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Luciano Rosati » 7.CERCHI DI MOHR


Generalità (1/19)

Vogliamo illustrare una costruzione grafica di particolare interesse per le applicazioni dovuta a O. Mohr. Essa è conosciuta con l’acronimo di “Cerchio di Mohr” anche se, come sarà più chiaro nel seguito, dovrebbe essere denominata più correttamente come costruzione grafica della “Circonferenza di Mohr”.

Tale costruzione sarà sviluppata con riferimento al tensore delle tensioni ma, in realtà, essa è valida per un qualunque tensore simmetrico.

Infatti si riscontrano in letteratura “Cerchi di Mohr” delle deformazioni, e cioè una costruzione grafica simile a quella di cui si discuterà nel seguito ma riferita ad un opportuno tensore di deformazione, “Cerchi di Mohr” del tensore di inerzia, ecc…

Per fissare le idee faremo riferimento ad un tensore delle tensioni la cui matrice rappresentativa, in un sistema di riferimento cartesiano $Oxyz$, sia del tipo

[\mathbf{T}]_{xyz}=\begin{bmatrix} \vspace{0.5cm} \sigma_{x} & \tau_{xy} & 0  \\ \vspace{0.5cm} \tau_{yx} & \sigma_{y} & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_{z} \end{bmatrix}                                                                                      (7.1)

ovvero un tensore in cui una direzione principale sia nota a priori e caratterizzata da un autovalore assegnato, eventualmente nullo.

Generalità (2/19)

Infatti, questo consente di concentrarsi sulla parte cosiddetta ”piana” del tensore

[\hat{\mathbf{T}}]_{xy}=\begin{bmatrix}\vspace{0.5cm} \sigma_{x} & \tau_{xy}  \\ \tau_{yx} &\sigma_{y}  \end{bmatrix}                                                                                                     (7.2)

ovvero su quella che contiene le componenti del tensore nel piano ortogonale alla direzione principale assegnata. Come è noto, qualora tale direzione sia caratterizzata da un autovalore nullo, $\sigma_{z}=0$ nel caso di specie, lo stato tensionale risulterà piano e le uniche componenti di tensione non nulle saranno, in base alla (7.1), solo quelle contenute nel piano $xy$.

L’interesse per un tensore bidimensionale del tipo di quello riportato nella formula (7.2) scaturisce dal fatto che tale caso è quello più utile nelle applicazioni visto che molti problemi di interesse tecnico, ad esempio quelli relativi alle travi, sono per l’appunto caratterizzati da stati tensionali piani.

Generalità (3/19)

Sia dunque assegnata una giacitura individuata da un versore $\mathbf{n}$ appartenente al piano $xy$:

[\mathbf{n}]_{xy}=\begin{bmatrix} \vspace{0.2cm}\cos\alpha  \\ \sin\alpha  \end{bmatrix}                                                   (7.3)

essendo $\alpha$ l’angolo tra $\mathbf{n}$ e l’asse $x$, cfr. Figura 1.

Indicheremo anche con $\mathbf{m}$ il versore ortogonale ad $\mathbf{n}$, orientato in modo che esso coincida con l’asse $y$ quando $\mathbf{n}$ coincide con $x$.  La tensione associata al tensore $\hat{\mathbf{T}}$ fornito dalla (7.2) è evidentemente fornita da 

\mathbf{t}_{n}=\hat{\mathbf{T}} \, \mathbf{n}                                                       (7.4)

e le sue componenti, nel sistema di riferimento $xy$, sono banalmente fornite dalla espressione

[\mathbf{t}_{n}]_{xy}=[\hat{\mathbf{T}} \, \mathbf{n}]_{xy}=[\hat{\mathbf{T}}]_{xy} [\mathbf{n}]_{xy}                                    (7.5)

Pertanto, nota la matrice (7.2) associata a $\hat{\mathbf{T}}$ ed il vettore (7.3) associato a $\mathbf{n}$, il prodotto righe per colonne espresso dalla (7.5) consente di ottenere semplicemente le componenti di $\mathbf{t}_{n}$ nel sistema di riferimento $xy$.

Figura 1: sistema di riferimento iniziale (xy) e sistema ruotato (nm)

Figura 1: sistema di riferimento iniziale (xy) e sistema ruotato (nm)


Generalità (4/19)

Il nostro obiettivo è però diverso poiché non vogliamo calcolare le componenti di $\mathbf{t}_{n}$ associate ad una specifica direzione $\mathbf{n}$ ma ottenere un diagramma che ci consenta di valutare le componenti di $\mathbf{t}_{n}$ relative a tutte le possibili giaciture $\mathbf{n}$ contenute nel piano.

Un tale diagramma, ad esempio, può essere particolarmente utile per una valutazione speditiva della massima tensione tangenziale nel piano $xy$ visto che le tensioni tangenziali sono le componenti di tensione più pericolose ai fini della resistenza dei materiali, ovvero quelle nei confronti delle quali tutti i materiali esibiscono una minore resistenza. 

In particolare mostreremo che le componenti di $\mathbf{t}_{n}$, in un sistema di riferimento solidale con $n$, sono compiutamente rappresentabili mediante una circonferenza, denominata impropriamente ”Cerchio di Mohr”, i cui punti individuano le componenti del vettore $\mathbf{t}_{n}$ nel sistema di riferimento $n,m$.

È ragionevole immaginare che la comodità e l’importanza di un tale diagramma, capace addirittura di fornire le componenti ($\sigma_{n}$, $\tau_{mn}$) di $\mathbf{t}_{n}$relative ad una arbitraria  giacitura $\mathbf{n}$ abbia, come contraltare, l’impossibilità di poter conoscere con altrettanta immediatezza, nel piano $xy$ in cui è stato assegnato il tensore $\hat{\mathbf{T}}$, la giacitura cui la generica coppia di componenti si riferisce. 

In altri termini la proprietà per la quale le componenti ($\sigma_{n}$, $\tau_{mn}$) appartengono ad una circonferenza al variare di $\mathbf{n}$, proprietà che ci accingiamo a dimostrare, comporta la perdita di una conoscenza altrettanto immediata della posizione di $\mathbf{n}$ nel sistema di riferimento iniziale $(xy)$. In effetti si mostrerà tra breve che la corrispondenza tra la posizione di $\mathbf{n}$ nel piano $xy$ e le relative componenti ($\sigma_{n}$, $\tau_{mn}$) è comunque recuperabile attraverso due ingegnose costruzioni grafiche. 

 

 

 

 

 

 

Generalità (5/19)

Una di esse servirà a individuare il punto $P_{n}$ sulla circonferenza di Mohr, e quindi le componenti ($\sigma_{n}$, $\tau_{mn}$), nota che sia la giacitura $\mathbf{n}$ nel piano $xy$. La seconda, complementare alla prima, assolverà il compito opposto poichè consentirà di disegnare nel piano $xy$ la giacitura $\mathbf{n}$ corrispondente ad un prefissato punto $P_{n}$ della circonferenza di Mohr, ovvero la giacitura corrispondente alle componenti ($\sigma_{n}$, $\tau_{mn}$) associate al punto $P_{n}$.

Per ricavare le proprietà del cerchio di Mohr decomponiamo $\hat{\mathbf{T}}$ nella sua componente sferica e deviatorica

\hat{\mathbf{T}}=\textnormal{sph}\hat{\mathbf{T}} + \textnormal{dev}\hat{\mathbf{T}}=\frac{\sigma_{x}+\sigma_{y}}{2} \mathbf{1} + \textnormal{dev}\hat{\mathbf{T}}                                                                   (7.6)

con

[\textnormal{sph}\hat{\mathbf{T}}]_{xy}=\frac{\sigma_{x}+\sigma_{y}}{2}\begin{bmatrix} \vspace{0.2cm} 1 & 0  \\ 0 & 1  \end{bmatrix}=c\begin{bmatrix} \vspace{0.2cm} 1 & 0  \\ 0 & 1  \end{bmatrix}                                                                   (7.7)

e

[\textnormal{dev}\hat{\mathbf{T}}]_{xy}=\begin{bmatrix} \vspace{0.3cm} \frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2} & \tau_{xy}  \\  \tau_{xy} & -\frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2}  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \vspace{0.3cm} d & \tau  \\ \tau & -d  \end{bmatrix}                                                              (7.8)

avendo denotato con $\tau$ il valore comune della tensione tangenziale nel piano $xy$.

Generalità (6/19)

Conseguentemente, ricordando la (7.4), risulta

\mathbf{t}_{n}=c \, \mathbf{n} + (\textnormal{dev}\hat{\mathbf{T}}) \, \mathbf{n}                                                                                      (7.9)

Proponiamoci ora di valutare le componenti di $\mathbf{t}_{n}$ nel sistema $nm$ ovvero il vettore

[\mathbf{t}_{n}]_{nm}=\begin{vmatrix}\vspace{0.3cm} \sigma_{n}  \\ \tau_{mn}  \end{vmatrix}                                                                                         (7.10)

A tal fine sarà sufficiente applicare le formule di trasformazione delle componenti di un vettore al variare del sistema di riferimento. Infatti il vettore $\mathbf{t}_{n}$ è noto in quanto sono note le sue componenti nel sistema di riferimento $xy$. Pertanto, in base alle (7.3), (7.8) e (7.9) si ha

[\mathbf{t}_{n}]_{xy}=c [\mathbf{n}]_{xy} +[\textnormal{dev}\hat{\mathbf{T}} \, \mathbf{n}]_{xy} =c [\mathbf{n}]_{xy} +[\textnormal{dev}\hat{\mathbf{T}}]_{xy} [\mathbf{n}]_{xy} = \\

= c\begin{vmatrix}\vspace{0.3cm} \cos\alpha \\ \sin\alpha \end{vmatrix} +\begin{bmatrix}\vspace{0.3cm}  d & \tau \\ \tau & -d \end{bmatrix} \begin{bmatrix}  \vspace{0.3cm} \cos\alpha \\ \sin\alpha \end{bmatrix}                                                                                       (7.11)

 

Generalità (7/19)

Il cambio di riferimento tra il sistema di riferimento iniziale $xy$ e quello ruotato $nm$ è governato dal tensore di rotazione $\mathbf{R}_{\alpha}$ la cui matrice rappresentativa nel sistema $xy$ è fornita da

[\mathbf{R}_{\alpha}]_{xy}=\begin{bmatrix} \vspace{0.3cm}  \cos\alpha & -\sin\alpha  \\ \sin\alpha &\cos\alpha  \end{bmatrix}                                                                                       (7.12)

Pertanto, in base alla citata formula di trasformazione tra le componenti di un vettore, risulterà

[\mathbf{t}_{n}]_{nm}=[\mathbf{R}_{\alpha}]_{xy}^T [\mathbf{t}_{n}]_{xy}=c [\mathbf{R}_{\alpha}]_{xy}^T [\mathbf{n}]_{xy} + [\mathbf{R}_{\alpha}]_{xy}^T [\dev\hat{\mathbf{T}}]_{xy} [\mathbf{n}]_{xy}                                                     (7.13)

in virtù della (7.11).

È facile verificare che

[\mathbf{R}_{\alpha}]_{xy}^T [\mathbf{n}]_{xy}=\begin{bmatrix} \vspace{0.2cm} 1 \\ 0 \end{bmatrix} =[\mathbf{n}]_{nm}                                                                                   (7.14)

risultato peraltro ovvio visto che la componente di $\mathbf{n}$ lungo l’asse $n$ non può che essere unitaria e nulla quella lungo $m$.

Generalità (8/19)

In virtù della proprietà generale

\{[\mathbf{R}_{\alpha}]^T\}^{-1} =\{[\mathbf{R}_{\alpha}]^{-1}\}^T                                                                                  (7.15)

e della proprietà caratteristica dei tensori ortogonali

[\mathbf{R}_{\alpha}]^{-1} = [\mathbf{R}_{\alpha}]^T                                                                                           (7.16)

consegue

\{[\mathbf{R}_{\alpha}]^T\}^{-1} =\{[\mathbf{R}_{\alpha}]^T\}^T = [\mathbf{R}_{\alpha}]                                                                             (7.17)

Dunque, la (7.14) può essere anche scritta

[\mathbf{n}]_{xy} =[\mathbf{R}_{\alpha}]_{xy} \begin{bmatrix} \vspace{0.2cm} 1 \\ 0 \end{bmatrix}                                                                                       (7.18)

sicché la (8.13) si scrive

[\mathbf{t}_{n}]_{nm} =c \begin{bmatrix}\vspace{0.2cm} 1 \\ 0 \end{bmatrix} + [\mathbf{R}_{\alpha}]_{xy}^T [\dev\hat{\mathbf{T}}]_{xy} [\mathbf{R}_{\alpha}]_{xy} \begin{bmatrix}\vspace{0.2cm} 1 \\ 0 \end{bmatrix}                                                                    (7.19)

Generalità (9/19)

Allo stesso risultato si poteva altresì pervenire, in base alla (7.14) ed alla formula di trasformazione delle componenti di un tensore, esprimendo direttamente la (7.9) nel sistema di riferimento $n,m$

[\mathbf{t}_{n}]_{nm} =c [\mathbf{n}]_{nm} + [\textnormal{dev}\hat{\mathbf{T}} \, \mathbf{n}]_{nm} = c [\mathbf{n}]_{nm} + [\textnormal{dev}\hat{\mathbf{T}}]_{nm} [\mathbf{n}]_{nm} =

= c \begin{bmatrix}\vspace{0.2cm} 1 \\ 0 \end{bmatrix} + [\textnormal{dev}\hat{\mathbf{T}}]_{nm} \begin{bmatrix}\vspace{0.2cm} 1 \\ 0 \end{bmatrix}                                                                                                      (7.20)

Infatti risulta

[\textnormal{dev}\hat{\mathbf{T}}]_{nm} = [\mathbf{R}_{\alpha}]_{xy}^T [\textnormal{dev}\hat{\mathbf{T}}]_{xy} [\mathbf{R}_{\alpha}]_{xy}                                                                       (7.21)



Generalità (10/19)

Per gli scopi che ci siamo prefissi conviene riformulare la (7.19) in maniera alternativa ricordando la proprietà generale del prodotto tra matrici

[\mathbf{A} \, \mathbf{B}]^T = [\mathbf{B}]^T [\mathbf{A}]^T                                                                                       (7.22)

e la simmetria del deviatore delle tensioni. Possiamo quindi scrivere

[\textnormal{dev}\hat{\mathbf{T}}]_{xy} [\mathbf{R}_{\alpha}]_{xy} =[\textnormal{dev}\hat{\mathbf{T}}]_{xy}^T [\mathbf{R}_{\alpha}]_{xy}^{TT} =\{[\mathbf{R}_{\alpha}]_{xy}^T [\textnormal{dev}\hat{\mathbf{T}}]_{xy}\}^T =

=[\mathbf{R}_{\alpha}]_{xy}^T [\textnormal{dev}\hat{\mathbf{T}}]_{xy}                                                                                                (7.23)

in quanto è facile verificare che il prodotto

[\mathbf{R}_{\alpha}]_{xy}^T [\textnormal{dev}\hat{\mathbf{T}}]_{xy} =\begin{bmatrix}\vspace{0.3cm} d \cos\alpha + \tau \sin\alpha & \tau \cos\alpha - d \sin\alpha \\ -d \sin\alpha + \tau \cos\alpha & - \tau \sin\alpha -d \cos\alpha \end{bmatrix}                                                   (7.24)

è simmetrico.

 

 

Generalità (11/19)

In virtù del risultato (7.23) la (7.19) diventa

[\mathbf{t}_{n}]_{nm} =c \begin{bmatrix}\vspace{0.2cm} 1 \\ 0 \end{bmatrix} + [\mathbf{R}_{\alpha}]_{xy}^T [\mathbf{R}_{\alpha}]_{xy}^T [\textnormal{dev}\hat{\mathbf{T}}]_{xy} \begin{bmatrix}\vspace{0.2cm} 1 \\ 0 \end{bmatrix} =

= c \begin{bmatrix}\vspace{0.2cm} 1 \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \mathbf{R}_{\alpha} \mathbf{R}_{\alpha} \end{bmatrix}_{xy}^T \begin{bmatrix}\vspace{0.2cm} d \\ \tau \end{bmatrix}                                                                                     (7.25)

in cui si è sfruttato nuovamente il risultato (7.22).

Osserviamo che la composizione $\mathbf{R}_{\alpha}$$\mathbf{R}_{\alpha}$ equivale a due rotazioni consecutive di $\alpha$ in senso antiorario ovvero ad una rotazione unica di un angolo 2$\alpha$. Possiamo dunque porre

\mathbf{R}_{\alpha} \mathbf{R}_{\alpha} = \mathbf{R}_{2\alpha}

D’altra parte, per la proprietà generale dei tensori ortogonali

[\mathbf{R}_{2\alpha}]_{xy}^T = [\mathbf{R}_{2\alpha}]_{xy}^{-1} = [\mathbf{R}_{-2\alpha}]_{xy}

in quanto l’inverso di una rotazione di 2$\alpha$ in senso antiorario equivale ad eseguire una rotazione di -2$\alpha$ ovvero una rotazione di 2$\alpha$ in senso orario.

 

Generalità (12/19)

Dunque la (7.25) diventa

[\mathbf{t}_{n}]_{nm} &=c \begin{bmatrix}\vspace{0.2cm} 1 \\ 0 \end{bmatrix} + [\mathbf{R}_{-2\alpha}]_{xy} \begin{bmatrix}\vspace{0.2cm} d \\ \tau \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}\vspace{0.2cm} c \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \vspace{0.2cm}\cos2\alpha & \sin2\alpha \\ -\sin2\alpha & \cos2\alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\vspace{0.2cm} d \\ \tau \end{bmatrix}=

= c \begin{bmatrix}\vspace{0.2cm} 1 \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \mathbf{R}_{-2\alpha}\end{bmatrix}_{nm} \begin{bmatrix}\vspace{0.2cm} d \\ \tau \end{bmatrix}                                                                                                        (7.26)

in quanto il tensore $\mathbf{R}_{-2\alpha}$ ha le stesse componenti nel sistema $xy$ o in quello $nm$ essendo entrambi cartesiani.

 

Generalità (13/19)

Poiché la relazione precedente vale per un sistema di riferimento arbitrario i vettori numerici

\begin{bmatrix}\vspace{0.2cm} c \\ 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\vspace{0.2cm} \frac{\sigma_{x}+\sigma_{y}}{2} \\ 0 \end{bmatrix} \qquad \begin{bmatrix}\vspace{0.2cm} d \\ \tau \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\vspace{0.2cm} \frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2} \\ \tau_{xy}=\tau_{yx} \end{bmatrix}                                                                          (7.27)

intervengono nella definizione delle componenti dei vettori tensione relativi ad una qualsiasi giacitura. Ad esempio, dalla definizione del tensore di tensione sappiamo che

[\mathbf{T}]_{xy} = \begin{bmatrix}  \mathbf{t}_{x} & \vert & \mathbf{t}_{y} \end{bmatrix}

con

[\mathbf{t}_{x}]_{xy} = \begin{bmatrix}\vspace{0.2cm} \sigma_{x} \\ \tau_{yx} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}\vspace{0.2cm} \sigma_{x} \\ \tau \end{bmatrix} \qquad[\mathbf{t}_{y}]_{xy} = \begin{bmatrix}\vspace{0.2cm} \tau_{xy} \\ \sigma_{y} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}\vspace{0.2cm} \tau \\ \sigma_{y} \end{bmatrix}                                                                (7.28)

Pertanto, in base alle (7.6), (7.7) e (7.8)

[\mathbf{t}_{x}]_{xy} =<br />
 \begin{bmatrix}\vspace{0.2cm} c \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}\vspace{0.2cm} d \\ \tau \end{bmatrix}                                                                                      (7.29)

relazione che si ricava dalla (7.26) ponendo $\alpha=0$.

Le (7.26) e (7.29) mostrano che i vettori tensione relativi a giaciture diverse si ottengono combinando opportunamente dei vettori che, in quanto caratterizzati dall’avere uguali componenti, espresse dalle (7.27), in sistemi di riferimento diversi saranno vettori diversi.

Generalità (14/19)

Specificamente, cfr. fig. 2, chiameremo 

[\mathbf{s}_{x}]_{xy} =<br />
 \begin{bmatrix}\vspace{0.2cm} c \\ 0 \end{bmatrix} \qquad [\mathbf{q}_{x}]_{xy} = [\mathbf{d}_{x}]_{xy} = \begin{bmatrix}\vspace{0.2cm} d \\ \tau \end{bmatrix}

i vettori che, nel sistema $xy$, hanno le componenti espresse dalle (7.27).

Per analogia indicheremo con

[\mathbf{s}_{n}]_{nm} =<br />
 \begin{bmatrix}\vspace{0.2cm} c \\ 0 \end{bmatrix} \qquad [\mathbf{q}_{n}]_{nm} = \begin{bmatrix}\vspace{0.2cm} d \\ \tau \end{bmatrix}

gli omologhi vettori che, nel sistema $nm$, hanno le stesse componenti che i vettori $\mathbf{s}_{x}$ e $\mathbf{d}_{x}$ hanno nel sistema $xy$.

Pertanto la (7.26) può anche scriversi

[\mathbf{t}_{n}]_{nm} = [\mathbf{s}_{n}]_{nm} + [\mathbf{R}_{-2\alpha}]_{nm} [\mathbf{q}_{n}]_{nm} = [\mathbf{s}_{n}]_{nm} + [\mathbf{d}_{n}]_{nm}

e la posizione relativa dei vettori fin qui introdotti è mostrata in fig. 2.

 

Figura 2: Componenti del vettore tensione al variare del sistema di riferimento

Figura 2: Componenti del vettore tensione al variare del sistema di riferimento


Generalità (15/19)

L’uso della relazione (7.26) pone alcuni problemi di interpretazione nell’attribuire il segno della tensione tangenziale allorquando si faccia riferimento al sistema di riferimento fisso, $xy$, oppure a quello mobile, $nm$, solidale con la giacitura.

Per fissare le idee si faccia riferimento alla fig. 3. In essa le componenti di $\mathbf{t}_{x}$, positive nel sistema fisso $xy$, sono positive anche nel sistema mobile $nm$ solidale con la giacitura.

Viceversa, cfr. fig. 4, mentre la $\sigma_{y}$ è positiva sia nel sistema $xy$ che in quello $nm$, la tensione tangenziale è positiva nel sistema fisso e negativa in quello mobile.

Peraltro, tale risultato può evincersi direttamente dalla (7.26), essendo $\alpha$=$\pi/2$

[\mathbf{t}_{y}]_{nm}=\begin{bmatrix}\vspace{0.2cm}\frac{\sigma_{x}+\sigma_{y}}{2} \\ 0 \end{bmatrix} +\begin{bmatrix}\vspace{0.2cm} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\vspace{0.2cm} \frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2} \\ \tau \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\vspace{0.2cm} \sigma_{y} \\ -\tau \end{bmatrix}

 

 

 

 

Figura 3: Componenti di tx nel sistema fisso (xy) ed in quello mobile (nm)

Figura 3: Componenti di tx nel sistema fisso (xy) ed in quello mobile (nm)

Figura 4: Componenti di ty nel sistema fisso (xy) ed in quello mobile (nm)

Figura 4: Componenti di ty nel sistema fisso (xy) ed in quello mobile (nm)


Generalità (16/19)

È dunque necessario risolvere tale incongruenza visto che è nostro obiettivo costruire un diagramma, detto cerchio di Mohr, che riporti in un unico riferimento le coppie $(\sigma_{n}, \tau_{mn})$ relative a tutte le possibili giaciture del piano e in funzione del quale riportare, nello spazio fisico $xy$, $\sigma_{n}$  e $\tau_{mn}$ in valore e segno. Per risolvere l’ambiguità e scongiurare il ricorso ad artificiose ed inutili convenzioni di segno è opportuno caratterizzare il verso delle tensioni tangenziali in relazione all’osservatore disposto lungo la giacitura cui esse si riferiscono.

In particolare nella costruzione e nell’utilizzo del cerchio di Mohr sarà sufficiente riportare, e leggere, le tensioni tangenziali così come esse sono viste dall’osservatore disposto lungo $n$. Infatti il cerchio, o più correttamente, la circonferenza di Mohr, può definirsi come il luogo dei punti descritto dal vettore $\mathbf{t}_{n}$, al ruotare della normale $n$ nel piano $xy$, in un sistema di riferimento solidale con la giacitura $n$ cui $\mathbf{t}_{n}$ si riferisce.

In altri termini un osservatore solidale con $n$, quindi inconsapevole del fatto che $n$ ruota nel piano $xy$, vedrà davanti a sé un vettore la cui estremità si muove, come vedremo, lungo una circonferenza. In particolare tale vettore sarà somma di una parte fissa rispetto all’osservatore e di un’altra che ruota.

 

 

 

 

Generalità (17/19)

La parte fissa è espressa dal vettore

[\mathbf{s}_{n}^{M}] =<br />
 \begin{bmatrix}\vspace{0.2cm} c \\ 0 \end{bmatrix}                                                                                              (7.30)

in quanto esso ha modulo costante ed è costantemente diretto lungo l’osservatore.

La parte variabile del vettore che verrà visualizzato dall’osservatore solidale con $n$ è invece fornita, in base alla (7.26), da

[\mathbf{d}_{n}^{M}] =<br />
 \begin{bmatrix} \vspace{0.2cm}\cos2\alpha & \sin2\alpha \\ -\sin2\alpha & \cos2\alpha<br />
 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\vspace{0.2cm} d \\ \tau \end{bmatrix} = [\mathbf{R}_{-2\alpha}^T] [\mathbf{q}_{n}]                                                              (7.31)

Dunque le componenti di $[\mathbf{d}_{n}^{M}]$, nel sistema di riferimento solidale con l’osservatore, cambiano al variare della posizione di $n$, e cioè dell’angolo $\alpha$, senza che vari il modulo di $\mathbf{d}_{n}^{M}$.

Infatti

|\mathbf{d}_{n}^{M}| = \sqrt{\mathbf{R}_{-2\alpha}\mathbf{q}_{n} \cdot \mathbf{R}_{-2\alpha}\mathbf{q}_{n}} = \sqrt{\mathbf{R}_{-2\alpha}^T\mathbf{R}_{-2\alpha}\mathbf{q}_{n}\cdot\mathbf{q}_{n}}=

= \sqrt{\mathbf{q}_{n}\cdot\mathbf{q}_{n}} = \sqrt{d^2+\tau^2} = \sqrt{(\frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2})^2+\tau_{xy}^2}                                                         (7.32)

 

Generalità (18/19)

Dunque il vettore somma di $\mathbf{s}_{n}^{M}$ e $\mathbf{d}_{n}^{M}$ descriverà, nel sistema di riferimento solidale con $n$, detto anche riferimento di Mohr, una circonferenza il cui centro è definito dal vettore $\mathbf{s}_{n}^{M}$ ed il cui raggio è pari a $|\mathbf{d}_{n}^{M}|$.

Per l’appunto l’apice $(\circ)^M$ usato per denotare $\mathbf{s}_{n}^{M}$ e $\mathbf{d}_{n}^{M}$ serve a ricordare che tali vettori sono noti esclusivamente all’osservatore solidale con $n$. Proprio per tale motivo, nelle (7.30) e (7.31) non si è precisato il sistema di riferimento cui si riferiscono le componenti di $\mathbf{s}_{n}^{M}$ e $\mathbf{d}_{n}^{M}$ essendo tale riferimento quello di Mohr, ovvero solidale con la normale.

Un modo equivalente per ottenere il cerchio di Mohr è quello di ruotare rigidamente la generica coppia ($n$, $\mathbf{t}_{n}$), cfr. fig. 2, in modo da sovrapporre tutte le giaciture con un’unica direzione, scelta arbitrariamente. In tale sovrapposizione i vettori $\mathbf{s}_{x}$, $\mathbf{s}_{y}$, $\mathbf{s}_{n}$… coincideranno, individuando in tal modo il centro del cerchio, mentre i vettori $\mathbf{t}_{n}$ descriveranno i punti della circonferenza.

 

 

Generalità (19/19)

Per enfatizzare il fatto che i vettori conseguenti a questa ideale rotazione rigida non coincidono fisicamente con quelli originari, essi saranno denotati, come detto, con $\mathbf{s}_{n}^{M}$ e $\mathbf{t}_{n}^{M}$.                    

In particolare il vettore $\mathbf{d}_{n}^{M}$ sarà ruotato rispetto al vettore $\mathbf{d}_{x}^{M}$ di $2\alpha$ in senso orario, cfr. fig. 5.

La direzione con la quale sono state fatte coincidere tutte le giaciture reali del piano $xy$ è stata indicata con $\sigma_n$ in fig. 5. Tale denominazione è legata solo alla tradizione in quanto, per coerenza con il suo significato, tale asse, essendo relativo al riferimento di Mohr, avrebbe dovuto essere denominato $\sigma_n^M$. Infatti, le componenti di $\mathbf{t}_{n}^{M}$ lungo l’asse $\sigma_n$ della rappresentazione di Mohr e lungo la direzione ortogonale, denotata con $\tau_{mn}$ in fig. 5 forniscono, rispettivamente, le componenti $\sigma_n$, $\tau_{mn}$ del vettore fisico $\mathbf{t}_{n}$ rappresentato in fig. 2. La prima componente sarà positiva se diretta secondo l’osservatore. La seconda componente, ossia quella lungo l’asse $\tau_{mn}$ in fig. 5, sarà riportata nello stesso verso con cui esse sono viste dall’osservatore mobile. Proprio per tale motivo è opportuno evitare di assegnare un verso all’asse del riferimento di Mohr in corrispondenza del quale si leggono le componenti $\tau_{mn}$.

Si noti che, atteso il significato del riferimento di Mohr, e cioé di un sistema solidale con un osservatore che ruota nel piano fisico $xy$, l’asse $\sigma_{n}$ può essere disegnato in modo arbitrario nel piano; in fig. 5 esso è stato ruotato in verso orario rispetto all’orizzontale ma una qualunque altra direzione sarebbe stata accetabile. Solo per comodità di rappresentazione grafica l’asse $\sigma_{n}$ della rappresentazione di Mohr viene disegnato in orizzontale.

 

 

 

 

Figura 5

Figura 5


Costruzione del cerchio di Mohr (1/3)

Mostriamo ora in quale modo si costruisca il cerchio di Mohr a partire dallo stato tensionale (1.2) e quali sono le informazioni sintetiche che da esso si possono trarre. Esse sono sostanzialmente di due tipi:

  • determinazione delle componenti del vettore tensione relativo ad unagiacitura arbitraria;
  • valutazione della giacitura su cui agisce un vettore tensione con assegnate componenti.

In particolare, nel secondo caso, si possono determinare graficamente le direzioni principali del tensore (1.2). Esso è riportato in fig. 6 nella quale, per fissare le idee, tutte le componenti sono state assegnate positive. 

Per eseguire la costruzione del cerchio di Mohr, ricordiamo che i punti della corrispondente circonferenza sono descritti dai vettori $\mathbf{t}_{n}^{M}$ così come sono visti dall’osservatore solidale con la giacitura e che tale rappresentazione può essere riportata con riferimento ad un asse, denotato $\sigma_{n}$, comunque orientato nel piano.

 

Figura 6: stato tensionale piano con componenti tutte positive

Figura 6: stato tensionale piano con componenti tutte positive


Costruzione del cerchio di Mohr (2/3)

Per semplicità, e per questioni legate alla tradizione, tale asse è stato disegnato in orizzontale nelle figure 7 e 8. Per costruire il cerchio di Mohr associato allo stato tensionale rappresentato in fig. 6 è sufficiente osservare che il cerchio deve passare per i vettori $\mathbf{t}_{x}^{M}$ e $\mathbf{t}_{y}^{M}$ rappresentativi, nel riferimento di Mohr, dei vettori fisici $\mathbf{t}_{x}$ e $\mathbf{t}_{y}$ che l’osservatore rileva, rispettivamente, quando è allineato con $x$ e con $y$.

In particolare l’osservatore disposto lungo $x$ vede la $\sigma_{x}$ diretta davanti a sè e la $\tau_{xy}$ diretta alla sua sinistra; nel riferimento di Mohr verrà quindi individuato il punto $P_x$ di fig. 7. Viceversa, quando l’osservatore si dispone lungo $y$ vede ancora la $\sigma_{y}$ diretta nel suo stesso verso ma la $\tau_{xy}$ diretta alla sua destra, determinando in tal modo $P_y$ in fig. 7.

È noto quindi il centro del cerchio $\emph{C}$ ed il suo raggio $\emph{R}$.

\[C=\frac{\sigma_{x}+\sigma_{y}}{2} ;\qquad R=\sqrt{(\frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2})^2+\tau^2}\]<br />

ed è possibile tracciare il cerchio, cfr. fig. 8.

Figura 7: Punti rappresentativi di tx e ty in fig. 6 nel riferimento di Mohr

Figura 7: Punti rappresentativi di tx e ty in fig. 6 nel riferimento di Mohr

Figura 8: costruzione del cerchio di Mohr associato allo stato tensionale di fig. 6

Figura 8: costruzione del cerchio di Mohr associato allo stato tensionale di fig. 6


Costruzione del cerchio di Mohr (3/3)

In previsione delle successive applicazioni è istruttivo altresì mostrare come si dipongono reciprocamente i vettori $\mathbf{s}_{x}$, $\mathbf{d}_{x}$, $\mathbf{s}_{y}$ e $\mathbf{d}_{y}$ nel riferimento di Mohr diventando, rispettivamente, $\mathbf{s}_{x}^M$, $\mathbf{d}_{x}^M$, $\mathbf{s}_{y}^M$ e $\mathbf{d}_{y}^M$ (fig. 9). Come detto i vettori $\mathbf{s}_{x}^M$ e $\mathbf{s}_{y}^M$ coincidono; viceversa, essendo $y$  ruotato di $\pi/2$ rispetto a $x$ in senso antiorario, $\mathbf{d}_{y}^M$ sarà ruotato, di $\pi$ in senso orario rispetto a $\mathbf{d}_{x}^M$.

 

Si noti che, come anticipato, la costruzione eseguita non viene modificata scegliendo assi comunque inclinati. In altri termini la consuetudine di disegnare il riferimento di Mohr con assi orizzontale e verticale è dettata unicamente dalla necessità di semplificarne la rappresentazione grafica.

 

Figura 9: rappresentazione dei vettori sMx, dMx, sMy, dMy

Figura 9: rappresentazione dei vettori sMx, dMx, sMy, dMy

Figura 10: rappresentazione dei vettori sMx, dMx, sMy, dMy

Figura 10: rappresentazione dei vettori sMx, dMx, sMy, dMy


Applicazioni (1/4)

Mostriamo ora la prima delle due tipiche applicazioni del cerchio di Mohr. Assegnata una generica giacitura $n$ si vuole determinare a partire dal cerchio di Mohr le componenti $\sigma_{n}$, $\tau_{mn}$ e valutare nello spazio fisico, ovvero rispetto a $n$, il vettore tensione $\mathbf{t}_{n}$. Si consideri quindi la normale $n$, inclinata di un arbitrario angolo $\alpha$ rispetto a $x$, cfr. fig. 11.

Per determinare le componenti $(\sigma_{n}, \tau_{mn})$ relative a $n$, noto il cerchio di Mohr, è sufficiente ricordare che la rotazione di $n$ rispetto ad $x$ dell’angolo $\alpha$, antiorario in figura, comporta che il vettore $\mathbf{d}_{n}^M$ (da determinare) sia ruotato in verso opposto (e quindi orario nell’esempio) e di intensità doppia ($2\alpha$) rispetto al vettore $\mathbf{d}_{x}^M$ (noto).Viceversa il vettore $\mathbf{s}_{n}^M$ coincide con $\mathbf{s}_{x}^M$.

In altri termini il vettore $\mathbf{t}_{n}^M$, le cui componenti nel riferimento di Mohr rappresentano le componenti di $\mathbf{t}_{n}$ nel sistema $n-m$, si ottiene  riportando a partire da $\mathbf{s}_{n}^M=\mathbf{s}_{x}^M$ il vettore $\mathbf{d}_{n}^M$ ottenuto ruotando $\mathbf{d}_{x}^M$ di $2\alpha$ in verso orario. Naturalmente, analoga costruzione, non riportata in fig. 11, poteva essere eseguita a partire da $\mathbf{s}_{n}^M=\mathbf{s}_{y}^M$ ruotando $\mathbf{d}_{y}^M$ di $\pi-2\alpha$ in verso antiorario.  

 

 

 

Figura 11: determinazione delle componenti σn, τmn corrispondenti ad un’assegnata giacitura.

Figura 11: determinazione delle componenti σn, τmn corrispondenti ad un’assegnata giacitura.


Applicazioni (2/4)

Dal punto di vista operativo non è conveniente ruotare $\mathbf{d}_{n}^M$ di $2\alpha$ rispetto a $\mathbf{d}_{x}^M$. È più semplice (ed elegante) sfruttare la proprietà della circonferenza in base alla quale l’angolo alla circonferenza che insiste su di un arco è metà del corrispondente angolo al centro.

Pertanto, cfr. fig. 13, da $P_x$ è sufficiente tracciare la parallela a $n$, determinando il punto $P'_x$  sulla circonferenza, e da $P'_x$  tracciare la parallela a $x$. In tal modo l’angolo $P_xP'_xP_n$ è, per costruzione, pari ad $\alpha$ e il punto $P_n$, con le sue coordinate, individua le componenti $\sigma_{n}, \tau_{mn}$ cercate. Per tracciare nello spazio fisico $xy$ il vettore tensione $\mathbf{t}_{n}$, le cui componenti $\sigma_{n}, \tau_{mn}$ sono state appena determinate, è sufficiente riportare rispetto a $n$, cfr. fig. 12, le componenti $\sigma_{n}, \tau_{mn}$ così come appaiono nel riferimento di Mohr. In particolare l’osservatore disposto secondo l’asse del sistema di Mohr vede la componente $\sigma_{n}$ nel suo stesso verso e la componente $\tau_{mn}$ alla sua destra.

Con la stessa logica, pertanto, saranno riportate $\sigma_{n}$ e $\tau_{mn}$ rispetto a $n$ in modo da ottenere $\mathbf{t}_{n}$, cfr. fig. 12.

 

 

 

 

 

 

Figura 12: determinazione del vettore tn a partire dalle componenti σn, τmn lette sul cerchio di Mohr

Figura 12: determinazione del vettore tn a partire dalle componenti σn, τmn lette sul cerchio di Mohr

Figura 13: Costruzione del punto Pn corrispondente ad un’assegnata giacitura a partire da Px.

Figura 13: Costruzione del punto Pn corrispondente ad un’assegnata giacitura a partire da Px.


Applicazioni (3/4)

Naturalmente le componenti $(\sigma_{n}, \tau_{mn})$ potevano essere determinate ripetendo la costruzione di fig. 13 a partire da $P_y$, cfr. fig. 14.

 

Figura 14: Costruzione del punto Pn corrispondente ad un’assegnata giacitura a partire da Py.

Figura 14: Costruzione del punto Pn corrispondente ad un’assegnata giacitura a partire da Py.


Applicazioni (4/4)

La seconda tipologia di applicazioni basata sull’uso del cerchio di Mohr è quella per così dire simmetrica della precedente. In tal caso si considera un punto generico del cerchio di Mohr, quindi caratterizzato da due componenti note $\sigma_{n}, \tau_{mn}$ e ci si chiede a quale giacitura (incognita) esse corrispondono.

Tipicamente, i punti del cerchio di Mohr, di maggiore interesse sono costituiti dalle intersezioni del cerchio con l’asse $\sigma_{n}$ e da quelli più lontani da tale asse. I primi hanno $\tau_{mn}=0$  sicché individuano le tensioni principali. I secondi, viceversa, hanno il massimo valore delle componenti $\tau_{mn}$ sicché possono costituire stati tensionali di particolare interesse per le verifiche di resistenza. 

Per determinare la giacitura corrispondente ad un assegnato punto $P_n$ del cerchio di Mohr si opera come segue. A partire da $P_n$ si conduce la parallela ad una delle due direzioni note, e cioé $x$ o $y$. Supponendo di aver scelto la direzione $x$ si determina il punto $P'_x$ intersezione della parallela a $x$ per $P_n$ con il cerchio di Mohr. Congiungendo tale punto con $P_x$ si ottiene la direzione cercata nel piano $xy$ cui si riferiscono le componenti $(\sigma_{n}, \tau_{mn})$. In fig. 15 tale procedura viene esemplificata a partire dal punto $P_n = (\sigma_1, 0)$ e cioè dal punto del cerchio di Mohr corrispondente alla direzione principale caratterizzata dalla tensione massima. Nella fig. 15 a destra viene rappresentato il vettore tensione $\mathbf{t}_1$ nello spazio fisico $xy$.  

 

 

 

Figura 15: determinazione della direzione principale corrispondente alla tensione principale massima (σ1)

Figura 15: determinazione della direzione principale corrispondente alla tensione principale massima 1)


Esempi numerici (1/4)

Per acquisire maggiore dimestichezza con la costruzione e l’uso del cerchio di Mohr è opportuno illustrare alcuni esempi numerici. Si consideri lo stato tensionale di fig. 4, riportato in forma matriciale a sinistra e in forma grafica a destra (fig. 16), per il quale si vuole calcolare la tensione tangenziale massima.

Calcoliamo innanzitutto il centro ed il raggio del cerchio di Mohr

\[C=\frac{3+(-4)}{2}=-0.5 ;\qquad R=\sqrt{(\frac{3-(-4)}{2})^2+(-2)^2}=4,03\]

e disegnamo l’asse $\sigma_{n}$ del riferimento di Mohr con inclinazione arbitraria, cfr. fig. 17. I punti $P_x$ e $P_y$ sono costruiti con la procedura già descritta, in particolare il punto $P_y$ è quello in figura in quanto l’osservatore diretto come $y$ vede la tensione $\sigma_{y}$ alle sue spalle ed il vettore $\tau$ alla sua sinistra.

I punti del cerchio di Mohr caratterizzati dal massimo valore di $\tau$ sono quelli denotati con $R$  e $Q$, e cioè quelli in corrispondenza del centro del cerchio. Per valutare la giacitura corrispondente a $Q$ operiamo come illustrato nel paragrafo precedente. A partire da $Q$ tracciamo la parallela a $x(y)$ intersecando il cerchio in $P'_x(P'_y)$. L’unione di tale punto con $P_x(P_y)$ fornisce la giacitura cercata; 

Figura 16: un esempio di stato tensionale bidimensionale

Figura 16: un esempio di stato tensionale bidimensionale

Figura 17: cerchio di Mohr corrispondente allo stato tensionale di fig. 16

Figura 17: cerchio di Mohr corrispondente allo stato tensionale di fig. 16


Esempi numerici (2/4)

con riferimento a tale direzione si riporta il vettore tensione le cui componenti sono quelle del punto $Q=(-0.5, 4.03)$ nel riferimento di Mohr.

Analoga costruzione poteva farsi con riferimento al punto $R$ ottenendo in tal caso il vettore tensione le cui componenti sono riportate in fig. 19. Naturalmente è verificata la condizione di simmetria delle tensioni tangenziali.

 

Figura 18: giacitura relativa al punto Q in fig. 17 e relative componenti del vettore tMn

Figura 18: giacitura relativa al punto Q in fig. 17 e relative componenti del vettore tMn

Figura 19: giacitura relativa al punto R in fig. 17 e relative componenti del vettore tMn

Figura 19: giacitura relativa al punto R in fig. 17 e relative componenti del vettore tMn


Esempi numerici (3/4)

Un altro importante esempio è quello relativo allo stato tensionale di puro taglio, cfr. fig. 20, il cui cerchio di Mohr è riportato in fig. 21. L’esame del cerchio mostra che $\sigma_1=-\sigma_2=5$ ovvero che le tensioni principali, uguali ed opposte in segno, coincidono numericamente con il valore della tensione tangenziale applicata.

Supponiamo di voler individuare la giacitura cui corrisponde la tensione principale $\sigma_1$  utilizzando la conoscenza di $P_y$. In tal caso dal punto $P_1$ corrispondente a $\sigma_1$  occorre tracciare la parallela a $y$ e cioè una retta verticale. Tale retta interseca il cerchio ancora in $P_1$ sicché $P'_y\equiv P_1$. Congiungendo $P'_y$ con $P_y$ si ottiene la direzione cercata che, come si evince dalle fig. 21 e 22, è inclinata di $-\pi/4$ rispetto all’asse $x$.

 

Figura 20: stato tensionale di taglio puro

Figura 20: stato tensionale di taglio puro

Figura 21

Figura 21


Esempi numerici (4/4)

La rappresentazione dello stato tensionale nel sistema di riferimento principale è riportato in fig. 22 ed è fisicamente compatibile con lo stato tensionale di fig. 20. Infatti, nell’ipotesi di isotropia del materiale che costituisce l’intorno del punto cui si riferisce lo stato tensionale di fig. 20, è evidente che la direzione inclinata di $-\pi/4$ tende ad allungarsi, e quindi è soggetta a tensioni di trazione, mentre quella inclinata di $\pi/4$ tende ad accorciarsi esibendo, quindi, tensioni di compressione.

 

Figura 22

Figura 22


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