Nel seguito, per semplicità, faremo riferimento ad uno spazio vettoriale di dimensione tre.
Si definisce prodotto vettoriale in una funzione, denotata con , definita in ed a valori in tale che, , ,
con
Dal punto di vista geometrico è l’area del parallelogramma i cui lati, di lunghezza e , si intersecano formando un angolo .
In particolare .
Sfruttando la proprietà è possibile anche dimostrare che
(2.1)
e
In particolare la proprietà e la (2.1) consentono di affermare che l’operatore inteso come trasformazione di è lineare. Quindi è un tensore che si denota con . In altri termini si scrive
, (2.2)
e mostreremo tra breve che è un tensore emisimmetrico.
Si consideri infatti l’ulteriore operazione :
(2.3)
detta prodotto misto. Come è noto essa fornisce il volume del parallelepipedo i cui lati sono definiti dai vettori , e .
Ebbene, assegnata una base ortonormale risulta
essendo una arbitraria permutazione pari degli indici , e ovvero una possibile fra le terne , , .
Ad esempio per , e risulta
Infatti, sicchè
D’altra parte per la proprietà del prodotto vettoriale risulta
sicché
Risultando altresì
deve necessariamente essere
Uno spazio vettoriale nel quale si scelga ovvero
(2.4)
viene detto con orientazione positiva. Nel seguito faremo sempre riferimento a spazi vettoriali con orientazione positiva. In tal caso, con ragionamento analogo a quello precedente si dimostra che
(2.5)
Possiamo quindi esprimere il prodotto scalare in termini di componenti rispetto ad una base cartesiana scrivendo
(2.6)
in virtù delle proprietà del prodotto vettoriale introdotte in precedenza nonchè di quelle riportate in (2.5)
La (2.6) si esprime in modo ancora più sintetico come segue
(2.7)
Introducendo il cosiddetto simbolo di permutazione definito da
Infatti sviluppando per esteso la (2.7) si ha, per
(2.8)
ovvero la prima componente nella formula (2.6). Ponendo e si ricavano in modo analogo la seconda e terza componente di in (2.6). Ulteriori proprietà del simbolo di permutazione, molto utili nelle applicazioni sono le seguenti
Identità
È l’identità che si ottiene considerando il prodotto di due permutazioni, ovvero
Infatti il prodotto dei permutatori a primo membro è sempre diverso da zero purchè le coppie di indici contengano la stessa coppia di indici, indipendentemente del loro ordine, e queste siano diverse da .
Se le coppie di indici e coincidono anche nell’ordine il prodotto dei permutatori a primo membro è pari a 1, poiché le permutazioni delle terne e saranno entrambi pari o entrami dispari, come il primo dei prodotti a secondo membro.
Viceversa, se l’ordine degli indici e è diverso il prodotto a primo membro è pari a -1 come il secondo dei prodotti a secondo membro. Infatti il primo dei prodotti è nullo, essendo per ipotesi e , mentre sarannno pari a sia che .
Nell’ipotesi in cui le coppie di indici e siano diverse, uno dei permutatori sarà sempre nullo in quanto l’indice , che sottintende una sommatoria, sarà sempre coicidente con almeno uno degli indici della coppia . In questo caso l’annullarsi del primo membro si verifica anche a secondo membro poiché se , in quanto gli indici e sono uguali, sarà certamente poichè per ipotesi gli indici nelle coppie e sono distinti.
Come caso particolare dell’identità si ricava l’ulteriore risultato
(2.9)
da cui consegue altresì
Invocando la (2.9) si può anche scrivere
Poiché la relazione precedente vale per un generico versore si ricava
In uno spazio vettoriale con orientazione positiva risulta
(2.10)
o, equivalentemente
(2.11)
La relazione precedente può anche scriversi
(2.12)
In quanto, essendo in uno spazio con orientazione positiva, rappresenta il valore assunto dal primo membro in funzione della permutazione degli indici , e . Conseguentemente si ricava dalla (2.3)
(2.13)
e
ovvero
Assegnati tre vettori arbitrari , ,
sono linearmente dipendenti
Infatti, se , e sono linearmente dipendenti con e sicché sussiste l’implicazione nella relazione precedente in virtù della proprietà del prodotto scalare e di quella del prodotto vettoriale.
Per dimostrare l’implicazione nella relazione precedente supponiamo . Se , e sono paralleli e quindi i vettori , e sono linearmente dipendenti. Nell’ipotesi , e cioè e linearmente indipendenti, escludiamo il caso perchè in tal caso i vettori , e sarebbero banalmente lineramente indipendenti. Dunque se e risulta gioco forza a dove il simbolo indica “ortogonale”. In tale caso appartiene al sottospazio individuato da e ossia quello per il quale e , per ipotesi linearmente indipendenti, formano una base. Quindi , e sono lineramente dipendenti. In virtù della proprietà precedente e della definizione di tensore trasposto si ricava dalla (2.2) che
ovvero
e quindi che è un tensore emisimmetrico.
Il tensore viene anche detto tensore emisimmetrico associato ad e quest’ultimo vettore assiale associato a .
Dalla definizione (2.2) di tensore emisimmetrico associato ad , ovvero
si ricavano come segue le componenti di a partire da quella di .
Infatti, per definizione di matrice associata ad un tensore si ha, ricordando altresì la (2.10)
In termini matriciali si ha
Viceversa, per ricavare le componenti del vettore assiale a partire da quelle di un tensore emisimmetrico si procede come segue
Esprimiamo la (2.2) in componenti
ovvero
Sfruttando la (2.9) possiamo scrivere
e quindi
ossia
Si definiscono invarianti di un tensore di ordine 2, e si denotano con , e , gli scalari che godono delle seguenti proprietà , , .
In particolare l’invariante di ordine tre, ovvero è denotato più comunemente determinante di e viene indicato con . Quindi il suo significato geometrico è quello di fornire il rapporto tra il volume associato ai tre vettori , e (purché linearmente indipendenti) e quello associato ai rispettivi trasformati tramite , ovvero , e .
In effetti, le formule precedenti sussistono anche se . Infatti, dalla prima si ricava, ponendo , e
in virtù delle (2.12) e (2.13).
Analogamente si ragiona per le altre due relazioni delle (2.14b) e (2.14c). In definitiva, ad ogni tensore di ordine 2 sono univocamente associati tre scalari che costituiscono una proprietà intrinseca di , quindi indipendentemente dalla particolare rappresentazione matriciale di in un assegnato sistema di riferimento.
Questa proprietà diventerà ancora più significativa nel seguito quando si introdurranno le trasformazioni di similitudine per un tensore.
Un tensore è invertibile se e solo se .
Infatti, senza ledere la generalità della trattazione, possiamo scegliere , e in (2.14c) ottenendo
Quindi, se , i vettori , e sono linearmente indipendenti. Ne consegue che, scelto un arbitrario di componenti , e , risulterà
Pertanto, essendo , e linearmente indipendenti, l’equazione
ammette sola la soluzione banale . Quindi è invertibile.
Viceversa se è invertibile, i vettori , e sono linearmente indipendenti; ciò implica
Sfruttando la definizione (2.14c) di determinante di un tensore si dimostra agevolmente che
(2.15)
In particolare se è invertibile, ovvero , si ricava
(2.16)
essendo
In base alla definizione (2.14c) di determinante risulta
avendo posto , , , , ecc….
La relazione precedente si scrive anche
(2.17)
sicché ponendo , e risulta
che costituisce la cosiddetta regola di Binet per il calcolo del determinante di una matrice.
Dalla (2.17) si ricava anche, moltiplicando per e ricordando il risultato ,
Dalla relazione precedente consegue altresì
Pertanto i tensori ortogonali, e cioè quelli definiti da
sono anche caratterizzati dalla proprietà
in virtù della (2.15).
In particolare i tensori ortogonali per i quali si chiamano rotazioni e si indicano comunemente con il simbolo .
Si definisce aggiunto di un tensore il tensore definito dalla seguente proprietà
(2.18)
la cui motivazione sarà maggiormente chiarita quando si introdurrà il concetto di polinomio caratteristico di . Per illustrare il legame tra l’agginuto di e si ponga nella relazione precedente. Si ottiene allora
ovvero
(2.19)
In particolare, se è invertibile, si ricava dalla relazione precedente
(2.20)
ciò che costituisce una utile caratterizzazione dell’inversa di un tensore. Le componenti cartesiane di si ottengono a partire da quella di utilizzando la (2.18)
ovvero
(2.21)
Pertanto
da cui si ottiene
e cioè
Moltiplicando ambo i membri per e ricordando la proprietà si ottiene quindi
(2.22)
che fornisce il risultato cercato.
La (2.21) consente anche di introdurre il cofattore di , denotato con e caratterizzato dalla proprietà
(2.23)
come il tensore per il quale
Mostreremo fra breve che il secondo invariante di , denotato in precedenza con , dipende da questi due tensori nel senso che
(2.24)
avendo indicato con il simbolo il primo invariante di un tensore .
Dalle (2.22) e (2.23) si ricava
Nel caso la formula precedente corrisponde a costruire operativamente la matrice associata ad come segue
essendo il determinante della matrice ottenuta da rimuovendo la colonna.
Ad esempio
Abbiamo già anticipato, nel caratterizzare il secondo invariante di un tensore tramite la (48), che la traccia di un tensore , denotata con
costituisce il primo invariante di ovvero lo scalare che soddisfa la (2.14c). In termini di componenti cartesiane risulta
e cioè la traccia di un tensore costituisce la somma degli elementi della diagonale principale della matrice associata ad . Infatti, ponendo , e nella (2.14c), si ha
ovvero
In virtù delle proprietà del prodotto misto e di quelle che definiscono un tensore, consegue dalla (2.14c) che
Inoltre
(2.25)
Infatti
La proprietà (2.25) viene utilizzata per munire lo spazio di prodotto interno
Risulta altresì
e
Infine
se è emisimmetrico.
Assegnato un tensore e uno scalare si definisce polinomio caratteristico di il polinomio definito da
Una fondamentale proprietà del polinomio caratteristico, particolarmente utile per le applicazioni, è fornita dal risultato seguente
(2.26)
con
(2.27)
Infatti, dalla (2.14c) consegue
ovvero, sviluppando i prodotti
Il coefficiente di è, per definizione, così come l’ultimo termine è pari a .
Il coefficiente di è invece pari a
in base alla definizione (2.18) di tensore aggiunto.
La relazione precedente si scrive anche
da cui scaturisce la (2.26)
Vogliamo ora dimostrare il seguente importante
– Ogni tensore soddisfa la sua equazione caratteristica, ovvero
(2.28)
Infatti, in base alla (2.18) risulta
(2.29)
D’altra parte dalla definizione (2.18) di tensore aggiunto scaturisce che è un polinomio tensoriale di secondo grado in , ovvero
(2.30)
con , e tensori da determinare. Poichè la relazione precedente deve valre per ogni scalare si ha banalmente, per , che . Peraltro, sostituendo le (2.26) e (2.30) nella (2.29) e uguagliando in ambo i membri, rispettivamente, i termini dipendenti da ,, e si ottiene
(2.31a)
(2.31b)
(2.31c)
(2.31d)
La prima delle relazioni precedenti è la proprietà (2.19) di . Moltiplicando le quattro relazioni precedenti, rispettivamente, per , , e si ottiene il risultato. Sommando alla (2.31b) la (2.31c) moltiplicata per e ricordando che si ottiene
Considerando la traccia dell’identità precdente e osservando che si ricava
ovvero
(2.32)
Non è superfluo evidenziare la differenza esistente tra i due termini a secondo membro dell’espressione precedente. Il primo rappresenta il quadrato di mentre il secondo la traccia del tensore .
Assegnato un tensore invertibile è spesso molto utile esprimere gli invarianti di in funzione di quelli di . In particolare, ricordando la formula (2.16) si ha banalmente
Analogamente, dalla (2.20) consegue
Infine, scambiando tra loro e nelle relazioni precedenti si ricava
Un’altra utile identità si ottiene considerando la traccia di ambo i membri della (2.28). si ottiene infatti
ovvero
Consideriamo la relazione (2.33)
con e vettore arbitrario di . Evidentemente, se , risulterà
In particolare, supponendo che il vettore sia il trasformato di tramite un tensore invertibile, ovvero
si avrà, in generale
Viceversa, per motivi che saranno più chiari tra breve, vogliamo capire se, fissati e , esiste un tensore per il quale
con tale da soddisfare la (2.33).
Sostituendo quest’ultima nella relazione precedente si ricava banalmente
(2.34)
e si dice che i tensori e sono simili rispetto alla traformazione .
Per fornire una interpretazione alternativa e più suggestiva del risultato precedente consideriamo il seguente problema. Assegnato un tensore invertibile e due basi, non necessariamente cartesiane, e con vogliamo stabilire il legame esistente tra i tensori che hanno le stesse componenti, siano esse , nelle due basi.
In altri termini, posto
e
ci chiediamo quale legame esista tra e .
Essendo
risulta
(2.35)
D’altra parte, avendo supposto che ha nella base le stesse componenti di nella base risulta
ovvero
(2.36)
Confrontando le (2.35) e (2.36) ne consegue che
o, equivalentemente,
relazione coincidente con la (2.34).
Questo ulteriore risultato giustifica l’aggettivo simile utilizzato per caratterizzare tensori legati dalla proprietà (2.34). Infatti essi sono tutti e soli quei tensori che hanno le stesse componenti in basi diverse. Conseguentemente, è lecito aspettarsi che tensori simili siano caratterizzati dagli stessi valori dei rispettivi invarianti, e cioè che risulti
Infatti
in virtù della (2.25)
Analogamente, dalla (2.32) consegue
Infine, in virtù della (2.15) si ha
Nel caso particolare che il tensore sia ortogonale la relazione di similitudine tra i tensori e si scrive
(2.37)
ed essa assume un’importanza fondamentale nel caratterizzare il comportamento costitutivo dei materiali. Non è superfluo evidenziare la differenza concettuale esistente tra la relazione precedente e quella, solo apparentemente simile,
(2.38)
ricavata nella formula (1.55). Infatti la (2.37) esprime il legame tra due operatori diversi, ovvero e , ma accomunati dal fatto di avere le stesse matrici associate in due sistemi di riferimento diversi, sistemi le cui basi sono collegate tra loro per il tramite dell’operatore .
Viceversa la (2.38) esprime il legame tra le matrici e , diverse tra loro, associate al medesimo operatore allorquando esso viene rappresentato in due sistemi di riferimento le cui basi sono messe in relazione tramite il tensore .
2. CALCOLO TENSORIALE - parte 1
3. CALCOLO TENSORIALE - parte 2
9. SOLLECITAZIONE DI TAGLIO E TORSIONE
10. PRESSOFLESSIONE
11. Torsione