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Luciano Rosati » 8.FLESSIONE SEMPLICE


Generalità (1/)

La trave si dice soggetta a flessione semplice quando lo sforzo normale è nullo. Pertanto, in base alla (6.49), lo stato tensionale sulla sezione retta della trave è fornito dall’espressione

\sigma_z=\hat\sigma_z(\boldsymbol\rho)=\mathbf{J}_G^{-1}\mathbf{M}^\perp_G \cdot \boldsymbol\rho=\boldsymbol\kappa_\sigma\cdot\boldsymbol\rho<br />

(8.1)

essendo $\boldsymbol\rho$ il vettore posizione del generico punto in un sistema di riferimento con origine nel baricentro. La direzione individuata da $\mathbf{M}^\perp_G$, vedi fig. 1, viene denominata, per evidenti ragioni fisiche, asse di sollecitazione. Infatti la coppia applicata, rappresentata nel piano della sezione dal vettore $\mathbf{M}_G$, agisce nel piano individuato dall’asse $z$ e da $\mathbf{M}_G^\perp$<br />
.

Si definisce asse neutro della distribuzione di tensioni definite dalla (8.1) il luogo dei punti individuati dai vettori $\boldsymbol\rho_n$ tali che $\hat\sigma_z(\boldsymbol\rho_n)=0$. In formule

\hat\sigma_z(\boldsymbol\rho_n)=0  \,\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,\,\mathbf{J}_G^{-1}\mathbf{M}^\perp_G \cdot \boldsymbol\rho_n=0<br />

(8.2) 

Vettori caratteristici della flessione

Vettori caratteristici della flessione


Generalità (2/9)

Poichè anche $\boldsymbol\rho_{n}=\mathbf{o}\,$ soddisfa la (8.2) l’asse neutro è una retta passante per l’origine del sistema di riferimento, ossia per il baricentro. In virtù della (8.2) l’asse neutro è individuato da tutti i vettori proporzionali al versore 

\boldsymbol\iota_n=\frac{(\mathbf{J}_G^{-1}\mathbf{M}_G^\perp)^\perp}{|{(\mathbf{J}_G^{-1}\mathbf{M}_G^\perp)^\perp}|}=\frac{\boldsymbol\kappa_\sigma^\perp}{|{\boldsymbol\kappa_\sigma^\perp}|}<br />

(8.3)

in cui l’ultima uguaglianza deriva dalla (6.52).

Tale espressione consente immediatamente di tracciare l’asse neutro una volta noto \mathbf{J}_G^{-1} e $\mathbf{M}^\perp_G$ in quanto,

\mathbf{J}_G^{-1}\mathbf{M}_G^\perp=\begin{bmatrix}   a \\ b \end{bmatrix} \Rightarrow \boldsymbol\rho_{n}=\lambda \begin{bmatrix}  -b \\ \,\,\,\,a \end{bmatrix}

(8.4)

con $\lambda$ costante arbitraria.

 

Generalità (3/9)

La relazione precedente, conseguenza della (8.2), sintetizza il processo logico attraverso il quale determinare lo stato tensionale nella sezione a partire dai dati del problema. Questi sono costituiti dalla geometria della sezione, sintetizzata nel tensore $\mathbf{J}_G$, e dalle coppie applicate, riportate nel vettore $\mathbf{M}_G$. La risposta della sezione è fornita da una distribuzione di tensioni il cui gradiente $\boldsymbol\kappa_\sigma$ è fornito in base alla (6.52) da

\boldsymbol\kappa_\sigma=\mathbf{J}_G^{-1}\mathbf{M}_G^\perp<br />

(8.5)

mentre l’asse neutro è individuato, in base alla (8.2), da un generico vettore ortogonale a $\boldsymbol\kappa_\sigma$, confronta (8.3).

Conseguentemente le fibre della trave parallele all’asse neutro, ovvero ortogonali a $\boldsymbol\kappa_\sigma$, saranno caratterizzate dall’avere tensione costante. Infatti, si denoti con

\boldsymbol\iota_f=\frac{\boldsymbol\kappa_\sigma}{|\boldsymbol\kappa_\sigma|}<br />

il versore dell’asse individuato da $\boldsymbol\kappa_\sigma$ in cui il pedice $(\bullet)_f$ denota il fatto che tale asse, come dimostrato nei paragrafi precedenti, rappresenta l’asse di flessione.

Generalità (4/9)

Decomponendo il generico vettore $\boldsymbol\rho$ nella forma

\boldsymbol\rho=n(\boldsymbol\rho)\,\boldsymbol\iota_n+f(\boldsymbol\rho)\,\boldsymbol\iota_f<br />

in cui $n(\boldsymbol\rho)$ e $f(\boldsymbol\rho)$ sono le componenti del vettore $\boldsymbol\rho$ nel sistema $n-f$, si ha 

\sigma_z=\hat\sigma_z(\boldsymbol\rho)=f(\boldsymbol\rho)\mathbf{J}_G^{-1}\mathbf{M}_G^\perp\cdot\boldsymbol\iota_f=f(\boldsymbol\rho)|\boldsymbol\kappa_\sigma|<br />

(8.6)

in base alle (8.1) e (8.2). Pertanto le fibre parallele all’asse neutro, quindi caratterizzate da un valore costante di $f(\boldsymbol\rho)$, avranno lo stesso valore di tensione $\sigma_z$.

 

 

Generalità (5/9)

Questa proprietà si rappresenta graficamente come segue. La funzione $\hat\sigma_z:\boldsymbol\rho\,\rightarrow\,\sigma_z$ espressa dalla (8.1) costituisce l’equazione di un piano nelle variabili $x$, $y$, piano rappresentato in fig. 2, come quello rappresentato per i punti $PQRS$. Stante la proprietà (8.6) è inutile rappresentare l’intero piano delle tensioni ma è sufficiente considerare solo una generica sezione del piano delle tensioni con il piano contenente gli assi $f-z$; tale sezione è quella denotata con $ABCD$ in fig. 2.

Per fornire una rappresentazione ancora più utile per le applicazioni, che eviti di ricorrere a disegni tridimensionali, è opportuno ribaltare la sezione $ABCD$  di fig. 2 nel piano della sezione retta; si ottiene in tal modo, cfr. fig. 3, una rappresentazione particolarmente sintetica ed efficace dello stato tensionale indotto dalla coppia, agente nel piano $s-z$ e schematizzata tramite il vettore $\mathbf{M}_G$.

In effetti quello che viene comunemente rappresentato, oltre al vettore $\mathbf{M}_G$ (o $\mathbf{M}_G^\perp$), è solo il diagramma dello stato tensionale $ABCD$ in quanto l’ulteriore indicazione di $\boldsymbol\kappa_\sigma$ in fig. 3 è sovrabbondante.

 

 

Sezione della trave e relativo piano delle tensioni

Sezione della trave e relativo piano delle tensioni


Generalità (6/9)

Infatti, assegnato il vettore sollecitante $\mathbf{M}_G$, e quindi $\mathbf{M}_G^\perp$, lo stato tensionale agente sulla sezione può essere determinato analiticamente come segue. Essendo nota la sezione della trave è immediato conoscere $\mathbf{J}_G$, con i procedimenti della geometria delle aree, e quindi $\mathbf{J}_G^{-1}$. In base alle (6.52) è noto il gradiente $\boldsymbol\kappa_\sigma$ della funzione \hat\sigma_z ovvero

\boldsymbol\kappa_\sigma=\mathbf{J}_G^{-1}\mathbf{M}_G^{\perp}<br />

e quindi l’asse neutro, in base alla (8.4). È dunque possibile tracciare il diagramma dello stato tensionale come in fig. 3, considerando la direzione ortogonale a $n$ e cioè l’asse di flessione. Per rappresentare lo stato tensionale cui è soggetta la sezione si può, indifferentemente, rappresentare esplicitamente il vettore $\boldsymbol\kappa_\sigma$, o riportare direttamente il diagramma bi-triangolare $ABCD$ di fig. 3 individuando la porzione di sezione soggetta a tensioni normali positive, ovvero di trazione, e quelle soggette a tensioni negative. Il primo modo di procedere è meno usuale mentre il secondo, noto l’asse neutro, è di immediata costruzione in quanto la porzione di sezione soggetta a tensioni normali positive è quella i cui vettori posizione formano prodotto scalare positivo con la proiezione di $\mathbf{M}_G^\perp$ lungo la direzione ortogonale a $n$. Tale informazione è analoga a quella fornita dalla rappresentazione esplicita di $\boldsymbol\kappa_\sigma$.

Rappresentazione dello stato tensionale indotto dalla flessione

Rappresentazione dello stato tensionale indotto dalla flessione


Generalità (7/9)

L’individuazione della porzione di sezione soggetta a trazione si intuisce fisicamente poichè la coppia rappresentata nel piano della sezione dal vettore $\mathbf{M}_G$, e di fatto contenuta nel piano $s-z$, è tale da produrre una rotazione della sezione che porta il vettore $\mathbf{M}_G^\perp$ a sovrapporsi all’asse $z$, diretto nel verso dell’osservatore. Poichè, come dimostrato in precedenza, la rotazione della sezione avviene intorno all’asse neutro, la porzione di sezione che \emph{tende a fuoriuscire} dal suo piano per effetto di $\mathbf{M}_G^\perp$, e quindi soggetta a dilatazioni positive ovvero a tensioni di trazione, è quella i cui vettori posizione formano prodotto scalare positivo con la proiezione di $\mathbf{M}_G^\perp$ lungo l’asse di flessione. Dal punta di vista analitico tale informazione è fornita dal vettore $\boldsymbol\kappa_\sigma$ che rappresenta l’effetto indotto dall’azione sollecitante $\mathbf{M}_G^\perp$ agente sulla sezione. Come mostrato in fig. 3, $\boldsymbol\kappa_\sigma$ forma un angolo acuto con $\mathbf{M}_G^\perp$ in quanto la relazione che li lega, espressa dalla (8.5), è governata dal tensore definito positivo $\mathbf{J}_G^{-1}$. Per fornire un’interpretazione fisica di tale risultato osserviamo che l’energia elastica specifica si scrive, nel caso di flessione, come segue

\varphi\,(\mathbf{p})=\frac{1}{2}\,\mathbf{T}(\mathbf{p})\cdot\mathbf{E}_l(\mathbf{p})=\frac{\sigma_z^2}{2E}<br />

in virtù delle espressioni (6.1) e (6.10).

Generalità (8/9)

Ricordando altresì la (6.49) risulta

\sigma_z^2=(\boldsymbol\kappa_\sigma\cdot\boldsymbol\rho)(\boldsymbol\kappa_\sigma\cdot\boldsymbol\rho)=(\boldsymbol\rho\otimes\boldsymbol\rho)\,\boldsymbol\kappa_\sigma\cdot\boldsymbol\kappa_\sigma<br />

come è facile verificare esprimendo il prodotto scalare in componenti. Poichè $\boldsymbol\kappa_\sigma$ è un vettore costante, l’energia elastica immagazzinata nel solido per effetto delle coppie applicate vale

\Phi =\int_0^l\int_\Sigma \varphi\,(\boldsymbol\rho,\,z)\,dA\,dz=\frac{1}{2E}\int_0^l \biggl[ \int_\Sigma (\boldsymbol\rho\otimes\boldsymbol\rho)\,dA \biggr]\boldsymbol\kappa_\sigma\cdot\boldsymbol\kappa_\sigma\,dz\notag\\

=\frac{1}{2E}\int_0^l \mathbf{J}_G \,\boldsymbol\kappa_\sigma\cdot\boldsymbol\kappa_\sigma\,dz =\frac{l}{2E}\,\mathbf{J}_G \,\boldsymbol\kappa_\sigma\cdot\boldsymbol\kappa_\sigma=\frac{l}{2E}\,\mathbf{M}_G^\perp\cdot \boldsymbol\kappa_\sigma

ricordando la (6.52).

Conseguentemente, essendo $\Phi$ sempre positiva, $\boldsymbol\kappa_\sigma$ formerà un angolo acuto con $\mathbf{M}_G^\perp$. Allo stesso risultato poteva pervenirsi utilizzando il teorema di Clapeyron. Infatti, come illustrato in precedenza, le sezioni della trave ruotano intorno all’asse neutro con una intensità definita dal vettore $z\,\mathbf{g}^\perp/E$, ovvero da $z\,\boldsymbol\kappa_\sigma^\perp/E$ in virtù della (6.37).

Generalità (9/9)

Pertanto, supponendo vincolata la sezione $\Sigma_0$, il vettore rotazione della sezione di estremità vale, $l\boldsymbol\kappa_\sigma/E$ e, in base al teorema di Clapeyron, l’energia elastica accumulata nel solido

\Phi=\frac{1}{2}\,\frac{l}{E}\,\mathbf{M}\cdot\mathbf{g}^\perp=\frac{l}{2E}\,\mathbf{M}_G\cdot\boldsymbol\kappa_\sigma^\perp=\frac{l}{2E}\,\mathbf{M}_G^\perp\cdot\boldsymbol\kappa_\sigma

in quanto il prodotto scalare tra due vettori, $\mathbf{M}_G$ e $\boldsymbol\kappa_\sigma^\perp$ nel caso di specie, coincide altresì con quello tra i vettori ortogonali. In termini più intuitivi questo significa che la coppia applicata nel piano di sollecitazione, e rappresentata in fig. 3 dal vettore $\mathbf{M}_G$, non può indurre rotazioni che facciano compiere lavoro negativo alla coppia stessa. 

 

Costruzione grafica dell’asse neutro (1/1)

Si è visto in precedenza che la conoscenza del solo asse neutro è sufficiente per conoscere, almeno qualitativamente, lo stato tensionale indotto da un’assegnata coppia $\mathbf{M}_G$. Infatti il gradiente dello stato tensionale è ortogonale a $n$ e ed il segno da attribuire ai due triangoli che rappresentano lo stato tensionale nel piano della sezione si determina in funzione di $\mathbf{M}_G^\perp$.
Ciò giustifica la procedura di natura grafica utilizzata spesso in passato per determinare direttamente l’asse neutro a partire dai dati del problema, ovvero l’asse di sollecitazione e la sezione della trave. Tale costruzione grafica è basata sul legame generale che sussiste tra $s$ e $n$ e che scaturisce dalla (8.2) scrivendo

\mathbf{J}_G^{-1}\boldsymbol\iota_s\cdot\boldsymbol\iota_n=0<br />

dove $\boldsymbol\iota_s$ rappresenta il versore diretto lungo l’asse di sollecitazione. La relazione precedente sancisce che l’asse neutro è coniugato dell’asse di sollecitazione rispetto a $\mathbf{J}_G^{-1}$, ovvero rispetto all’ellisse associata a $\mathbf{J}_G^{-1}$. Tale ellisse viene detta di Culmann e consente di ricavare l’asse neutro come direzione individuata dalle tangenti all’ellisse, parallele tra loro, nei punti in cui essa viene intersecata dall’asse di sollecitazione.
Tale costruzione, per quanto particolarmente elegante, è di fatto sostanzialmente inutile, potendo essere sostituita dalla relazione algebrica (8.5) ai fini dell’individuazione dell’asse neutro. La costruzione grafica dell’asse neutro mediante l’ellisse di Culmann ha il solo pregio di fornire visivamente con immediatezza i punti della sezione caratterizzati dal massimo valore, positivo o negativo, di tensione in tutti i punti della sezione. 
Il calcolo di tali valori massimi costituisce, di fatto, il fine ultimo della verifica a flessione di una trave condotta con il cosiddetto \emph{metodo delle tensioni ammissibili}.

Verifiche di resistenza con il metodo delle tensioni ammissibili (1/3)

Tale metodo consiste nel verificare che le tensioni equivalenti, calcolate in tutti i punti della trave in base ad un prefissato criterio di resistenza, siano inferiori ad un valore ammissibile denotato con $\sigma_{amm}$. Tale valore si ottiene dividendo la tensione limite che caratterizza sperimentalmente il materiale costituente la trave per un opportuno coefficiente di sicurezza, in genere fissato da leggi e regolamenti nazionali per le costruzioni. Nel caso della flessione, o anche di pressoflessione, le caratteristiche di sollecitazione sono costanti in tutte le sezioni della trave, cfr. (6.2). Pertanto il calcolo delle tensioni equivalenti in tutti i punti della trave può essere sostituito da quello relativo a tutti i punti di una sezione generica. Inoltre, nel caso di pura flessione, la tensione equivalente coincide con la sola $\sigma_z$ sicchè si scriverà

\begin{vmatrix} \sigma_z \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\hat\sigma_z(\boldsymbol\rho)\end{vmatrix}\,\le\,\sigma_{amm}\qquad\forall\boldsymbol\rho\in\Sigma<br />

(8.7)

Di qui nasce la necessità di individuare i punti della sezione caratterizzati dai massimi valori, a meno del segno, della tensione. Infatti, definito l’insieme

\Sigma_{max}\subseteq\,\Sigma\,\overset{def}{=}\bigl\{\boldsymbol\rho_i: \begin{vmatrix}\hat\sigma_z(\boldsymbol\rho_i)\end{vmatrix}=\textnormal{max}\bigr\}<br />

costituito dai punti della sezione nei quali la funzione $\hat\sigma_z$ attinge il massimo, è del tutto evidente che la condizione

\begin{vmatrix}\hat\sigma_z(\boldsymbol\rho_i)\end{vmatrix}<\sigma_{amm}\qquad\quad \forall\, \boldsymbol\rho_i\in \Sigma_{max}<br />

garantisce che la stessa condizione è soddisfatta in tutti i punti della sezione.

Verifiche di resistenza con il metodo delle tensioni ammissibili (2/3)

L’ individuazione dell’insieme $\Sigma_{max}$  è agevolata dalla conoscenza dell’asse neutro in quanto i punti che definiscono tale insieme sono quelli che hanno il massimo prodotto scalare, positivo o negativo, con $\boldsymbol\kappa_\sigma$ e cioè quelli più lontani dall’asse neutro. Di fatto, rinunciando alla indagine visiva consentita dal tracciamento dell’asse neutro, lo stesso risultato può essere conseguito in maniera molto più efficace ricorrendo alla (8.1) e cioè evitando di determinare preventivamente l’asse neutro. Infatti le sezioni hanno quasi sempre forma poligonale sicchè la loro frontiera è descritta da un numero finito di punti ed i valori massimi di tensione saranno sicuramente attinti nei vertici della sezione più lontani dall’asse neutro. In definitiva è sufficiente applicare $n_v$ volte la (8.1), se $n_v$ è il numero di vertici della sezione, per determinare agevolmente i valori massimi della tensione $\sigma_z$. Nel caso di sezioni di forma circolare o ellittica, è sempre possibile approssimare la frontiera con una poligonale e ricadere, pertanto, in uno dei casi precedenti. Tale procedimento è particolarmente indicato per calcoli di tipo automatico e cioè eseguiti mediante codici di calcolo. Viceversa, per calcoli di tipo manuale è più conveniente, e particolarmente istruttivo dal punto di vista didattico, specializzare la formula generale (8.1) ad alcuni casi particolari. Tali casi particolari presentano un differente grado di difficoltà in funzione della posizione relativa tra l’asse di sollecitazione, rappresentato da $\mathbf{M}_G^\perp$, ed il gradiente dello stato tensionale, indicato con $\boldsymbol\kappa_\sigma$ e diretto lungo l’asse di flessione.

In particolare, avendo dimostrato che il vettore $\boldsymbol\kappa_\sigma$ forma sempre un angolo acuto con $\mathbf{M}_G^\perp$ è naturale chiedersi se, ed in quali ipotesi, i due assi coincidono.

 

Verifiche di resistenza con il metodo delle tensioni ammissibili (3/3)

Tale circostanza si verifica se e solo se l’asse di sollecitazione coincide con una direzione principale d’inerzia. Infatti se

\mathbf{J}_G^{-1}\mathbf{M}_G^\perp=\lambda\mathbf{M}_G^\perp\qquad\quad \lambda \in R<br />

ovvero se $s$ è una direzione principale d’inerzia, l’asse neutro, in base alle (8.2) sarà ortogonale ad $s$.

Ne consegue che l’asse di flessione, in quanto ortogonale a $n$, coinciderà con $s$. In tal caso la flessione di dirà retta in quanto la trave risponde alla causa sollecitante, contenuta nel piano , nel piano $f-z$, in tal caso coincidente con quello $s-z$. In tutti gli altri casi, e cioè quando l’asse di sollecitazione non coincide con una direzione principale d’inerzia, la flessione si dirà deviata.


Formule monomie per la flessione retta (1/4)

Supponiamo che sia applicata una coppia il cui vettore $\mathbf{M}_{G\,\xi}$ agisce secondo la direzione principale \xi in fig. 4. In tal caso l’asse di sollecitazione è l’asse $\eta$ verticale e $\xi$ coincide con l’asse neutro.

Essendo $N=M_{G\,\eta}=0$, si ottiene dalla (6.54) 

\hat\sigma_z(\xi, \eta)= \frac{M_{G\,\xi}}{I_{G\,\xi}}\,\eta<br />

(8.8)

nota come formula di Navier relativa alla flessione di asse $\eta$.



 

Flessione retta secondo secondo l’asse principale eta

Flessione retta secondo secondo l'asse principale eta


Formule monomie per la flessione retta (2/4)

Analogamente, supponendo che la coppia flettente sia rappresentata da un vettore diretto lungo $\eta$, cfr. fig. 5, l’asse di sollecitazione è ora $\xi$ e l’asse neutro coincide con $\eta$ La coppia $\mathbf{M}_{G\,\eta}$ in fig. 5 è tale da indurre una rotazione della sezione intorno a $\eta$ che porta l’asse $z$, diretto verso l’osservatore, a sovrapporsi a $\xi$. Ciò comporta che la parte di sezione a sinistra di $\xi$, quindi con ascisse $\eta$ negative, è soggetta a tensioni di trazione sicchè la formula di Navier relativa all’asse di flessione $\xi$ si scrive

 \hat\sigma_z(\xi, \eta)=-\,\frac{{M_{G\,\eta}}}{I_{G\,\eta}}\,\xi<br />

(8.9)

Il segno meno nella espressione precedente, e nel secondo termine della (6.54), si giustifica in quanto, essendo $M_{G\,\eta}>0$  e I_{G\,\eta}>0, a valori negativi di $\xi$ devono corrispondere tensioni positive.  Si giustifica in tal modo l’apparente dissimetria della formula (6.54) che vede la presenza del segno $+$ davanti all’ultimo termine. In tal caso, infatti, come si evince dalla fig. 4, risulta sempre $M_{G\,\xi}>0$ e, ovviamente, $I_{G\,\xi}>0$. Questa volta però, a differenza del caso precedente, la coppia applicata produce tensioni di trazione nei punti caratterizzati da valori positivi di $\eta$.

 

Flessione retta secondo l’asse principale xi

Flessione retta secondo l'asse principale xi


Formule monomie per la flessione retta (3/4)

La formula di Navier è particolarmente utile per sviluppare una semplice procedura di proporzionamento preliminare della sezione di una trave soggetta a flessione semplice. Infatti è in genere noto il valore del momento massimo che sollecita la sezione di una trave e si pone il problema di dimensionarne la sezione ovvero di definire le dimensioni della sezione che siano in grado di garantire il soddisfacimento della verifica di resistenza (8.7) secondo il metodo delle tensioni ammissibili. Tale problema è particolarmente sentito per le travi metalliche in quanto le loro dimensioni variano in modo discreto secondo profili di forma standardizzata. A titolo di esempio si faccia riferimento alla fig. 4 in cui è evidente che, essendo $a>b$, le tensioni massime, in questo caso positive, si attingono in corrispondenza del lato inferiore del profilo, ovvero quelli con $\eta=a$. Quindi

\sigma_{z\,max}=\frac{M_{G\,\xi}}{I_{G\,\xi}}\,a<br />

(8.10)

Introducendo il cosiddetto modulo di resistenza minimo a flessione, definito da 

W_{\xi\,min}=\frac{I_{G\,\xi}}{a}<br />

la (8.10) si scrive

\sigma_{z\,max}=\frac{M_{G\,\xi}}{W_{\xi\,min}}<br />
 

Formule monomie per la flessione retta (4/4)

Evidentemente, il modulo di resistenza definito da $I_{G\,\xi}/b\,$ è certamente maggiore di $W_{\xi\,min}$. Dovendo rispettare la condizione generale

\sigma_{z\,max}\,\le\,\sigma_{amm}\,\,\Leftrightarrow\,\,\frac{M_{G\,\xi}}{W_{\xi\,min}}\,\le\,\sigma_{amm}<br />

tale espressione fornisce una utilissima formula di predimensionamento di una trave soggetta a flessione. Infatti la relazione precedente si scrive in modo equivalente

W_{\xi\,min}\,\ge\,\frac{M_{G\,\xi}}{\sigma_{amm}}<br />

Pertanto, noto il momento massimo cui la trave è soggetta ed il materiale con cui la si vuole realizzare, ovvero $\sigma_{amm}$, la formula precedente stabilisce che la verifica di resistenza sarà automaticamente soddisfatta a patto di adottare una sezione il cui modulo di resistenza sia almeno pari a $W_{\xi\,min}$.
Nelle applicazioni è opportuno adottare sezioni il cui modulo di resistenza non verifichi la disuguaglianza precedente in modo troppo stringente in quanto $M_{G\,\xi}$ generalmente non include l’aliquota di momento flettente dovuta al peso proprio, essendo tale aliquota dipendente dalle dimensioni della sezione che si vuole determinare.

Formula monomia per la flessione deviata (1/5)

Si vuole ora generalizzare la formula di Navier al caso in cui la coppia $\mathbf{M}_G$ non agisce secondo una direzione principale di inerzia. Ricaveremo quindi una formula alternativa alla (8.1) costituita da un’unica espressione di tipo scalare. A tal fine riscriviamo la (8.1) nella forma

\mathbf{M}^\perp_G=\mathbf{J}_G\,\boldsymbol\kappa_\sigma<br />

(8.11)

ed esprimiamo tale relazione in forma matriciale nel sistema di riferimento individuato dagli assi $n-f$. Ricordiamo che $\boldsymbol\kappa_\sigma$, in quanto trasformato di $\mathbf{M}^\perp_G$ tramite il tensore definito positivo $\mathbf{J}_G^{-1}$, forma un angolo acuto con $\mathbf{M}^\perp_G$. Orientiamo quindi $f$ come $\boldsymbol\kappa_\sigma$ e $n$ in modo tale che la coppia $n-f$ si sovrapponga a $\mathbf{M}_G-\mathbf{M}_G^\perp$. In tal caso, indicando con $(\mathbf{M}_G^\perp)_f$ la proiezione di $\mathbf{M}^\perp_G$ lungo l’asse di flessione, e con $M_n$ la proiezione di $\mathbf{M}_G$ su $n$, risulta $(\mathbf{M}_G^\perp)_f=(\mathbf{M}_G)_n=M_n$ in valore e segno.

Formula monomia per la flessione deviata (2/5)

Esprimendo la (8.11) nel sistema di riferimento cartesiano n-f

\begin{bmatrix} \vspace{0.2cm}  {(\mathbf{M}_G^\perp)}_n \\ {(\mathbf{M}_G^\perp)}_f  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \vspace{0.2cm} \mathbf{J}_{G\,nn} &\mathbf{J}_{G\,nf} \\ \mathbf{J}_{G\,fn} &\mathbf{J}_{G\,ff}  \end{bmatrix}\,\begin{bmatrix} \vspace{0.2cm}  0 \\ g_f \end{bmatrix}

si ha 

g_f=\frac{(\mathbf{M}_G^\perp)_f}{\mathbf{J}_{G\,ff}}=\frac{(\mathbf{M}_G^\perp)_f}{I_n}=\frac{M_n}{I_n}<br />

(8.12)

stante il significato di $I_n$ come momento di inerzia rispetto all’asse neutro. Si ricava quindi dalle (8.1) e (8.11)

\hat\sigma_z(\boldsymbol\rho)=\mathbf{J}_G^{-1}\mathbf{M}_G^\perp \cdot \boldsymbol\rho=\boldsymbol\kappa_\sigma \cdot \boldsymbol\rho = g_n n{(\boldsymbol\rho)}+g_ff(\boldsymbol\rho)=g_ff(\boldsymbol\rho)

essendo $n(\boldsymbol\rho)$ ed $f(\boldsymbol\rho)$ le componenti di $\boldsymbol\rho$ nel sistema $n-f$.

Formula monomia per la flessione deviata (3/5)

Pertanto, in virtù della (8.12) si ha 

\hat\sigma_z(\boldsymbol\rho)=\frac{M_n}{I_n}f\,(\boldsymbol\rho)=\frac{M_n}{I_n}d_n(\boldsymbol\rho)<br />

(8.13)

in cui $d_n(\boldsymbol\rho)$ è la distanza del generico punto $\boldsymbol\rho$ dall’asse neutro $n$. Per il modo in cui è stato orientato $n$ la distanza $d_n(\boldsymbol\rho)$, ovvero $f(\boldsymbol\rho)$, è positiva se il punto si trova alla sinistra dell’osservatore che percorre $n$ nel verso positivo. Posto

\boldsymbol\iota_f=\frac{\mathbf{J}_G^{-1}\mathbf{M}_G^\perp}{|{\mathbf{J}_G^{-1}\mathbf{M}_G^\perp}|}<br />

il versore diretto lungo l’asse di flessione risulta

I_n=\mathbf{J}_G\,\boldsymbol\iota_f \cdot \boldsymbol\iota_f \qquad d_n(\boldsymbol\rho)=\boldsymbol\rho \cdot \boldsymbol\iota_f \qquad M_n=\mathbf{M}_G^\perp \cdot \boldsymbol\iota_f<br />

(8.14)

ciò che fornisce gli strumenti per applicare la (8.13) in funzione dei dati del problema. Questi sono il tensore d’inerzia della sezione (\mathbf{J}_G) ed il momento applicato $\mathbf{M}_G$, visto che $\mathbf{M}_G^\perp=\mathbf{k} \times \mathbf{M}_G$.

Formula monomia per la flessione deviata (4/5)

È interessante osservare che la (8.13) prescinde dal verso utilizzato per orientare l’asse di flessione in quanto sia $M_n$ che $f$ (o $d_n$) cambiano segno, al contrario di $I_n$, al variare dell’orientazione adottata per l’asse di flessione. Tuttavia, essendo tale asse individuato dal vettore $\boldsymbol\kappa_\sigma=\mathbf{J}_G^{-1} \mathbf{M}_G^\perp$, ossia dal gradiente dello stato tensionale, è prassi scegliere per $f$ il verso individuato da \boldsymbol\kappa_\sigma. Risulta di conseguenza fissata l’orientazione dell’asse neutro, di fatto inessenziale per i calcoli, individuata dal versore $\boldsymbol\iota_n$ ruotato di $\boldsymbol\iota_f$ di $\pi/\,2$ in verso orario. In tal modo infatti gli assi n-f si sovrappongono mediante rotazione rigida a quelli $\boldsymbol\iota_m-\boldsymbol\iota_s$, essendo $\boldsymbol\iota_m$ il versore diretto lungo $\mathbf{M}_G$ e $\boldsymbol\iota_s$ il versore diretto lungo $\mathbf{M}_G^\perp$, vedi fig. 1. Risulta quindi 

M_n=\mathbf{M}_G^\perp\cdot\boldsymbol\iota_f=\mathbf{M}_G\cdot\boldsymbol\iota_n<br />

(8.15)

La (8.13) costituisce la generalizzazione delle formule di Navier (8.8) e (8.9). Infatti nel caso di fig. 4 risulta

M_n=M_{G\,\xi}\qquad I_n=I_{G\,\xi}\qquad d_n=\eta<br />

e si ottiene la (8.9).

Viceversa, nel caso di fig. 5 si ha

M_n=M_{G\,\eta}\qquad I_n=I_{G\,\eta}\qquad d_n=-\xi<br />

poichè un punto con ascissa $\xi$ positiva ha ascissa negativa nel sistema $nf$. 

Formula monomia per la flessione deviata (5/5)

Infine si segnala una ulteriore variante della (8.12) formulata al fine di far comparire il modulo $|{\mathbf{M}_G}|$ del momento flettente. Essendo infatti

M_n=\abs{\mathbf{M}_G}\cos{\alpha} \qquad d'_n=d_n\,\cos{\alpha}<br />

la (8.13) si scrive anche 

\hat\sigma_z(\boldsymbol\rho)=\frac{\abs{\mathbf{M}_G}d'_n(\boldsymbol\rho)}{I_n'}<br />

essendo ${I_n'}=I_n/\cos^2{\alpha}\,$ il momento di inerzia della sezione rispetto all’asse neutro ma valutato prendendo le distanze parallelamente all’asse di sollecitazione.

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