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Luciano Rosati » 11.Torsione

Premessa

La torsione, è spesso presente nelle strutture e infatti, molti importanti componenti strutturali sono progettati per sopportare principalmente carichi torsionali.Gli alberi di trasmissione sono un primo esempio di componente strutturale progettato per sopportare una specifica torsione. Qualche componente a sezione circolare è progettato a pareti spesse o sottili. Numerosi altri componenti strutturali sono progettati per sopportare una combinazione di carichi assiali, flettenti e torsionali. Per esempio l’ala di un aereo deve sopportare i momenti flettenti e torcenti generati dalle forze aerodinamiche.Il comportamento dei componenti torsionali sotto carichi di torsione è l’argomento di questo capitolo. La nostra attenzione va alle lunghe strutture prismatiche simili agli assi trattati nei due capitoli precedenti. Quando una struttura prismatica lunga è soggetta a torsione, questa viene spesso riferita come barra piuttosto che come trave, anche se i due termini sono spesso usati intercambiabilmente.

Torsione di cilindri circolari 1.1

Consideriamo un cilindro omogeneo infinitamente lungo, pieno o cavo, soggetto a momenti torcenti $Q_1$ alle estremità; tali coppie torcenti siano di uguale intensità e direzione, ed abbiano versi opposti, come in fig 1. La sezione trasversale del cilindro può essere un cerchio di raggio R o una corona circolare di raggio interno $R_i$ e raggio esterno $R_o$ .Questo problema è caratterizzato da due tipi di simmetrie. La prima è la simmetria rispetto all’asse longitudinale $\mathbf{k}$ : qualsiasi rotazione rispetto a questo asse lascia inalterata l’intera struttura ed i carichi ad essa applicati; quindi la soluzione deve godere della stessa proprietà. Il secondo tipo di simmetria, come illustrato in fig 2, è quella rispetto a qualsiasi piano $P$ passante per l’asse $\mathbf{k}$ . In questa figura sono raffigurati due punti, $A$ e $B$ , appartenenti alla circonferenza $C$ di raggio $r<R$ . Il piano di simmetria $P$ è normale al segmento che congiunge questi due punti. Lungo la circonferenza $C$ le tensioni tangenziali si sviluppano in seguito all’applicazione della coppia torcente $Q_{1}$ . A causa della simmetria circolare del sistema, questi sforzi di taglio devono essere costanti lungo tutta la circonferenza $C$ e tangenti a essa in ogni punto. Mentre la struttura è simmetrica rispetto al piano $P$ , il carico è antisimmetrico rispetto allo stesso piano. Di conseguenza la soluzione deve essere antisimmetrica rispetto al piano $P$ .

Torsione di cilindri circolari 1.1.1

Cilindro sogetto a momenti torcenti alle estremità

Un piano di simmetria P del cilindro

Rappresentazione cinematica 1.1.1

Dato che la sola deformazione indotta dalla torsione in un cilindro o in una corona cilindrica consiste in una rotazione rigida della sezione trasversale, il suo movimento viene descritto completamente da un angolo di rotazione $\Phi_1$ come mostrato in fig 3. Questa rotazione porta il punto arbitrario $A$ della configurazione iniziale al punto $A'$ della configurazione deformata. In Fig 1 sono riportate le coordinate polari $r$ e $\alpha$ che definiscono la posizione del punto $A$ . Come solito, gli spostamenti e le rotazioni sono considerate piccole, e quindi la distanza tra $A$ e $A'$ può essere approssimata come $rd\Phi_1$ , come mostrato in figura. Gli spostamenti nel piano della sezione possono essere valuatati come la proiezione del vettore degli spostamenti lungo le direzioni $\mathbf{i}$ e $\mathbf{j}$ per trovare, rispettivamente

$u_2(x_1,r,\alpha)=-r\Phi_1(x_1)\sin\alpha \qquad u_3(x_1,r,\alpha)=r\Phi_1(x_1)\cos\alpha\$ (1.1)

Siccome la sezione trasversale non subisce spostamenti al di fuori del suo piano, il campo degli spostamenti fuori dal piano che descrivono la deformazione torsionale è nullo, e diventa

$\begin{equation}u_1(x_1,x_2,x_3)=0\label{2}$ (1.2)

Rappresentazione cinematica 1.1.1

mentre il campo degli spostamenti nel piano dato dall’equazione (1.1) diventa

$u_2(x_1,x_2,x_3)=-x_3\Phi_1(x_1)$ $u_3(x_1,x_2,x_3)=x_2\Phi_1(x_1)$ (1.3)

dove per la trasformazione da coordinate polari a cartesiane si è posto: $x_2=r\cos\alpha$ e $x_3=r\sin\alpha$ . Usando le relazioni spostamenti-deformazioni, le corrispondenti deformazioni si ottengono come

$\epsilon_1=\frac{\partial u_1}{\partial x_1}=0$ (1.4)

$\epsilon_2=\frac{\partial u_2}{\partial x_2}=0$ $\epsilon_3=\frac{\partial u_3}{\partial x_3}=0$ $\gamma_{23}=\frac{\partial u_2}{\partial x_3}+\frac{\partial u_3}{\partial x_2}=0$ (1.5)

$\gamma_{12}=\frac{\partial u_1}{\partial x_2}+\frac{\partial u_2}{\partial x_1}=-x_3\kappa_1(x_1)$ $\gamma_{13}=\frac{\partial u_1}{\partial x_3}+\frac{\partial u_3}{\partial x_1}=x_2\kappa_1(x_1)$ (1.6)

dove l’angolo specifico di torsione della sezione è definito come:

$\kappa_1(x_1)=\frac{d\Phi_1}{dx_1}$ (1.7)

e misura la deformazione del cilindro. Notare che un tasso di torsione costante implica una rotazione del corpo attorno al suo asse, e non deformazione.

Rappresentazione cinematica 1.1.1

Il campo delle deformazioni assiali, eq. (1.4), si annulla dato che la sezione non si deforma al di fuori del proprio piano, e il campo delle deformazioni presenti nel piano, eq. (1.5), si annulla dato che i movimenti della sezione nel suo piano sono una rotazione di corpo rigido. Nella torsione, le uniche componenti di deformazione che non si annullano sono quelle da taglio date dall’eq. (1.6) e agenti al di fuori del piano della sezione.Questo campo di deformazioni non è facilmente visualizzato in coordinate rettangolari perché le componenti cartesiane delle deformazioni, $\gamma_{12}$ e $\gamma_{13}$ , agiscono rispettivamente nei piani $(\mathbf{k},\mathbf{i})$ e $(\mathbf{k},\mathbf{j})$ . In vista della simmetria cilindrica del problema sarebbe più naturale descrivere questo campo di deformazione in coordinate polari $(r,\alpha)$ , come mostrato in fig 3. In questo sistema di assi, le corrispondenti componenti di deformazione sono $\gamma_{r1}$ e $\gamma_{\alpha1}$ , dove il secondo indice si riferisce all’asse $\mathbf{k}$ . Per semplicità questi sforzi verranno denotati con $\gamma_{r}$ e $\gamma_\alpha$ .La relazione tra le componenti delle deformazioni cartesiane e polari può essere espressa usando le formule per il cambio delle componenti di un tensore al variare di un sistema di riferimento, per una rotazione attorno all’asse $\mathbf{k}$ , cosicché $\mathbf{k^*}=\mathbf{k}$ , $\mathbf{i^*}=\mathbf{i}$ e $\mathbf{j^*}=\mathbf{j}$ . In questo caso $l_1=1$ , $l_2=l_3=0$ e $m_1=0$, $m_2=\cos\alpha$ , $m_3=\sin\alpha$ e $n_1=0$ , $n_2= -\sin\alpha$ , $n_3=\cos\alpha$ . Usando questi coseni direttori si ottiene:

$\gamma_\alpha=\gamma_{12}\sen\alpha+\gamma_{13}\cos\alpha$ $\gamma_r=\gamma_{12}\cos\alpha+\gamma_{13}sen\alpha$ (1.8)

Visualizzazione delle deformazioni fuori dal piano

Rappresentazione cinematica 1.1.1

Introducendo le componenti cartesiane degli scorrimenti angolari, le eq. (1.6) ci forniscono:

$\gamma_r(x_1,r,\alpha)=0$ $gamma_\alpha(x_1,r,\alpha)=r\kappa_1(x_1)$ (1.9)

L’unica componente delle deformazioni che non si annulla è lo scorrimento angolare $\gamma_\alpha$ che è proporzionale all’angolo specifico di torsione $\kappa_1$ . Tale componente di deformazione varia linearmente dal centro della sezione, dove vale zero, fino al bordo esterno del cilindro dove raggiunge valore massimo pari a $R\kappa_1$ . Essa è indipendente dalla variabile circonferenziale $\alpha$ , come richiesto dalla simmetria cilindrica del problema.Questo componente delle deformazioni è rappresentato in fig. 4. Ogni sezione circolare trasversa mantiene la sua forma circolare e subisce deformazione tale che: due sezioni adiacenti risentono di una piccola rotazione differenziale $d\Phi_1$ , che dà origine allo scorrimento angolare $\gamma_\alpha={rd\phi_1}/{dx_1}=r\kappa_1$ , in accordo con l’eq. (1.9).

Legge costitutiva della sezione 1.1.3

La torsione agente in una sezione trasversale posta ad una data distanza dal centro è facilmente ottenuta integrando lo sforzo di taglio circonferenziale $\tau_\alpha$ moltiplicata per il braccio $r$ . Integrando sulla superficie della sezione trasversale si ha

$M_1(x_1)=\int_A\tau_{\alpha}rdA$ (1.12)

Sostituendo il valore della tensione tangenziale, eq. (1.11), si ottiene

$M_1(x_1)=\int_AGr^2\kappa_1(x_1)dA=\left[\int_AGr^2dA\right]\kappa_1(x_1)=H_{11}\kappa_1(x_1)$ (1.13)

dove la rigidezza torsionale della sezione è definita come

$H_{11}=\int_AGr^2dA$ (1.14)

La relazione [1.13] è la legge costitutiva per il comportamento a torsione della trave. Questa esprime la relazione tra la coppia torcente applicata ed il relativo angolo specifico di torsione, con una costante di proporzionalità $H_{11}$ , chiamata rigidezza torsionale. La formula [1.14]è valida solo per le sezioni circolari.Se la sezione è fatta di materiale omogeneo con modulo di taglio $G$ , la rigidezza torsionale diventa $H_{11}=GJ$ , dove $J=\int_Ar^2dA$ è il semplice integrale geometrico noto come momento polare dell’area della sezione trasversale del cilindro. L’intera teoria è sviluppata per travi a sezione circolare, e questa espressione della rigidezza torsionale è valida solo per le sezioni circolari.

Equazioni di Equilibrio 1.1.4

Le equazioni di equilibrio associate al comportamento torsionale possono essere ottenute considerando una sottile fetta di cilindro spessa $dx_1$ raffigurata in fig 6. Usando lo sviluppo in serie di Taylor il momento agente sulla faccia destra è valutato come $M1(x_1+dx_1)=M_1(x_1)+(dM_1/dx_1)dx_1$ dove i differenziali di ordine superiore possono essere tralasciati. Sommando tutti i momenti agenti intorno all’asse $i_1$ si ottiene l’equazione dell’equilibrio torsionale

$\frac{dM_1}{dx_1}=-q_1$ (1.15)

Distribuzione degli sforzi di taglio lungo la sezione trasversale

Carichi torsionali agenti su una fascia infinitesima di trave

Equazioni di controllo 1.1.5

L’equazione di controllo per il comportamento torsionale di un cilindro è ottenuta dall’inserimento della torsione eq. [1.13], all’interno della condizione di equilibrio eq. [1.15], e richiamando la definizione dell’angolo specifico di torsione eq. [1.7], ottenendo

$\frac{d}{dx_1}\left[H_{11}\frac{d\phi_1}{dx_1}\right]=-q_1$ (1.16)

Questa equazione differenziale del secondo ordine può essere risolta nel caso di un momento torcente distribuito $q_1(x_1)$ .Per la risoluzione dell’eq. (1.16) sono necessarie due condizioni limite relative al valore della rotazione $\phi_1$ , o dell’angolo relativo di torsione $\kappa_1$ , una per ciascun estremo del cilindro. Tipiche condizioni limite sono le seguenti:
1.Una estremità fissa non permette rotazioni, quindi $\phi_1=0$
2.Un estremità scarica, quindi $M_1=0$ , può essere espressa come $\kappa_1=d\phi_1 /dx_1 =0$ eq. (1.13)
3.Se un estremità del cilindro è soggetta a un momento concentrato $Q_1$ , la condizione limite è $M_1=Q_1$ , che diventa $H_{11}d\phi_1/dx_1=Q_1$

La rigidezza torsionale 1.1.6

La rigidezza torsionale della sezione $H_{11}$ , rappresenta la rigidezza del cilindro quando soggetto a torsione. Se il cilindro è costituito di materiale omogeneo, il modulo di taglio è identico in ogni punto della sezione trasversale, e può essere portato fuori dall’integrale dell’eq.(1.14), che è di seguito facilmente valutato in coordinate polari

$H_{11}=G\int_0^{2\pi}\int_0^Rr^2drd\alpha=\frac{\pi}{2}GR^4$ (1.17)

Nel caso di un tubo il secondo integrale ha per estremi il raggio interno $R_i$ e il raggio esterno $R_o$ , ottenendo

$H_{11}=G\int_0^{2\pi}\int_{R_i}^{R_o}r^2drd\alpha=\frac{\pi}{2}GR_m^3t$ (1.18)

Una situazione comune con grande importanza pratica è quella di un tubo a parete sottile. Il raggio medio del tubo è $R_m=(R_o+R_i)/2$ , e lo spessore della parete è $t= R_o-R_i$ . L’ipotesi di parete sottile implica che $t/R_m<<1$ . La rigidezza torsionale del tubo a parte sottile del diventa

$H_{11}=\frac{\pi}{2}G(R_o^2+R_i^2)(R_o+R_i(R_o-R_i)$ (1.19)

Consideriamo ora un tubo a parete sottile formato da $N$ strati concentrici di differenti materiali, come raffigurato in fig 7. Assumendo il materiale omogeneo in ogni strato la rigidezza torsionale del tubo diventa
$H_{11}=\frac{\pi}{2}\sum_{i=1}^NG^{[i]}\left[(R^{[i+1]})^4 - (R^{[i]})^4\right]$
dove $G^{[i]}$ è il modulo di taglio nello strato $i-$ esima. In un tubo a parete sottile ogni strato sarà sottile, e l’approssimazione scritta sopra può essere usata ancora una volta per trovare

$H_{11}=2\pi\sum_{i=1}^NG^{[i]}t^{[i]}\left(\frac{R^{[i+1]}+R{[i]}}{2}\right)^3$ (1.20)

La rigidezza torsionale è la media pesata dei moduli di taglio dei vari strati. Il fattore maggiorativo $t^{[i]}[(R^{[i+1]}+R^{[i]})/2]^3$ inclina fortemente la media in favore dello strato più esterno.

La rigidezza torsionale 1.1.6

$H_{11}=\frac{\pi}{2}\sum_{i=1}^NG^{[i]}\left[(R^{[i+1]})^4 - (R^{[i]})^4\right]$
dove $G^{[i]}$ è il modulo di taglio nello strato $i-$ esima. In un tubo a parete sottile ogni strato sarà sottile, e l’approssimazione scritta sopra può essere usata ancora una volta per trovare

$H_{11}=2\pi\sum_{i=1}^NG^{[i]}t^{[i]}\left(\frac{R^{[i+1]}+R{[i]}}{2}\right)^3$ (1.20)

Misurazione della rigidezza torsionale 1.1.7

Nelle sezioni precedenti, la rigidezza torsionale di un cilindro è valutata in funzione dalla geometria della sezione trasversale e dalle proprietà dei materiali costituenti. Per esempio l’eq. (1.17) fornisce la rigidezza torsionale per un cilindro di materiale omogeneo isotropo, mentre, l’eq. (1.20) fornisce la rigidezza torsionale per un tubo a parete sottile fatto di materiali compositi.È possibile misurare sperimentalmente la rigidezza torsionale di un cilindro usando la configurazione di prova a torsione rappresentata in fig 8. Il momento $Q_1$ è applicato al provino dalla macchina di prova.La deformazione della sezione analizzata può essere misurata con l’uso di estensimetri. Due estensimetri orientati a più o meno 45° rispetto all’asse del cilindro, come mostrato in fig 8 vengono utilizzati per valutare gli scorrimenti angolaridella superficie più esterna del cilindro. Dall’equazione che regola la variazione delle componenti di un tensore al variare del sistemea di riferimento discende che , dove $e_{+45}$ e $e_{-45}$ sono le misurazioni delle deformazioni estensionali lungo le due direzioni degli estensimetri. Usando l’eq. (1.9) queste deformazioni di taglio possono essere messe in relazione con l’angolo specifico di torsione del cilindro: $\gamma_{12}=\gamma_\alpha=R\kappa_1$ dove $R$ è il raggio del cilindro. Quindi segue che $\kappa_1=(e_{+45} - e_{-45})/R$ .

Tubo a parete sottile fatto di materiali stratificati

Configurazione del test per determinare la rigidezza torsionale

Misurazione della rigidezza torsionale 1.1.7

La procedura del test è la seguente. Il cilindro è posto nella macchina di prova a torsione, ed è applicato un momento $Q_1$ crescente. Per ogni livello di carico la deformazione viene misurata dagli estensimetri. I dati iniziali del test consistono nei livelli di carico $Q_{1i}$ con $i=1,2, ...,n$ , dove $n$ è il numero dei dati, e delle corrispondenti deformazioni $e_{+45i}$ e $e_{-45i}$ . Da questi dati iniziali viene computata la deformazione del cilindro $\kappa_{1i}=(e_{+45i}-e_{-45i})/R$ . Questi dati elaborati vengono poi rappresentati nel seguente modo: la deformazione $\kappa_{1i}$ sono riportati lungo l’asse delle ascisse, mentre il momento torcente $Q_{1i}$ è riportato lungo l’ordinata. Se il carico applicato rimane piccolo, ci si aspetta che il comportamento del cilindro sia lineare come espresso dall’eq. (1.13), infatti in quel caso si può osservare una relazione lineare tra momento torcente e angolo specifico di torsione. Quindi la pendenza della curva $Q_{1i}$ , ottenuta sperimentalmente, rispetto alla curva $\kappa_{1i}$ fornisce la rigidezza torsionale del cilindro. Si noti che la tecnica sperimentale è valida per cilindri fatti di materiali omogenei, o per strutture composte formate da molti strati concentrici di materiali compositi, a patto che la geometria cilindrica del provino venga mantenuta.

La distribuzione degli sforzi di taglio 1.1.8

Le tensioni tangenziali possono essere messe in relazione dal momento torcente applicato sostituendo l’angolo specifico di torsione nelle (1.11) e (1.13) ottenendo:

$\tau_\alpha=G\frac{M_1(x_1)}{H_{11}}r$ (1.21)

dove $G$ è il modulo di taglio nel punto in cui viene calcolata la tensione. Gli scorrimenti angolari definiti nell’eq. (1.9) crescono linearmente dal centro, dove sono nulle, fino al raggio esterno dove hanno valore massimo. Come detto nel paragrafo 1.1, questa distribuzione di scorrimenti angolari è una diretta conseguenza della simmetria del problema, ed è indipendente dai materiali che costituiscono la trave. Se la trave è costituita da materiali omogenei, la distribuzione lineare degli scorrimenti angolari genera una distribuzione lineare di tensioni tangenziali, come implicato nell’eq. (1.21) e raffigurato in fig. 5. D’altra parte se la sezione è fatta di strati concentrici di diversi materiali come rappresentato in fig. 7, lo sforzo di taglio nello strato $i$ -esimo, denotato con $\tau_\alpha^{[i]}$ ,è ancora dato dalla eq. (1.21) come $\tau_\alpha^{[i]}=G^{[i]}(M_1/H_{11})r$ . All’interno di ogni strato la distribuzione delle tensioni è ancora lineare, ma potrebbero comparire discontinuità all’interfaccia tra due strati.Il massimo sforzo di taglio in una sezione omogenea si ha per il valore di $r$ maggiore quindi sul bordo esterno del cilindro. Per un cilindro la rigidezza torsionale è data dall’eq. (1.17), e il valore della massima tensione tangenziale diventa

$\tau_\alpha^{max}=\frac{2M_1(x_1)}{\pi R^3}$ (1.22)

Per un tubo la rigidezza torsionale è data dall’eq. [1.18], e il valore della massima tensione tangenziale diventa

$\tau_\alpha^{max}=\frac{2R_oM_1(x_1)}{\pi (R_o^4-R_i^4)}$ (1.23)

In conclusione in un tubo a parete sottile la distribuzione degli sforzi di taglio puo essere considerata costante per la sottigliezza della parete

$\tau_\alpha^{max}\approx\frac{M_1(x_1)}{2\pi R_m^2t}$ (1.24)

Similmente la distribuzione degli sforzi di taglio all’interno di un tubo fatto di strati di vari materiali sarà circa uniforme all’interno di ogni strato

$\tau_\alpha^{[i]}=G^{[i]}\frac{R^{[i+1]}+R^{[i]}}{2}\frac{M_1(x_1)}{H_{11}}$ (1.25)

, dove la rigidezza torsionale $H_{11}$ è data dall’eq. (1.20). Una volta che la tensione tangenziale è stata determinata, viene applicato un criterio di resistenza per determinare se la struttura può sostenere i carichi applicati. Per le travi cilindriche, combinando il criterio di resistenza di Von Mises e la distribuzione degli sforzi di taglio data dall’eq. (1.21) si ottiene $GR|M_1(x_1)|H_{11}\leq\tau_{ammissibile}$ , dove $\tau_{ammissibile}$ è la tensione tangenziale ammissibile dal materiale. Se il momento torcente varia lungo tutta la lunghezza della trave, questa condizione deve essere verificata in tutti i punti e sezioni dell’intervallo. Nella pratica, è conveniente determinare il momento massimo $M_1^{max}$ , e poi applicare il criterio di resistenza

$\frac{GR}{H_{11}}\vert M_1^{max}\vert\leq\tau_{ammissibile}$ (1.26)

La distribuzione degli sforzi di taglio 1.1.8

Per un tubo la rigidezza torsionale è data dall’eq. [1.18], e il valore della massima tensione tangenziale diventa

$\tau_\alpha^{max}=\frac{2R_oM_1(x_1)}{\pi (R_o^4-R_i^4)}$ (1.23)

In conclusione in un tubo a parete sottile la distribuzione degli sforzi di taglio puo essere considerata costante per la sottigliezza della parete

$\tau_\alpha^{max}\approx\frac{M_1(x_1)}{2\pi R_m^2t}$ (1.24)

Similmente la distribuzione degli sforzi di taglio all’interno di un tubo fatto di strati di vari materiali sarà circa uniforme all’interno di ogni strato

$\tau_\alpha^{[i]}=G^{[i]}\frac{R^{[i+1]}+R^{[i]}}{2}\frac{M_1(x_1)}{H_{11}}$ (1.25)

$\frac{GR}{H_{11}}\vert M_1^{max}\vert\leq\tau_{ammissibile}$ (1.26)

Se la sezione consta di strati di vari materiali, la tensione agente in ciascuno di questi sarà diversa, e il criterio di resistenza diverrà

$\frac {G^{[i]} R^{[i+1]}} {H_{11}} \vert M_1^{max}\vert \leq \tau_{ammissibile}^{[i]}$ (1.27)

dove $\tau_{allow}^{[i]}$ sarà lo sforzo di taglio ammissibile per lo strato $i$ -esimo. Il criterio di resistenza dovrà essere verificato in ogni strato di materiale.

La distribuzione degli sforzi di taglio 1.1.8

dove $\tau_{allow}^{[i]}$ sarà lo sforzo di taglio ammissibile per lo strato $i$ -esimo. Il criterio di resistenza dovrà essere verificato in ogni strato di materiale.

Se la sezione consta di strati di vari materiali, la tensione agente in ciascuno di questi sarà diversa, e il criterio di resistenza diverrà

$\frac {G^{[i]} R^{[i+1]}} {H_{11}} \vert M_1^{max}\vert \leq \tau_{ammissibile}^{[i]}$ (1.27)

Progettazione razionale dei cilindri sottoposti a torsione

La distribuzione della tensione tangenziale in un cilindro sottoposto a torsione è mostrato in fig. 5. Chiaramente il materiale in prossimità del centro del cilindro non è usato efficientemente perché la sollecitazione di taglio diventa piccola nella porzione centrale del cilindro. Una tipologia strutturale ben più efficiente è quella dei tubi sottili, dove la sollecitazione di taglio è pressappoco costante lungo lo spessore della parete e il materiale viene sfruttato al massimo delle sue capacità.Per un tubo omogeneo a parete sottile, la massa di materiale per unità di lunghezza è $\mu=2\pi R_mt\rho$ dove $$\rho$ è la densità del materiale, $R_m$ è il raggio medio e $t$ lo spessore. La rigidezza torsionale eq. (1.19) diventa

$H_{11}=2\pi G R_m^3t=\frac{\mu}{\rho}GR_m^2$

Consideriamo due tubi a parete sottile identici fatti dallo stesso materiale, con la stessa massa per unità di lunghezza, ma con raggi medi $R_m$ e $R_m'$ , e spessore, rispettivamente, $t$ e $t'$ . Dato che le masse per unità di lunghezza sono uguali, lo spessore dei due tubi sarà inversamente proporzionale ai loro raggi $t/t'$=$R_m'/R_m$ . Il rapporto delle loro rigidezze torsionali , rispettivamente, $H_{11}$ e $H'_{11}$ è

$\frac {H_{11}}{H'_{11}}=\frac{(\mu/\rho)GR_m^2)}{(\mu/\rho)G{R'}_m^2)}=\left(\frac{R_m}{R'_m}\right)^2 $ (1.28)

Progettazione razionale dei cilindri sottoposti a torsione 1.1.9

Per due tubi di uguale massa, la rigidezza torsionale aumenta con il quadrato del raggio medio.Quando soggetti allo stesso momento torcente, il rapporto tra le tensioni tangenziali agenti nei due tubi denotati con $\tau_\alpha$ e $\tau_{\alpha'}$ , rispettivamente, diventano

$\frac{\tau_\alpha}{\tau'_\alpha}=\frac{GM_1R_m/H_{11}}{GM_1R'_m/H'_{11}}=\frac{R_mH'_{11}}{R'_mH_{11}}\frac{R_m}{R'_m} $ (1.29)

Per due tubi di uguale massa lo sforzo di taglio è inversamente proporzionale al raggio medio.La struttura ideale per sopportare carichi torsionali è un tubo a parete sottile con un ampio raggio medio, perché questo produce una massima rigidezza torsionale e una minima tensione tangenziale. Nella pratica tecnica spesso esiste un limite sulla dimensione del raggio medio. Inoltre tubi a parete molto sottile possono diventare instabili a causa di un fenomeno chiamato instabilità torsionale. Questo tipo di instabilità pone un limite a quanto sottile può essere lo spessore del tubo.

Torsione combinata con forze assiali e momenti flettenti 1.2

L’elica di un aereo è connessa a un albero di trasmissione avente sezione circolare. Il motore applica un momento torcente che risulta uguale a quello descritto nel paragrafo [1.1.8]. Mentre l’elica genera una spinta che produce una distribuzione costante di sforzo normale agente su tutte le sezioni rette. Se il momento torcente agisse da solo, il criterio di resistenza da considerare sarebbe $\tau<\tau_y$ . Se la forza assiale agisce da sola, il corrispondente criterio di resistenza sarebbe $\sigma<\sigma_y$ . La domanda ora è: quale è il criterio adatto da utilizzare quando entrambe queste sollecitazioni agiscono contemporaneamente? Il criterio che ci serve è uno di quelli specificiper i materiali metallici ovvero quello di Tresca o di Von Mises.

Torsione combinata con forze assiali e momenti flettenti 1.2

Albero di un elica sottoposto a torsione e sforzo normale 1.2.1

Consideriamo l’elica di un aereo connessa a un albero di trasmissione con sezione circolare di raggio $R$ e di materiale omogeneo. Il motore applica un momento torcente $M_1$ all’albero e l’elica esercita una spinta $N_1$ ; le tensioni corrispondenti sono

$\tau=\frac{2M_1}{\pi R^3}$ $\sigma=\frac{N_1}{\pi R^2}$ (1.30)

Chiaramente l’albero è in uno stato tensionale piano, e il criterio di Tresca richiede il rispetto delle seguenti disequazioni

$\left|\frac{1}{2}\frac{N_1}{\pi R^2}\pm \sqrt{\frac{1}{4}\left(\frac{N_1}{\pi R^2}\right)^2+4\left(\frac{M_1}{\pi R^3}\right)^2}\right|\leq \sigma_y$

$2\sqrt{\frac{1}{4}\left( \frac{N_1}{\pi R^2}\right)^2+4\left(\frac{M_1}{\pi R^3}\right)^2}\leq \sigma_y$

al fine di stabilire se il materiale è in grado di resistere alle sollecitazioni applicate. Il criterio più preciso è quello fornitoci da Tresca, che corrisponde a un ellisse

$\left( \frac{N_1}{\pi R^2\sigma_y}\right)^2+16\left(\frac{M_1}{\pi R^3}\right)^2=1$

Risultati dei criteri di Tresca e Von Mises nello spazio di carico adimensionale

Albero di un elica sottoposto a torsione e sforzo normale 1.2.1

La fig. 9 mostra l’interpretazione geometrica del criterio. La struttura si comporta in modo elastico lineare sotto i carichi combinati che corrispondono ai punti contenuti all’interno dell’ellisse disegnata nello spazio di carico adimensionale. La torsione adimensionale è $M_1/(\pi R^3\sigma_y)$ e lo sforzo normale adimensionale è $N_1/(\pi R^2\sigma_y)$ . Se invece è applicato il criterio di Von Mises il materiale si comporterà in modo elastico lineare quando sarà soddisfatta la seguente condizione

$\left[\left(\frac{N_1}{\pi R^2}\right)^2+3\left(\frac{2M_1}{\pi R^3}\right)^2\right]^{1/2}\leq\sigma_y$

Ancora una volta è conveniente riscrivere il criterio in una forma adimensionale come

$\left(\frac{N_1}{\pi R^2 \sigma_y}\right)^2+12\left(\frac{M_1}{\pi R^3\sigma_y}\right)^2\leq 1$

dove i termini tra parentesi sono le componenti adimensionali dei carichi definiti precedentemente. La fig. 9 mostra l’ellisse nello spazio dei carichi adimensionali. Come ci si aspettava, le previsioni del criterio di Tresca e di Von Mises differiscono maggiormente quando il carico genera prevalentemente sforzi tangenziali, quindi lungo l’asse di torsione.

Risultati del criterio di Tresca e di Von Mises nello spazio di carico non dimensionale

Alberi sottoposti a torsione e flessione 1.2.2

Consideriamo ora un albero circolare sottoposto a flessione e torsione, come potrebbe accadere, per esempio, in un albero a sbalzo con una puleggia caricata in punta. Siano rispettivamente $M_3$ ed $M_1$ i momenti flettenti e torcenti applicati. I corrispondenti sforzi assiali e di taglio sono rispettivamente

$\sigma=\frac{4M_3r}{\pi R^4} \qquad \tau=\frac{2M_1r}{\pi R^4}$ (1.31)

I massimi valori si ottengono nel punto della sezione trasversale in corrispondenza del bordo superiore o inferiore dove $\sigma=4M_3/\pi R^3$ e $\tau=2M_1/\pi R^3$ .Chiaramente l’albero è in uno stato tensionale piano, e il criterio di Tresca richiede che siano rispettate le seguenti disequazioni

$\left|\frac{2M_3}{\pi R^3}\pm \sqrt{\left(\frac{2M_3}{\pi R^3}\right)^2+4\left(\frac{M_1}{\pi R^3}\right)^2}\right|\leq\sigma_y$

$2\sqrt{\left(\frac{2M_3}{\pi R^3}\right)^2+4\left(\frac{M_1}{\pi R^3}\right)^2}\leq\sigma_y$

per stabilire se il materiale è in grado di resistere alle sollecitazioni applicate. Il criterio più preciso è quello fornitoci da Tresca, che corrisponde a un ellisse

$16\left(\frac{M_3}{\pi R^3\sigma_y}\right)^2+16\left(\frac{M_1}{\pi R^3\sigma_y}\right)^2=1$

Alberi sottoposti a torsione e flessione 1.2.2

La fig.10 mostra l’interpretazione geometrica del criterio. La struttura si comporta in modo elastico lineare per carichi rappresentati dai punti presenti all’interno dell’ellisse disegnata nello spazio di carico adimensionale, definito dalla torsione adimensionale $M_1/(\pi R^3\sigma_y)$ , e i momenti flettenti adimensionali $M_3/(\pi R^3\sigma_y)$ .Se invece è applicato il criterio di Von Mises il materiale si comporterà in modo elastico lineare quando sarà soddisfatta la seguente condizione

$\left[\left(\frac{4M_3}{\pi R^2}\right)^2+3\left(\frac{2M_1}{\pi R^3}\right)^2\right]^{1/2}\leq\sigma_y$

Ancora una volta è conveniente riscrivere il criterio in una forma adimensionale come

$16\left(\frac{M_3}{\pi R^3\sigma_y}\right)^2+12\left(\frac{2M_1}{\pi R^3\sigma_y}\right)^2\leq1$

cui corrisponde l’ellisse mostrato in fig 10

Torsione di travi con sezione trasversale arbitraria 1.3.1

La teoria della torsione presentata nelle due sezioni precedenti è valida solo per travi con sezione retta circolare. In questa sezione verrà generalizzata a travi con sezione retta di forma arbitraria. Quando è stato analizzato il comportamento torsionale di un cilindro circolare si è visto che la simmetria del problema comporta che ogni sezione retta ruota attorno al proprio centro come un disco rigido. Se si assume che questo tipo di deformazione rimane valido per una trave con sezione trasversale arbitraria, il campo degli spostamenti, eq. (1.2) e (1.3), e i corrispondenti campi di deformazione, eq. (1.4]) e (1.6), descriveranno la cinematica della trave con sezione arbitraria. L’unica componente di tensione non nulla è la tensione tangenziale data dall’eq.(1.11).Sfortunatamente questa assunzione può portare a errori nei risultati perché l’applicazione di queste equazioni comporta la violazione dell’equilibrio lungo il bordo della sezione. Consideriamo per esempio una trave rettangolare soggetta a torsione rappresentata in fig. 11. Le tensioni tangenziali $\tau_\alpha$ data dall’eq. (1.11), è mostrata sul bordo della sezione, ed è scomposta nelle sue componenti cartesiane $\tau_{12}$ e $\tau_{13}$ . Dato il principio di reciprocità degli sforzi di taglio, eq. (1.5), l’esistenza di un componente $\tau_{13}$ , che agisce sulla sezione trasversale della trave, implica l’esistenza di una componente di tensione di uguale intensità che agisce sulla faccia ad essa ortogonale, che risulta essere laterale della trave. Dato che la superficie laterale della trave è priva di carichi, la tensione tangenziale $\tau_{13}$ dovrà essere nulla su entrambe le facce. Conseguentemente l’unica componente della tensione tangenziale che può agire lungo il bordo è la componente $\tau_{12}$ , che è parallela al bordo. Questo ragionamento può essere applicato a ogni punto del bordo della sezione e, conseguentemente, a ogni punto lungo la superfice laterale della trave, dove la tensione tangenziale deve essere tangente alla superficie. Questa condizione è soddisfatta dalla distribuzione di tensioni tangenziali agenti sulla sezione circolare raffigurata in fig 5, ma la stessa distribuzione non è corretta per la sezione rettangolare mostrata in fig 11.

Torsione di travi a sezione trasversale arbitraria 1.3.1

Come discusso nella sezione 1.1, la simmetria di un cilindro circolare implica che la sezione retta della trave non si deformi fuori dal piano. Non si possono raggiungere le stesse conclusioni per la sezione rettangolare mostrata in fig 12, perché essa mostra simmetria minore rispetto alla sezione circolare. La sezione rettangolare è simmetrica rispetto ai piani $(k, i)$ e $(k, i_3)$ , ma non presenta la simmetria polare rispetto all’asse $\mathbf{k}$ caratteristica della sezione circolare. Dato che la sezione è simmetrica rispetto al piano $(k, i)$ ma il carico torsionale è antisimmetrico rispetto allo stesso piano, la soluzione deve essere antisimmetrica rispetto a tale piano, quindi $u_1^A= -u_1^D$ e $u_1^B= -u_1^C$ . Sfruttando la simmetria rispetto al piano $(\mathbf{k},\mathbf{j})$ e combinando i risultati si arriva a $u_1^A= -u_1^B= u_1^C= -u_1^D$ , che non implica che lo spostamento assiale sia nullo in questi punti.Lo stesso ragionamento può essere ripetuto per ogni gruppo di 4 punti simmetricamente disposti rispetto ai due piani di simmetria della sezione. Da ciò segue che il campo degli spostamenti assiali presenta simmetria per la sezione rettangolare, ma non si annulla; in altre parole la sezione si deforma fuori dal piano. In generale le travi con sezioni trasversali arbitrarie si ingobbano, a differenza di quelle a sezione circolare che non lo fanno.

Sforzi di taglio lungo il bordo di una sezione rettangolare

Quattro punti su una sezione rettangolare

La soluzione di Saint-Venant 1.3.2

La prima soluzione del problema della torsione di una trave con sezione trasversale di forma arbitraria viene attribuita a Saint-Venant. Il processo risolutivo richiede una buona applicazione della teoria della elasticità di base e allo stesso tempo fornisce risultati dotati di rilevante importanza pratica.

Descrizione cinematica 1.3.2.1

Consideriamo una trave piena con sezione di forma arbitraria. Si indica con $A$ l’area della sezione trasversale , mentre il suo bordo esterno è definito dalla curva $C$ . La trave è infinitamente lunga ed è soggetta a un momento torcente alle estremità. Un più attento sguardo al problema e ai risultati sperimentali rivela che per una trave a sezione arbitraria, rivela che ogni sezione trasversale ruota come un corpo rigido, e si deforma al di fuori dal suo piano secondo le relazioni:

$u_1(x_1,x_2,x_3)=\psi(x_2,x_3)\kappa_1(x_1)$ (1.32a)

$u_2(x_1,x_2,x_3)=-x_3\phi(x_1)$ $u_3(x_1,x_2,x_3)=x_2\phi(x_1)$ (1.32b)

Il campo degli spostamenti nel piano, eq. (1.32b), descrive una rotazione del corpo rigido della sezione retta, simile al caso del cilindro circolare, vedi eq. (1.3). Il campo degli spostamenti al di fuori del piano invece non si annulla.Esso è proporzionale all’angolo specifico di torsione $\kappa_1$ , ed assume un valore proporzionale alla funzione di ingobbamento $\psi(x_2, x_3)$ . tale funzione è ottenuta applicando le condizioni di equilibrio per il campo di tensioni tangenziali risultante. Sarà assunto che l’angolo specifico di torsione è costante lungo l’asse della trave, quindi $k_1(x_1)= k_1$ . Questa limitazione consiste in quello che è noto come problema della torsione uniforme.

Il campo di deformazione 1.3.2.2

Dato il campo degli spostamenti definito dalle eq. (1.32a) e (1.32b), il campo delle deformazioni associato può essere valutato dalle relazioni esistenti tra spostamenti e deformazioni ricavando

$\varepsilon_1=\psi(x_2,x_3)\frac{d\kappa_1}{dx_1}=0$ (1.33a)

$\varepsilon_2=0$ , $\varepsilon_3=0$ , $\gamma_{23}=0$ (1.33b)

$\gamma_{12}=\left(\frac{\partial\psi}{\partial x_2}-x_3\right)\kappa_1$ , $\gamma_{13}=\left(\frac{\partial\psi}{\partial x_3}+x_2\right)\kappa_1\$ (1.33c)

L’annullamento delle deformazioni assiali, eq. (1.33a), è una diretta conseguenza dell’assunzione sull’uniformità della torsione assunta, mentre l’annullamento delle deformazioni nel piano, eq. (1.33b), deriva dall’assunzione di rigidezza della sezione nel suo piano eq. (1.32b). Le uniche componenti delle deformazioni che non si annullano, $\gamma_{12}$ e $\gamma_{13}$ , dipendono dalle derivate parziali della funzione di ingobbamento incognita.

Il campo di tensione 1.3.2.3

Per travi composte di materiale elastico lineare, isotropo per le quali è valida la legge di Hooke. E’ possibile valutare le tensioni in funzione delle deformazioni

$\sigma_1=0$ (1.34a)

$\sigma_2=0$ , $\sigma_3=0$ , $\tau_{23}=0$ (1.34b)

$\tau_{12}=G\kappa_1\left(\frac{\partial\psi}{\partial x_2}-x_3\right)$ , $\tau_{13}=G\kappa_1\left(\frac{\partial\psi}{\partial x_3}+x_2\right)$ (1.34c)

Equazioni di Equilibrio 1.3.2.4

Questo campo tensionale deve soddisfare le equazioni generali di equilibrio in tutti i punti della sezione. Trascurando le forze di volume, e in virtù dell’eq. [1.34b], due delle tre equazioni di equilibrio, sono identicamente nulle e la rimanente si riduce a

$\frac{\partial\tau_{12}}{\partial x_2}+\frac{\partial\tau_{13}}{\partial x_3}=0$ (1.35)

Introducendo le eq. (1.34c) segue che la funzione di ingobbamento deve soddisfare la seguente equazione differenziale

$\frac{\partial^2\psi}{\partial x_2^2}+\frac{\partial^2\psi}{\partial x_3^2}=0 $ (1.36)

in tutti i punti della sezione.Le relative condizioni al contorno possono essere ottenute tramite il soddisfacimento delle condizioni di equilibrio lungo il bordo esterno della sezione definito mediante la curva $C$ . La fig 13 mostra una parte del contorno esterno $C$ , e l’ascissa curvilinea $s$ , che misura la lunghezza di questa curva.Come mostrato in fig 11 le componenti normali a $C$ della tensione tangenziale devono annullarsi in tutti i punti di $C$ , quindi

$\tau_n=0$ (1.37)

Equazioni di equilibrio 1.3.2.4

mentre le componenti di tensione tangenziale $\tau_s$ non devono necessariamente annullarsi. In componenti cartesiane la componente normale della tensione tangenziale, vedi fig 13 , è valutata come

$\tau_n=\tau_{12}\sin\beta+\tau_{13}\cos\beta=\tau_{12}\left(\frac{dx_3}{ds}\right)+\tau_{13}\left(-\frac{dx_2}{ds}\right)=0$ (1.38)

Introducendo l’eq. [1.34c] otteniamo la seguente condizione al contorno per la funzione ingobbamento

$\left(\frac{\partial\psi}{\partial x_2}-x_3\right)\frac{dx_3}{ds}-\left(\frac{\partial\psi}{\partial x_3}+x_2\right)\frac{dx_2}{ds}=0 $ (1.39)

La funzione di ingobbamento $\psi(x_2,x_3)$ è ottenuta risolvendo la seguente equazione differenziale a derivate parziali e le relative condizioni al contorno

$\frac{\partial^2\psi}{\partial x_2^2}+\frac{\partial^2\psi}{\partial x_3^2}=0$ in A (1.40a)

$left(\frac{\partial\psi}{\partial x_2}-x_3\right)\frac{dx_3}{ds}-\left(\frac{\partial\psi}{\partial x_3}+x_2\right)\frac{dx_2}{ds}=0$ lungo C (1.40b)

Questo tipo particolare di equazione differenziale a derivate parziali è chiamato Equazione di Laplace, e la risoluzione di questo problema è piuttosto complicata data la complessità delle condizioni al contorno da imporre lungo $C$ .

Condizione di equilibrio lungo il bordo esterno di C

Funzione di Prandtl 1.3.2.5

Una soluzione alternativa del problema che porta a condizioni al contorno più semplici è trovata tramite l’introduzione della funzione $\phi$ proposta da Prandtl. Questa funzione $\phi(x_2, x_3)$ è definita come

$\tau_{12}=\frac{\partial\phi}{\partial x_3}, \qquad \tau_{13}=-\frac{\partial\phi}{\partial x_2} $ (1.41)

Questo campo di tensioni tangenziali soddisfa automaticamente l’equilibrio locale, come si può verificare con l’introduzione dell’eq.(1.41) nell’ eq. (1.35).Poi, gli tensioni tangenziali $, $\tau_{12}$ e $\tau_{13}$$ , espressi in termini della funzione di ingobbamento tramite l’eq. (1.34c) devono uguagliare la loro controparte espressi in termini della funzione tensionale di Prandtl dall’eq. (1.41) per trovare

$\tau_{12}=G\kappa_1\left(\frac{\partial\psi}{\partial x_2}-x_3\right)=\frac{\partial\phi}{\partial x_3}$ , $\tau_{13}=G\kappa_1\left(\frac{\partial\psi}{\partial x_3}+x_2\right)=-\frac{\partial\phi}{\partial x_2} $ (1.42)

La funzione di ingobbamento può essere semplificata derivando la prima equazione rispetto a $x_3$ e la seconda rispetto a $x_2$ . Facendo la differenza tra queste due equazioni si ottiene una sola equazione differenziale per ogni funzione di Prandtl

$\frac{\partial^2\phi}{\partial x_2^2}+\frac{\partial^2\phi}{\partial x_3^2}=-2G\kappa_1 $ (1.43)

Funzione di Prandtl 1.3.2.5

Le condizioni al contorno lungo $C$ si ottengono dalle eq. (1.38) e (1.41)

$\tau_n=\frac{\partial\phi}{\partial x_3}\frac{dx_3}{ds}+\frac{\partial\phi}{\partial x_2}\frac{dx_2}{ds}=\frac{\phi}{ds}=0 $ (1.44)

che comporta che $\phi$ assume un valore costante lungo $C$ . Se la sezione è delimitata da diverse curve scollegate, la funzione di Prandtl deve essere costante lungo ogni curva. Per sezioni trasversali spesse delimitate da una sola curva, il valore costante della funzione di Prandtl può essere scelto nullo perché questa scelta non ha effetti sulla distribuzione di tensioni finale.La funzione di Prandtl è la soluzione delle seguenti equazioni differenziali a derivate parziali associate alle seguenti condizioni limite

$\frac{\partial^2\phi}{\partial x_2^2}+\frac{\partial^2\phi}{\partial x_3^2}=-2G\kappa_1$ in A(1.45a)

$\frac{d\phi}{ds}=0$ lungo C(1.45b)

Questa equazione differenziale a derivate parziali non è più omogenea, ma ha una forma nota come equazioni di Poisson. Il vantaggio di questa formulazione è che le condizioni a contorno sono più semplici rispetto a quelle ottenute per la funzione di ingobbamento, vedi eq. [1.40b].

Equilibrio della sezione 1.3.2.6

Le equazioni differenziali per la valutazione delle funzioni di ingobbamento e di Prandtl sono ricavate da considerazioni sull’equilibrio locale. Anche l’equilibrio globale della sezione deve essere verificato. Per una sezione piena limitata da una singola linea, le forze di taglio risultanti agenti sulla sezione sono

$V_2=\int_A \tau_{12}dA=\int_{x_2}\int_{x_3}\frac{\partial\phi}{\partial x_3}dx_2dx_3=\int_{x_2}\left[\int_{x_3}\frac{\partial\phi}{\partial x_3}dx_3\right]dx_2=0$ e

$V_3=\int_A \tau_{13}dA=\int_{x_2}\int_{x_3}-\frac{\partial\phi}{\partial x_2}dx_2dx_3=-\int_{x_3}\left[\int_{x_2}\frac{\partial\phi}{\partial x_2}dx_2\right]dx_3=0$

in cui l’ultima uguaglianza si ottiene ponendo un valore nullo per la funzione di Prandtl lungo il contorno $C$ . Questo risultato era atteso dato che non erano applicate forze di taglio. Il momento torcente totale agente sulla sezione è

$M_1=\int_A(x_2\tau_{13}-x_3\tau_{12})dA=\int_A\left(-x_2\frac{\partial\phi}{\partial x_2}-x_3\frac{\partial\phi}{\partial x_3}\right)dA$ (1.46)

Integrando per parti si ha

$M_1=2\int_A\phi dA=-\int_{x_3}[x_2\phi ]_{x_2}dx_3-\int_{x_2}[x_3\phi ]_{x_3}dx_2$ (1.47)

Equilibrio della sezione 1.3.2.6

Per sezioni rette compatte limitate da una singola curva, il valore costante della funzione di Prandtl lungo la curva $C$ può essere scelto pari a zero, cosicché i termini limite scompaiano, portando al semplice risultato

$M_1=2\int_A\phi dA$ (1.48)

Il momento applicato equivale a due volte il volume sotteso dalla funzione di Prandtl. Questa formula si applica solo a sezioni compatte limitate da una singola curva. Invece, se la sezione è limitata da diverse curve, la funzione di Prandtl assume un diverso valore costante per ogni curva, e i termini limite non scompaiono più. In qualche sezione il momento applicato può essere valutato con l’aiuto dell’eq. (1.46) piuttosto che della (1.48).

In conclusione, la distribuzione delle tensioni in una trave di forma arbitraria può essere valutata o usando la funzione di Prandtl o la funzione di ingobbamento dalle eq. (1.40) o (1.45) rispettivamente. Il campo delle tensioni segue dalle eq. (1.34c) o (1.41) rispettivamente. Quando tutte le equazioni di controllo sono soddisfatte, questo rappresenta una soluzione esatta del problema.

La procedura risolutiva di Saint-Venant è un esempio di tecnica risolutiva semi-inversa. Il campo degli spostamenti è assunto della forma data dall’eq. (1.32). È mostrato che basandoci su questo campo degli spostamenti tutte le equazioni dell’elasticità sono soddisfatte, e quindi il campo degli spostamenti assunto deve essere la soluzione del problema.

Esempio 1: Torsione di una trave ellittica

Consideriamo una trave con sezione trasversale ellittica come mostrato in fig. 14. L’equazione della curva $C$ che definisce il contorno della sezione è $(x_2/a)^2+(x_3/b)^2=1$ . La funzione di Prandtl assume la seguente forma

$\phi=C_0\left[\left(\frac{x_2}{a}\right)^2+\left(\frac{x_3}{b}\right)^2-1\right]$

,dove $C_0$ è una costante incognita. Le condizioni al contorno eq. (1.45b), sono chiaramente soddisfatta dato che $\phi=0$ lungo $C$ . Sostituendo $\phi$ nell’equazione differenziale , eq. (1.45) si ottiene la costante di integrazione $C_0:C_0(2/a^2+2/b^2)=-2G\kappa_1$ o $C_0=-a^2b^2G\kappa_1/(a^2+b^2)$ . La funzione di Prandtl diventa

$\phi=-\frac{a^2b^2}{a^2+b^2}\left[\left(\frac{x_2}{a}\right)^2+\left(\frac{x_3}{b}^2\right)^2-1\right]G\kappa_1$ (1.49)

Il momento torcente può ora essere calcolato dall’eq. (1.48) come

$M_1=-\frac{a^2b^2}{a^2+b^2}G\kappa_1\int_A\left[\left(\frac{x_2}{a}\right)^2+\left(\frac{x_3}{b}^2\right)^2-1\right]dA=G\frac{\pi a^3b^3}{a^2+b^2}\kappa_1=H_{11}\kappa_1$

Una trave a sezione ellittica

Esempio 1: Torsione di una trave ellittica

,dove $\int_AdA=\pi ab$ , $\int_Ax_2^2dA=\pi a^3b/4$ e $\int_A x_3^2dA=\pi ab^3/4$ sono rispettivamente l’area dell’ellisse e il momento d’inerzia dell’area rispetto agli assi $i$ e $i_3$ , rispettivamente. La rigidezza torsionale della sezione ellittica è

$H_{11}=G\frac{\pi a^3b^3}{a^2+b^2}$ (1.50)

Usando questi risultati possiamo esprimere la funzione di Prandtl in funzione del momento torcente applicato

$\phi=-\frac{M_1}{\pi ab}\left[\left(\frac{x_2}{a}\right)^2+\left(\frac{x_3}{b}^2\right)^2-1\right]$

La distribuzione di tensioni tangenziali quindi segue dall’eq. [1.41]

$$$\tau_{12}=-\frac{2x_3}{\pi ab^3}M_1$ $\tau_{13}=\frac{2x_2}{\pi a^3b}M_1$$$

Esempio 1: Torsione di una trave ellittica

Il valore massimo degli sforzi di taglio si ha per valori estremi di $x_2$, e $x_3$ , che si trovano lungo il bordo della sezione. La distribuzione delle tensioni tangenziali lungo gli assi $i$ e $i_3$ sono mostrati in fig. 15a : le tensioni massime si trovano nei punti $B$ e $ A$ , rispettivamente , $\tau_{12}^B=-2M_1/(\pi ab^2)$ e $\tau_{13}^A=2M_1/(\pi a^2b)$ . La massima tensione tangenziale si ha alle estremità dell’asse minore dell’ellisse, quindi nel punto $B$ . La figura 15b mostra il valore assunto dalle tensioni tangenziali sulla sezione retta; come imposto dal principio di reciprocità delle tensioni tangenziali, eq. (1.5), il vettore $\tau$ è sempre tangente alla curva $C$ .

Concludendo, la funzione di ingobbamento si può ottenere integrando l’eq. (1.42). Sostituendo la funzione di Prandtl calcolata, eq. (1.49), in queste equazioni si ottiene

$$$ \frac{\partial\psi}{\partial x_2}=-\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}x_3$ $\frac{\partial\psi}{\partial x_3}=-\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}x_2$$$

Integrando la prima equazione rispetto a $x_2$ e la seconda rispetto a $x_3$ si ottiene, rispettivamente, $\psi=-x_2x_3(a^2-b^2)/(a^2+b^2)+f(x_3)$ e $\psi=-x_2x_3(a^2-b^2)/(a^2+b^2)+g(x_2)$ . Queste due soluzioni sono uguali solo se $f(x_3)=g(x_2)=0$ , che implica $\psi=-x_2x_3(a^2-b^2)/(a^2+b^2)+x_2x_3$ . L’quazione (1.32a) fornisce lo spostamento assiale come

$u_1(x_2,x_3)=-\kappa_1\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}x_2x_3$ (1.51)

Esempio 1: Torsione di una trave ellittica

Si nota che la sezione retta ellittica presenta due piani di simmetria, i piani $(k, i)$ e $(k, j)$ . Come discusso nella sezione 1.3.1, questo implica che lo spostamento deformativo deve essere asimmetrico rispetto a questi due piani. La parte sinistra della fig. 16 mostra lo spostamento deformativo con le curve di livello riportate immediatamente sotto. Un diagramma delle curve di livello è riportato nel lato destro della stessa figura. Come ci si aspettava per l’antisimmetria della funzione, lo spostamento deformativo si annulla lungo gli assi $i$ e $j$ , ed è di uguale grandezza ma di segno opposto nei punti posizionati simmetricamente rispetto agli assi $i$ e $j$ . Per $a=b=R$ , la trave a sezione retta ellittica diventa un cilindro circolare di raggio $R$ . La rigidezza torsionale per la sezione ellittica si riduce a eq.(1.17), e la massima tensione tangenziale si riduce a eq.(1.22). In fine la funzione di ingobbamento si annulla e questo è completamente sensato per i ragionamenti fatti sulla simmetria di un cilindro dove si prova che gli spostamenti deformativi assiali si devono annullare.

Distribuzione degli sforzi di taglio per una sezione trasversale ellittica

Distribuzione della deformazione per una sezione trasversale ellittica

Esempio 2: Torsione di un cilindro sottile

Consideriamo un tubo di raggio interno $R_i$ e raggio esterno $R_o$ fatto di materiale isotropo, omogeneo con modulo di taglio $G$ , come mostrato in fig 17. Notare che questa sezione è delimitata da due curve, $C_i$ e $C_o$ , come mostrato in figura.La funzione di Prandtl per questo problema si assume nella forma: $\phi= Cr^2$ dove $r^2= x_2^2+x_3^2$ e $C$ è una costante da determinare. I valori della funzione di Prandtl lungo le curve $C_i$ e $C_o$ sono rispettivamente $\phi_i=CR_i^2$ e $\phi_o=CR_o^2$ . Dato che $C$, $R_i$ e $R_o$ sono costanti, si ha che le condizioni al contorno sulla funzione tensione, date dall’eq. [1.45b], sono soddisfatte: $d\phi_i/ds_i=d\phi_o/ds_o= 0$$ dove $s_i$ e $s_o$ sono variabili curvilinee lungo $C_i$ e $C_o$ rispettivamente. Si noti che le condizione al contorno richiedono che $\phi$ sia costante lungo le curve $C_i$ e $C_o$ , ma non che $\phi_i=0$ , o $\phi_o=0$ , o $\phi_i=\phi_o$ .Introducendo la funzione di Prandtl assunta all’interno dell’equazione differenziale che governa il problema (1.45) otteniamo $2C+2C=-2G\kappa_1$ . Quindi la funzione di Prandtl diventa $\phi_i=-G\kappa_1r^2/2$ . Questa espressione rappresenta la soluzione esatta del problema, perché la funzione di Prandtl soddisfa l’equazione governa il problema e le relative condizioni al contorno. La distribuzione delle tensioni tangenziali quindi segue dall’eq. (1.41) come $\tau_{12}=-G\kappa_1x_3$ e $\tau_{13}=-G\kappa_1x_2$ .

Sezione di un tubo

Esempio 2: Torsione di un cilindro sottile

Il momento torcente generato da questa distribuzione di tensioni è valutata con l’aiuto dell’eq.(1.46) da cui si ottiene $M_1=\int_0^{2\pi}\int_{R_i}^{R_o}(x_2\tau_{13}-x_3\tau_{12})rdrd\alpha=\int_0^{2\pi}\int_{R_i}^{R_o}G\kappa_1(x_2^2+x_3^2)rdrd\alpha= \frac{\pi}{2}G\kappa_1(R_o^4-R_i^4)=H_{11}\kappa_1$

dove sono state utilizzate le relazioni, $x_2=r\cos\alpha$ e $x_3=r\sin\alpha$ , per trasformare le coordinate cartesiane in polari. Usando l’eq. (1.48) per valutare il momento torcente si ottengono risultati incorretti, come si può facilmente verificare. Questo perché l’eq. (1.48) è stata ottenuta considerando una sezione trasversale compatta limitata da una sola curva.La rigidezza torsionale del tubo a parete sottile è $H_{11}=\pi G(R_o^4-R_i^4)/2$ , che corrisponde ai risultati ottenuti precedentemente, eq. [1.18]. È lasciato al lettore di dimostrare che il campo tensionale ottenuto dalla funzione di Prandtl corrisponde con quello ottenuto nel paragrafo 1.1.2.

La soluzione di Saint Venant per sezioni rettangolari 1.3.3

La formulazione del problema della torsione uniforme per travi con sezione retta di forma arbitraria è trattato nel paragrafo 1.3.2, e richiede l’integrazione di un equazione differenziale a derivate parziali per ogni funzione di ingobbamento, o funzione di Prandtl, vedi, rispettivamente, eq. [1.40] o [1.45]. Eccetto che per le geometrie più semplici, come quella ellittica trattata nell’esempio precedente, la risoluzione esatta del problema è difficile.In questa sezione sono presentati due metodi risolutivi del problema della torsione uniforme per travi con sezione retta di forma rettangolare. La prima, una risoluzione approssimata basata sull’approccio alla collocazione , poi una risoluzione esatta basata sullo sviluppo delle serie di Fourier.

Soluzione approssimata 1.3.3.1

Consideriamo una trave con una sezione retta rettangolare di larghezza $a$ e altezza $b$ , rappresentata in fig. 18. La seguente espressione sarà assunta per la funzione di Prandtl $\phi(\mu, \zeta)=C_0\left(\mu^2-\frac{1}{4}\right)\left(\zeta^2-\frac{1}{4}\right)$

dove $C_0$ è una costante incognita, $\mu= x_2/a$ è la coordinata adimensionale lungo l’asse $i$ , e $\zeta= x_3/b$ lungo l’asse $j$ come mostrato in fig.18. Questa scelta della funzione di Prandtl implica che $\phi(\mu=\pm 1/2,\zeta)=0$ e $\phi(\mu,\zeta=\pm 1/2)=0$ , quindi, $\phi$ si annulla lungo il bordo $C$ della sezione, come richiesto dalle condizioni al contorno del problema, eq. [1.45b].Usando la regola di derivazione per funzioni composte, $\partial/\partial x_2=\partial/\partial\mu(\partial/\partial x_2)$ , dove $\partial\mu/\partial x_2=1/a$ ; una espressione simile vale per $\partial/\partial x_3$ . Sostituendo la funzione di Prandtl nell’equazione differenziale (1.43), otteniamo $2C_0(\zeta^2-1/4)/a^2+2C_0(\mu^2-1/4)/b^2=-2G\kappa_1$ . Questo risultato mostra che la soluzione assunta non soddisfa l’equazione differenziale a derivate parziali. Esistono diversi modi per ottenere una soluzione approssimata, ma uno dei più semplici è soddisfare questa equazione solo in un punto specifico della sezione retta, un approccio chiamato metodo della co-locazione. In questo caso, l’equazione differenziale sarà soddisfatta al centro della sezione, $(\mu,\zeta) = (0,0)$ ; ciò implica che $-C_0/(2a^2)-C_0/(2b^2)=-2G\kappa_1$ . Risolvendola $C_0$ si ottiene $C_0=4G\kappa_1a^2b^2/(a^2+b^2)$

Una trave a sezione rettangolare

Soluzione approssimata 1.3.3.1

La funzione di prandtl assume l’espressione

$\phi(\mu,\zeta)=\frac{4a^2b^2G\kappa_1}{a^2+b^2}\left(\mu^2-\frac{1}{4}\right)\left(\zeta^2-\frac{1}{4}\right)$

Quindi il momento torcente applicato esternamente è dato dall’eq (1.48) come

$M_1=2\int_A\phi dA=\frac{a^2b^2G\kappa_1}{2(a^2+b^2)}\int_A\left(\mu^2-\frac{1}{4}\right)\left(\zeta^2-\frac{1}{4}\right)dA=\frac{2}{9}\frac{a^2b^2G\kappa_1}{2(a^2+b^2)}$

Questo risultato restituisce l’espressione della rigidezza torsionale, $H_{11}= M_1/\kappa_1$ . La rigidezza torsionale adimensionale, $\overline H_{11}=H_{11}/(ab^3G)$ , diventa

$\overline H_{11}=\frac{H_{11}}{ab^3G}=\frac{2}{9}\frac{1}{1+(b/a)^2}$ (1.52)

La funzione tensione può essere espressa in termini di momento torcente applicato come $\phi=19M_1(\mu^2-1/4)(\zeta^2-1/4)/(ab)$ . Il campo degli sforzi di taglio è ora ricavato dall’eq. [1.41] come

$$$\tau_{12}=\frac{1}{b}\frac{\partial\phi}{\partial\zeta}=\frac{36M_1}{ab^2}\left(\mu^2-\frac{1}{4}\right)\zeta$ $\tau_{13}=\frac{1}{a}\frac{\partial\phi}{\partial\mu}=\frac{36M_1}{a^2b}\left(\zeta^2-\frac{1}{4}\right)$$$

Soluzione esatta con l’uso delle serie di Fourier

Consideriamo una trave con una sezione retta rettangolare di larghezza $a$ e altezza $b$, rappresentata in fig. 18. Lo sviluppo in serie di Fourier della funzione di Prandtl verrà assunta come soluzione del problema

$\phi(\mu,\zeta)=\sum_{i=dispari}^{\infty}\sum_{j=dispari}^{\infty}C_{ij}\cos i \pi\mu\cos j\pi\zeta$

dove $\mu= x_2/a$, $\zeta= x_3/b$ e $C_{ij}$ sono coefficienti incogniti.E’ possibile verificare che la soluzione ottenuta soddisfa le condizioni al contorno del problema, eq. [1.45b]. Invece $\eta=\pm 1/2$ , $\cos(i\pi\mu)=\cos(\pm i \pi/2)=0$ per tutti i valori dispari di $i$ valori dispari; similmente, $\phi$ si annulla per $\zeta=\pm 1/2$ per tutti i valori dispari di $j$ . La funzione $\phi$ non si annulla sul bordo per ogni valore di $i$ e $j$ , e questo è perché solo i valori dispari di $i$ e $j$ sono inclusi nell’espressione della funzione di Prandtl. Sostituendo l’espressione all’interno dell’equazione differenziale a derivate parziali di controllo, eq. [1.43], si ottiene

$\sum_{i=dispari}^{\infty}\sum_{j=dispari}^{\infty}C_{ij}\left[\left(\frac{i\pi}{a}\right)^2+\left(\frac{j\pi}{b}\right)^2\right]\cos i \pi\mu\cos j\pi\zeta= 2G\kappa_1$

Da questa equazione si ottiene un sistema di equazioni da cui ricavare le incognite $C_{ij}$ . La valutazione di questi coefficienti si basa su una proprietà di ortogonalità del coseno. L’equazione su scritta viene prima moltiplicata per $\cos m\pi\mu\cos n\pi\zeta$ , dove $m$ e $n$$ sono numeri interi dispari arbitrari, poi integrando sulla sezione retta si ottiene $\sum_{i=dispari}^{\infty}\sum_{j=dispari}^{\infty}C_{ij}\left[\left(\frac{i\pi}{a}\right)^2+\left(\frac{j\pi}{b}\right)^2\right]\left[\int_{-1/2}^{1/2}\cos i \pi\mu \cos m\pi\mu d\mu\right]\left[\int_{-1/2}{1/2}\cos j\pi\zeta \cos n\pi\zeta d\zeta\right]=-2G\kappa_1\left[\int_{-1/2}^{1/2}\cos m\pi\mu d\mu\right]\left[\int_{-1/2}{1/2}\cos n\pi\zeta d\zeta\right]$

Soluzione esatta con l’uso delle serie di Fourier

L’integrale tra parentesi può essere valutato in forma chiusa, e si annulla quando $m\ne i$ e $n\ne j$ , quindi eliminando le sommatorie. I termini rimanenti sono

$C_{mn}\left[\left(\frac{m\pi}{a}\right)^2+\left(\frac{j\pi}{b}\right)^2\right]\frac{1}{4}=\frac{8}{mn\pi^2}(-1)^{(m-1)/2}(-1)^{(n-1)/2}G\kappa_1$

Risolvendo in funzione del coefficiente incognito $C_{mn}$ si ottiene la funzione di Prandtl che assume l’espressione $\phi(\mu,\zeta)=\frac{32G\kappa_1}{\pi^2}\sum_{i=dispari}^{\infty}\sum_{j=dispari}^{\infty}\frac{(-1)^{(i+j-2)/2}}{\left[(i\pi/a)^2+(j\pi/b)^2\right]} \cos i \pi\mu\cos j\pi\zeta$ (1.53)

Se la sezione è limitata da una singola curva, il momento torcente è dato dall’eq. (1.48)

$M_1=\frac{2^8}{\pi^6}ab^3G\kappa_1 \sum_{i=dispari}^{\infty}\sum_{j=dispari}^{\infty}\frac{1}{(ij)^2[i^2(b/a)^2+j^2]}=H_{11}\kappa_1$

dalla quale discende che la rigidezza torsionale adimensionale è

$\overline H_{11}=\frac{H_{11}}{ab^3G}= \frac{2^8}{\pi^6} \sum_{i=dispari}^{\infty}\sum_{j=dispari}^{\infty}\frac{1}{(ij)^2[i^2(b/a)^2+j^2]}$ (1.54)

Soluzione esatta con l’uso delle serie di Fourier

Sebbene nella forma di una doppia serie con addendi infiniti, questa serie converge rapidamente. Per una trave con sezione retta quadrata $a=b$ , la rigidezza torsionale ottenuta usando la doppia serie del seno è $\overline H_{11}=0.140577$ . Considerando un solo termine nella serie, $i=j=1$ , risulta $\overline H_{11}=2^8[1/2]/\pi^6=0.133$ . Un errore del 5 percento. La serie a quattro termini corrispondente ai valori di $i$ e $j$ pari a 1 e 3 fornisce $\overline H_{11}=2^8[1/2+1/90+1/90+1/1458]/\pi^8=0.139$ , un errore dell’un percento. Il campo delle tensioni tangenziali ora discende dall’eq. [1.41] come

$\tau_{12}=-\frac{2^5}{\pi^3}\frac{bG}{H_{11}}M_1 \sum_{i=dispari}^{\infty}\sum_{j=dispari}^{infty}\frac{(-1)^{(i+j-2)/2}}{i[i^2(b/a)^2+j^2]} \cos\frac{i\pi x_2}{a}\sin{j\pi x_3}{b}$ (1.55a)

$\tau_{13}=-\frac{2^5}{\pi^3}\frac{b^2G}{aH_{11}}M_1 \sum_{i=dispari}^{\infty}\sum_{j=dispari}^{infty}\frac{(-1)^{(i+j-2)/2}}{j[i^2(b/a)^2+j^2]} \sin\frac{i\pi x_2}{a}\cos{j\pi x_3}{b}$ (1.55b)

Ancora una volta i risultati sono in forma di una doppia serie, che è difficile da valutare in forma esatta, ma converge rapidamente. La funzione di Prandtl e la distribuzione delle tensioni tangenziali sono mostrati in fig.19 e 20, rispettivamente, [1.22] e [1.23], per $a=4$ e $b=2$ . Per il diagramma delle tensioni tangenziali, le componenti $\tau_{12}$ e $\tau_{13}$ , sono convertite in vettori e rappresentate da frecce la cui lunghezza è proporzionale alla loro intensità.

Funzione tensione

Confronto delle soluzioni

La soluzione ottenuta mediante lo sviluppo in serie di Fourier vista nel paragrafo precedente converge al valore esatto della soluzione del problema all’aumentare del numero di termini usati nella serie. In pratica, la soluzione esatta può essere ottenuta con l’uso di un grande, ma finito, numero di termini in tutte le serie. La soluzione ottenuta mediante l’approccio della co-locazione verrà nel seguito indicato come soluzione approssimata. La rigidezza torsionale adimensionale, $\overline H_{11}$ , valutata utilizzando il metodo della co-locazione e l’approccio delle serie di Fourier, vedi rispettivamente le eq. [1.52] e [1.54], sono confrontate in fig.21. Entrambe le soluzioni coincidono per valori dei rapporti $a/b$ prossimi all’unità, ma la soluzione approssimata sottostima i valori della rigidezza per valori più alti di tali rapporti. Per una striscia sottilissima, $a/b\to\infty$ , $\overline H_{11}=1/3=0.333$ per la soluzione esatta, ma $\overline H_{11}=2/9=0.222$ per la soluzione approssimata, un 33 percento di errore.I massimi valori delle componenti degli tensione tangenziale, $\tau_{12}$ e $\tau_{13}$ , sono trovati nei punti $A$ e $B$ , rispettivamente, nella mezzeria dei due lati, vedi fig. 18. La soluzione approssimata fornisce $ab^2|\tau_{12}^B|/M_1=4.5$ e $ab^2|\tau_{13}^A|/M_1=4.5b/a$ . La soluzione esatta è ottenuta dalle serie nelle eq. [1.55]. Le fig. 22 e 23 mostrano, rispettivamente, le tensioni tangenziali nei punti $B$ e $A$ come funzioni del rapporto $a/b$ . Il massimo sforzo di taglio si attinge nel punto $B$ , cioè il punto medio del lato più lungo della sezione. Per una striscia sottile $ab^2|\tau_{12}^B|/M_1=3$ .Si trovano ampie discrepanze tra le due soluzioni. La soluzione approssimata ottenuta tramite la co-locazione non è sufficiente a stimare accuratamente la distribuzione tensionale nella sezione.

Tensione tangenziale adimensionale nel punto B rispetto al rapporto a/b

Distribuzione degli sforzi di taglio lungo la sezione. Le frecce rappresentano gli sforzi di taglio i contorni valori costanti della funzione phi

Rigidezza torsionale adimensionale H11 rispetto al rapporto a/b

Tensione tangenziale adimensionale nel punto B rispetto al rapporto a/b

Tensione tangenziale nel punto A rispetto al rapporto a/b

Torsione di una sezione retta rettangolare sottile 1.4

La torsione di una striscia rettangolare sottile è un problema importante che forma le basi per l’analisi delle travi con sezione retta sottile. Una soluzione esatta per il caso restrittivo di una striscia molto sottile può essere facilmente sviluppato. Consideriamo la striscia rettangolare sottile in fig. 24, dove $b$ è il lato più lungo della sezione retta preso lungo l’asse $j$ , e $t$ lo spessore della striscia. Se lo spessore è molto inferiore alla lunghezza, quindi, $t<<b$ , è ragionevole assumere che entrambe le funzioni tensione e i campi di distribuzione delle tensioni tangenziali siano quasi costanti lungo l’asse $j$ . Questo implica che $\partial\phi/\partial x_3 \approx 0$ . Il termine $\partial^2\phi/\partial^2 x_3$ che appare nell’equazione di controllo della funzione di Prandtl, eq. (1.43), ora è nulla e l’equazione si semplifica alla seguente equazione differenziale ordinaria

$\frac{d^2\phi}{dx_2^2}=-2G\kappa_1$ (1.56)

Questa equazione viene facilmente integrata ricavando $\phi(x_2)=-G\kappa_1x_2^2+C_1x_2+C_2$ , dove $C_1$ e $C_2$ sono due costanti d’integrazione. Le condizioni al contorno, eq. (1.45b), comportano che $\phi(x_2=\pm t/2)=0$ , che implica $C_1=0$ e $C_2=G\kappa_1t^2/4$ . La funzione tensione quindi diventa

$\phi(x_2)=-G\kappa_1\left(x_2^2-\frac{t^2}{4}\right)$ (1.57)
Il momento torcente risultante viene calcolato usando l’eq. [1.48] per trovare

$M_1=2\int_A\phi dA=-2G\kappa_1\int_{-t/2}^{t/2}\left(x_2^2-\frac{t^2}{4}\right)bdx_2=\frac{1}{3}G\kappa_1bt^3$

Torsione di una sezione retta rettangolare sottile 1.4

Questo risultato rivela la rigidezza torsionale della sezione, $H_{11}= M_1/\kappa_1$ , con

$H_{11}=\frac{1}{3}Gbt^3$ (1.58)

La distribuzione delle tensioni tangenziali si ottiene mediante l’eq. [1.41] con

$\tau_{12}=\frac{\partial\phi}{\partial x_3}=0, \qquad \tau_{13}=-\frac{\partial\phi}{\partial x_2}=2G\kappa_1x_2=\frac{6M_1}{bt^3}x_2$ (1.59)

Questa distribuzione è raffigurata nella parte destra della fig. 24. Il massimo sforzo di taglio si ha lungo tutto il bordo più lungo della sezione, dove $x_2= \pm t/2$ , ed è di ampiezza $|\tau^{max}|=3M_1/(bt^2)$ .La funzione di ingobbamento $\psi$ può essere valutata sostituendo la soluzione della funzione di Prandtl, eq. (1.57), nell’eq. (1.42) per ottenere due equazioni differenziali a derivate parziali

$$$\frac{\partial\psi}{\partial x_2}=\frac{1}{G\kappa_1}\frac{\partial\phi}{\partial x_3}+x_3=x_3$ $$$\frac{\partial\psi}{\partial x_3}=-\frac{1}{G\kappa_1}\frac{\partial\phi}{\partial x_2}-x_2=x_2$

Torsione di una sezione retta rettangolare sottile 1.4

le cui soluzioni sono rispettivamente $\psi=x_3x_2+f(x_3)$ e $\psi=x_3x_2+g(x_2)$ ; $f(x_3)$ e $g(x_2)$ sono due funzioni arbitrarie. Dato che il problema deve avere un’unica soluzione, le due espressioni per $\psi$ devono essere uguali. Questo è possibile se $f(x_3) =g(x_2) =0$ ,che genera la seguente espressione per la funzione di ingobbamento $\psi=x_2x_3$ . Lo spostamento assiale, $u_1(x_2, x_3)$ , può essere determinato sostituendo questi risultati nell’eq. [1.32a] ottenendo $u_1(x_2,x_3)=\psi(x_2,x_3)\kappa_1=\kappa_1x_2x_3$ Come detto nella sezione 1.3.1, la funzione di ingobbamento per una sezione rettangolare deve essere asimmetrica rispetto agli assi $i$ e $j$ . Le soluzioni ottenute sopra soddisfano infatti questi requisiti di antisimmetria, come mostrato in fig. 25.

Torsione di una sezione aperta a parete sottile 1.5

I risultati visti nella sezione precedente possono essere facilmente estesi alle sezioni aperte a parete sottile di forma arbitraria. La soluzione sviluppata per una striscia rettangolare sottile è basata sulla posizione che il gradiente della funzione di Prandtl si annulla in direzione parallela alla parete sottile; per la striscia sottile mostrata in fig. 24, questo significa lungo l’asse $\mathbf{j}$ . Di certo, la parete sottile essendo stata rotata di 90°, il gradiente della funzione tensione è stato assunto nullo lungo l’asse $\mathbf{i}$ .Più in generale, il gradiente delle funzioni tensionali dovrebbe annullarsi lungo i punti tangenti alla sezione a parete sottile, e la corrispondente distribuzione degli sforzi di taglio sarà lineare attraverso lo spessore della parete. Per le sezioni aperte a parete sottile, la geometria della sezione trasversale può essere rappresentata da una curva aperta $C$ disegnata lungo la linea media della parete, come mostrato in fig. 26 per una sezione a semicirconferenza sottile.Gli sviluppi del precedente paragrafo possono essere ancora applicati a una sezione aperta a parete sottile con una curvatura generica, e tramite lo sviluppo dell’eq. [1.58], la rigidezza torsionale di tale sezione diventa

$H_{11}=G\frac{lt^3}{3}$ (7.61)

dove $l$ è la lunghezza della curva $C$ e $t$ lo spessore della parete. Per esempio la rigidezza torsionale della sezione semicircolare mostrata in fig. 24 è $H_{11}=G\pi Rt^3/3$ .Per le sezioni sottili rettangolari, lo sforzo di taglio $\tau_{12}$ si annulla lasciando $\tau_{13}$ come unico componente tensionale, vedi eq. (1.59). Per il problema attuale l’unico componente della tensione che non si annulla è la tensione tangenziale parallela alla linea media $\tau_{s}$ , che agisce in direzione parallela alla curva $C$ .

Torsione di una sezione aperta a parete sottile 1.5

Ancora una volta la tensione tangenziale non è uniforme attraverso lo spessore, ma invece, varia linearmente da zero, sulla linea media, al valore massimo, negativo o positivo, sulle facce opposte della parete, a distanza $\pm t/2$ dalla linea media. A questo punto il valore massimo della tensione tangenziale è

$\tau_s^{max}=Gt\kappa_1$ (1.62)

La massima tensione tangenziale può essere espresso anche in termini di momento torcente applicato come

$\tau_s^{max}=\frac{3M_1}{lt^2}$ (1.63)

Una sezione sottile aperta più generale può essere composta da un certo numero di segmenti sottili e curvi, come mostrato in fig. 27. In questo caso la rigidezza torsionale della sezione retta è la somma delle rigidezze torsionali dei singoli segmenti, e può essere espressa come

$H_{11}=\sum_iH_{11}^{(i)}=\frac{1}{3}=\sum_iG_il_it_i^3$ (1.64)

dove $G_i$ , $l_i$ e $t_i$ sono, rispettivamente, i moduli di taglio, la lunghezza e lo spessore dell’ $i$ -esimo segmento. Il modulo di taglio lungo il bordo di ogni segmento è ancora dato dall’eq. (1.62) dove $k_1$ il tasso di torsione della sezione trasversale. Quindi la massima tensione tangenziale sarà trovata nel segmento con lo spessore maggiore

$\tau_s^{max}=Gt_{max}\frac{M_1}{H_{11}}$ (1.65)

Sezione semicircolare a sezione sottile

Sezione aperta a parete sottile formata da diverse curve

Torsione di una sezione aperta a parete sottile 1.5

dove $t_{max}$ è lo spessore del segmento di maggior spessore.La deformazione delle sezioni aperte a parete sottile è più complessa e coinvolge non solo il comportamento deformativo di un sottile striscia rettangolare,come si e visto nel paragrafo 1.4 e definita dall’eq. (1.60), ma coinvolge una ben più grande deformazione dell’intera sezione retta.

Sezione a parete sottile

Torsione di una sezione a parete sottile 1.5.1

Consideriamo, per esempio, la sezione a $C$ mostrata in fig. 28. La rigidezza torsionale della sezione è data dall’eq. [1.64] con

$H_{11}=\frac{G}{3}(bt^3_f+ht^3_w+bt^3_f)=\frac{G}{3}(ht^3_w+2bt^3_f)$ (1.66)

La tensione tangenziale sul bordo esterno della parete è dato dall’eq. [1.62] con $\tau_w=Gt_w\kappa_1=Gt_wM_1/H_{11}$ e $t_f=Gt_f\kappa_1=Gt_fM_1/H_{11}$ , per gli sforzi nell’anima e nelle ali, rispettivamente. La massima tensione tangenziale si troverà nel segmento di massimo spessore.