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Luciano Rosati » 9.SOLLECITAZIONE DI TAGLIO E TORSIONE

Determinazione del campo delle tensioni (1/32)

Si vuole ora procedere a determinare il campo di spostamenti e tensioni indotto nel cilindro di Saint Venant quando il sistema di forze superficiali applicato sulle basi è costituito da due forze di taglio, agenti nel piano della sezione retta $\Sigma_{\ell}$ e denotate con $T_x$ e $T_y$ , ed una coppia torcente $\mathbf{M}_t$ agente lungo l’asse del solido. Come mostrato nella trattazione dei problemi di pressoflessione, è conveniente assumere l’origine del sistema di riferimento nel baricentro $G$ della generica sezione, mentre gli assi $x$ ed $y$ sono arbitrari pùrchè ortogonali tra di loro.

Le forze di taglio $T_x$ e $T_y$ sono raccolte nel vettore

$\mathbf{t} = \begin{vmatrix}T_x\\T_y\\0\end{vmatrix}\label{F227}$

(10.1)

rappresentato in (fig.1) unitamente al vettore $-\textbf{t}$ agente nella sezione $\Sigma_0$ ed alla coppia $(\ell \: \textbf{t}\times\textbf{k})$ che garantisce l’equilibrio del solido.

Determinazione del campo delle tensioni (2/32)

Conseguentemente, considerata la generica sezione $\Sigma$ a distanza $z$ dall’origine del sistema di riferimento, il vettore delle caratteristiche della sollecitazione agente su $\Sigma$ sarà costituito da :

$\mathbf{c}_{\Sigma}^{1}(z) =\left[ \begin{array}{ccc}0\\-(\ell - z)\: T_y\\+(\ell - z)\: T_x\\\end{array} \right]\qquad \mathbf{c}_{\Sigma}^{2}(z) =\left[ \begin{array}{ccc}T_x\\T_y\\M_t\\\end{array} \right] =\mathbf{c}_{\Sigma_{\ell}}^{2}(z)$ (10.2)

essendo $(\ell - z) \{-T_y, T_x\}$ le prime due componenti del vettore momento $(\ell - z) \: (\textbf{k}\: \times\:\textbf{t})$ associato alla forza $\textbf{t}$ di braccio $(\ell - z) \:\textbf{k}$ rispetto alla generica sezione $\Sigma$ .

Il momento torcente $M_t$ che appare nella definizione di $\mathbf{c}_{\Sigma}^{2}$ è somma della coppia torcente $\mathscr{M}_t$ applicata in $\Sigma_{\ell}$ e dell’eventuale coppia torcente indotta dal vettore $$\textbf{t}$ di cui non è stata ancora precisata, perchè al momento inessenziale, l’effettiva retta d’azione.

Infatti si mostrerà nel seguito che, fissata una arbitraria retta di applicazione di $\textbf{t}$ , la coppia torcente associata a $\textbf{t}$ è formata dalla espressione $(\textbf{r}_c\times\textbf{t})$ essendo

$\mathbf{r}_C =\left[ \begin{array}{ccc}x_C\\y_C\\0\\\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc}\boldsymbol{\rho}_C\\0\\\end{array} \right]$ (10.3)

il raggio vettore che individua, rispetto a G, la posizione di un punto speciale della sezione, che verrà denotato centro di taglio.

Determinazione del campo delle tensioni (3/32)

Si dimostrerà in particolare che il centro di taglio si trova su un eventuale asse di simmetria ortogonale della sezione, sicchè, per sezioni dotate di un doppio asse di simmetria ortogonale, il centro di taglio coincide con il baricentro. Per semplicità di rappresentazione è questa l’ipotesi che è stata assunta in (fig.1). Pertanto, in generale, risulterà

$M_t = \mathbf{M}_t + (\mathbf{r}_C \times \mathbf{t})\cdot\mathbf{k} $ (10.4)

qualora la retta d’azione della forza $\textbf{t}$ non passi per il centro di taglio. La formula precedente si specializza opportunamente qualora la retta d’azione della forza $\textbf{t}$ sia applicata in una posizione arbitraria della sezione a patto di sostituire il vettore $\textbf{r}_c$ nella formula precedente con il vettore $\textbf{r}_s$ che individua la posizione del centro di taglio rispetto ad un punto arbitrario della retta d’azione di $\textbf{t}$ .

Sollecitazione di taglio e torsione

Determinazione del campo delle tensioni (3/32)

Le due sollecitazioni di taglio puro e torsione scaturiranno naturalmente dalla trattazione che si passa ad esporre. Essa prende le mosse dalla formula più generale che assume il tensore delle tensioni $\textbf{T}$ nel problema di Saint Venant, ovvero

$[\mathbf{T}] =\left[ \begin{array}{ccc}0&0&\tau_{zx}\\0&0&\tau_{zy}\\\tau_{zx}&\tau_{zy}&\sigma_{z}\\\end{array} \right]$ (10.5)

in cui si è omessa, come di consueto, la dipendenza esplicita di $\textbf{T}$ dal punto generico $\mathbf{p} = (x,y,z)^T$ del solido.

In particolare si mostrerà tra breve che la componente $\sigma_z$ di $\textbf{T}$ sarà associata alla flessione indotta da $\textbf{t}$ , ovvero alle componenti del vettore $\mathbf{c}_{\Sigma}^{1}$ in (1.2), mentre il vettore

$\boldsymbol{\tau} =\left[ \begin{array}{ccc}\tau_{zx}\\\tau_{zy}\\0\\\end{array} \right]$ (10.6)

sarà associato alle componenti del vettore $\mathbf{c}_{\Sigma}^{2}$ in (1.2).

Determinazione del campo delle tensioni (5/32)

Come già illustrato nel caso della pressoflessione, l’espressione esplicita di $\sigma_z$ e $\tau$ si otterrà integrando le equazioni di compatibilità che devono essere soddisfatte dal tensore di deformazione infinitesimo $\textbf{E}_{l}$ ottenuto a partire dal tensore delle tensioni (1.5) utilizzando il legame elastico inverso. In particolare, nel caso di legame isotropo lineare, risulta

$[\mathbf{E}_{l}] =\left[ \begin{array}{ccc}\varepsilon_x & \frac{\gamma_{xy}}{2} & \frac{\gamma_{xz}}{2}\\\frac{\gamma_{xy}}{2} & \varepsilon_y &\frac{\gamma_{yz}}{2}\\\frac{\gamma_{xz}}{2} &\frac{\gamma_{yz}}{2} &\varepsilon_z\\\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc}- \nu \frac{\sigma_z}{E} & 0 &\ \frac{\tau_{zx}}{2G}\\0 & -\nu \frac{\sigma_z}{E} &\frac{\tau_{zy}}{2G}\\\frac{\tau_{zx}}{2G} & \frac{\tau_{zy}}{2G} &\frac{\sigma_z}{E}\\\end{array} \right]$ (10.7)

A tale scopo, ricordiamo preliminarmente che, in un dominio monoconnesso, le condizioni di compatibilità di un campo di deformazione infinitesimo $\textbf{E}_{l}$ sono espresse dalle relazioni differenziali

rot rot $\mathbf{E}_l$ = $\mathbf{O}$

che si esprimono in forma scalare, come già visto nel capitolo relativo alla cinematica del continuo, nella forma

$($ $\,\textnormal{rot}$ $\,\textnormal{rot}$ $\, \mathbf{E}_l)_{ii}$ = $\mathbf{E}_{l_{jj/kk}}$ + $-2$ $\mathbf{E}_{l_{kk/jj}}$

$($ $\textnormal{rot}$ $\,\textnormal{rot}$ $\,\textnormal{rot}$ $\, \mathbf{E}_l)_{ij}$ = - $\mathbf{E}_{l_{kk/ij}}$ + $(\mathbf{E}_{l_{jk/i}}$ \ $\mathbf{E}_{l_{ki/j}}$ - $\mathbf{E}_{l_{ij/k}}_k $ $)$

con $i,j,k \in \{1,2,3\}$ .

Determinazione del campo delle tensioni (6/32)

In componenti le 3+3 relazioni precedenti si esprimono come segue, adottando per semplicità la notazione ingegneristica,

$(\textnormal{rot}\,\textnormal{rot} \, \mathbf{E}_l)_{11}&=(\textnormal{rot}\,\textnormal{rot} \, \mathbf{E}_l)_{xx}=\frac{\partial^2{\varepsilon_y}}{\partial{z^2}}+\frac{\partial^2{\varepsilon_z}}{\partial{y^2}}-\,\frac{\partial^2{\gamma_{yz}}}{\partial{y}\partial{z}}=0 $

$(\textnormal{rot}\,\textnormal{rot} \, \mathbf{E}_l)_{22}=(\textnormal{rot}\,\textnormal{rot} \, \mathbf{E}_l)_{yy}=\frac{\partial^2{\varepsilon_z}}{\partial{x^2}}+\frac{\partial^2{\varepsilon_x}}{\partial{z^2}}-\,\frac{\partial^2{\gamma_{z\,x}}}{\partial{z}\partial{x}}=0$

$(\textnormal{rot}\,\textnormal{rot} \, \mathbf{E}_l)_{33}=(\textnormal{rot}\,\textnormal{rot} \, \mathbf{E}_l)_{zz}=\frac{\partial^2{\varepsilon_x}}{\partial{y^2}}+\frac{\partial^2{\varepsilon_y}}{\partial{x^2}}-\,\frac{\partial^2{\gamma_{x\,y}}}{\partial{x}\partial{y}}=0$ (10.8)

$(\textnormal{rot}\,\textnormal{rot} \, \mathbf{E}_l)_{12}=(\textnormal{rot}\,\textnormal{rot} \, \mathbf{E}_l)_{xy}=-\frac{\partial^2{\varepsilon_z}}{\partial{x}\partial{y}}+\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial{z}}\,(\frac{\partial{\gamma_{yz}}}{\partial{x}}+\frac{\partial{\gamma_{zx}}}{\partial{y}}-\frac{\partial{\gamma_{xy}}}{\partial{z}})=0$

$(\textnormal{rot}\,\textnormal{rot} \, \mathbf{E}_l)_{23}=(\textnormal{rot}\,\textnormal{rot} \, \mathbf{E}_l)_{yz}=-\frac{\partial^2{\varepsilon_x}}{\partial{y}\partial{z}}+\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial{x}}\,(\frac{\partial{\gamma_{zx}}}{\partial{y}}+\frac{\partial{\gamma_{xy}}}{\partial{z}}-\frac{\partial{\gamma_{yz}}}{\partial{x}})=0$

$(\textnormal{rot}\,\textnormal{rot} \, \mathbf{E}_l)_{13}=(\textnormal{rot}\,\textnormal{rot} \, \mathbf{E}_l)_{xz}=-\frac{\partial^2{\varepsilon_y}}{\partial{z}\partial{x}}+\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial{y}}\,(\frac{\partial{\gamma_{xy}}}{\partial{z}}+\frac{\partial{\gamma_{yz}}}{\partial{x}}-\frac{\partial{\gamma_{zx}}}{\partial{y}})=0$ (10.9)

Determinazione del campo delle tensioni (7/32)

In virtù della (10.7) le prime tre delle relazioni precedenti si esplicitano come segue

$-\nu\,\frac{\partial^2{\sigma_z}}{\partial{z^2}}+\frac{\partial^2{\sigma_z}}{\partial{y^2}} = 0$

$\frac{\partial^2{\sigma_z}}{\partial{x^2}}-\nu\,\frac{\partial^2{\sigma_z}}{\partial{z^2}} =0$

$\frac{\partial^2{\sigma_z}}{\partial{y^2}}+\frac{\partial^2{\sigma_z}}{\partial{x^2}} =0$ (10.10)

Infatti $\gamma_{xy}=0$ mentre

$\frac{\partial \gamma_{zx}}{\partial{z}} = \frac{1}{G} \frac{\partial \tau_{zx}}{\partial z} = 0 \qquad \frac{\partial \gamma_{zy} }{\partial z} = \frac{1}{G} \frac{\partial \tau_{zy}}{\partial z} = 0 $ (10.11)

per le proprietà generali del vettore $\boldsymbol{\tau}$ , soluzione del problema di Saint Venant, di essere indipendente da $z$ .

Determinazione del campo delle tensioni (8/32)

Sfruttando la condizione $\gamma_{xy}=0$ e le due relazioni precedenti, le tre relazioni delle (10.9) si specializzano come segue

$-\nu \frac{\partial^2 \sigma_z}{\partial x \partial y} = 0$

$\frac{\nu}{E} \frac{\partial^2 \sigma_z}{\partial y \partial z} + \frac{1}{2G} \frac{\partial}{\partial x} \: \biggl(\frac{\partial \tau_{zx}}{\partial y} - \frac{\partial \tau_{zy}}{\partial x}\biggl) = 0$

$\frac{\nu}{E} \frac{\partial^2 \sigma_z}{\partial x \partial z} + \frac{1}{2G} \frac{\partial}{\partial y} \: \biggl(\frac{\partial \tau_{zy}}{\partial x} - \frac{\partial \tau_{zx}}{\partial y}\biggl) = 0$ (10.12)

La terza equazione indefinita di equilibrio

$\frac{\partial \tau_{zx}}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{zy}}{\partial y} + \frac{\partial \sigma_{z}}{\partial z} = 0 $ (10.13)

derivata rispetto a $z$ fornisce

$\frac{\partial^2 \sigma_z}{\partial z^2} = - \frac{\partial}{\partial z} \biggl( \frac{\partial \tau_{zx}}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{zy}}{\partial y}\biggl) = - \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial \tau_{zx}}{\partial z} - \frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial \tau_{zy}}{\partial z} = 0$ (10.14)

in virtù della (10.11).

Determinazione del campo delle tensioni (9/32)

Pertanto, le prime due delle (10.10), la prima delle (10.12) e la relazione precedente, ovvero

$\frac{\partial^2 \sigma_z}{\partial y^2} = 0 \qquad \frac{\partial^2 \sigma_z}{\partial x^2} = 0 \qquad \frac{\partial^2 \sigma_z}{\partial x \partial y} = 0 \qquad \frac{\partial^2 \sigma_z}{\partial z^2 } = 0$ (10.15)

consentono di desumere che la funzione $\hat{\sigma}_z : \textbf{p} \rightarrow\sigma_z$ è lineare in $x,y,z$ .

Scriveremo quindi, per analogia con il caso della flessione e con la rappresentazione del vettore $\textbf{c}_{\Sigma}^{1}$ in (10.2)

$\sigma_z = (\ell - z) (\sigma_{tG} + \mathbf{g}_t \cdot\mathbf{p})$ (10.16)

in cui il vettore $\textbf{g}_t$ deve avere terza componente pari a zero

$\mathbf{g}_t = \begin{bmatrix}g_{tx}\\g_{ty}\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{\kappa}_t\\0\\\end{bmatrix}$ (10.17)

per garantire che la (10.16) sia lineare in $z$ .

Pertanto, posto

$\mathbf{r} = \begin{bmatrix}x\\y\\0\end{bmatrix}$ (10.18)

Determinazione del campo delle tensioni (10/32)

$\sigma_z = (\ell - z)(\sigma_{tG} + \mathbf{g}_{t}\cdot\mathbf{r})$

Si mostrerà che il vettore $\textbf{g}_t$ , al momento incognito, è legato linearmente al vettore $\textbf{t}$ .

La formula (10.19) implica che

$\sigma_{z/z} = - \sigma_{tG} - \mathbf{g}_{t}\cdot\mathbf{r}$ (10.20)

Tuttavia, per le proprietà generali dello stato tensionale soluzione del problema di Saint Venant, il campo $\boldsymbol{\tau}$ delle tensioni tangenziali è parallelo al contorno della sezione, sicchè

$\int_{\partial \Sigma} \: \boldsymbol{\tau}(s) \cdot \boldsymbol{n}(s) \: ds = 0$ (10.21)

essendo $\textbf{n}$ il versore della normale uscente a $\partial \Sigma$ in un suo punto generico.

La relazione precedente si scrive in modo equivalente

$\int_{\Sigma} \;div \boldsymbol{\tau} \: dA = 0$ (10.22)

la (10.16) si riscrive in forma equivalente

Determinazione del campo delle tensioni (11/32)

in virtù del teorema di Gauss sicchè la terza equazione indefinita di equilibrio (10.13), riscritta nella forma equivalente

$div \boldsymbol{\tau} = - \sigma_{z/z}$ (10.23)

implica che

$\int_{\Sigma} \: \sigma_{z/z} \: dA = 0$ (10.24)

Conseguentemente, la (10.20) implica

$\int_{\Sigma} \: (\sigma_{tG} + \mathbf{g}_t \cdot\mathbf{r}) \: dA = \: \sigma_{tG} A + \mathbf{g}_t \cdot \mathbf{s}_{G} = 0$ (10.25)

essendo $\textbf{s}_G$ il momento statico della sezione $\Sigma$ rispetto al baricentro.

Poichè tale quantità è nulla per definizione, si ricava dalla relazione precedente che

$\sigma_{tG} = 0$ (10.26)

Determinazione del campo delle tensioni (12/32)

Per fornire la rappresentazione delle componenti $\tau_{zx}$, $\tau_{zy}$ che compaiono nella (10.5) deriviamo rispetto ad $x$ ed $y$ l’equazione indefinita di equilibrio (10.13)

$\frac{\partial^2 \tau_{zx}}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \tau_{zy}}{\partial x \partial y} = - \frac{\partial^2 \sigma_z}{\partial z \partial x}$

$\frac{\partial^2 \tau_{zx}}{\partial x \partial y} + \frac{\partial^2 \tau_{zy}}{\partial y^2} = - \frac{\partial^2 \sigma_z}{\partial z \partial y}$ (10.27)

Conseguentemente, le ultime due relazioni delle (10.12), riscritte nella forma equivalente

$\frac{\nu}{E} \frac{\partial^2 \sigma_z}{\partial y \partial z} + \frac{1+\nu}{E} \biggl( \frac{\partial^2 \tau_{zx}}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^2 \tau_{zy}}{\partial x^2} \biggl ) = 0 $

$\frac{\nu}{E} \frac{\partial^2 \sigma_z}{\partial x \partial z} + \frac{1+\nu}{E} \biggl( \frac{\partial^2 \tau_{zy}}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^2 \tau_{zx}}{\partial y^2} \biggl ) = 0 $ (10.28)

si specializzano come segue, sostituendo nella prima e nella seconda delle relazioni precedenti le espressioni di

$\frac{\partial^2\tau_{zx}}{\partial x \partial y} \qquad \frac{\partial^2\tau_{zy}}{\partial x \partial y}$ (10.29)

che si ricavano, rispettivamente, dalla seconda e dalla prima relazione di (10.27).

Determinazione del campo delle tensioni (13/32)

Si ottiene in tal modo, dopo alcune semplificazioni

$(1+\nu) \biggl(\frac{\partial^2 \tau_{zx}}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \tau_{zx}}{\partial y^2}\biggl) = - \frac{\partial^2 \sigma_z}{\partial z \partial x}$

$(1+\nu) \biggl(\frac{\partial^2 \tau_{zy}}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \tau_{zy}}{\partial y^2}\biggl) = - \frac{\partial^2 \sigma_z}{\partial z \partial y}$ (10.30)

espressione che conviene riscrivere in forma più compatta in vista degli sviluppi successivi. Infatti, ricordando le definizioni di gradiente di un campo vettoriale $\textbf{a}$ e divergenza di un campo tensoriale $\textbf{S}$ , espresse in componenti da

$(grad \mathbf{a})_{ij} = a_{i/j} \qquad (div\mathbf{S})_i = S_{ij/j}$ (10.31)

risulta, in virtù della (10.6)

$grad \boldsymbol{\tau} = \begin{bmatrix}\frac{\partial \tau_{zx}}{\partial x} & \frac{\partial \tau_{zx}}{\partial y} &0\\\frac{\partial \tau_{zy}}{\partial x} & \frac{\partial \tau_{zy}}{\partial y} & 0\\0 & 0 & 0\end{bmatrix} \qquad div\grad \boldsymbol{\tau} = \begin{bmatrix}\frac{\partial \tau_{zx}}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \tau_{zx}}{\partial y^2}\\\\\frac{\partial \tau_{zy}}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \tau_{zy}}{\partial y^2}\\\\0\end{bmatrix}$

(10.32)

in quanto $\partial \tau_{zx} /\partial z = \partial \tau_{zy}/\partial z = 0$ per le proprietà generali della soluzione del problema di Saint Venant.

Determinazione del campo delle tensioni (14/32)

Pertanto la (10.30) si può anche scrivere

$div \grad\boldsymbol{\tau} = - \frac{1}{1+\nu} \; \grad\:\sigma_{z/z}$ (10.33)

essendo

$grad \:\sigma_{z/z} = \begin{bmatrix}\displaystyle\frac{\partial^2 \sigma_z}{\partial x \partial z}\\\displaystyle \frac{\partial^2 \sigma_z}{\partial y \partial z}\\0\end{bmatrix}$ (10.34)

in quanto $\partial^2 \sigma_z/\partial^2 z = 0$ per la (10.14).Tuttavia la (10.19) implica che

$grad \sigma_{z/z} = - \mathbf{g}_t$ (10.35)

sicchè la (10.33) si scrive equivalentemente nella forma

$div grad \boldsymbol{\tau} = \frac{1}{1+\nu}\; \mathbf{g}_t$ (10.36)

Determinazione del campo delle tensioni (15/32)

Non è superfluo sottolineare che questa relazione, unitamente alla (10.19), costituisce la caratterizzazione dello stato tensionale conseguente alle condizioni di congruenza (10.8) che devono essere soddisfatte dalla soluzione di un generico problema elastico. Pertanto, lo stato tensionale che definisce la soluzione del problema di Saint Venant soggetto a taglio e torsione è definito dalle seguenti equazioni

$\frac{\partial \tau_{zx}}{\partial z} = \frac{\partial \tau_{zy}}{\partial z} = 0 \qquad &\textnormal{eq. indef. di equilibrio lungo $x$ ed $y$}\\$

$div \boldsymbol{\tau} = - \sigma_{z/z} \qquad &\textnormal{eq. indef. di equilibrio lungo $z$}\\$

$\sigma_z = (\ell - r) \: \mathbf{g}_t \cdot \mathbf{r} \qquad &\textnormal{congruenza}\\$

$div \grad\boldsymbol{\tau} = \frac{1}{1+\nu} \: \mathbf{g}_t \qquad &\textnormal{congruenza}$ (10.37)

La valutazione del campo delle $\sigma_z$ in tutti i punti della generica sezione $\Sigma$ è completamente analogo a quello già illustrato nel caso della flessione osservando che ora le caratteristiche della sollecitazione flettenti sono quelle definite dal vettore $\textbf{c}_{\Sigma}^{1}$ in (10.2).

Viceversa la valutazione del campo delle tensioni tangenziali, di gran lunga più complesso, richiede ulteriori manipolazioni delle formule precedenti. Per rendere tali manipolazioni sufficientemente naturali è utile introdurre il considdetto operatore di Gibbs, definito da

$\mathbf{\nabla} = \begin{bmatrix}\frac{\partial}{\partial x}\\\frac{\partial}{\partial y}\\\frac{\partial}{\partial z}\end{bmatrix} $ (10.38)

mediante il quale, nei sistemi di riferimento cartesiani, gli usuali operatori differenziali $div$ , $grad$ e $rot$ possono essere rappresentati ed utilizzati mediante le regole ben note di calcolo vettoriale.

Determinazione del campo delle tensioni (16/32)

Risulta infatti, indicando con $\varphi$ , $\textbf{a}$ ed $\textbf{S}$ , rispettivamente, dei campi scalari, vettoriali e tensoriali

$grad\varphi = \varphi\:\nabla\\$

$div\mathbf{a} = \mathbf{a}\cdot\nabla\\$

$rot\mathbf{a} = \nabla \times \mathbf{a}\\$

$grad\mathbf{a} = \mathbf{a} \otimes \nabla\\$

$div\mathbf{S} = \mathbf{S}\nabla$ (10.39)

In tal modo, alcune identità vettoriali, molto utili nelle applicazioni, possono essere derivate più semplicemente, senza necessità di ricordare e maneggiare adeguatamente le identità $\varepsilon - \delta$ del calcolo indiciale.

Ad esempio, sfruttando la ben nota identità vettoriale

$\mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) = (\mathbf{a}\cdot \mathbf{c})\:\mathbf{b} - (\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})\:\mathbf{c} \qquad \forall\: \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c} \: \in \mathcal{E}$ (10.40)

applicata formalmente a vettori $\mathbf{\nabla}$ e $\boldsymbol{\tau}$ si ricava

$\mathbf{\nabla}\times(\mathbf{\nabla}\times\boldsymbol{\tau}) = (\mathbf{\nabla} \cdot \boldsymbol{\tau})\mathbf{\nabla} - (\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{\nabla}) \boldsymbol{\tau} = (\mathbf{\nabla}\cdot\boldsymbol{\tau})\mathbf{\nabla} - (\boldsymbol{\tau}\:\otimes \:\mathbf{\nabla})\mathbf{\nabla}$ (10.41)

ovvero

$rot (rot\boldsymbol{\tau}) = grad (div\boldsymbol{\tau}) - div(\grad\boldsymbol{\tau})$ (10.42)

Ancora più semplice da derivare sono identità quali

$div(\varphi \: \mathbf{a}) = (\varphi\:\mathbf{a})\cdot\nabla = (\varphi \: \nabla)\cdot \mathbf{a} + \varphi(\mathbf{a} \cdot \nabla) = grad \varphi \cdot \mathbf{a} + \varphi \:div \mathbf{a}$ (10.43)

in quanto l’operatore $\mathbf{\nabla}$ deve operare lineamente su entrambi i termini del prodotto $\varphi \: \textbf{a}$ .

Determinazione del campo delle tensioni (17/32)

Analogamente

$grad (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \nabla = (\nabla\:\otimes \: \mathbf{a})\:\mathbf{b} + (\nabla \otimes \:\mathbf{b}) \mathbf{a} = [grad \mathbf{a}]^T \mathbf{b} + [grad \mathbf{b}]^T \mathbf{a}$ (10.44)

Infine

$rot(\varphi\:\mathbf{a}) = \nabla \times(\varphi\mathbf{a})= (\varphi \nabla) \times \mathbf{a} + \varphi \nabla\times \mathbf{a} =grad \varphi \times \mathbf{a} + \varphi\,rot \mathbf{a}$ (10.45)

in quanto l’operatore $\nabla$ può essere applicato al campo scalare $\varphi$ solo nella forma $\varphi \: \nabla$ . Naturalmente, le indentità precedenti possono essere dimostrate in modo alternativo, utilizzando la notazione indiciale in base alla quale

$div \mathbf{a} = a_{i/i} \qquad (grad \mathbf{a})_{ij} = a_{i/j} \qquad (rot\mathbf{a})_i = \varepsilon_{ijk} a_{k/j}$ (10.46)

L’identità (10.42) è molto utile per trasformare adeguatamente le (10.37). Infatti, il gradiente della seconda espressione vale, in virtù della (10.35)

$grad\; div\boldsymbol{\tau} = \mathbf{g}_t$ (10.47)

da cui sottraendo la quarta delle relazioni (10.37) si ottiene

$grad\;div\boldsymbol{\tau} - div \;grad\;\boldsymbol{\tau} = \frac{\nu}{1+\nu} \mathbf{g}_t = \overline{\nu} \mathbf{g}_t$ (10.48)

Pertanto la relazione precedente si può anche scrivere , sfruttando la (10.42) come

$rot (rot\boldsymbol{\tau}) = \:\overline{\nu} \mathbf{g}_t$ (10.49)

Determinazione del campo delle tensioni (18/32)

Essendo il campo delle tensioni tangenziali piano, il suo rotore è diretto lungo $\textbf{k}$ , come si verifica facilmente in componenti. Quindi

$rot \boldsymbol{\tau} = [(rot \boldsymbol{\tau}) \cdot\mathbf{k})]\,\mathbf{k}$ (10.50)

e la (10.49) diventa

$rot[(rot \boldsymbol{\tau}\cdot\mathbf{k}) \mathbf{k}] = \grad(rot \boldsymbol{\tau} \cdot \mathbf{k})\times \:\mathbf{k} = \overline{\nu} \mathbf{g}_t$ (10.51)

in cui si è utilizzata la (10.45).

Premoltiplicando vettorialmente per $\textbf{k}$ ambo i membri della espressione precedente, si ottiene infine

$grad (rot\boldsymbol{\tau} \cdot \mathbf{k}) = \overline{\nu}( \mathbf{k} \times \mathbf{g}_t)$ (10.52)

Integrando con la relazione precedente si ottiene quindi

$(rot \boldsymbol{\tau}) \cdot \mathbf{k} = \overline{\nu}( \mathbf{k}\times \mathbf{g}_t )\cdot \mathbf{p} + c = \overline{\nu}(\mathbf{k} \times \mathbf{g}_t) \cdot \mathbf{r} + c$ (10.53)

con $c$ costante arbitraria. Si noti che il grad in (10.52) è valutato rispetto alla variabile $\textbf{p} = (x,y,z)^T$ , ciò che ne giustifica la presenza nella seconda relazione dell’espressione precedente. La sostituzione di $\textbf{p}$ con $\textbf{r}$ , operata per analogia con quanto fatto nella (10.19) è giustificata dal fatto che il vettore $(\textbf{k} \times \textbf{g}_t)$ in (10.52) ha terza componente pari a zero come si evince dalla (10.17).

Determinazione del campo delle tensioni (19/32)

In definitiva il campo $\boldsymbol{\tau}$ soluzione del problema di Saint Venant soggetto a taglio e torsione soddisfa il seguente sistema di equazioni differenziali lineari alle derivate parziali

$div \,\boldsymbol{\tau} = \mathbf{g}_t\cdot \mathbf{r} \qquad \textnormal{equilibrio}\\$

$rot \boldsymbol{\tau} \cdot \mathbf{k} = \overline{\nu} \mathbf{k}\times \mathbf{g}_t \,\mathbf{r} + c \qquad \textnormal{congruenza}$ (10.54)

oltre alle usuali condizioni $d_z \: \boldsymbol{\tau} = \textbf{o}$ .La soluzione generale del sistema (10.54) può essere assunta, come per ogni sistema lineare, nella forma

$\boldsymbol{\tau} = \boldsymbol{\tau}^o + \boldsymbol{\tau}^p$ (10.55)

ovvero come somma della soluzione $\boldsymbol{\tau}^o$ del sistema omogeneo associato

$div \boldsymbol{\tau}^o = 0\\$

$rot \boldsymbol{\tau}^o \cdot \mathbf{k} = 0$ (10.56)

e della soluzione particolare $\boldsymbol{\tau}^p$ fornita da

$div \boldsymbol{\tau}^p = \mathbf{g}_t \cdot r\\$

$rot \boldsymbol{\tau}^p \cdot \mathbf{k} = \overline{\nu}\mathbf{k}\times\mathbf{g}_t\cdot r\:+c$ (10.57)

Poichè, come detto, $\rot \boldsymbol{\tau}$ , e quindi $rot\:\boldsymbol{\tau}^o$ , è diretto lungo $\textbf{k}$ , la (10.56) implica che

$rot \boldsymbol{\tau}^o = \mathbf{o}$ (10.58)

Determinazione del campo delle tensioni (20/32)

proprietà che si verifica semplicemente adottando, ad esempio, la notazione di Gibbs. Si noti che la dipendenza della funzione $\Phi$ dalle sole variabili $x$ ed $y$ garantisce che la terza componente di $\boldsymbol{\tau}^o$ , conformemente alla (10.6), sia nulla.

Sostituendo la (10.59) nella (10.56) si ottiene

$div\;grad \Phi = \Delta \:\Phi = 0$ (10.60)

avendo indicato con $\Delta$ l’operatore piano di Laplace

$\Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}$ (10.61)

Le condizioni al contorno necessarie a definire univocamente la funzione armonica piana $\Phi$ sono garantite dalla proprietà generale della soluzione di Saint Venant

$\boldsymbol{\tau}\cdot \mathbf{n} = 0 \Leftrightarrow (\boldsymbol{\tau}^o + \boldsymbol{\tau}^p) \cdot \mathbf{n} = 0 \Rightarrow \boldsymbol{\tau}^o \cdot \mathbf{n} = - \:\boldsymbol{\tau}^p \cdot \mathbf{n}$ (10.62)

ovvero in base alla (10.59)

$\frac{d\,\Phi}{d\, n} = -\: \boldsymbol{\tau}^p \cdot \mathbf{n}$ (10.63)

Pertanto la determinazione della funzione armonica $\Phi$ richiede la valutazione preliminare della funzione $\boldsymbol{\tau}^p$ , soluzione della (10.57). Questa può essere posta nella forma

$\boldsymbol{\tau}^p = \boldsymbol{\tau}^p_t + \boldsymbol{\tau}^p_c$ (10.64)

$\boldsymbol{\tau}^o = grad \Phi$ (10.59)

Determinazione del campo delle tensioni (21/32)

con

$div \;\boldsymbol{\tau}^p_t = \: \mathbf{g}_t\cdot \mathbf{r} \\$

$rot\; \boldsymbol{\tau}^p_t \cdot \mathbf{k} = \overline{\nu}\,\mathbf{k} \times \mathbf{g}_t$ (10.65)

con

$div \;\boldsymbol{\tau}^p_c = 0\\$

$rot\; \boldsymbol{\tau}^p_c \cdot \mathbf{k} = c$ (10.66)

La determinazione di $\boldsymbol{\tau}_c^p$ tale che da soddisfare la seconda della (10.66) è immediata in quanto, ricordando l’espressione (10.39) del $\rot \boldsymbol{\tau}$ in notazione di Gibbs si ha

$rot \;\boldsymbol{\tau}_c^p \cdot \mathbf{k} = (\nabla \times \: \boldsymbol{\tau}_c^p) \cdot \mathbf{k} = (\boldsymbol{\tau}_c^p \: \times \mathbf{k}) \cdot \nabla = c $ (10.67)

Si ricava quindi

$\boldsymbol{\tau}_c^p \: \times \: \mathbf{k} = \frac{c}{2} \: \mathbf{r}$ (10.68)

in quanto $div \;\boldsymbol{\tau} = (\boldsymbol{\tau} \cdot \nabla) = 2$ . Ricordando il significato geometrico della pre- e post- moltiplicazione vettoriale per $\textbf{k}$ di un vettore piano, la premoltiplicazione vettoriale per $\textbf{k}$ della (10.68) fornisce

$\mathbf{k}\times (\boldsymbol{\tau}_c^p \times \mathbf{k}) = \boldsymbol{\tau}_c^p = \frac{c}{2}\: \mathbf{k} \times \mathbf{r}$ (10.69)

Determinazione del campo delle tensioni (22/32)

La valutazione di $\boldsymbol{\tau}_t^p$ in (10.64) è più complessa tanto che, per ricavare l’espressione più generale da assegnare al campo $\boldsymbol{\tau}_t^p$ , è opportuno riformulare la (10.65) adottando la convenzione di Gibbs

$\mathbf{\nabla}\cdot\boldsymbol{\tau} = \mathbf{g}_t\cdot\mathbf{r}\\$

$(\mathbf{\nabla} \times\boldsymbol{\tau}) \cdot \mathbf{k} = \nu\,(\boldsymbol{g}_{t} \times \mathbf{r})\cdot \mathbf{k}$ (10.70)

Questo suggerisce di assumere $\boldsymbol{\tau}_t^p$ nella forma

$\boldsymbol{\tau}_t^p = \alpha (\mathbf{r}\otimes\mathbf{r})\mathbf{g}_t \:+\:\beta\:(\mathbf{r} \cdot \mathbf{r}) \: \textbf{g}_t$ (10.71)

con $\alpha$ e $\beta$ costanti arbitrarie. Si noti che l’espressione precedente, proposta in Serpieri-Rosati, J. of Elasticity, 2014, è indipendente dal sistema di riferimento assunto in quanto formulata in termini tensoriali.Le costanti $\alpha$ e $\beta$ nella (10.71) si determinano sostituendo l’espressione di $\boldsymbol{\tau}_t^p$ nella (10.70). In base alla (10.43) si ha

$div [(\mathbf{r}\otimes\mathbf{r})\, \mathbf{g}_t] =div[(\mathbf{r}\cdot\mathbf{g}_t)\:\mathbf{r}]=\grad(\mathbf{r}\cdot\mathbf{g}_t)\:\mathbf{r}\:+\:(\mathbf{r}\cdot\mathbf{g}_t)\,div\,\mathbf{r}\\ = \hat{\mathbf{I}} \,\mathbf{g}_t\cdot\mathbf{r}\:+2\:(\mathbf{r}\cdot\mathbf{g}_t)\:=\:3\:\mathbf{g}_{t}\cdot\mathbf{r}$ (10.72)

avendo altresì utilizzato la (10.44) e risultando

$grad\,\mathbf{r}\:=\:\hat{\mathbf{I}}\:=\:\mathbf{I}\:-\mathbf{k}\otimes\mathbf{k}$ (10.73) con

$[\hat{\mathbf{I}}]= \begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}$ (10.74)

Determinazione del campo delle tensioni (23/32)

Inoltre

$div[(\mathbf{r}\cdot \mathbf{r})\:\mathbf{g}_t]\:=\:\grad(\mathbf{r}\cdot \mathbf{r})\:\mathbf{g}_t\:=\:2\:\hat{\mathbf{I}}\:\mathbf{r}\cdot\mathbf{g}_t = 2\:\mathbf{r}\cdot \mathbf{g}_t$ (10.75)

Viceversa, in base alla (10.44) ed alla (10.45)

$rot[(\mathbf{r}\otimes\mathbf{r})\:\mathbf{g}_t] = \rot[(\mathbf{g}_t\cdot \mathbf{r})\:\mathbf{r}]\:=\:\grad[\mathbf{g}_t\cdot\mathbf{r}]\:\times \:\mathbf{r} \:+\:(\mathbf{r}\cdot\mathbf{g}_t)\:\rot\:\mathbf{r}\:=\:\hat{\mathbf{I}}\:\mathbf{g}_t\:\times \:\mathbf{r}$ (10.76)

in quanto $rot\:\textbf{r}\;=\:\mathbf{o}$ come si verifica facilmente. Analogamente

$rot[(\mathbf{r}\cdot\mathbf{r})\:\mathbf{g}_t]\:=\:\grad(\mathbf{r}\cdot \mathbf{r})\times\mathbf{g}_t\:=\: 2\:\hat{\mathbf{I}}\mathbf{r}\times\mathbf{g}_t \:=\:2\:\mathbf{r}\times\mathbf{g}_t$ (10.77)

Sostituendo la (10.71) in (10.70) e sfruttando i risultati precedenti, si ottiene il seguente sistema di equazioni

$3\alpha(\mathbf{g}_t\cdot \mathbf{r})\:+\:2\beta(\mathbf{g}_t\cdot\mathbf{r})\:=\:\mathbf{g}_t\cdot\mathbf{r}\\$

$\alpha(\mathbf{g}_t\times\mathbf{r})\cdot\mathbf{k} \:-\:2\beta\:(\mathbf{g}_t\times\mathbf{r})\cdot\mathbf{k}\:=\:\overline{\nu}\:(\mathbf{g}_t\times \mathbf{r})\cdot\mathbf{k}$ (10.78)

ovvero

$3\alpha\:+\:2\beta\:=\:1\\$

$\alpha\:-\:2\beta\:=\:\overline{\nu}$ (10.79)

La soluzione del precedente sistema è pari a

$\alpha=\frac{1+\overline{\nu}}{4}\qquad \beta=\frac{1-3\overline{\nu}}{8}$ (10.80)

Determinazione del campo delle tensioni (24/32)

sicchè la (10.71) si scrive

$\boldsymbol{\tau}_t^p = \mathbf{A}_t^p\:\mathbf{g}_t$ (10.81)

con

$\mathbf{A}_t^p = \frac{1+\overline{\nu}}{4} (\mathbf{r}\otimes\mathbf{r}) + \frac{1-3\overline{\nu}}{8}\:(\mathbf{r}\cdot\mathbf{r})\:\hat{\mathbf{I}}$ (10.82)

In definitiva, ricordando le (10.55), (10.59), (10.63), (10.64), (10,69) e (10,81), la soluzione del sistema di equazioni differenziali (10.54) viene posta nella forma

$\boldsymbol{\tau}=\grad\Phi + \mathbf{A}_t^p\:\mathbf{g}_t + \frac{c}{2} \,\mathbf{k}\times\mathbf{r}$ (10.83)

con $\mathbf{A}_t^p$ fornito dalla (10.82) e $\Phi$ funzione armonica nelle variabili $x$ ed $y$ tale da soddisfare la condizione di Neumann nella frontiera

$grad \Phi\cdot \mathbf{n}\:=\:-\:\mathbf{A}_t^p\:\mathbf{g}_t \cdot \mathbf{n} - \frac{c}{2} \:(\mathbf{k}\times\mathbf{r})\cdot \mathbf{n}$ (10.84)

essendo $\mathbf{n}$ il versore della normale uscente valutato nel generico punto della frontiera $\partial \Sigma$ della sezione $\Sigma$ .

Non è superfluo ribadire che le costanti $g_{tx}$ e $g_{ty}$ , componenti di $\mathbf{g}_t$ , e la costante $c$ sono al momento incognite, e saranno espresse in funzione dei dati del problema, ovvero le caratteristiche della sollecitazione $\mathbf{c}_{\Sigma}^2$ di (10.2).

La funzione armonica piana $\Phi$ , la cui esistenza e l’unicità verrà discussa tra breve, deve soddisfare la (10.84) e, tranne che per sezioni di forma particolarmente semplice, deve essere determinata con procedimenti di tipo numerico.

Determinazione del campo delle tensioni (25/32)

Prima di addentrarci nella discussione di questi punti è opportuno esprimere la funzione $\Phi$ in modo alternativo, ponendo

$\Phi(x,y) = \mathbf{\Psi}_t (x,y)\cdot \mathbf{g}_t + \frac{c}{2}\:\varphi(x,y)$ (10.85)

con

$\mathbf{\Psi}_t\:(x,y) = \begin{bmatrix}\Psi_{t1} (x,y)\\\Psi_{t2} (x,y)\\0\end{bmatrix}$ (10.86)

con $\Psi_{t1}$ , $\Psi_{t2}$ e $\varphi$ funzioni armoniche piane. In tal modo, infatti, tali funzioni sono indipendenti da $g_{tx}$, $g_{ty}$ e $c$ , funzioni come detto delle caratteristiche della sollecitazione, e dipendono unicamente dalla geometria della sezione $\Sigma$ . Tale proprietà consegue dalla (10.84), che si scrive, in virtù della posizione (10.85) e della (10.44)

$(grad\mathbf{\Psi}_t)^T \:\mathbf{g}_t \cdot \mathbf{n} + \frac{c}{2} \,grad\varphi\cdot \mathbf{n} = - \mathbf{A}_t^p \: \mathbf{g}_t\cdot \mathbf{n} - \frac{c}{2}\:(\mathbf{k}\times\mathbf{r})\cdot \mathbf{n}$ (10.87)

avendo indicato con $(\cdot)^T$ il trasposto del tensore $\grad\Psi_t$ .

Consegue allora, dalla relazione precedente

$grad\mathbf{\Psi}_t = - \mathbf{A}_t^p \qquad grad\varphi= - \mathbf{k}\times\mathbf{r}$ (10.88)

dovendo le (10.87) sussistere per ogni $\mathbf{g}_t$ e $c$ ed essendo $\mathbf{A}_t^p$ simmetrico.

Determinazione del campo delle tensioni (26/32)

In tal modo, come anticipato, le condizioni ai limiti che concorrono alla valutazione di $\mathbf{\Psi}$ e $\varphi$ , ovvero

$[grad\mathbf{\Psi}_t\:(\mathbf{r})]\cdot \mathbf{n}\:(\mathbf{r}) \: = \: - \mathbf{A}_t^p\:(\mathbf{r})\:\mathbf{n}\:(\mathbf{r}) \qquad\; \frac{d\varphi (\mathbf{r})}{d\,n} = \: - \: (\mathbf{k} \: \times\:\mathbf{r})\cdot \mathbf{n}\:(\mathbf{r})\;\;\;\mathbf{r}\in \partial\Sigma$ (10.89)

dipendono unicamente dalla geometria di $\Sigma$ tramite la sua frontiera $\partial\Sigma$ .

In definitiva, la (10.83) si scrive

$\boldsymbol{\tau} = [(grad\mathbf{\Psi}_t)^T + \mathbf{A}_t^p]\:\mathbf{g}_t + [grad\:\varphi + \mathbf{k}\:\times\;\mathbf{r}]\:\frac{c}{2}$ (10.90)

in cui le funzioni armoniche $\mathbf{\Psi}$ e $\varphi$ soddisfano le condizioni ai limiti (10.88). Naturalmente la determinazione completa dello stato tensionale (10.5) è corredata dalla espressione (10.19) in cui occorre porre $\sigma_{tG} = 0$ . Infine, resta da dimostrare l’esistenza e l’unicità delle funzioni armoniche $\mathbf{\Psi}$ e $\varphi$ tali da rispettare le condizioni (10.89). A tal proposito ricordiamo che condizione necessaria affinchè il problema di Neumann per una funzione armonica $\Phi$ ammetta soluzione e che questa sia unica, a meno di una inessenziale costante additiva, è che sia nulla la circuitazione della derivata $d\,\Phi/d\, \: n$ lungo il contorno del dominio di integrazione.

Tale proprietà scaturisce banalmente dal teorema della divergenza, in quanto, essendo $\Phi$ armonica, ossia tale da rispettare la condizione $\Delta \:\Phi = 0$ , risulta

$0 = \int_{\Sigma} \: \Delta\:\Phi \: dA = \: \int_{\Sigma} \: \div(\grad\Phi) \: dA = \:\int_{\partial\Sigma}\grad\mathbf{\Phi}\cdot\mathbf{n}\; ds = \int_{d\Sigma} \frac{d \Phi}{d\,n} = 0$ (10.91)

Tale condizione diventa anche sufficiente in domini monoconnessi mentre deve essere corredata di ulteriori condizioni in domini pluriconnessi, proprietà del resto comune alle condizioni di compatibilità $rot\:rot\:\textbf{E}_{l}$ da cui ha preso le mosse la presente trattazione.

Determinazione del campo delle tensioni (27/32)

La condizione di ammissibilità sui dati si scrive come segue

$\int_{\partial\Sigma} \: (grad\:\mathbf{\Psi}_t)^T \:\mathbf{n}\:ds = \int_{\partial\Sigma} \: \begin{bmatrix} \frac{d\Psi_{t1}}{\partial n}\\\\ \frac{d\Psi_{t2}}{\partial n}\\0\end{bmatrix} dS = - \int_{\partial\Sigma}\: \mathbf{A}_t^p\:\mathbf{n}\:ds = \mathbf{o}$ (10.92)

essendo $n$ la direzione individuata da $\boldsymbol{n}$ .

Ricordando la definizione (10.82) di $\mathbf{A}_t^p$ si tratta di calcolare i due integrali

$\int_{\partial\Sigma} \:(\mathbf{r}\otimes\mathbf{r})\: \mathbf{n}\:ds \qquad \int_{\partial\Sigma}(\mathbf{r}\cdot\mathbf{r})\:\mathbf{n}\:ds$ (10.93)

In base al teorema di Gauss essi si trasformano come segue

$\int_{\partial\Sigma} \:(\mathbf{r}\otimes\mathbf{r})\: \mathbf{n}\:ds = \int_{\Sigma} \: div(\mathbf{r}\otimes\mathbf{r}) \: dA = \int_{\Sigma} 3\mathbf{r} \: dA$ (10.94)

in base alla identità vettoriale

$div(\mathbf{a}\otimes\mathbf{b}) = (\grad\mathbf{a})\mathbf{b}+ \mathbf{a}\,div\mathbf{b}$ (10.95)

che si può ricavare in notazione indiciale oppure ricorrendo alla ultima definizione delle (10.39)

$(\mathbf{a}\otimes\mathbf{b}) \:\nabla = ( \mathbf{a}\otimes \nabla)\mathbf{b} + (\mathbf{b}\cdot\nabla)\mathbf{a}$ (10.96)

L’integrale al secondo membro della (10.94) rappresenta il momento statico della sezione $\Sigma$ rispetto all’origine del sistema di riferimento. Avendo assunto tale origine coincidente con il baricentro se ne conclude che il primo degli integrali (10.93) è nullo, verificando in tal modo la condizione di ammissibilità (10.91).

Determinazione del campo delle tensioni (28/32)

Analogamente, il secondo integrale delle (10.92) si scrive

$\int_{\partial\Sigma} (\mathbf{r} \cdot \mathbf{r}) \: \mathbf{n} \: ds = \int_{\Sigma} \: grad(\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}) \:dA = \int_{\Sigma} 2\mathbf{r} \: dA = \mathbf{o}$ (10.97)

avendo utilizzato la (10.44).

La condizione di ammissibilità (10.91) è soddisfatta anche dalla funzione $\varphi$ in quanto, in base alla (10.89) risulta

$\int_{\partial\Sigma} \: grad\varphi\cdot\mathbf{n}\; ds = \int_{\partial\Sigma} \: \frac{d\varphi}{d\, n} ds = - \int_{\partial\Sigma} \:(\mathbf{k}\times\mathbf{r}) \cdot \boldsymbol{n} \: ds = - \int_{\partial\Sigma} \: \mathbf{r}\cdot(\mathbf{n} \times\mathbf{k}) \:ds = \\$

$= - \int_{\partial\Sigma} \: \mathbf{r}\cdot\mathbf{t}\:ds = - \int_{\partial\Sigma} \: \mathbf{r} \cdot \frac{d\mathbf{r}}{ds} \: ds = -\:\frac{1}{2} \int_{\partial\Sigma}\: \frac{d}{ds} (\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}) \: ds = 0$ (10.98)

in quanto la funzione $(\textbf{r}\cdot\textbf{r})$ assume banalmente gli stessi valori all’inizio ed alla fine della frontiera $\partial\Sigma$ di $\Sigma$ .

Ne consegue che il campo delle tensioni tangenziali espresso mediante le (10.90) è, per sezioni $\Sigma$ monoconnesse, univocamente definito. Pertanto, si può concludere che la soluzione del problema di Saint Venant soggetto alle sollecitazioni di taglio e torsione è costituito da uno stato tensionale definito dalle componenti $\sigma_z$ e $\boldsymbol{\tau}$ le quali, per sezioni monoconnesse nelle quali sia stato scelto un sistema di riferimento baricentrico, assumono le seguenti espressioni

Determinazione del campo delle tensioni (29/32)

$\sigma_z = (\ell - r) \mathbf{g}_t \cdot \mathbf{r}\\$

$\boldsymbol{\tau} = [(\grad\mathbf{\Psi}_t)^T + \mathbf{A}_t^p] \mathbf{g}_t + [\grad\varphi + \mathbf{k}\:\times \:\mathbf{r}] \: \frac{c}{2}$ (10.99)

con $\mathbf{g}_t$ e $c$ costanti da determinare in funzione delle caratteristiche della sollecitazione e $\mathbf{\Psi}_t = (\Psi_{t1}, \Psi_{t2})$ , $\varphi$ funzioni armoniche tali da soddisfare le condizioni ai limiti

$[grad \mathbf{\Psi}_t]\:\mathbf{n} = - \mathbf{A}_t^p \: \boldsymbol{n} \qquad d\varphi/d\, n = - (\mathbf{k}\times\mathbf{r})\cdot \mathbf{n}$ (10.100)

e $\mathbf{A}_t^p$ definita dalla (10.82).

Nel caso di sezioni pluriconnesse le condizoni al contorno devono essere integrate con analoghe condizioni da imporre per ciascuna delle curve interne alla sezione, ossia per quelle che, insieme alla curva esterna, definiscono la sezione.

Le costanti $\mathbf{g}_t$ e $c$ , al momento incognite, dipendono dalle caratteristiche della sollecitazione attraverso relazioni che qui si anticipano

$\mathbf{g}_t = - \hat{\mathbf{J}}_G^{-1} \:\mathbf{t} \qquad c=\frac{2\:M_t}{I_q}$ (10.101)

e che evidenziano la loro natura lineare, peraltro tale circostanza era prevedibile attesa la linearità delle relazioni di equilibrio, compatibilità e legame costitutivo fin qui utilizzate.

In particolare $I_q$ è uno scalare positivo definito fattore di rigidezza torsionale dipendente, come il tensore simmetrico $\hat{\mathbf{J}}_G$ , unicamente dalla geometria della sezione. Entrambe queste quantità saranno definite compiutamente nel seguito.

Determinazione del campo delle tensioni (30/32)

Data la natura della espressione (10.99) delle tensioni tangenziali è lecito indagare separatamente i casi in cui $\mathbf{g}_t=\mathbf{o}$ e $c=0$ .

Il primo caso, e cioè quello in cui $\mathbf{g}_t=\mathbf{o}$ , sarà evidentemente denominato di torsione pura, o semplicemente di torsione. Il secondo caso, ovvero quello caratterizzato dalla condizione $c=0$ , sarà denotato di taglio puro o, con denominazione tipicamente anglosassone, di taglio e flessione.

Come anticipato, dovendo in tal caso risultare $c=M_t=0$ , il caso del taglio puro presuppone, in base alla (10.4), che la forza $\textbf{t}$ applicata sulla sezione abbia retta d’azione contenente il centro di taglio. Tale punto, individuato dal vettore $\textbf{r}_C$ rispetto al baricentro, viene determinanto imponendo che l’asse centrale della distribuzione delle tensioni tangenziali, in equilibrio con la forza $\mathbf{t}$ , produca taglio puro

$\mathbf{r}_C\times \mathbf{t} = \int_{\Sigma} \mathbf{r}\times\boldsymbol{\tau} \;dA$ (10.102)

ovvero che il momento rispetto a $C$ della forza di taglio $\textbf{t}$ sia equivalente a quello della distribuzione di tensioni tangenziali $\boldsymbol{\tau}$ fornito dalla (10.99) con $c=0$ .

Determinazione del campo delle tensioni (31/32)

Poichè i campi $\textbf{r}$ ed $\boldsymbol{\tau}$ nella (10.102), così come i vettori $\textbf{r}_C$ e $\textbf{t}$ , sono contenuti nel piano della sezione, il loro prodotto vettoriale è diretto lungo $\textbf{k}$ e si può scrivere

$\mathbf{r} \times\boldsymbol{\tau} = [(\mathbf{r}\times\boldsymbol{\tau}) \cdot \mathbf{k} = [(\mathbf{k}\times\mathbf{r})\cdot\boldsymbol{\tau}]\,\mathbf{k}$ (10.103)

Pertanto la (10.102) si riscrive

$[(\mathbf{k}\times\mathbf{r}_C)\cdot \mathbf{t}]\:\mathbf{k} = \biggl[\int_{\Sigma}\:(\mathbf{k}\times\mathbf{r})\cdot \boldsymbol{\tau}\:dA\biggl]\:\mathbf{k}$ (10.104)

ovvero, sostituendo l’espressione di $\boldsymbol{\tau}$ fornita dalla (10.99) per $c=0$

$(\mathbf{k}\times\mathbf{r}_C)\cdot\mathbf{t} = \int_{\Sigma}\:(\mathbf{k}\times\mathbf{r})\:[(grad\mathbf{\Psi}_t)^T + \mathbf{A}_t^p]\:\mathbf{g}_t \: dA$ (10.105)

Sfruttando la (10.101), la relazione precedente diventa

$(\mathbf{k}\times\mathbf{r}_C)\cdot\mathbf{t} = - \hat{\mathbf{J}}_G^{-1}\,\int_{\Sigma}\:[grad\mathbf{\Psi}_t + \mathbf{A}_t^p]\:(\mathbf{k}\times\mathbf{r}) \: dA\cdot\mathbf{t}$ (10.106)

in cui si è sfruttata la proprietà $(\textbf{AB})^T = \textbf{B}^T \textbf{A}^T$ e la simmetria di $\hat{\textbf{J}}_G^{-1}$ . Poichè la relazione precedente sussiste per un arbitrario vettore $\textbf{t}$ , si ricava

$\mathbf{k}\times\mathbf{r}_C = - \hat{\mathbf{J}}_G^{-1}\:\int_{\Sigma} [grad\mathbf{\Psi}_t + \mathbf{A}_t^p]\:(\mathbf{k}\times\mathbf{r}) \: dA$

Determinazione del campo delle tensioni (32/32)

o, equivalentemente,

$\mathbf{r}_C = \mathbf{k}\:\times\biggl[ \hat{\mathbf{J}}_G^{-1} \int_{\Sigma} [grad\mathbf{\Psi}_t + \mathbf{A}_t^p]\:(\mathbf{k}\times\mathbf{r}) \: dA\biggl]$ (10.108)

avendo sfruttato le proprietà $\mathbf{k}\times(\textbf{k}\times\textbf{r}_C) = - \textbf{r}_C$ .

Ricordando la definizione (10.82) e osservando che $(\textbf{r}\otimes\textbf{r})(\textbf{k}\times\textbf{r}) = \mathbf{o}$ , la relazione precedente si specializza ulteriormente come segue

$\mathbf{r}_C = \mathbf{k}\:\times\biggl[\hat{\mathbf{J}}_G^{-1} \int_{\Sigma} [grad\:\mathbf{\Psi}_t + \frac{1-3\overline{\nu}}{8}\:(\mathbf{r}\cdot\mathbf{r})\:\hat{\mathbf{I}}\biggl](\mathbf{k}\times\mathbf{r}) \: dA$ (10.109)

Proprietà del centro di taglio (1/13)

Si vuole dimostrare una proprietà importante del centro di taglio che ne agevola notevolmente la determinazione in alcuni casi particolarmente frequenti nelle applicazioni tecniche. Si mostrerà, infatti, che il centro di taglio appartiene sempre ad un asse di simmetria ortogonale della sezione. Pertanto, per sezioni dotate di doppio asse di simmetria, il centro di taglio corrisponde con il baricentro.

Per dimostrare tale proprietà anticipiamo l’espressione di $\hat{\mathbf{J}}_G^{-1}$ , che verrà ricavata successivamente nel capitolo del taglio puro. Tale tensore è quello definito dalla seguente espressione matriciale

$[\hat{\mathbf{J}}_G^{-1}] = \begin{bmatrix}{\mathbf{J}}_G^{-1}&\mathbf{0}\\\mathbf{0}& 0\end{bmatrix}$ (1.110)

ovvero da una matrice (3×3) la cui sottomatrice principale relativa alle posizioni 1-2 è formata dall’inverso del tensore d’inerzia introdotto nel capitolo relativo alla pressoflessione.

Supponiamo inoltre che la sezione $\Sigma$ sia dotata di un’asse di simmetria ortogonale, e che questo coincida, tanto per fissare le idee, con l’asse $x$ (fig. 2)

esempio di sezione simmetrica rispetto all'asse x

Proprietà del centro di taglio (2/13)

Indichiamo altresì con $\Sigma^+$ e $\Sigma^-$ i sottodomini di $\Sigma$ con le proprietà

$\Sigma^+ \cup \Sigma^- = \Sigma \qquad \Sigma^+ \cap \Sigma^- = \emptyset$

definiti da

$\Sigma^+ = \{ \mathbf{r}\in\Sigma : \mathbf{r}\cdot \mathbf{j} > 0\} \qquad \Sigma^- = \{ \mathbf{r}\in\Sigma : \mathbf{r}\cdot\mathbf{j} < 0\}$

essendo $\mathbf{j}$ il versore dell’asse $y$ .

Mostriamo preliminarmente che una generica funzione armonica $\Phi$ definita su $\Sigma$ deve essere necessariamente simmetrica rispetto all’asse $x$ , ovvero

$\Phi(\mathbf{R}\:\mathbf{r}) = \Phi(\mathbf{r}) \qquad \forall \mathbf{r}\in \Sigma^+$

essendo

$\mathbf{R}_x = \mathbf{i}\otimes\mathbf{i} - \mathbf{j}\otimes\mathbf{j}$

La dimostrazione, che verrà condotta per una delle componenti del vettore $\mathbf{\Psi}$ , si basa su alcune proprietà di funzioni scalari e vettoriali, simmetriche rispetto all’asse $x$

il tensore di riflessione rispetto all’asse $x$ il cui versore è stato denotato con $\textbf{i}$ .

Proprietà del centro di taglio (3/13)

Assegnata quindi un’arbitraria funzione $f$ definita su $\Sigma$ , quindi non necessariamente simmetrica rispetto all’asse $x$ , si consideri la funzione $\hat{f}$ definita da

La dimostrazione, che verrà condotta per una delle componenti del vettore $\mathbf{\Psi}$ , si basa su alcune proprietà di funzioni scalari e vettoriali, simmetriche rispetto all’asse $x$ .

$\hat{f} (\mathbf{r}) = f(\mathbf{r}) \qquad \mathbf{r}\in \Sigma^-\\$

$\hat{f} (\mathbf{r}) = f(\mathbf{R}_x\:\mathbf{r}) \qquad \mathbf{r}\in\Sigma^+$ (10.115)

otteuta simmetrizzando rispetto all’asse $x$ la restrizione di $f$ a $\Sigma^-$ .

Risulta

$grad\:\hat{f} (\mathbf{r}) = \mathbf{R}_x^T \:grad\:f(\mathbf{R}_x\:\mathbf{r})$ (10.116)

$grad[grad\:\hat{f}(\mathbf{r})] = \mathbf{R}_x^T \{grad[grad\:f\:(\mathbf{R}_x\:\mathbf{r})]\}\mathbf{R}_x \qquad r\in\Sigma^+$ (10.117)

Infatti, applicando la definizione di gradiente ed utilizzando la (10.115), si ha

$grad\:\hat{f}(\mathbf{r}) \cdot \mathbf{h} = \lim_{\alpha \rightarrow 0} \frac{\hat{f}(\mathbf{r} + \alpha \:\mathbf{h}) - \hat{f}(\mathbf{r})}{\alpha} = \lim_{\alpha \rightarrow 0} \frac{f[\mathbf{R}_x(\mathbf{r} + \alpha \:\mathbf{h})] - f[\mathbf{R}_x(\mathbf{r})]}{\alpha} \qquad \mathbf{r}\in\Sigma^+$ (10.118)

ovvero

$grad\:\hat{f}(\mathbf{r})\cdot \mathbf{h} = grad\:f\:(\mathbf{R}_x\:\mathbf{r})\cdot\mathbf{R}_x\:\mathbf{h} = \mathbf{R}_x^T \:grad\:f\:(\mathbf{R}_x\:\mathbf{r})\cdot\mathbf{h} \qquad \mathbf{r}\in\Sigma^+ $ (10.119)

Proprietà del centro di taglio (4/13)

e cioè la prima delle (10.120) in quanto la relazione precedente sussiste per un generico $\mathbf{h}$ . Analogamente

$grad[grad\:\hat{f}(\mathbf{r})]\:\mathbf{h} = \lim_{\alpha \rightarrow 0} \frac{grad\:\hat{f}(\mathbf{r} +\alpha\:\mathbf{h}) - grad\:\hat{f} (\mathbf{r})}{\alpha} \qquad \mathbf{r}\in\Sigma^+$ (10.120)

e quindi, in base alla (10.116)

$grad[grad\:\hat{f}(\mathbf{r})]\:\mathbf{h} &= \lim_{\alpha \rightarrow 0} \frac{\mathbf{R}_x^T\:grad\:f[\mathbf{R}_x(\mathbf{r}+\alpha\:\mathbf{h})]-\mathbf{R}_x^T\:grad\:f(\mathbf{R}_x\:\mathbf{r})}{\alpha}=\\$

$= \mathbf{R}_x^T \lim_{\alpha \rightarrow 0} \frac{grad\:f\:[\mathbf{R}_x\:\mathbf{r} + \alpha\:\mathbf{R}_x\:\mathbf{h}] - grad\:f\:(\mathbf{R}_x\:\mathbf{r})}{\alpha} =\\$

$=\mathbf{R}_x^T\{grad\:[grad\:f(\mathbf{R}_x\:\mathbf{r})] \:\mathbf{R}_x\}\:\mathbf{h} \qquad \mathbf{r}\in\Sigma^+$ (10.121)

ovvero

$grad[grad\:\hat{f}(\mathbf{r})] = \mathbf{R}_x^T\{grad\:[grad\:f(\mathbf{R}_x\:\mathbf{r})]\}\mathbf{R}_x$ (10.122)

Proprietà del centro di taglio (5/13)

La proprietà precedente implica la seguente ulteriore proprietà

$\Delta\hat{f}(\mathbf{r}) = div\,grad\hat{f}(\mathbf{r}) = div\,grad f(\mathbf{R}_x\:\mathbf{r}) = \Delta f(\mathbf{R}_x\:\mathbf{r})$ (10.123)

Infatti, per un arbitrario campo vettoriale $\boldsymbol{a}$ risulta

$div\,\mathbf{a} = tr \,grad \mathbf{a}$ (10.24)

sicchè la proprietà precedente applicata al campo vettoriale $\boldsymbol{a}= \:\grad\:\hat{f}$ fornisce

$div grad\:\hat{f}(\mathbf{r}) = tr\biggl\{grad[grad f(\mathbf{r})]\biggl\} = tr\biggl\{\mathbf{R}_x^T\{grad [grad f(\mathbf{R}_x\:\mathbf{r})]\}\:\mathbf{R}_x\biggl\}$ (10.125)

in base alla (10.121). La precedente relazione può essere ulteriormente trasformata utilizzando la proprietà generale

$tr(\mathbf{AB}) = tr(\mathbf{BA}) \qquad \forall\:\mathbf{A},\mathbf{B}\:\in\textnormal{Lin}$ (10.126)

ed il risultato particolare

$\mathbf{R}_x\:\mathbf{R}_x^T = \mathbf{i}\otimes \mathbf{i} + \mathbf{j}\otimes \mathbf{j} = \mathbf{\hat{I}}$ (10.127)

che consegue direttamente dalla definizione (10.114).

Proprietà del centro di taglio (6/13)

La (10.125) si scrive quindi, in virtù delle due relazoni precedenti

$\Delta\hat{f}(\mathbf{r}) = div\,grad\hat{f}(\mathbf{r}) = tr\biggl\{\mathbf{R}_x\:\mathbf{R}_x^T\{grad[grad f(\mathbf{R}_x\:\mathbf{r})]\}\biggl\}=\\$ (10.128)

$= tr\{grad [grad f (\mathbf{R}_x \mathbf{r})]\} = div \,grad f(\mathbf{R}_x\,\mathbf{r}) = \Delta f(\mathbf{R}_x\,\mathbf{r})$

ottenendo in tal modo la (10.123), infatti

$\hat{\mathbf{I}} \{grad\:[grad\:f(\mathbf{R}_x\:\mathbf{r})]\} = \mathbf{I}\:\{grad\:[grad \:f(\mathbf{R}_x\:\mathbf{r})]\}$ (10.129)

poichè il tensore $grad\,grad f(\mathbf{R}_x\:\mathbf{r})$ ha matrice rappresentativa in cui la terza riga e la terza colonna sono nulle dipendendo $f$ solo dalle variabili $x$ ed $y$ .

Siamo ora in possesso dei risultati preliminari indispensabili per dimostrare la proprietà (10.113) con riferimento alle componenti $\Psi_{t1}$ e $\Psi_{t2}$ del vettore armonico $\mathbf{\Psi}$ che compare nella (10.99). Essendo la dimostrazione identica per le due componenti, si farà riferimento alla sola componente $\Psi_{t1}$ .

Ricordiamo che tale funzione, in quanto armonica, è definita a meno di una inessenziale costante additiva e soddisfa le proprietà

$\Delta \Psi_{t1} (\mathbf{r}) = 0 \qquad \mathbf{r}\in\Sigma\\$

$grad \Psi_{t1}(\mathbf{r})\cdot\mathbf{n}(\mathbf{r}) = - [\mathbf{A}_t^p\:(\mathbf{r})\:\mathbf{n}\:(\mathbf{r})]_1 \qquad \mathbf{r}\in\partial\Sigma$ (10.130)

Proprietà del centro di taglio (7/13)

in cui il secondo membro rappresenta la prima componente del vettore $\mathbf{A}_t^p \mathbf{n}$ al secondo membro della condizione al contorno

$[grad \mathbf{\Psi}_t (\mathbf{r})]\mathbf{n}(\mathbf{r}) = - \mathbf{A}_t^p(\mathbf{r})\mathbf{n}(\mathbf{r})$ (10.131)

che compare nella (10.100)2. La prima componente del vettore al primo membro della relazione precedente rappresenta per l’appunto la quantità $grad \Psi_{t1}\cdot\mathbf{n}$ che compare nella (10.130).

Per dimostrare la proprietà di simmetria (10.113)2per la funzione $\Psi_{t1}$ consideriamo la funzione $\hat{\Psi}_{t1}$ definita da

$\hat{\Psi}_{t1}(\mathbf{r}) = \Psi_{t1}(\mathbf{r}) \qquad \mathbf{r}\in\Sigma^-\\$

$\hat{\Psi}_{t1}(\mathbf{r}) = \Psi_{t1}(\mathbf{R}_x\:\mathbf{r}) \qquad \mathbf{r}\in\Sigma^+$ (10.132)

ossia la funzione che si ottiene simmetrizzando rispetto all’asse $x$ la restrizione di $\Psi_{t1}$ a $\Sigma^-$ . Ci accingiamo a dimostrare che la funzione $\hat{\Psi}_{t1}$ coincide con $\Psi_{t1}$ su tutto il dominio $\Sigma$ sicchè quest’ultima funzione, in quanto coincidente con la funzione $\hat{\Psi}_{t1}$ , simmetrica rispetto all’asse $x$, gode delle stesse proprietà.

Per dimostrare la coincidenza delle funzioni $\hat{\Psi}_{t1}$ e $\Psi_{t1}$ , e quindi la simmetria della funzione armonica $\Psi_{t1}$ definita su un dominio $\Sigma$ simmetrico all’asse delle $x$ , occorre provare che

$\Delta \hat{\Psi}_{t1}(\mathbf{r}) = 0 \qquad \mathbf{r}\in\Sigma^+\\$

$grad \hat{\Psi}_{t1}(\mathbf{r})\cdot \mathbf{n}(\mathbf{r}) = grad \Psi_{t1}(\mathbf{R}_x\:\mathbf{r})\cdot \mathbf{n}(\mathbf{R}_x\:\mathbf{r}) \qquad \mathbf{r}\in\partial\Sigma^+$ (10.133)

Proprietà del centro di taglio (8/13)

In particolare la seconda proprietà scaturisce dal fatto che, per $\textbf{r}\in\Sigma^+$ , le funzioni $\hat{\Psi}_{t1}$ e $\Psi_{t1}$ devono possedere le medesime derivate direzionali lungo la normale $n$ alla frontiera.

La prima proprietà consegue banalmente dalla (10.123) in quanto

$\Delta\hat{\Psi}_{t1}(\mathbf{r}) = \Delta \Psi_{t1} (\mathbf{R}_x\:\mathbf{r}) = 0 \qquad \mathbf{r}\in\Sigma^+$

in quanto la funzione $\Psi_{t1}$ soddisfa la (10.130) per ogni $\textbf{r}\in\Sigma$ ; quindi se $\textbf{r}\in\Sigma^+$ come nelle relazioni precedenti, allora $\mathbf{R}_x \mathbf{r} \in\Sigma^-$ .

La seconda proprietà della (10.133) consegue dalla (10.116) potendosi scrivere

$grad \:\hat{\Psi}_{t1}(\mathbf{r}) \cdot \mathbf{n}(\mathbf{r}) &= \mathbf{R}_x^T\:grad\:\Psi_{t1} (\mathbf{R}_x\:\mathbf{r})\cdot\mathbf{n}(\mathbf{r}) \qquad \mathbf{r}\in\Sigma^+\\$

$= grad\:\Psi_{t1} (\mathbf{R}_x\:\mathbf{r})\cdot\mathbf{R}_x\:(\mathbf{n})\\$

$= grad\:\Psi_{t1} (\mathbf{R}_x\:\mathbf{r})\cdot\mathbf{n}(\mathbf{R}_x\:\mathbf{r})$ (10.135)

visto che, per la simmetria di $\Sigma$ rispetto all’asse delle $x$ , si ha $\mathbf{R}_x \textbf{n}(\textbf{r}) = \textbf{n}(\mathbf{R}_x\:\textbf{r})$ .

Possiamo quindi concludere che $\hat{\Psi}_{t1}$ soddisfa nel dominio $\Sigma^+$ il medesimo problema di Neumann associato all’equazione di Laplace $\Delta \hat{\Psi}_{t1} = 0$ di cui è soluzione la funzione $\Psi_{t1}$ . Poichè la soluzione di questo problema è unica, a meno di una costante additiva, se ne conclude che

$\hat{\Psi}_{t1}(\mathbf{r}) = \Psi_{t1}(\mathbf{r}) + costante \qquad \mathbf{r}\in\Sigma^+$ (10.136) e dunque la funzione $\Psi_{t1}$ è simmetrica.

Proprietà del centro di taglio (9/13)

Siamo ora in grado di dimostrare che il centro di taglio giace effettivamente sull’asse $x$ rispetto al quale si è supposto che la sezione $\Sigma$ fosse dotata di simmetria ortogonale. A tale scopo riscriviamo la (10.109) nella forma compatta

$\mathbf{r}_C = \mathbf{k}\times \biggl[\hat{\mathbf{J}}_G^{-1}\:\int_{\Sigma} \: \mathbf{B}(\mathbf{r})\:(\mathbf{k}\times\mathbf{r})\:dA\biggl]$ (10.137)

avendo indicato con $\mathbf{B(r)}$ il tensore definito da

$\mathbf{B}(\mathbf{r}) = grad\:\mathbf{\Psi}_{t}(\mathbf{r}) + \frac{1-3\overline{\nu}}{8}\:(\mathbf{r}\cdot\mathbf{r})\:\hat{\mathbf{I}}$ (10.138)

Per dimostrare l’assunto ci accingiamo a mostrare che $\textbf{r}_C\cdot \mathbf{j}=0$ . Infatti in base alla (10.137) risulta

$\mathbf{r}_C\cdot\mathbf{j} &= \mathbf{k}\:\times \:\biggl[\hat{\mathbf{J}}_G^{-1} \:\int_{\Sigma} \mathbf{B}(\mathbf{r})\:(\mathbf{k}\times\mathbf{r})\:dA\biggl]\cdot \mathbf{j} =\\$

$= (\mathbf{j}\times\mathbf{k})\cdot\biggl[\hat{\mathbf{J}}_G^{-1}\:\int_{\Sigma} \mathbf{B}(\mathbf{r})\:(\mathbf{k}\times\mathbf{r})\:dA\biggl] =\\$

$= \hat{\mathbf{J}}_G^{-1} \:\boldsymbol{i}\cdot \:\biggl[\int_{\Sigma} \mathbf{B}(\mathbf{r})\:(\mathbf{k}\times\mathbf{r})\:dA\biggl]$ (10.139)

essendo $\textbf{i} = \mathbf{j}\times\textbf{k}$ e $\hat{\mathbf{J}}_G^{-1}$ simmetrico.

Proprietà del centro di taglio (10/13)

D’altra parte, come dimostrato nel capitolo relativo alla pressoflessione, $\textbf i$ è direzione principale per $\hat{\textbf{J}}_G^{-1}$ . Quindi

$\hat{\mathbf{J}}_G^{-1}\:\boldsymbol{i} = \frac{1}{J_{G\:xx}} \: \boldsymbol{i}\$ (10.140)

essendo $J_{G\:xx}$ l’autovalore di $\mathbf{J}_G$ relativo alla direzione principale $\textbf{i}$ . Pertanto la (\ref{F361}) si scrive, separando il dominio di integrazione nei due sottodomini $\Sigma^+$ e $\Sigma^-$ definiti nella (\ref{F339}).

$J_{G\:xx} (\mathbf{r}_C\cdot \mathbf{j}) &= \int_{\Sigma^+} \mathbf{B}(\mathbf{r})(\mathbf{k}\times\mathbf{r})\: dA \cdot \mathbf{i} + \int_{\Sigma^-} \mathbf{B}(\mathbf{r})(\mathbf{k}\times\mathbf{r})\: dA \cdot \mathbf{i} = \\$

$= \int_{\Sigma^+} \mathbf{B}(\mathbf{r})(\mathbf{k}\times\mathbf{r})\: dA \cdot \mathbf{i} + \int_{\Sigma^+} \mathbf{B}(\mathbf{R}_x\:\mathbf{r})[\mathbf{k}\times(\mathbf{R}_x\,\mathbf{r})] \:dA \cdot \mathbf{i}=\\ $

$= \int_{\Sigma^+} (\mathbf{k}\times\mathbf{r})\cdot [\mathbf{B}^T(\mathbf{r}) \;\mathbf{i}]\:dA + \int_{\Sigma^+} [\mathbf{k}\times(\mathbf{R}_x\:\mathbf{r})]\cdot \biggl\{[\mathbf{B}(\mathbf{R}_x\:\mathbf{r})]^T\;\mathbf{i}\biggl\}\:dA$ (10.141)

avendo sfruttato la simmetria di $\Sigma$ .

Proprietà del centro di taglio (11/13)

Prima di procedere ulteriormente nei calcoli osserviamo che

$\mathbf{B}^T(\mathbf{r}) \:\mathbf{i}&= [grad\:\mathbf{\Psi}_t (\mathbf{r})]^T\:\boldsymbol{i} + \frac{1-3\overline{\nu}}{8} \:(\mathbf{r}\cdot\mathbf{r})\:\mathbf{i} =\\$

$= grad \Psi_{t1}\,(\mathbf{r}) + \frac{1-3\overline{\nu}}{8} \:(\mathbf{r}\cdot \mathbf{r})\:\boldsymbol{i}$ (10.142)

sicchè

$\mathbf{B}^T (\mathbf{R}_x\:\mathbf{r})\:\mathbf{i} &= grad \Psi_{t1} (\mathbf{R}_x\:\mathbf{r}) + \frac{1-3\overline{\nu}}{8} \:(\mathbf{R}_x\:\mathbf{r}\cdot \mathbf{R}_x\:\mathbf{r})\:\boldsymbol{i}=\\$

$=\mathbf{R}_x\:grad \Psi_{t1}(\mathbf{r}) + \frac{1-3\overline{\nu}}{8} \:(\mathbf{r}\cdot\mathbf{r})\mathbf{R}_x\:\mathbf{i}$ (10.143)

Infatti, ricordando che la funzione $\Psi_{t1}$ è simmetrica, si ricava dalla (10.116)

$\mathbf{R}_x\:grad\:\Psi_{t1}(\mathbf{r}) = \mathbf{R}_x\:\mathbf{R}_x^T \:grad\:\Psi_{t1}(\mathbf{R}_x\:\mathbf{r}) = grad\:\Psi_{t1}(\mathbf{R}_x\:\mathbf{r})$ (10.144)

visto che si è già dimostrata la proprietà $\mathbf{R}_x\:\mathbf{R}_x^T= \mathbf{R}_x^T\:\mathbf{R}_x = \hat{\mathbf{I}}$ . Per questo stesso motivo si può scrivere

$\mathbf{R}_x\:\mathbf{r} \cdot \mathbf{R}_x\:\mathbf{r} = \mathbf{R}_x^T\:\mathbf{R}_x\:\mathbf{r}\cdot \mathbf{r} = \mathbf{r}\cdot\mathbf{r}$ (10.145)

mentre è banale osservare, ricordando la definzione (10.114) di $\mathbf{R}_x$ che $\mathbf{R}_x \: \textbf{i} = \textbf{i}$ .

Proprietà del centro di taglio (12/13)

Ricordiamo altresì che la definizione di tensore emisimmetrico associato ad un vettore consente di scrivere l’espressione $\textbf{k}\times\mathbf{R}_x\:\mathbf{r}$ nella forma $\mathbf{W}_{\mathbf{k}}\:\mathbf{R}_x\:\mathbf{r}$ con $\mathbf{W}_{\mathbf{k}}$ tensore associato a $\textbf{k}$ e

$[\mathbf{W}_{\mathbf{k}}] = \begin{bmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}$ (10.146)

Inoltre è facile verificare che

$\mathbf{k}\times(\mathbf{R}_x\:\mathbf{r}) = \mathbf{W}_{\mathbf{k}}\:\mathbf{R}_x \,\mathbf{r} = - \mathbf{R}_x\:\mathbf{W}_{\mathbf{k}} \,\mathbf{r} = - \mathbf{R}_x\mathbf{k}\times\mathbf{r}$ (10.147)

sicchè la (10.141) si scrive, in base alle (10.142) e (10.143)

$J_{G\:xx} (\mathbf{r}_c\cdot \mathbf{j}) &= \int_{\Sigma^+}\:(\mathbf{k}\times\mathbf{r}) \cdot \biggl[grad \Psi_{t1}(\mathbf{r}) + \frac{1-3\overline{\nu}}{8} \: (\mathbf{r}\cdot \mathbf{r})\:\mathbf{i}\biggl] -\\$

$- \int_{\Sigma^+}\:\mathbf{R}_x(\mathbf{k}\times\mathbf{r})\cdot\mathbf{R}_x\:\biggl[grad \Psi_{t1}(\mathbf{r}) + \frac{1-3\overline{\nu}}{8} \: (\mathbf{r}\cdot\mathbf{r})\:\mathbf{i}\biggl]$ (10.148)

Essendo $\mathbf{R}_x^T \: \mathbf{R}_x = \hat{\mathbf{I}}$ il secondo integrale è uguale al primo sicchè risulta

$\textbf{r}_C\cdot \mathbf{j} =0$

Proprietà del centro di taglio (13/13)

ossia che il centro di taglio giace sull’asse di simmetria ortogonale di una sezione. Peraltro, tale proprietà è del tutto ragionevole dal punto di vista fisico.

Una volta noto il centro di taglio, dipendente unicamente dalla geometria della sezione, oltre che il vettore armonico $\mathbf{\Psi}$ , è possibile analizzare la sollecitazione di taglio (puro), ossia quella prodotta da una forza di taglio $\textbf{t}$ applicata nel centro di taglio. Come detto, lo stato tensionale associato è quello che si ottiene ponento $c=0$ nella formula (10.99).

Nel capitolo successivo, pertanto, saranno ulteriormente indagate le proprietà dello stato tensionale e ricavato il campo di spostamenti indotto dalla forza $\textbf{t}$ applicata nel centro di taglio.