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Luciano Rosati » 6.SFORZO NORMALE E FLESSIONE

Generalità (1/9)

Vogliamo ora procedere a determinare il campo di spostamenti e tensioni indotto nel cilindro di De Saint Venant quando il sistema di forze superficiali applicato alle basi comporti, come uniche caratteristiche della sollecitazione diverse da zero, la forza normale $N$ e due momenti flettenti $M_x$ e $M_y$ agenti secondo due assi arbitrari, ancorchè ortogonali, della sezione retta $\Sigma$ .

Come già anticipato nella discussione del problema generale di De Saint Venant il tensore delle tensioni in un punto arbitrario del solido si riduce alla sola componente $\sigma_{z}$ , ovvero

$[\mathbf{T}]=\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&\sigma_{z} \end{bmatrix} $

(6.1)

in cui si è omessa, come di consueto, la dipendenza esplicita di $\mathbf{T}$ dal punto generico $p=(x,y,z)^T$ del solido.

Generalità (2/9)

Conseguentemente, considerata la generica sezione $\Sigma$ a distanza $z$ dall’origine del sistema di riferimento, il vettore delle caratteristiche della sollecitazione agente su $\Sigma$ sarà costituito da

$\mathbf{c}_\Sigma(z)=\begin{vmatrix}N\\M_x\\M_y\end{vmatrix}=\mathbf{c}_{\Sigma_l} $

(6.2)

e coinciderà con l’analogo vettore relativo alla sezione $\Sigma_{l}$ . Dunque esso non dipende dall’ascissa $z$ . Iniziamo a caratterizzare la forma che deve possedere la funzione $\hat{\sigma}_z:p\to\sigma_{z}$ ossia la funzione che ad ogni punto $p$ del solido associa il corrispondente valore della $\sigma_{z}$ .

A tal fine sappiamo che le $\sigma_{z}$ sono legate al vettore $\mathbf{c}_\Sigma(z)$ da equazioni di equilibrio locali, e cioè equazioni definite a livello di sezione, e che $\mathbf{c}_\Sigma$ non dipende da $z$ , cfr. (6.2). Quindi, è lecito attendersi che $\sigma_z$ non dipenda da $z$ . Inoltre essendo legata ai tre parametri che definiscono $\mathbf{c}_\Sigma$ , ovvero $N$ , $M_x$ e $M_y$ , è ragionevole ipotizzare che la $\sigma_z$ dipenda linearmente dalle variabili $x$ e $y$ definite nel piano della sezione.

Figura 1

Generalità (3/9)

$\sigma_z= \hat{\sigma}_z\,(p)= \hat{\sigma}_z\,(x,y,z)= \sigma_O + g_x\,x + g_y\,y = \sigma_O + {\boldsymbol\kappa}_\sigma\cdot \boldsymbol\rho$

(6.3)

in cui

$\boldsymbol\rho= \begin{vmatrix} x \\ y \end{vmatrix} $

(6.4)

è il vettore bidimensionale che racchiude le componenti nel piano del generico vettore $p$ ; pertanto, vedi figura 1.

$\mathbf{r} = \begin{vmatrix} \vspace{0.15cm} \boldsymbol\rho \\ 0 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \vspace{0.09cm} x \\ \vspace{0.215cm} y \\ 0 \end{vmatrix}$

(6.5)

Generalità (4/9)

Il simbolo adottato per denotare il vettore di componenti $g_x$ e $g_y$ ,

${\boldsymbol\kappa}_\sigma= \begin{vmatrix} g_x \\ g_y \end{vmatrix} $

(6.6)

oltre che da esigenze di carattere formale legate alla denominazione di vettori bidimensionali mediante lettere greche, è giustificata dal significato fisico che esso assume allorquando viene diviso per il modulo di Young $$E$ $ . Infatti, come si vedrà nel seguito, il vettore ${\boldsymbol\kappa}=\boldsymbol\kappa_\sigma/E$ ha il significato fisico di curvatura (linearizzata) del cilindro di De Saint Venant ed è prassi denotare tali curvature con la lettera $\mathbf{k}$ . Viceversa la denominazione adottata per le componenti di ${\boldsymbol\kappa}_\sigma$ deriva dal fatto che esse rappresentano le componenti del vettore gradiente della legge lineare $\hat{\sigma}_z:p\to\sigma_{z}$ .

Generalità (5/9)

Una derivazione rigorosa della (6.3) è stata ottenuta da Baldacci, negli anni 1955-1957, attaverso una originale soluzione del problema di De Saint Venant basata sull’approccio alle tensioni, ovvero sull’uso delle equazioni di Beltrami-Michell.

Dalla terza equazione indefinita di equilibrio

$\frac{\partial \tau_{zx}}{\partial x}+\frac{\partial \tau_{zy}}{\partial y}+\frac{\partial\sigma_z}{\partial z}=0$

(6.7)

consegue che

$\frac{\partial \sigma_z}{\partial z}=0 $

(6.8)

in quanto, per ipotesi, $\tau_{zx}=\tau_{zy} = 0$ .

Dunque la funzione $\sigma_z$ è indipendente da $z$ come anticipato. Peraltro la soluzione esatta del problema di De Saint Venant, come quella di un qualsiasi problema elastico, deve soggiacere al rispetto delle condizioni di congruenza, oltre ovviamente a quelle di equilibrio, espresse dalla (6.7), e di legame costitutivo.

Generalità (6/9)

Questa proprietà è automaticamente soddisfatta nel cosiddetto approccio seminverso di De Saint Venant, poiché in esso si postulano dei campi di spostamento e da essi si ricava, per derivazione, il campo di deformazione linearizzato $\mathbf{E}_l$ verificando a posteriori che lo stato tensionale $\mathbf{T}$ , associato ad $\mathbf{E}_l$ tramite il legame elastico, produca sulle basi del cilindro le caratteristiche di sollecitazione cercate, ovvero le $c_{\Sigma_O}$ e $c_{\Sigma_l}$ definite dalla (6.2). Nel caso di specie è più semplice, oltre che intuitivo, procedere in maniera opposta, ovvero ipotizzare la rappresentazione attesa del tensore di sforzo, cfr. la (6.1), e ricavare il tensore $\mathbf{E}_l$ , mediante il legame elastico inverso, e da questo, per integrazione, il campo di spostamenti.

Come precisato nel capitolo relativo all’analisi cinematica del continuo, quando si adotta questa procedura occorre imporre il rispetto di alcune condizioni, dette di congruenza o compatibilità, che garantiscono che il campo di spostamenti ottenuto per integrazione del campo di deformazione sia effettivamente quello che restituisce lo stato tensionale assegnato inizialmente attraverso la procedura

$\mathbf{u}\to \mathbf{E}_l= \sym \textnormal{grad}\, \mathbf{u} \to \mathbf{T}=\mathbb{D}\,\mathbf{E}_l $

essendo $\mathbb{D}$ il tensore elastico.

Generalità (7/9)

Come è noto le condizioni di compatibilità di un campo di deformazione infinitesimo $\mathbf{E}_l$ sono espresse dalle relazioni differenziali

$\textnormal{rot}\, \textnormal{rot} \, \mathbf{E}_l=\mathbf{O}$

che si esprimono in forma scalare, come già visto nel capitolo relativo alla cinematica del continuo, nella forma

$(\textnormal{rot}\,\textnormal{rot} \, \mathbf{E}_l)_{ii}=\mathbf{E}_{l_{jj/kk}}+\mathbf{E}_{l_{kk/jj}}-2\,\mathbf{E}_{l_{jk/jk}} $

$(\textnormal{rot}\,\textnormal{rot} \, \mathbf{E}_l)_{ij}=-\mathbf{E}_{l_{kk/ij}}+(\mathbf{E}_{l_{jk/i}}+\mathbf{E}_{l_{ki/j}}-\mathbf{E}_{l_{ij/k}})_{/k}$

con $i, j, k \in \{1,2,3\}$ .

In componenti le 3+3 relazioni precedenti si esprimono come segue, adottando per semplicità la notazione ingegneristica,

$(\textnormal{rot}\,\textnormal{rot} \, \mathbf{E}_l)_{11}&=(\textnormal{rot}\,\textnormal{rot} \, \mathbf{E}_l)_{xx}=\frac{\partial^2{\varepsilon_y}}{\partial{z^2}}+\frac{\partial^2{\varepsilon_z}}{\partial{y^2}}-2\,\frac{\partial^2{\gamma_{yz}}}{\partial{y}\partial{z}}=0$

$(\textnormal{rot}\,\textnormal{rot} \, \mathbf{E}_l)_{22}&=(\textnormal{rot}\,\textnormal{rot} \, \mathbf{E}_l)_{yy}=\frac{\partial^2{\varepsilon_z}}{\partial{x^2}}+\frac{\partial^2{\varepsilon_x}}{\partial{z^2}}-2\,\frac{\partial^2{\gamma_{z\,x}}}{\partial{z}\partial{x}}=0$

$(\textnormal{rot}\,\textnormal{rot} \, \mathbf{E}_l)_{33}&=(\textnormal{rot}\,\textnormal{rot} \, \mathbf{E}_l)_{zz}=\frac{\partial^2{\varepsilon_x}}{\partial{y^2}}+\frac{\partial^2{\varepsilon_y}}{\partial{x^2}}-2\,\frac{\partial^2{\gamma_{x\,y}}}{\partial{x}\partial{y}}=0$

(6.9)

Generalità (8/9)

$(\textnormal{rot}\,\textnormal{rot} \, \mathbf{E}_l)_{13}=(\textnormal{rot}\,\textnormal{rot} \, \mathbf{E}_l)_{xz}=-\frac{\partial^2{\varepsilon_y}}{\partial{z}\partial{x}}+\frac{\partial}{\partial{y}}\,(\frac{\partial{\gamma_{xy}}}{\partial{z}}+\frac{\partial{\gamma_{yz}}}{\partial{x}}-\frac{\partial{\gamma_{zx}}}{\partial{y}})=0$

$(\textnormal{rot}\,\textnormal{rot} \, \mathbf{E}_l)_{12}=(\textnormal{rot}\,\textnormal{rot} \, \mathbf{E}_l)_{xy}=-\frac{\partial^2{\varepsilon_z}}{\partial{x}\partial{y}}+\frac{\partial}{\partial{z}}\,(\frac{\partial{\gamma_{yz}}}{\partial{x}}+\frac{\partial{\gamma_{zx}}}{\partial{y}}-\frac{\partial{\gamma_{xy}}}{\partial{z}})=0$

$(\textnormal{rot}\,\textnormal{rot} \, \mathbf{E}_l)_{23}=(\textnormal{rot}\,\textnormal{rot} \, \mathbf{E}_l)_{yz}=-\frac{\partial^2{\varepsilon_x}}{\partial{y}\partial{z}}+\frac{\partial}{\partial{x}}\,(\frac{\partial{\gamma_{zx}}}{\partial{y}}+\frac{\partial{\gamma_{xy}}}{\partial{z}}-\frac{\partial{\gamma_{yz}}}{\partial{x}})=0$

Nel caso in esame, il legame elastico isotropo inverso e la (6.1) forniscono

$[\mathbf{E}_l]=\frac{1}{E}\,\begin{bmatrix}-\nu\,\sigma_{z} & 0&0\\0&-\nu\,\sigma_{z}&0\\0&0&\sigma_{z}\end{bmatrix}$

(6.10)

Generalità (9/9)

sicchè le (6.9) si specializzano come segue

$-v\,\frac{\partial^2{\sigma_z}}{\partial{z^2}}+\frac{\partial^2{\sigma_z}}{\partial{y^2}} &=0$

$\frac{\partial^2{\sigma_z}}{\partial{x^2}}-v\,\frac{\partial^2{\sigma_z}}{\partial{z^2}} &=0$

$\frac{\partial^2{\sigma_z}}{\partial{y^2}}+\frac{\partial^2{\sigma_z}}{\partial{x^2}} &=0$

$-\frac{\partial^2{\sigma_z}}{\partial{x}\,\partial{y}}=0\quad -\frac{\partial^2{\sigma_z}}{\partial{y}\,\partial{z}} &=0\quad -\frac{\partial^2{\sigma_z}}{\partial{z}\,\partial{x}}=0$

(6.11)

In virtù della (6.8) la prima, seconda e quarta delle relazioni precedenti forniscono

$\frac{\partial^2{\sigma_z}}{\partial{y^2}}=0\qquad \frac{\partial^2{\sigma_z}}{\partial{x^2}}=0\qquad \frac{\partial^2{\sigma_z}}{\partial{x}\,\partial{y}}=0$

sicchè la $\sigma_z$ , oltre che indipendente da $z$ , è lineare in $x$ e $y$ , ciò che giustifica l’espressione (6.3). Prima di procedere alla determinazione esplicita delle costanti $\sigma_O$ , $g_x$ e $g_y$ in funzione di $N$ , $M_x$ e $M_y$ , è istruttivo determinare il campo di spostamenti $\mathbf{u}$ associato al tensore $\mathbf{T}$ fornito dalla (6.1).

Determinazione del campo di spostamenti associato allo sforzo normale e alla flessione (1/2)

Per ricavare il campo di spostamenti $\mathbf{u}$ compatibile con la rappresentazione (6.10) del tensore di deformazione infinitesima è conveniente partizionare $\mathbf{E}_{l}$ come segue

$[\mathbf{E}_l]=\frac{1}{E}\begin{bmatrix}-\nu\,\sigma_{z}&0&\dots&0\\0&-\nu\,\sigma_{z}&\dots&0\\\hdotsfor{4}\\0&0&\dots&\sigma_{z}\end{bmatrix}$

(6.12)

considerando separatamente le componenti di deformazione contenute nel piano della sezione

$[\mathbf{E}_{l_\Sigma}]=-\frac{\nu\,\sigma_z}{E}\,\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}=-\frac{\nu\,\sigma_z}{E}\,\1_{2D} $

(6.13)

ed in quelle fuori dal piano

$[\mathbf{E}_{l_z}]=\frac{1}{E}\,\begin{vmatrix} \vspace{0.12cm} 0 \\ 0 \\ \sigma_z \end{vmatrix} $

Determinazione del campo di spostamenti associato allo sforzo normale e alla flessione (2/2)

Infatti possiamo partizionare il vettore $\mathbf{u}$ come segue

$\mathbf{u}=\mathbf{u}_1+\mathbf{u}_2=\begin{vmatrix} \vspace{0.2cm} \mathbf{u}_\Sigma \\ 0 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} \vspace{0.1cm} 0 \\ 0 \\ w \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \vspace{0.2cm} \mathbf{u}_\Sigma \\ 0 \end{vmatrix}+ w \, \mathbf{k}$

(6.14)

essendo

$\mathbf{u}_\Sigma=\begin{vmatrix} u \\ v \end{vmatrix}$

(6.15)

il vettore contenente le componenti di spostamento nel piano della sezione, quindi associato a $\mathbf{E}_{l_\Sigma}$ fornito dalla (6.13), e $w$ la componente di spostamento fuori dal piano.

Per semplicità, valutiamo il campo di spostamenti associato separatamente allo sforzo normale ed alla flessione.

Determinazione del campo di spostamenti associato allo sforzo normale (1/6)

Come si vedrà nel seguito, qualora risulti

$\mathbf{c}_\Sigma=\begin{vmatrix}N\\0\\0\end{vmatrix}$

è anche

$\sigma_O \neq 0 \qquad {\boldsymbol\kappa_\sigma}=\mathbf{o}. $

Pertanto dalla (6.3) consegue

$\sigma_z=\sigma_O $

dalla (6.12)

$\mathbf{E}_{l_{zz}}^N=\varepsilon_z=\frac{\sigma_O}{E} $

(6.16)

e dalla (6.13)

$\mathbf{E}^N_{l_\Sigma}=-\frac{\nu\,\sigma_O}{E}\,\1_{2D} $

(6.17)

Determinazione del campo di spostamenti associato allo sforzo normale (2/6)

Dovendo essere, per la (6.16),

$\frac{\partial{w^N}}{\partial{z}}=\varepsilon_z=\frac{\sigma_O}{E} $

si ricava che

$w^N=w^N(x,y,z)= f(x,y)+\frac{\sigma_O}{E}\,z $

(6.18)

essendo $f$ una arbitraria funzione di $x$ e $y$ . Il campo $\mathbf{u}^N_{\Sigma}$ tale che

$2\,\mathbf{E}^N_{l_\Sigma}=2\,\textnormal{sym}\,\textnormal{grad}_{\boldsymbol\rho}\mathbf{u}^N_{\Sigma}=d_{\boldsymbol\rho} \,\mathbf{u}^N_{\Sigma}+(d_{\boldsymbol\rho}\, \mathbf{u}^N_{\Sigma})^T$

è banalmente fornito da

$\mathbf{u}^N_{\Sigma}=-\frac{\nu\,\sigma_O}{E}\,\boldsymbol\rho+\begin{vmatrix} \vspace{0.2cm} g(z) \\ h(z) \end{vmatrix}=-\frac{\nu\,\sigma_O}{E}\,\begin{vmatrix} \vspace{0.2cm} x \\ y \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} \vspace{0.2cm} g(z) \\ h(z) \end{vmatrix}$

(6.19)

essendo $g$ e $h$ arbitrarie funzioni di $z$ .

Determinazione del campo di spostamenti associato allo sforzo normale (3/6)

Al fine di precisare l’espressione delle funzioni $f$ , $g$ e $h$ fin qui introdotte osserviamo che le funzioni $u^N$ , $v^N$ che definiscono il vettore $\mathbf{u}^N_{\Sigma}$ , cfr. (6.15) , e la funzione $w^N$ devono rispettare le condizioni aggiuntive

$\frac{\partial{u^N}}{\partial{y}}+\frac{\partial{v^N}}{\partial{x}}= 0$

$\frac{\partial{v^N}}{\partial{z}}+\frac{\partial{w^N}}{\partial{y}}= 0$

$\frac{\partial{w^N}}{\partial{x}}+\frac{\partial{u^N}}{\partial{z}}= 0$

(6.20)

che garantiscono l’annullamento delle componenti fuori diagonale di $[\mathbf{E}^N_l]$ .

Determinazione del campo di spostamenti associato allo sforzo normale (4/6)

La prima della (6.20) è certamente soddisfatta dall’espressione (6.19). Le ultime due della (6.20) si riscrivono come segue

$d_z\,\mathbf{u}^N_{\Sigma}+d_{\boldsymbol\rho}\,w^N=\mathbf{o} $

(6.21)

ovvero, in virtù delle (6.18) e (6.19)

$\begin{vmatrix} \vspace{0.2cm} d_z\, g(z) \\ d_z \, h(z) \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} \vspace{0.2cm} d_x \, f(x,y) \\ d_y\, f(x,y) \end{vmatrix}=0$

(6.22)

Poichè $d_zg$ e $d_zh$ sono funzioni arbitrarie di $z$ e $d_xf$ , $d_yf$ sono funzioni arbitrarie di $x$ , $y$ , l’unica possibilità di soddisfare identicamente la (6.22) è che risulti

$f(x,y)=g(z)=h(z)=0 $

Determinazione del campo di spostamenti associato allo sforzo normale (5/6)

Pertanto il campo di spostamenti associato allo sforzo normale è definito da

${\mathbf{u}}^N={\mathbf{u}}^N({\mathbf{p}})=\begin{vmatrix} \vspace{0.12cm} u^N\,({\mathbf{p}}) \\ v^N\,({\mathbf{p}}) \vspace{0.12cm} \\ w^N({\mathbf{p}}) \end{vmatrix}=\frac{\sigma_O}{E}\,\begin{vmatrix} -\nu\,x \\ -\nu\,y \\ z \end{vmatrix}+\mathbf{u}_O^N+{\boldsymbol\omega}_O^N\times{\mathbf{p}}$

(6.23)

essendo ${\mathbf{u}}_O^N$ un vettore arbitrario che definisce la traslazione rigida della sezione $\Sigma_O$ e ${\boldsymbol\omega}_O^N$ il vettore che definisce le componenti di rotazione rigida (inifinitesima) intorno ai tre assi del sistema di riferimento. In definitiva, a meno del moto rigido di rototraslazione della sezione iniziale del cilindro, le sezioni trasversali del cilindro, e cioè i punti di ascissa $z=cost$ , restano piane mentre i punti dell’asse, caratterizzati dalla condizione $x=y=0$ , si spostano esclusivamente lungo l’asse del cilindro di una quantità proporzionale a $z$ . Tutti gli altri punti si spostano in direzione radiale lungo la loro congiungente con l’origine del sistema di riferimento. In particolare se $\sigma_O>0$ , condizione che come si vedrà è associata ad uno sforzo normale di trazione, gli spostamenti radiali sono di avvicinamento all’origine $O$ allorquando il rapporto di Poisson è positivo. Come si è visto tale proprietà caratterizza i materiali da costruzione per così dire ‘”ordinari”.

Determinazione del campo di spostamenti associato allo sforzo normale (6/6)

Sebbene la scelta del sistema di riferimento nel piano della sezione sia del tutto arbitraria è consuetudine far coincidere l’origine del sistema di riferimento con il baricentro $G$ . In tal caso l’espressione (6.23) si specializza come segue

$\mathbf{u}^N=\frac{\sigma_G}{E}\,\begin{vmatrix} -\nu\,x \\ -\nu\,y \\ z \end{vmatrix}+\mathbf{u}_G^N+{\boldsymbol\omega}_O^G\times{\mathbf{p}}$

in cui le coordinate $x$ , $y$ del generico punto della sezione sono ora misurate a partire dal baricentro e, come si vedrà tra breve, $\sigma_G=N/A$ essendo $A$ l’area della sezione retta.

Determinazione del campo di spostamenti associato alla flessione (1/14)

Nel caso in esame risulta

$\mathbf{c}_\Sigma=\begin{vmatrix} \vspace{0.15cm} 0 \\ M_x \vspace{0.15cm} \\ M_y \end{vmatrix} $

sicché, come si dimostrerà tra breve,

$\sigma_O =0 \quad {\boldsymbol\kappa_\sigma} \neq \mathbf{o} $

Dunque, dalla (6.3) si ha

$\sigma_z={\boldsymbol\kappa_\sigma} \cdot \boldsymbol\rho $

dalla (6.12) si ricava

$\mathbf{E}^{\mathbf{M}}_{l_{zz}}=\varepsilon_z=\frac{{\boldsymbol\kappa_\sigma}\cdot{\boldsymbol\rho}}{E} $

(6.24)

e dalla (6.13)

$\mathbf{E}^{\mathbf{M}}_{l_\Sigma}=-\frac{\nu}{E}\,({\boldsymbol\kappa_\sigma}\cdot\boldsymbol\rho) \, \1_{2D} $

(6.25)

Determinazione del campo di spostamenti associato alla flessione (2/14)

Dovendo essere, per la (6.24)

$\frac{\partial{w^{\mathbf{M}}}}{\partial{z}}=\varepsilon_z=\frac{{\boldsymbol\kappa_\sigma}\cdot\boldsymbol\rho}{E} $

risulta

$w^{\mathbf{M}}=f(x,y)+\frac{{\boldsymbol\kappa_\sigma}\cdot\boldsymbol\rho}{E}\,z $

(6.26)

Formalmente più complessa è la derivazione del campo ${\mathbf{u}}^{\mathbf{M}}_{\Sigma}$ tale da rispettare la condizione

$2\,\mathbf{E}^{\mathbf{M}}_{l_\Sigma}=2\,\textnormal{sym}\,\textnormal{grad}_{\boldsymbol\rho}\mathbf{u}^{\mathbf{M}}_{\Sigma}=d_{\boldsymbol\rho} \,\mathbf{u}^{\mathbf{M}}_{\Sigma}+(d_{\boldsymbol\rho}\, \mathbf{u}^{\mathbf{M}}_{\Sigma})^T$

(6.27)

con $\mathbf{E}^{\mathbf{M}}_{l_\Sigma}$ fornito dalla (6.25).

Determinazione del campo di spostamenti associato alla flessione (3/14)

A tal fine ricordiamo preliminarmente l’identità vettoriale

$\textnormal{grad}\,(\varphi\,\boldsymbol{\nu})=\boldsymbol{\nu}\otimes\textnormal{grad}\,\varphi+\varphi\,\textnormal{grad}\, \boldsymbol{\nu}$

che si ricava in componenti come segue

$[\textnormal{grad}\,\, (\varphi\,\boldsymbol{\nu})]_{ij}=(\varphi\,\boldsymbol{\nu}_i)_{/j}=\boldsymbol{\nu}_i\,\varphi_{/j}+\varphi\,\boldsymbol{\nu}_{i/j}$

(6.28)

Pertanto

$\textnormal{grad}_{\boldsymbol\rho}[({\boldsymbol\kappa_\sigma} \cdot \boldsymbol\rho)\,\boldsymbol\rho]=\boldsymbol\rho\otimes{\boldsymbol\kappa_\sigma}+({\boldsymbol\kappa_\sigma} \cdot \boldsymbol\rho)\,\textnormal{1}_{2D}$

(6.29)

essendo

$\textnormal{grad}_{\boldsymbol\rho}({\boldsymbol\kappa_\sigma}\cdot \boldsymbol\rho)=\boldsymbol\kappa_\sigma \quad \text{e} \quad \textnormal{grad}_{\boldsymbol\rho}\,\boldsymbol\rho={\textnormal{1}}_{2D}$

Il confronto della (6.29) con la (6.25) suggerisce di porre

$({\mathbf{u}}^{\mathbf{M}}_\Sigma)^{tr}=-\frac{\nu}{E}\,({\boldsymbol\kappa_\sigma} \cdot \boldsymbol\rho)\,\boldsymbol\rho $

(6.30)

dove l’apice $(\bullet)^{tr}$ indica che l’espressione precedente è solo di tentativo visto che il gradiente rispetto a $\boldsymbol\rho$ dell’espressione precedente fornisce un risultato, espresso dalla (6.29), che non rispetta la (6.27).

Determinazione del campo di spostamenti associato alla flessione (4/14)

È dunque necessario correggere la (6.30) aggiungendo il termine

$({\mathbf{u}}^{\mathbf{M}}_\Sigma)^c=\frac{\nu}{2\,E}\,(\boldsymbol\rho\cdot\boldsymbol\rho)\,{\boldsymbol\kappa_\sigma} $

il cui gradiente, in base alla (6.28), vale

$d_{\boldsymbol\rho}({\mathbf{u}}^{\mathbf{M}}_\Sigma)^{c}=\textnormal{grad}_{\boldsymbol\rho}\,({\mathbf{u}}^{\mathbf{M}}_\Sigma)^{c}=\frac{\nu}{E}\,{\boldsymbol\kappa_\sigma}\otimes \boldsymbol\rho$

(6.31)

In tal modo l’espressione

${\mathbf{u}}^{\mathbf{M}}_\Sigma=({\mathbf{u}}^{\mathbf{M}}_\Sigma)^{tr}+({\mathbf{u}}^{\mathbf{M}}_\Sigma)^{c}=\frac{\nu}{E}\,\biggl[ \frac{\boldsymbol\rho\cdot\boldsymbol\rho}{2}\,{\boldsymbol\kappa_\sigma}-({\boldsymbol\kappa_\sigma}\cdot\boldsymbol\rho)\,\boldsymbol\rho \biggr]+\begin{vmatrix} \vspace{0.2cm} g(z) \\ h(z) \end{vmatrix}$

(6.32)

con $g$ e $h$ funzione arbitrarie di $z$ , soddisfa la (6.27).

Determinazione del campo di spostamenti associato alla flessione (5/14)

Infatti, in tal modo il gradiente rispetto a $\boldsymbol\rho$ di $${\mathbf{u}}_\Sigma^{\mathbf{M}}$

$\textnormal{grad}_{\boldsymbol\rho}{\mathbf{u}}^{\mathbf{M}}_\Sigma=\frac{\nu}{E}\, \bigl[ {\boldsymbol\kappa_\sigma}\otimes\boldsymbol\rho- \boldsymbol\rho\otimes{\boldsymbol\kappa_\sigma}-( {\boldsymbol\kappa_\sigma}\cdot\boldsymbol\rho)\, \textnormal{1}_{2D} \bigr]$

è espresso come somma di un tensore bidimensionale emisimmetrico, costituito dalla somma dei primi due termini, e di un tensore simmetrico. Conseguentemente

$(\textnormal{grad}_{\boldsymbol\rho}{\mathbf{u}}^{\mathbf{M}}_\Sigma)^{T}=\frac{\nu}{E}\,\bigl[ \boldsymbol\rho\otimes{\boldsymbol\kappa_\sigma}-{\boldsymbol\kappa_\sigma}\otimes\boldsymbol\rho-( {\boldsymbol\kappa_\sigma}\cdot\boldsymbol\rho)\, \textnormal{1}_{2D} \bigr]$

$\textnormal{grad}_{\boldsymbol\rho}{\mathbf{u}}^{\mathbf{M}}_\Sigma+(\textnormal{grad}_{\boldsymbol\rho}{\mathbf{u}}^{\mathbf{M}}_\Sigma)^T=-\frac{\nu}{E}( {\boldsymbol\kappa_\sigma}\cdot\boldsymbol\rho)\, \textnormal{1}_{2D}$

espressione che rispetta la (6.27) con $\mathbf{E}^M_{l_\Sigma}$ fornito dalla (6.25).

Determinazione del campo di spostamenti associato alla flessione (6/14)

Per determinare le funzioni $f$ e $g$ nella (6.32) ed esprimere compiutamente il campo di spostamenti nel piano indotto dalla flessione, operiamo in maniera analoga a quanto già fatto per gli spostamenti associati allo sforzo normale. Occorre determinare la funzione $f$ in (6.26), nonchè le $g$ e $h$ in (6.32), in modo che risultino soddisfatte le condizioni

$\frac{\partial{u}^{\mathbf{M}}}{\partial{y}}+\frac{\partial{v}^{\mathbf{M}}}{\partial{x}}=0$

$d_z\,{\mathbf{u}}^{\mathbf{M}}_\Sigma+d_{\boldsymbol\rho}\,w^{\mathbf{M}}=\mathbf{o}$

(6.33)

Infatti tali relazioni, analoghe alle (6.20)-(6.21), garantiscono che il tensore $\mathbf{E}^{\mathbf{M}}_l$ di deformazione infinitesima associato a $\mathbf{u}^M$ sia diagonale. La prima delle (6.33) è automaticamente soddisfatta dalla (6.32) in quanto essa, in componenti, si scrive

$u^{\mathbf{M}}=\frac{\nu}{E}\, \biggl[ \frac{x^2+y^2}{2}\,g_x-(g_x\,x+g_y\,y)\,x \biggr]+g(z) $

$v^{\mathbf{M}}=\frac{\nu}{E}\, \biggl[ \frac{x^2+y^2}{2}\,g_y-(g_x\,x+g_y\,y)\,y \biggr]+h(z) $

Determinazione del campo di spostamenti associato alla flessione (7/14)

Pertanto

$\frac{\partial{u}^{\mathbf{M}}}{\partial{y}}=\frac{\nu}{E}\,\biggl[ y\,g_x-g_y\,x \biggr] $

$\frac{\partial{v}^{\mathbf{M}}}{\partial{x}}=\frac{\nu}{E}\,\,\biggl[ x\,g_y-g_x\,y \biggr] $

e la (6.33) $_1$ è soddisfatta.

Quanto al rispetto della seconda delle (6.33), costituita da due equazioni scalari, osserviamo che risulta

$d_z\,{\mathbf{u}}^{\mathbf{M}}_\Sigma=\begin{vmatrix} \vspace{0.15cm} d_zg(z) \\ d_zh(z) \end{vmatrix} \qquad d_{\boldsymbol\rho}w^{\mathbf{M}}=\begin{vmatrix} \vspace{0.15cm} d_xf(x,y) \\ d_yf(x,y) \end{vmatrix}+\frac{z}{E}\,{\boldsymbol\kappa_\sigma}$

in base alle (6.26) e (6.32).

Dunque la (6.33)₂ impone che sia

$\begin{vmatrix} \vspace{0.15cm} d_zg(z)+d_xf(x,y) \\ d_zh(z)+d_yf(x,y) \end{vmatrix}+\frac{z}{E}\,{\boldsymbol\kappa_\sigma}=\mathbf{o} $

Determinazione del campo di spostamenti associato alla flessione (8/14)

A tal fine è sufficiente porre

$\begin{vmatrix} \vspace{0.15cm} g(z) \\h(z) \end{vmatrix}=-\frac{z^2}{2\,E}\,{\boldsymbol\kappa_\sigma} $

(6.34)

e osservare che il rispetto della condizione

$\begin{vmatrix} \vspace{0.15cm} d_xf(x,y) \\ d_yf(x,y) \end{vmatrix}=0 $

in tutti i punti della sezione impone che

$f(x,y)=cost $

Tale condizione viene assorbita dalle componenti del moto rigido di rototraslazione della sezione iniziale del cilindro, a meno delle quali è definito il campo di spostamenti del modello di De Saint Venant.

Determinazione del campo di spostamenti associato alla flessione (9/14)

In definitiva è lecito porre $f=0$ nella (6.26) ottenendo dalla (6.32), in virtù della (6.34)

${\mathbf{u}}^{\mathbf{M}}_\Sigma=\frac{\nu}{E}\,\biggl[ \frac{\boldsymbol\rho\cdot\boldsymbol\rho}{2}\,{\boldsymbol\kappa_\sigma}-({\boldsymbol\kappa_\sigma}\cdot\boldsymbol\rho)\,\boldsymbol\rho \biggr]-\frac{z^2}{2E}\,{\boldsymbol\kappa_\sigma}$

(6.35)

Pertanto, ricordando la (6.14) si ottiene dalla (6.26) e dall’espressione precedente

${\mathbf{u}}^{\mathbf{M}}=\frac{\nu}{E}\,\biggl[ \frac{\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}}{2}\,\mathbf{g} -(\mathbf{g}\cdot\mathbf{r})\, \mathbf{g}\biggr]-\frac{z^2}{2\,E}\,\mathbf{g}+\frac{1}{E}\,(\mathbf{g}\cdot\mathbf{r})z\,{\mathbf{k}}$

(6.36)

avendo posto

$\mathbf{g}=\begin{vmatrix} {\boldsymbol\kappa_\sigma} \\ 0 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \vspace{0.09cm} g_x \\ \vspace{0.15cm} g_y \\ 0 \end{vmatrix} $

(6.36 bis)

Infatti ricordando la (6.5), si è posto

${\boldsymbol\kappa_\sigma}\cdot\boldsymbol\rho=\mathbf{g}\cdot\mathbf{r} \qquad \boldsymbol\rho\cdot\boldsymbol\rho=\mathbf{r}\cdot\mathbf{r} $

nelle (6.26) e (6.32).

Determinazione del campo di spostamenti associato alla flessione (10/14)

È interessante altresì osservare che le componenti nel piano del vettore ${\mathbf{u}^M}$ , ovvero il vettore fin qui denotato con $\mathbf{u}^\mathbf{M}_\Sigma$ , si scrive altresì, in base alla (6.35)

$\mathbf{u}^M_\Sigma=\frac{\nu}{E}\,\biggl[\frac{\boldsymbol\rho\cdot\boldsymbol\rho}{2}\,{\boldsymbol\kappa_\sigma}-({\boldsymbol\kappa_\sigma}\cdot\boldsymbol\rho)\,\boldsymbol\rho \biggr]-\frac{z^2}{2E}\,{\boldsymbol\kappa_\sigma}=$

$=\frac{1}{E}\,\biggl[\nu\,\frac{\boldsymbol\rho\cdot\boldsymbol\rho}{2}\,{\boldsymbol\kappa_\sigma}-\frac{z^2}{2}\,{\boldsymbol\kappa_\sigma} \biggr]-\frac{\nu}{E}\,(\boldsymbol\rho\otimes\boldsymbol\rho)\,{\boldsymbol\kappa_\sigma}=\frac{\mathbf{D}_\Sigma}{E}\,{{\boldsymbol\kappa}_\sigma}$

con

$\mathbf{D}_\Sigma= \biggl[ \nu\,\frac{\boldsymbol\rho\cdot\boldsymbol\rho}{2}-\frac{z^2}{2} \biggr]\,\textnormal{1}_{2D}-\nu\, ( \boldsymbol\rho\otimes\boldsymbol\rho)$

Ponendo

$\boldsymbol\kappa=\frac{{\boldsymbol\kappa}_\sigma}{E} $

la relazione precedente si scrive

$\mathbf{u}_\Sigma^M=\mathbf{D}_\Sigma\boldsymbol\kappa $

Determinazione del campo di spostamenti associato alla flessione (11/14)

In particolare i punti dell’asse della trave $(x=y=0)$ si sposteranno di

${\mathbf{u}}^M_\Sigma(0,0)=-\frac{z^2}{2}\,{\boldsymbol\kappa}=-\frac{z^2}{2E}\,{\boldsymbol\kappa_\sigma} $

(6.37)

descrivendo una parabola nel piano individuato da $z$ e da $\boldsymbol\kappa$ (o $\boldsymbol\kappa_\sigma$ ). Per tale motivo la direzione individuata dal vettore $\boldsymbol\kappa$ ( $\boldsymbol\kappa_\sigma$ ) viene denominata direzione o asse di flessione e il piano individuato dall’asse $z$ e dall’asse di flessione viene detto piano di flessione. Gli spostamenti fuori dal piano della sezione saranno invece forniti da

$w^{\mathbf{M}}=\frac{z}{E}\,({\boldsymbol\kappa_\sigma}\cdot\boldsymbol\rho) $

(6.38)

Pertanto essi saranno nulli in corrispondenza dell’asse della trave $(\boldsymbol\rho=\mathbf{o})$ e massimi nei punti della sezione il cui prodotto scalare con ${\boldsymbol\kappa_\sigma}$ assume i massimi valori positivi e negativi.

Determinazione del campo di spostamenti associato alla flessione (12/14)

Ulteriori considerazioni, particolarmente interessanti per gli sviluppi futuri, si ottengono considerando l’espressione vettoriale associata alla (6.38) e costituita dall’ultimo termine della (6.36).

$w^{\mathbf{M}}\,{\mathbf{k}}=\frac{z}{E}\,({\boldsymbol\kappa_\sigma}\cdot\boldsymbol\rho)\,{\mathbf{k}}=\frac{z}{E}\,(\mathbf{g}\cdot\mathbf{r})\,{\mathbf{k}}$

(6.39)

In particolare per $\,\,{\boldsymbol\kappa_\sigma}\cdot\boldsymbol\rho=\mathbf{g}\cdot\mathbf{r}>0$ i punti della sezione si spostano positivamente lungo $\mathbf{k}$ ovvero lungo l’asse della trave; il contrario, evidentemente, avviene per i punti della sezione caratterizzati dalla condizione ${\boldsymbol\kappa_\sigma}\cdot\boldsymbol\rho=\mathbf{g}\cdot\mathbf{r}<0$ . In ogni caso, poiché la (6.38) descrive l’equazione di un piano rispetto alle variabili $x$ e $y$ , si può immaginare che la sezione ruoti rigidamente intorno ad un asse che ci proponiamo di determinare. Per fissare le idee consideriamo un generico punto della sezione caratterizzato dalla proprietà, cfr. Fig. 2, $\,\mathbf{g}\cdot\mathbf{r}>0$ .

Figura 2

Determinazione del campo di spostamenti associato alla flessione (13/14)

Si consideri allora il vettore $z\,\mathbf{g}^\perp/E$ ruotato di $\mathbf{g}$ in verso orario; quindi

$|{\mathbf{g}^\bot}|=|{\mathbf{g}}| $

Si osservi inoltre che

$\mathbf{g}\cdot\mathbf{r}=|{\mathbf{g}}|\,|{\mathbf{r}}|\,\cos{\alpha}=|{\mathbf{g}^\perp}|\,|{\mathbf{r}}|\,\sen{\beta}=|{{\mathbf{g}}^\perp\times\mathbf{r}}|$

sicchè la (6.39) si può anche scrivere

$w^{\mathbf{M}}\,{\mathbf{k}}=\frac{z}{E}\,{\mathbf{g}}^\perp\times\mathbf{r} $

relazione che esprime gli spostamenti fuori dal piano che la sezione subisce per effetto della flessione di momento $\mathbf{M}$ come quelli associati alla rotazione rigida infinitesima di vettore definito da $\mathbf{g}^\perp$ , ruotato di $\mathbf{g}$ di $\pi/2$ in senso orario. In virtù di tale interpretazione i punti della sezione disposti lungo $\mathbf{g}^\perp$ avranno spostamenti nulli lungo l’asse della trave sicché sarà altresì nulla, a maggior ragione, la derivata di tali spostamenti rispetto all’asse $z$ . Quindi lungo $\mathbf{g}^\perp$ risulterà

$\varepsilon_z=\frac{\partial{w}^\mathbf{M}}{\partial{z}}=0 $

ciò che giustifica la denominazione di $\mathbf{g}^\perp$ come asse neutro. Per tale motivo il versore associato a $\mathbf{g}^\perp$ sarà anche denotato con la lettera $\boldsymbol\iota_n$ .

Determinazione del campo di spostamenti associato alla flessione (14/14)

La relazione precedente fornisce una caratterizzazione cinematica dell’asse neutro, e cioè come luogo delle fibre longitudinali della trave la cui dilatazione è nulla. Una caratterizzazione dell’asse neutro di tipo statico, particolarmente utile per le applicazioni, scaturisce dalla relazione costitutiva

$\varepsilon_z=\sigma_z/E=0$

da cui si evince che le fibre della trave disposte lungo l’asse neutro hanno altresì tensione normale $\sigma_z$ pari a zero.

Determinazione dello stato tensionale associato allo sforzo normale ed alla flessione (1/12)

Si vuole ora calcolare il valore delle costanti $\sigma_O$ e $\boldsymbol\kappa$ introdotte nella (6.3) al fine di determinare compiutamente lo stato tensionale in ogni punto $\boldsymbol\rho$ della sezione $\Sigma$ . A tal fine imporremo le equazioni di equilibrio alla sezione $\Sigma$ alla traslazione lungo l’asse della trave ed alla rotazione intorno agli assi del sistema di riferimento.

L’equazione di equilibrio alla traslazione si scrive

$N=\int_\Sigma \sigma_z\, dA=\int_\Sigma (\sigma_O+{\boldsymbol\kappa}\cdot\boldsymbol\rho)\,dA=\sigma_O\,A+{\boldsymbol\kappa}\cdot\Bs_O $

(6.40)

essendo $\mathbf{s}_O$ il vettore momento statico della sezione rispetto agli assi del sistema di riferimento aventi origine in $O$ . Si noti che dalla definizione

$\mathbf{s}_O=\int_\Sigma \boldsymbol\rho \, dA $

consegue che

$\bigl[ \mathbf{s}_O \bigr]=\begin{vmatrix} \vspace{0.15cm} \int_\Sigma x \, dA \\ \int_\Sigma y \, dA \end{vmatrix} $

(6.41)

sicché la componente $s_x$ di $\mathbf{s}_O$ rappresenta il momento statico della sezione allorquando le distanze si prendono lungo l’asse $x$ . Evidentemente $s_x$ può anche interpretarsi come il momento statico di $\Sigma$ rispetto all’asse $y$ e cioè prendendo le distanze ortogonalmente all’asse $x$ . Il pedice $(\bullet)_O$ utilizzato per denotare il vettore $\mathbf{s}$ ricorda che il sistema di riferimento ha origine in un punto $O$ arbitrario.

Determinazione dello stato tensionale associato allo sforzo normale ed alla flessione (2/12)

L’equazione di equilibrio della sezione intorno agli assi del sistema di riferimento si scrive

${\mathbf{M}}=\begin{vmatrix} M_x \\ M_y \\ 0 \end{vmatrix}=\int_\Sigma \mathbf{r} \times \sigma_z\, {\mathbf{k}} \,dA $

(6.42)

Essendo $\mathbf{r}$ contenuto nel piano della sezione, cfr. Fig. 1, e $\mathbf{k}$ diretto lungo $z$ , è facile verificare, sviluppando in componenti, che il vettore $\mathbf{r} \times \mathbf{k}$ è un vettore appartenente a $\Sigma$ e ruotato di $\pi/2$ in senso orario rispetto all’osservatore diretto lungo $\mathbf{k}$ .

Pertanto, premoltiplicando vettorialmente la (6.42) ancora per $\mathbf{k}$ si ottiene

${\mathbf{k}}\times{\mathbf{M}}=\begin{vmatrix} -M_y \\ M_x \\ 0 \end{vmatrix}=\int_\Sigma \mathbf{r} \, \sigma_z \,dA $

(6.43)

in quanto $\mathbf{k}\times(\mathbf{r}\times \mathbf{k})$ significa ruotare il vettore $\mathbf{r} \times \mathbf{k}$ in senso antiorario di $\pi/2$ . Essendo $(\mathbf{r}\times \mathbf{k})$ ruotato di $\pi/2$ in senso orario se ne conclude che $\mathbf{k} \times ( \mathbf{r} \times \mathbf{k}) = \mathbf{r}$ .

Determinazione dello stato tensionale associato allo sforzo normale ed alla flessione (3/12)

Poichè la terza componente della relazione (6.43) è nulla conviene riscrivere la (6.43) in modo equivalente nella forma

${\mathbf{M}}_O^\perp=\begin{vmatrix} -M_y \\ \,\,\,\,M_x \end{vmatrix}=\int_\Sigma \sigma_z \, \boldsymbol\rho \, dA $

facendo comparire solo vettori bidimensionali. In particolare il vettore ${\mathbf{M}}_O^\perp$ rappresenta il ruotato di $\mathbf{M}_O$ in senso antiorario rispetto all’osservatore diretto lungo $\mathbf{k}$ ed il pedice $(\bullet)_O$ ricorda che i momenti sono assegnati in un sistema di riferimento con origine in un punto $O$ arbitrario. Ricordando la (6.3) la relazione precedente si scrive

${\mathbf{M}}_O^\perp=\sigma_O\int_\Sigma \boldsymbol\rho \,dA+\int_\Sigma ({\boldsymbol\kappa_\sigma}\cdot\boldsymbol\rho)\,\boldsymbol\rho\,dA$

ovvero

${\mathbf{M}}_O^\perp=\sigma_O\,{\mathbf{s}}_O+\BJ_O\,{\boldsymbol\kappa_\sigma} $

(6.44)

avendo indicato con

$\mathbf{J}_O=\int_\Sigma \boldsymbol\rho \otimes\boldsymbol\rho\, dA $

(6.45)

il tensore di inerzia della sezione $\Sigma$ valutato rispetto all’origine del sistema di riferimento.

Determinazione dello stato tensionale associato allo sforzo normale ed alla flessione (4/12)

In base alla definizione di prodotto tensoriale si ha

$[\mathbf{J}_O]=\begin{bmatrix} \vspace{0.2cm} \int_\Sigma x^2\,dA & \int_\Sigma xy\,dA \\ \int_\Sigma xy\,dA & \int_\Sigma y^2\,dA \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \vspace{0.2cm} J_{O_{xx}} & J_{O_{xy}} \\ J_{O_{xy}} & J_{O_{yy}} \end{bmatrix}$

in cui il significato dei termini sulla diagonale principale è diverso da quello che viene comunemente attribuito alle quantità denotate con $I_x$ e $I_y$ . Infatti $J_{O_{xx}}$ rappresenta il momento d’inerzia di $\Sigma$ allorquando le distanze vengono misurate parallelamente a $x$ ovvero ortogonalmente a $y$ . Quindi

$J_{O_{xx}}=I_y $

essendo $I_y$ il momento d’inerzia rispetto all’asse $y$ . Analogamente

$J_{O_{yy}}=I_x $

essendo $I_x$ e $I_y$ le notazioni comunemente adottate nei testi di Scienza delle Costruzioni.

Determinazione dello stato tensionale associato allo sforzo normale ed alla flessione (5/12)

In conclusione le (6.40) e (6.44) consentono di scrivere

$N =\sigma_O\,A+{\boldsymbol\kappa_\sigma}\cdot \mathbf{s}_O$

$\mathbf{M}_O^\perp &=\sigma_O\,{\mathbf{s}}_O+\mathbf{J}_O\,{\boldsymbol\kappa_\sigma}$

(6.46)

ovvero in notazione matriciale

$\begin{bmatrix}\vspace{0.12cm}A&s_{O\,x}&s_{O\,y}\\s_{O\,x}&J_{O\,{xx}}&J_{O\,{xy}}\vspace{0.12cm}\\s_{O\,y}&J_{O\,{xy}}&J_{O\,{yy}}\end{bmatrix}\, \begin{bmatrix} \vspace{0.12cm} \sigma_O \\ g_x \vspace{0.12cm} \\ g_y \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \vspace{0.12cm} N \\ -M_y \vspace{0.12cm} \\ M_x \end{bmatrix}$

(6.47)

Dunque i parametri $\sigma_O$ , $g_x$ e $g_y$ che definiscono lo stato tensionale mediante la (6.3) si ottengono risolvendo il precedente sistema lineare di equazioni.

La soluzione del sistema può essere notevolmente semplificata considerando un sistema di riferimento con origine nel baricentro $G$ della sezione e dunque rappresentando il campo di tensioni nella forma

$\sigma_z=\hat \sigma_z (\boldsymbol\rho)=\sigma_G+{\boldsymbol\kappa_\sigma}\cdot\boldsymbol\rho $

(6.48)

in cui ora $\boldsymbol\rho$ è il raggio vettore che individua la posizione del generico punto della sezione rispetto al suo baricentro.

Determinazione dello stato tensionale associato allo sforzo normale ed alla flessione (6/12)

Ripetendo identicamente i ragionamenti che hanno condotto alla (6.46) si ottiene

$N=\sigma_GA \qquad \mathbf{M}^\perp_G=\mathbf{J}_G{\boldsymbol\kappa_\sigma} $

(6.49)

in quanto risulta ora $\mathbf{s}_G=\mathbf{o}$ . Si noti che coerentemente con il significato attribuito ora al vettore $\boldsymbol\rho$ la (6.45) definisce il tensore d’inerzia baricentrico, donde la denominazione $\mathbf{J}_G$ adottata nella formula precedente. Per enfatizzare ulteriormente il fatto che il sistema di riferimento assunto è baricentrale e che i momenti flettenti sono valutati rispetto ad esso si è posto

${\mathbf{M}}^\perp_G=\begin{vmatrix} -M_{G\,y} \\ \,\,\,\,M_{G\,x} \end{vmatrix} $

(6.50)

Poichè il tensore $\mathbf{J}_G$ è definito positivo, e quindi invertibile, la soluzione della (6.49) è fornita da

$\sigma_G=\frac{N}{A} \qquad {\boldsymbol\kappa_\sigma}=\mathbf{J}^{-1}_G\,\mathbf{M}^\perp_G $

(6.51)

Determinazione dello stato tensionale associato allo sforzo normale ed alla flessione (7/12)

sicché lo stato tensionale è compiutamente definito dall’espressione

$\sigma_z=\hat\sigma_z(\boldsymbol\rho)=\frac{N}{A}+\mathbf{J}^{-1}_G\,\mathbf{M}^\perp_G\cdot {\boldsymbol\rho} $

(6.52)

È facile verificare che la matrice associata a $\mathbf{J}^{-1}_G$ è fornita da

$[\mathbf{J}_G^{-1}]=[\mathbf{J}_G]^{-1}=\frac{1}{\det \mathbf{J}_G}\,\begin{bmatrix} \vspace{0.2cm} J_{G_{yy}} &-{J}_{G_{xy}} \\ -{J}_{G_{xy}} &-J_{G_{xx}} \end{bmatrix}$

con $\textnormal{det}\,{\mathbf{J}_G}=J_{G_{xx}}\,J_{G_{yy}}-{J}^2_{G_{xy}}$ , sicché la (6.52) si scrive

$\sigma_z=\hat\sigma_z(\xi, \eta)=\frac{N}{A}+\frac{1}{\det{\mathbf{J}_G}} \biggl[ \biggl( -J_{G\,{yy}}\,M_{G\,y}-J_{G\,{xy}}\,M_{G\,x} \biggr) \,x+\\+\biggl( J_{G\,xy}\,M_{G\,y}-J_{G\,{xx}}\,M_{G\,x} \biggr)\,y\biggr]$

Determinazione dello stato tensionale associato allo sforzo normale ed alla flessione (8/12)

Per semplificare ulteriormente la (6.52) è conveniente scegliere un sistema di riferimento costituito dagli assi principali d’inerzia $\xi, \eta$ . In tal caso si ha $J_{G\,{\xi\eta}}=0$ sicché

$[\mathbf{J}_G^{-1}]=[\BJ_G]^{-1}= \begin{bmatrix} \vspace{0.2cm} \frac{1}{J_{G_\xi}} &0 \\ 0 &\frac{1}{J_{G_\eta}} \end{bmatrix} $

e la (6.52) si scrive

$\sigma_z=\hat\sigma_z(\xi, \eta)=\frac{N}{A}-\frac{M_{G\,\eta}}{J_{G\,\xi}}\,\xi+\frac{M_{G\,\xi}}{J_{G\,\eta}}\,\eta=\frac{N}{A}-\frac{M_{G\,\eta}}{I_{G\,\eta}}\,\xi+\frac{M_{G\,\xi}}{I_{G\,\xi}}\,\eta$

(6.53)

avendo altresì introdotto i momenti d’inerzia $I_{G\,\xi}$ e $I_{G\,\eta}$ classicamente definiti come momenti d’inerzia rispetto agli assi $\xi$ , $\eta$ , baricentrali e principali d’inerzia, momenti usualmente denotati più semplicemente come $I_\xi$ , $I_\eta$ .

La (6.53) è particolarmente semplice da ricordare e da applicare ma presuppone che sia facile determinare la posizione del baricentro e individuare le direzioni principali d’inerzia.

Quindi essa si presta particolarmente bene a sezioni dotate di doppio asse di simmetria ortogonale, poiché tali assi individuano a priori le direzioni principali d’inerzia e, con la loro intersezione, il baricentro.

Determinazione dello stato tensionale associato allo sforzo normale ed alla flessione (9/12)

Anche nel caso meno fortunato in cui sia noto un solo asse di simmetria ortogonale è possibile utilizzare le (6.53) purché sia stata valutata preliminarmente la posizione del baricentro. Infatti esso si trova sull’asse di simmetria ortogonale, come si mostrerà tra breve, ma in una posizione che deve essere trovata annullando il momento statico rispetto ad un asse arbitrario purché ortogonale all’asse di simmetria. In tutti gli altri casi, e cioè quando la sezione non possiede alcun asse di simmetria ortogonale, è più conveniente utilizzare direttamente la (6.52) visto che essa ben si presta ad una facile implementazione in un codice di calcolo. Mostriamo quindi che per sezioni dotate di un asse di simmetria il baricentro si trova su tale asse e che quest’ultimo costituisce, insieme alla direzione ortogonale, una coppia di direzioni principali d’inerzia ovvero le autodirezioni del tensore $\mathbf{J}_G$ . Per fissare le idee consideriamo una sezione dotata di simmetria ortogonale rispetto all’asse $x$, cfr. Fig. 3, e denotiamo con $\mathbf{i}$ e $\mathbf{j}$ i versori degli assi $x$ e $y$ .

Figura 3

Determinazione dello stato tensionale associato allo sforzo normale ed alla flessione (10/12)

Detto

$\mathcal{R}_x=\mathbf{i}\otimes \mathbf{i} - \mathbf{j} \otimes \mathbf{j} $

(6.54)

il tensore di riflessione rispetto all’asse $x$ risulta evidentemente

$\mathbf{r} \in \Sigma \Rightarrow \mathcal{R}_x \, \mathbf{r} \in \Sigma $

ovvero, in componenti

$\mathbf{r}= \begin{vmatrix} x \\ y \end{vmatrix} \qquad \mathcal{R}_x \, \mathbf{r}=\begin{vmatrix} x \\ -y \end{vmatrix} $

(6.55)

Indichiamo ora con

$\Sigma^-=\{ \mathbf{r} \in R \,:\, \mathbf{r}\cdot \mathbf{j} < 0 \} $

la porzione di sezione con ordinate negative e osserviamo che

$\mathbf{r}_G=\frac{1}{A}\int_\Sigma \mathbf{r}\,dA=\frac{1}{A}\, \biggl[ \int_{\Sigma^+}\mathbf{r}\,dA+\int_{\Sigma^-}\mathbf{r}\,dA \biggr] $

(6.56)

Determinazione dello stato tensionale associato allo sforzo normale ed alla flessione (11/12)

Poichè dalla definizione (6.55) consegue che

$\mathbf{r} \in \Sigma^- \Rightarrow \mathcal{R}_x\,\mathbf{r} \in \Sigma^+ $

la (6.56) si può anche scrivere

$\mathbf{r}_G=\frac{1}{A}\int_ {\Sigma^+}(\mathbf{r} + \mathcal{R}_x\,\mathbf{r})\,dA $

Pertanto

$\mathbf{r}_G \cdot \mathbf{j} = \frac{1}{A}\int_ {\Sigma^+}(\mathbf{r} \cdot \mathbf{j} + \mathcal{R}_x\,\mathbf{r}\cdot \mathbf{j})\,dA=\frac{1}{A}\int_ {\Sigma^+}(\mathbf{r} \cdot \mathbf{j} - \mathbf{r} \cdot \mathbf{j})dA=0$

per la (6.54). La relazione precedente stabilisce appunto che il baricentro deve appartenere all’asse $x$ di simmetria ortogonale della sezione.

Risulta inoltre, in base a quanto illustrato nella (6.56),

$\mathbf{J}_G=\int_\Sigma \mathbf{r} \otimes \mathbf{r} \, dA= \int_{\Sigma^+}[ \mathbf{r} \otimes \mathbf{r} + (\mathcal{R}_x\,\mathbf{r})\otimes(\mathcal{R}_x\,\mathbf{r}) ]\, dA$

Determinazione dello stato tensionale associato allo sforzo normale ed alla flessione (12/12)

In base alle (6.55) la matrice associata a $\mathbf{J}_G$ nel sistema $x\,y$ vale

$\bigl[\mathbf{J}_G \bigr]=\int_{\Sigma^+} \biggl\{ \begin{bmatrix} x^2 & x\,y \\ x\,y & y^2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} x^2 & -x\,y \\ -x\,y & y^2 \end{bmatrix} \biggr\}\,dA=\int_{\Sigma^+}\begin{bmatrix} x^2 & 0 \\ 0 & y^2 \end{bmatrix}\,dA$