule



Nel caso più frequente in cui i riferimenti sono semplicemente ruotati l’uno rispetto all’altro, il tensore  è costituito da un tensore ortogonale  definito, nel riferimento assegnato, dalla rappresentazione matriciale



essendo  l’angolo formato dal primo asse dei due riferimenti. Le espressioni di  e di  si specializzano allora come segue:

 

Dominio in un sistema di riferimento

Dominio in un sistema di riferimento


Formule di trasporto IV

ovvero in componenti

 

Le componenti del tensore d’inerzia sono:

 

In particolare detti 



i versori che definiscono gli assi del nuovo sistema di riferimento, le formule precedenti si esprimono in modo più sintetico nella forma

 

Calcolo delle proprietà geometriche di domini poligonali I

Il caso più frequente nelle applicazioni è quello nel quale il dominio ,  ha una frontiera di tipo poligonale e cioè definita da un numero n di lati rettilinei. La specializzazione delle, che forniscono, l’area, il momento statico ed il tensore d’inerzia conduce ad esprimere gli integrali curvilinei mediante formule, di immediata implementazione in un codice di calcolo, dipendenti dalle sole coordinate dei vertici del dominio. Si supponga allora che i vertici della frontiera ,  di ,  siano numerati consecutivamente percorrendo ,  in senso antiorario e siano  e ,  i vettori che individuano la posizione dei vertici  ed  estremi del lato  Si assumerà inoltre   in corrispondenza dell’ultimo lato di . L’equazione parametrica del lato  è dunque



il versore  della normale al lato  orientato verso l’esterno di  in accordo col teorema della divergenza, è quindi definito da



essendo  la lunghezza del lato  e   il tensore emisimmetrico che associa ad ogni vettrore  del piano il suo ortogonale,  ottenuto ruotando  di  in senso antiorario rispetto a   

Calcolo delle proprietà

In altri termini

E’ evidente che, qualora si decidesse di numerare i vertici percorrendo la frontiera di \partial\Omega\,  in verso orario, l’espressione della normale diventerebbe

La formula notevole che fornisce l’area della figura poligonale diventa quindi:

\begin{array}{ll}A & ={\displaystyle \frac{\mathit{1}}{2}\intop_{\Omega}\mathbf{r\left(\mathit{s}\right)\cdot n\left(\mathit{s}\right)}ds=\frac{\mathit{1}}{2}\sum_{i=i}^{n}\intop_{0}^{l_{i}}\mathbf{r\left(\mathit{s_{i}}\right)\cdot n_{\mathit{i}}}ds_{i}=}\\ & ={\displaystyle \frac{\mathit{1}}{2}\sum_{i=i}^{n}\intop_{0}^{1}\mathbf{\left(r^{*}\left(\mathit{\lambda_{i}}\right)\cdot n_{\mathit{i}}\right)}l_{i}d\lambda_{i}=}\\ & ={\displaystyle \frac{\mathit{1}}{2}\sum_{i=i}^{n}\intop_{0}^{1}\mathbf{r_{\mathit{i}}\cdot n_{\mathit{i}}}l_{i}d\lambda_{i}=\frac{\mathit{1}}{2}\sum_{i=i}^{n}\left(\mathbf{r_{\mathit{i}}\cdot n_{\mathit{i}}}\right)l_{i}=\frac{\mathit{1}}{2}\sum_{i=i}^{n}\mathbf{r}_{\mathit{i}}\cdot\mathbf{r}_{i+1}^{\perp}}\end{array}

poichè 

\left(\mathbf{r_{\mathit{i}}\cdot n_{\mathit{i}}}\right)l_{i}=\mathbf{r}_{\mathit{i}}\cdot\left[\left(\mathbf{r}_{i+1}-\mathbf{r}_{1}\right)\times\mathbf{e}_{3}\right]=\mathbf{r}_{\mathit{i}}\cdot\left(\mathbf{r}_{i+1}\times\mathbf{e}_{3}\right)=\mathbf{r}_{\mathit{i}}\cdot\mathbf{r}_{i+1}^{\perp} 

per le proprietà del prodotto misto.

Si noti che le sommatorie sono estese al numero \mathbf{n}_{i}\,  dei lati del poligono e che il prodotto \mathbf{r}^{*}\left(\mathit{\lambda_{i}}\right)\cdot\mathbf{n}_{\mathit{i}},\,  costante su ciascun lato, è stato posto pari a \mathbf{r_{\mathit{i}}\cdot n_{\mathit{i}}.\,}

Calcolo delle proprietà geometriche di domini poligonali III

Il vettore momento statico si calcola come segue

\mathbf{s_{\mathit{O}}}&={\displaystyle \mathit{\frac{1}{3}}\intop_{\partial\Omega}\mathbf{\left[\mathbf{r\left(\mathit{s}\right)\otimes}\mathbf{r\left(\mathit{s}\right)}\right]n\left(\mathit{s}\right)}ds=\mathbf{\frac{\mathit{1}}{\mathit{3}}\mathit{\sum_{i=i}^{n}\intop_{0}^{l_{i}}}\left[\mathbf{r\left(\mathit{s_{i}}\right)\cdot n\left(\mathit{s_{i}}\right)}\right]r\left(\mathit{s_{i}}\right)\mathit{ds_{i}=}}}

={\displaystyle \frac{\mathit{1}}{3}\sum_{i=i}^{n}\intop_{0}^{1}\mathbf{\left[r^{*}\left(\mathit{\lambda_{i}}\right)\cdot n_{\mathit{i}}\right]r^{*}\left(\mathit{\lambda_{i}}\right)}l_{i}d\lambda_{i}=}

={\displaystyle \frac{\mathit{1}}{3}\sum_{i=i}^{n}\intop_{0}^{1}\mathbf{\left(r_{\mathit{i}}\cdot n_{\mathit{i}}\right)}\left[\left(1-\lambda_{i}\right)\mathit{\mathbf{r}}_{\mathit{i}}+\lambda_{i}\mathbf{r}_{\mathit{i+1}}\right]l_{i}d\lambda_{i}=}

={\displaystyle \frac{\mathit{1}}{3}\sum_{i=i}^{n}\mathbf{r}_{\mathit{i}}\cdot\mathbf{r}_{i+1}^{\perp}\left(\mathbf{r}_{\mathit{i}}\intop_{0}^{1}\mathbf{\left(\mathit{\mathit{1}-\lambda_{i}}\right)}d\lambda_{i}+\mathbf{r}_{\mathit{i+1}}\intop_{0}^{1}\lambda_{i}d\lambda_{i}\right)=}

={\displaystyle \frac{\mathit{1}}{6}\sum_{i=i}^{n}\left(\mathbf{r}_{\mathit{i}}\cdot\mathbf{r}_{i+1}^{\perp}\right)\left(\mathbf{r}_{\mathit{i}}+\mathbf{r}_{\mathit{i+1}}\right)}

Calcolo delle proprietà geometriche di domini poligonali IV

Infine per il tensore d’inerzia si ha:

\mathbf{J}_{O}&{\displaystyle \mathit{=\frac{1}{4}}\intop_{\partial\Omega}\mathbf{\left[\mathbf{r\left(\mathit{s}\right)\cdot}\mathbf{n\left(\mathit{s}\right)}\right]\mathbf{r\left(\mathit{s}\right)\otimes}\mathbf{r\left(\mathit{s}\right)}}ds=}

=\frac{\mathit{1}}{\mathit{4}}\mathit{\sum_{i=i}^{n}\intop_{0}^{l_{i}}}\left[\mathbf{r\left(\mathit{s_{i}}\right)\cdot n\left(\mathit{s_{i}}\right)}\right]\mathbf{r\left(\mathit{s_{i}}\right)\otimes r\left(\mathit{s_{i}}\right)}\mathit{ds_{i}=}

=\frac{\mathit{1}}{4}\sum_{i=i}^{n}\intop_{0}^{1}\mathbf{\left[r^{*}\left(\mathit{\lambda_{i}}\right)\cdot n_{\mathit{i}}\right]r^{*}\left(\mathit{\lambda_{i}}\right)\otimes r^{*}\left(\mathit{\lambda_{i}}\right)}l_{i}d\lambda_{i}=

{\displaystyle =\frac{\mathit{1}}{4}\sum_{i=i}^{n}\intop_{0}^{1}\mathbf{\left(r_{\mathit{i}}\cdot n_{\mathit{i}}\right)}\left[\left(1-\lambda_{i}\right)\mathit{\mathbf{r}}_{\mathit{i}}+\lambda_{i}\mathbf{r}_{\mathit{i+1}}\right]\otimes\left[\left(1-\lambda_{i}\right)\mathit{\mathbf{r}}_{\mathit{i}}+\lambda_{i}\mathbf{r}_{\mathit{i+1}}\right]l_{i}d\lambda_{i}=}

=\frac{\mathit{1}}{4}\sum_{i=i}^{n}\mathbf{r}_{\mathit{i}}\cdot\mathbf{r}_{i+1}^{\perp}\left[\mathbf{r}_{\mathit{i}}\otimes\mathbf{r}_{\mathit{i}}\intop_{0}^{1}\mathbf{\left(\mathit{\mathit{1}-\lambda_{i}}\right)^{2}}d\lambda_{i}+\left(\mathbf{\mathbf{r}_{\mathit{i}}\otimes r}_{\mathit{i+1}}\right.+\right.\left.\left.\mathbf{r}_{\mathit{i+1}}\otimes\mathbf{r}_{\mathit{i}}\right)\intop_{0}^{1}\left(1-\lambda_{i}\right)d\lambda_{i}+\mathbf{r}_{\mathit{i+1}}\otimes\mathbf{r}_{\mathit{i+1}}\intop_{0}^{1}\lambda_{i}^{2}d\lambda_{i}\right]=}

 

Calcolo delle proprietà geometriche di domini poligonali V

{\displaystyle =\frac{\mathit{1}}{12}\sum_{i=i}^{n}\left(\mathbf{r}_{\mathit{i}}\cdot\mathbf{r}_{i+1}^{\perp}\right)\left[\mathbf{r}_{\mathit{i}}\otimes\mathbf{r}_{\mathit{i}}+\frac{1}{2}\left(\mathbf{r}_{\mathit{i}}\otimes\mathbf{r}_{\mathit{i+1}}+\mathbf{r}_{\mathit{i+1}}\otimes\mathbf{r}_{\mathit{i}}\right)+\mathbf{r}_{\mathit{i+1}}\otimes\mathbf{r}_{\mathit{i+1}}\right]}

Per completezza le formule precedenti sono anche riportate in componenti dopo aver posto

c_{i}=x_{i}y_{i+1}-y_{i}x_{i+1}=\mathbf{r}_{\mathit{i}}\cdot\mathbf{r}_{i+1}^{\perp} 

Risulta allora

A=\frac{\mathit{1}}{2}\sum_{i=i}^{n}c_{i}

\left\{ \mathbf{s}_{o}\right\} _{1}=\frac{\mathit{1}}{6}\sum_{i=i}^{n}c_{i}\left(x_{\mathit{i}}+x_{i+1}\right);\qquad\left\{ \mathbf{s}_{o}\right\} _{2}=\frac{\mathit{1}}{6}\sum_{i=i}^{n}c_{i}\left(y_{\mathit{i}}+y_{i+1}\right)

\left\{ \mathbf{J}_{O}\right\} _{11}&{\displaystyle =\frac{\mathit{1}}{12}\sum_{i=i}^{n}c_{i}\left[x_{\mathit{i}}\cdot x_{i}+x_{\mathit{i}}\cdot x_{i+1}+x_{\mathit{i}+1}\cdot x_{i+1}\right]}

\left\{ \mathbf{J}_{O}\right\} _{22}&{\displaystyle =\frac{\mathit{1}}{12}\sum_{i=i}^{n}c_{i}\left[y_{\mathit{i}}\cdot y_{i}+y_{\mathit{i}}\cdot y_{i+1}+y_{\mathit{i}+1}\cdot y_{i+1}\right]}

 

Calcolo delle proprietà geometriche di domini poligonali VI

\left\{ \mathbf{J}_{O}\right\} _{12}&{\displaystyle =\frac{\mathit{1}}{12}\sum_{i=i}^{n}c_{i}\left[x_{\mathit{i}}\cdot y_{i}+\frac{1}{2}\left(x_{\mathit{i}}\cdot y_{i+1}+x_{\mathit{i}+1}\cdot y_{i}\right)+x_{\mathit{i}+1}\cdot y_{i+1}\right]}

Il caso di un dominio pluriconnesso, delimitato da un contorno poligonale esterno e da uno o più contorni poligonali interni, si può trattare analogamente al caso della corona circolare. I vertici di ciascuno dei contorni saranno numerati consecutivamente nello stesso verso, ad esempio, quello orario. Si calcolerano quindi le proprietà geometriche relative a ciascuno dei contorni con le formule appena descritte attribuendo a quello esterno una densità di massa \mu=+1\, e a quelli interni la densità \mu=-1.\, 

Un metodo alternativo, benchè equivalente a quello descritto, consiste nel numerare consecutivamente i vertici di ciascuno dei contorni che definisconoil dominio ma con versi di percorrenza opposti per il contorno esterno e quelli interni. Sicchè se il verso di percorrenza prescelto per il contorno esterno è antiorario, i cotorni interni dovranno essere percorsi in verso orario.

 

La sezione rettangolare I

A titolo di esempio le formule precedenti vengono applicate al caso della sezione rettangolare di dimensioni \left(b\times h\right)\, riportata a lato.

I vertici sono quindi individuati dai vettori posizione:

\mathbf{r}_{\mathit{1}}=\left(\begin{array}{c} 0\\ 0 \end{array}\right)\quad\mathbf{r}_{\mathit{2}}=\left(\begin{array}{c} b\\ 0 \end{array}\right)

{\displaystyle \mathbf{r}_{\mathit{3}}=\left(\begin{array}{c} b\\ h \end{array}\right)\quad\mathbf{r}_{\mathit{4}}=\left(\begin{array}{c} 0\\ h \end{array}\right)}

Risulta inoltre

\mathbf{r}_{\mathit{1}}^{\perp}=\left(\begin{array}{c} 0\\ 0 \end{array}\right)\quad\mathbf{r}_{\mathit{2}}^{\perp}=\left(\begin{array}{c} 0\\ -b \end{array}\right)

\mathbf{r}_{\mathit{3}}^{\perp}=\left(\begin{array}{c} h\\ -b \end{array}\right)\quad\mathbf{r}_{\mathit{4}}^{\perp}=\left(\begin{array}{c} h\\ 0 \end{array}\right)

Sezione rettangolare

Sezione rettangolare


La sezione rettangolare II

L’area A\, del rettangolo è quindi pari a

A=\frac{\mathit{1}}{2}\sum_{i=i}^{n}\mathbf{r}_{\mathit{i}}\cdot\mathbf{r}_{i+1}^{\perp}=\frac{\mathit{1}}{2}\left(0+bh+bh+0\right)=bh

Risultando nullo il prodotto scalare \mathbf{r}_{\mathit{i}}\cdot\mathbf{r}_{i+1}^{\perp}\, per i=1\, e i=2,\, la formula relativa al momento statico si specializza come segue:

\mathbf{s}_{o}=\frac{\mathit{bh}}{6}\left(\mathbf{r}_{\mathit{2}}+\mathbf{r}_{3}\right)+\frac{\mathit{bh}}{6}\left(\mathbf{r}_{\mathit{3}}+\mathbf{r}_{4}\right)=\frac{\mathit{bh}}{6}\left(\mathbf{r}_{\mathit{2}}+2\mathbf{r}_{3}+\mathbf{r}_{4}\right)=\frac{\mathit{bh}}{2}\left\{ \begin{array}{c}b\\h\end{array}\right\}  

e in base alla definizione di baricentro, \mathbf{r}_{G}\, è fornito da

\mathbf{r}{}_{G}=\frac{\mathbf{s}_{o}}{A}=\frac{1}{2}\left\{ \begin{array}{c}b\\h\end{array}\right\}  

Infine, il tensore d’inerzia \mathbf{J}_{O}\, rispetto all’origine O  del sistema di riferimento si calcola mediante la formula delle slides precedenti.


La sezione rettangolare III

Essendo come detto, \mathbf{r}_{1}\cdot\mathbf{r}_{2}^{\perp}=\mathbf{r}_{\mathit{4}}\cdot\mathbf{r}_{1}^{\perp}=0\: occorre considerare le seguenti quantità:

\begin{array}{l}i=2\\\mathbf{r}_{2}\otimes\mathbf{r}_{2}=\left(\begin{array}{ll}b^{2} & 0\\0 & 0\end{array}\right),\qquad\mathbf{r}_{2}\otimes\mathbf{r}_{3}=\left(\begin{array}{ll}b^{2} & bh\\0 & 0\end{array}\right),\qquad\mathbf{r}_{3}\otimes\mathbf{r}_{2}=\left(\begin{array}{ll}b^{2} & 0\\bh & 0\end{array}\right)\end{array} 
\begin{array}{l}i=3\\\mathbf{r}_{3}\otimes\mathbf{r}_{3}=\left(\begin{array}{ll}b^{2} & bh\\bh & h^{2}\end{array}\right),\qquad\mathbf{r}_{3}\otimes\mathbf{r}_{4}=\left(\begin{array}{ll}0 & bh\\0 & h^{2}\end{array}\right)\\\mathbf{r}_{4}\otimes\mathbf{r}_{3}=\left(\begin{array}{ll}0 & 0\\bh & h^{2}\end{array}\right),\qquad\mathbf{r}_{4}\otimes\mathbf{r}_{4}=\left(\begin{array}{ll}0 & 0\\0 & h^{2}\end{array}\right)\end{array}

Si ottiene in tal modo:

\mathbf{J}_{O}={\displaystyle \frac{bh}{12}\left(\begin{array}{cc}b^{2}+\frac{2b^{2}}{2}+b^{2} & \frac{bh}{2}+bh\\\frac{bh}{2}+bh & h^{2}\end{array}\right)+\frac{bh}{12}\left(\begin{array}{cc}b^{2} & bh+\frac{bh}{2}\\bh+\frac{bh}{2} & h^{2}+\frac{2h^{2}}{2}+h^{2}\end{array}\right)}

e cioè

\mathbf{J}_{O}{\displaystyle =\left(\begin{array}{cc}\frac{b^{3}h}{3} & \frac{b^{2}h^{2}}{4}\\\frac{b^{2}h^{2}}{4} & \frac{bh^{3}}{3}\end{array}\right)}

La sezione rettangolare IV

Applicando le formule precedenti, può essere calcolato il tensore d’inerzia \mathbf{J}_{G}\, nel riferimento cartesiano traslato rispetto a quello iniziale ed avente il baricentro G come origine:

\mathbf{J}_{G}=\mathbf{J}_{O}-A\mathbf{r}_{G}\otimes\mathbf{r}_{G}

Essendo

{\displaystyle \mathbf{r}_{G}\otimes\mathbf{r}_{G}=\left\{ \begin{array}{c}\frac{h}{2}\\\frac{h}{2}\end{array}\right\} \otimes\left\{ \begin{array}{c}\frac{h}{2}\\\frac{h}{2}\end{array}\right\} =\left(\begin{array}{cc}\frac{b^{2}}{4} & \frac{bh}{4}\\\frac{bh}{4} & \frac{h^{2}}{4}\end{array}\right)}

Infine si ha

{\displaystyle \mathbf{J}_{G}=\left(\begin{array}{cc}\frac{b^{3}h}{3} & \frac{b^{2}h^{2}}{4}\\\frac{b^{2}h^{2}}{4} & \frac{bh^{3}}{3}\end{array}\right)-bh\left(\begin{array}{cc}\frac{b^{2}}{4} & \frac{bh}{4}\\\frac{bh}{4} & \frac{h^{2}}{4}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{b^{3}h}{12} & 0\\0 & \frac{bh^{3}}{12}\end{array}\right)}

Pertanto, il momento d’inerzia del rettangolo rispetto all’asse baricentrico x_{G}\, è fornito dal prodotto \frac{bh^{3}}{12};\, infatti in base alla terminologia introdotta precedentemente, esso coincide con il momento d’inerzia lungo l’asse y_{G.\,}

Nocciolo d’inerzia di domini piani I

Si consideri un sistema di riferimento baricentrico e sia \mathbf{J_{G}}\: il tensore d’inerzia di un arbitrario dominio piano \mathbf{\Omega.}\: 
Sia assegnata una retta a\: di equazione parametrica

\mathbf{a=\rho_{\mathit{a}}+\lambda\mathbf{t}\mathit{_{a}}}\;\;\;\lambda\in R

essendo \mathbf{\rho}_{a}\: il vettore posizione di un punto generico della retta e \mathbf{t}_{a}\: versore diretto lungo a, si veda la figura a lato.
Si definisce centro relativo del dominio \mathbf{\Omega\:} rispetto alla retta a\:  il punto C_{a}\: baricentro della distribuzione di momenti statici di \mathbf{\Omega\:} rispetto alla retta.

Detto \mathbf{c}_{a}\: il vettore che individua la posizione di C_{a}\: rispetto al baricentro, risulta

\mathbf{c}_{a}-\mathbf{\rho}_{a}=\frac{{\displaystyle \intop_{\Omega}\left[\left(\mathbf{\rho-\rho_{\mathit{a}}}_{\mathbf{}}\right)\cdot\mathbf{n}_{a}\right]\left(\mathbf{\rho-\rho}_{\mathbf{\mathit{a}}}\right)d\Omega}}{{\displaystyle \intop_{\Omega}\left(\mathbf{\rho-\rho}_{\mathbf{\mathit{a}}}\right)\cdot\mathbf{n}_{a}d\Omega}}

con \mathbf{n}_{a}\: versore ortogonale a \mathbf{t}_{a}\:. Poichè il sistema di riferimento è baricentrico, la relazione precedente diventa

\mathbf{c}_{a}-\mathbf{\rho}_{a}=\frac{\mathbf{{\displaystyle J}_{\mathit{G}}n_{\mathit{a}}}+A\left(\mathbf{\rho_{\mathit{a}}\otimes\rho_{\mathit{a}}}\right)\mathbf{n}_{\mathit{a}}}{{\displaystyle -\mathbf{A\rho}_{a}\cdot\mathbf{n}_{a}}}=-\frac{{\displaystyle \mathbf{J}}_{\mathit{G}}\mathbf{n}_{\mathit{a}}}{\mathbf{A\rho}_{a}\cdot\mathbf{n}_{a}}-\mathbf{\rho}_{a}


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