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Luciano Rosati » 10.PRESSOFLESSIONE


Generalità (1/3)

In analogia al caso della flessione si vogliono ricavare alcune espressioni alternative alla (6.52), particolarmente frequenti nelle applicazioni, per la verifica di sezioni soggette a pressoflessione. A tale scopo consideriamo nuovamente l’espressione generale (6.52) della pressoflessione

\hat\sigma_z(\boldsymbol\rho)=\frac{N}{A}+\mathbf{J}_G^{-1}\mathbf{M}_G^\perp \cdot \boldsymbol\rho<br />

(9.1)

in cui $\boldsymbol\rho$ è il vettore posizione del generico punto in un sistema di riferimento con origine nel baricentro $G$ della sezione.

Supponendo che la sollecitazione applicata sia costituita da uno sforzo normale $N$, positivo di trazione, applicato in $C$, si ha

\mathbf{M}=\mathbf{r}_C \times N\,{\mathbf{k}}<br />

(9.2)

essendo $\mathbf{r}_C$ il vettore posizione di $C$ nel sistema di riferimento prefissato. Quindi

{\mathbf{k}} \times \mathbf{M} =N\,\mathbf{r}_C<br />

Vettori caratteristici della pressoflessione

Vettori caratteristici della pressoflessione


Generalità (2/3)

Ricordando la (6.44) la relazione precedente, scritta in funzione dei vettori bidimensionali associati, si scrive

\mathbf{M}_G^\perp=N\,\boldsymbol\rho_C<br />

(9.3)

e la formula (9.1) diventa

\hat\sigma_z(\boldsymbol\rho)=N\biggl( \frac{1}{A}+\mathbf{J}_G^{-1}\boldsymbol\rho_C \cdot \boldsymbol\rho \biggr)=N\biggl(\frac{1}{A}+\boldsymbol\kappa_\sigma \cdot \boldsymbol\rho\biggr)=\sigma_G+\boldsymbol\kappa_\sigma^N \cdot \boldsymbol\rho

(9.4)

avendo posto

\boldsymbol\kappa_\sigma^N=N\,\mathbf{J}_G^{-1}\boldsymbol\rho_C=N\,\boldsymbol\kappa_\sigma<br />

(9.5)

Ricordando la definizione di asse neutro si ha, in base alla (9.5)

\hat\sigma_z(\boldsymbol\rho_n)=0 \quad\Leftrightarrow\quad \frac{1}{A}+{\mathbf{J}}_G^{-1}{\boldsymbol\rho}_C \cdot {\boldsymbol\rho}_n=0.<br />

Generalità (3/3)

Da tale relazione si ricava che

{\mathbf{J}}_G^{-1}\boldsymbol\rho_C \cdot \boldsymbol\rho_n=-\,\frac{1}{A}\quad\Leftrightarrow\quad \boldsymbol\kappa_\sigma\cdot \boldsymbol\rho_n=-\,\frac{1}{A}

(9.6)

ossia che l’asse neutro si trova sempre da parte opposta del centro di pressione $C$ rispetto al baricentro. Dunque, nella sollecitazione di pressoflessione, l’asse neutro non potrà mai essere baricentrico.
Si noti, in particolare, che se $|\boldsymbol\rho_C|\rightarrow 0$ risulta $|\boldsymbol\rho_n|\rightarrow\mathcal{1}$ e si ricade nel caso dello sforzo normale centrato.
In tal caso la sezione ruota intorno ad un asse neutro infinitamente distante dal baricentro sicchè la distribuzione delle tensioni normale è uniforme sulla sezione, ciò che caratterizza lo sforzo normale centrato.
L’esame della fig. 1 mostra che la porzione di sezione soggetta a tensioni di trazione è coerente con la posizione dello sforzo normale ed il fatto che si è supposto $N>0$. Come si mostrerà nel seguito, quando si introdurrà la formula monomia della pressoflessione, la porzione di sezione soggetta a tensioni dello stesso segno dello sforzo normale applicato è quella individuata da vettori posizione che, valutati rispetto al punto $P$ anzichè rispetto al baricentro, formano prodotto scalare positivo con $\boldsymbol\kappa_\sigma$.
Come già mostrato per la flessione, una informazione equivalente si ottiene considerando, al posto di $\boldsymbol\kappa_\sigma$, la proiezione del vettore $\mathbf{M}_G^\perp$ lungo l’asse di flessione, e cioè lungo la direzione ortogonale all’asse neutro.

Pressoflessione retta (1/8)

Per acquisire maggiore familiarità con l’uso della formula (9.1) e sviluppare un adeguato senso fisico sul comportamento della trave soggetta a pressoflessione è opportuno fare riferimento al caso particolarmente semplice di una sezione per la quale vi sia almeno un asse di simmetria ortogonale, cfr. fig. 2. In tal caso sono note a priori le direzioni principali d’inerzia, rappresentate dalle direzioni verticale ed orizzontale. Supponiamo inoltre che la sezione sia soggetta ad una forza di compressione, di valore pari a $F$, applicata in $C$. Tale forza è rappresentata da una $\times$ inscritta nella circonferenza di fig. 2 a sinistra. Nella fig. 2 di destra è stato invece rappresentato il sistema di forze equivalente alla forza applicata in $C$. Esso è costituito dalla forza $F$ applicata nel baricentro e dalle coppie di trasporto di intensità Fb lungo $\xi$, e $Fa$ lungo $\eta$. Il loro verso consegue direttamente dalla (9.2) in quanto $N=-F$

 

\mathbf{r}_c=\begin{vmatrix} \boldsymbol\rho_c \\  0 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} -c \\ -b \\ 0 \end{vmatrix}\qquad\qquad\qquad\mathbf{M}=-F\begin{vmatrix}  \mathbf{i} &\mathbf{j} &\mathbf{k} \\ -c &-b &0 \\ 0&0&1  \end{vmatrix}=-F\begin{vmatrix} -b\\c\\0 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} Fb \\ -Fc\\0 \end{vmatrix}

Sezione soggetta a pressoflessione retta

Sezione soggetta a pressoflessione retta


Pressoflessione retta (2/8)

Per acquisire maggiore familiarità con l’uso della formula (9.1) e sviluppare un adeguato senso fisico sul comportamento della trave soggetta a pressoflessione è opportuno fare riferimento al caso particolarmente semplice di una sezione per la quale vi sia almeno un asse di simmetria ortogonale, cfr. fig. 2. In tal caso sono note a priori le direzioni principali d’inerzia, rappresentate dalle direzioni verticale ed orizzontale. Supponiamo inoltre che la sezione sia soggetta ad una forza di compressione, di valore pari a $F$, applicata in $C$. Tale forza è rappresentata da una $\times$ inscritta nella circonferenza di fig. 2 a sinistra.

Nella fig. 2 di destra è stato invece rappresentato il sistema di forze equivalente alla forza applicata in $C$. Esso è costituito dalla forza $F$ applicata nel baricentro e dalle coppie di trasporto di intensità Fb lungo $\xi$, e $Fa$ lungo $\eta$. Il loro verso consegue direttamente dalla (9.2) in quanto $N=-F$

\mathbf{r}_c=\begin{vmatrix} \boldsymbol\rho_c \\  0 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} -c \\ -b \\ 0 \end{vmatrix}\qquad\qquad\qquad\mathbf{M}=-F\begin{vmatrix}  \mathbf{i} &\mathbf{j} &\mathbf{k} \\ -c &-b &0 \\ 0&0&1  \end{vmatrix}=-F\begin{vmatrix} -b\\c\\0 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} Fb \\ -Fc\\0 \end{vmatrix}

Sezione soggetta a pressoflessione retta

Sezione soggetta a pressoflessione retta


Pressoflessione retta (3/8)

In effetti le componenti di $\mathbf{M}$ possono essere determinate, più semplicemente, associandole agli effetti cinematici che esse producono, ovvero le rotazioni della sezione. Ad esempio, la forza di compressione applicata in $C$ ha un braccio pari a $b$ rispetto all’asse principale $\xi$  e produce una rotazione della sezione che induce, nei punti della sezione caratterizzati dall’avere $\eta>0$, spostamenti diretti lungo $z$ e cioè verso l’osservatore. Occorre, quindi, individuare il verso della rotazione $\varphi_\xi$ diretta lungo $\xi$ per effetto della quale i punti con $\eta>0$ si spostano positivamente lungo $z$. Poichè la relazione che definisce gli spostamenti $\mathbf{s}$ indotti da un moto rigido infinitesimo associato al vettore $\boldsymbol\varphi$vale

\mathbf{s}=\boldsymbol\varphi\times\mathbf{r}<br />

(9.7)

e, nel caso di specie,

\boldsymbol\varphi=\begin{vmatrix} \varphi_\xi\\0\\0 \end{vmatrix} \qquad\qquad \mathbf{r}=\begin{vmatrix} \xi\\ \eta\\0\end{vmatrix}<br />

ne consegue che la componente $\varphi_\xi$ deve essere diretta positivamente lungo $\xi$; dunque, la componente $M_\xi=Fb$ che induce tale rotazione sarà necessariamente positiva come, peraltro, si evince dalla fig. 2.

In particolare applicando la (9.7) ai punti $\mathbf{r}_\eta$ disposti lungo $\eta$, ovvero

\mathbf{r}_\eta=\begin{vmatrix} 0\\ \eta\\0 \end{vmatrix}=\alpha\,\mathbf{j}\qquad \qquad\alpha \in R<br />

Pressoflessione retta (4/8)

ed essendo $\mathbf{s}(\mathbf{r}_\eta)=\beta\,\mathbf{k}$, con $\beta\in R$, deve necessariamente essere $\boldsymbol\varphi=\gamma\,\mathbf{i}$ $\,\,(\gamma\in R)$ in modo da rispettare le proprietà generali

\mathbf{k}=\mathbf{i}\times \mathbf{j} \qquad\mathbf{i}=\mathbf{j}\times \mathbf{k}\qquad \mathbf{j}=\mathbf{k}\times \mathbf{i}<br />

(9.8)

che definiscono un sistema cartesiano destorso. In termini meno rigorosi, ma certamente più espressivi, poichè la forza $F$ di eccentricità $b$ rispetto all’asse $\xi$ produce una rotazione che tende a far sovrapporre l’asse $\eta$, di versore $\mathbf{j}$, all’asse $z$, di versore $\mathbf{k}$, essa deve necessariamente essere rappresentata da un vettore diretto positivamente lungo $\mathbf{i}$ in modo da rispettare la prima delle (9.8). Con ragionamento analogo si comprende per quale motivo la forza $F$ eccentrica di $C$ rispetto all’asse $\eta$ come in fig. 2 determina una coppia negativa. In tal caso, infatti, la coppia induce una rotazione cui si associano spostamenti positivi lungo $z$ dei punti con ascissa $\xi>0$. Potendo scrivere la prima delle (9.8) nella forma equivalente

\mathbf{k}=- \mathbf{j}\times \mathbf{i}<br />

si ricava il vettore $\boldsymbol\varphi$, e quindi la coppia che lo produce, deve essere diretto negativamente lungo l’asse $\eta$ in modo da garantire spostamenti positivi lungo $\mathbf{k}$ dei punti con ascisse $\xi>0$.

Alternativamente si può dire che la rotazione $\boldsymbol\varphi$ indotta dalla coppia $Fc$ tende a far sovrappore l’asse $\xi$, di versore $\mathbf{i}$, all’asse $z$, di versore $\mathbf{k}$.

Viceversa sappiamo, in base alla proprietà generale (9.7) ed alla seconda delle (9.8) che una rotazione diretta positivamente lungo \mathbf{j} fa spostare i punti dell’asse $\mathbf{k}$ in modo in modo che si sovrappongono all’asse $\mathbf{i}$. Poichè la forza $F$ induce un effetto esattamente opposto, se ne conclude che la coppia associata $Fc$ deve essere diretta negativamente lungo $\eta$.

Pressoflessione retta (5/8)

Alla luce delle considerazioni appena svolte la determinazione dello stato tensionale indotto dalla forza di compressione F applicata in C, cfr. fig. 2, diventa particolarmente semplice. Di fatto la sezione è soggetta a uno sforzo di compressione centrato e a due flessioni rette di valore $M_{G\,\xi}=Fb$ e $M_{G\,\eta}=-Fc$. Dunque

$M_{G\,\xi}=Fb$

(9.9)

Infatti, come illustrato in precedenza, la coppia $M_{G\,\xi}$ deve indurre tensioni di trazione nei punti con $\eta>0$, cfr. fig. 3, e la coppia $M_{G\,\eta}$ tensioni di trazione per $\xi>0$.

In tal caso, quindi, l’attribuzione dei segni ai monomi della (9.9) è stata operata sulla base di evidenti considerazioni di natura fisica. Naturalmente lo stesso risultato si ottiene applicando direttamente la (6.53) ovvero la (6.54).

Stato tensionale associato alle due flessioni rette di asse \xi e eta.

Stato tensionale associato alle due flessioni rette di asse \xi e eta.


Pressoflessione retta (6/8)

In tal caso risulta, in base alla (6.51),

\mathbf{M}_G=\begin{vmatrix} Fb\\-Fc \end{vmatrix} \qquad\qquad \mathbf{M}_G^\perp=\begin{vmatrix} Fc\\Fb \end{vmatrix}<br />

sicchè, essendo

\mathbf{J}_G=\begin{bmatrix} J_{G\,\xi} &0\\ 0 &J_{G\,\eta} \end{bmatrix}   \qquad\qquad \begin{bmatrix}\mathbf{J}_G^{-1} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{1}{J_{G\,\xi}} &0 \\ 0 &\frac{1}{J_{G\,\eta}} \end{bmatrix}

si ha

\mathbf{J}_G^{-1}\mathbf{M}_G^\perp=\begin{vmatrix} \vspace{0.3cm}\frac{Fc}{J_{G\,\xi}}\\\frac{Fb}{J_{G\,\eta}} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \vspace{0.3cm}\frac{Fc}{I_{G\,\eta}}\\\frac{Fb}{I_{G\,\xi}} \end{vmatrix}

Pertanto, essendo altresì $N=-F$ e $\boldsymbol\rho=(\xi,\eta)$ si evince dalla (6.54)

\sigma_z=\hat\sigma_z(\xi, \eta)=-\frac{F}{A}+\frac{Fc}{I_{G\,\eta}}\xi+\frac{Fb}{I_{G\,\xi}}\eta<br />

risultato coincidente con la (9.9).

Pressoflessione retta (7/8)

Lo stato tensionale complessivo è quello derivante dalla sovrapposizione di quelli diagrammati in fig. 3 e di quello costante, associato allo sforzo normale centrato, cfr. fig. 4. La sovrapposizione dei tre diagrammi produce il diagramma unico riportato a destra in funzione dell’asse neutro. L’equazione di quest’ultimo si ricava uguagliando a zero la (9.9)

\hat\sigma_z(\xi_n, \eta_n)=0 \,\,\Leftrightarrow\,\, -\frac{1}{A}+\frac{c}{I_{G\,\eta}}\xi_n+\frac{b}{I_{G\,\xi}}\eta_n=0<br />

(9.10)

avendo indicato con ($\xi_n, \eta_n$) le coordinate di un generico punto dell’asse neutro $n$.

Ricordando la definizione di raggi di inerzia

I_{G\,\xi}=A\,\rho_\xi^2 \qquad\qquad I_{G\,\eta}=A\,\rho_\eta^2<br />

la (9.10) si scrive

\frac{c}{\rho_\eta^2}\xi_n+ \frac{b}{\rho_\xi^2}\eta_n=1<br />

da cui si evince che le intersezioni dell’asse neutro con gli assi $\xi$ e $\eta$ sono entrambe positive.

Sovrapposizione degli stati tensionali associati separatamente, allo sforzo normale ed alle due flessioni rette

Sovrapposizione degli stati tensionali associati separatamente, allo sforzo normale ed alle due flessioni rette

Sovrapposizione degli stati tensionali associati separatamente, allo sforzo normale ed alle due flessioni rette

Sovrapposizione degli stati tensionali associati separatamente, allo sforzo normale ed alle due flessioni rette


Pressoflessione retta (8/8)

Esse valgono

\xi_n=\frac{\rho_\eta^2}{c}\qquad\qquad\eta_n=\frac{\rho_\xi^2}{b}<br />

(9.11)

e giustificano la costruzione grafica, illustrata in fig. 5, basata sull’applicazione del teorema di Euclide. Ad esempio, essendo $GR=c$ e $Ga$ per costruzione pari a $\rho_n$ l’ortogonale a $aR$ individua il punto $P$ tale da rispettare la prima delle (9.11) e quindi $\xi_n$.

Determinazione grafica dei punti di intersezione dell’asse neutro con gli assi xi e eta.

Determinazione grafica dei punti di intersezione dell'asse neutro con gli assi xi e eta.


Formule binomie della pressoflessione (1/2)

La (9.1) può essere scritta in formula equivalente osservando che la distribuzione delle tensioni è di fatto indotta dalla sovrapposizione di quelle dovute allo sforzo normale centrato ed alla flessione deviata di momento $\mathbf{M}_G$ definito dalla (9.3). In altri termini si può pensare di sostituire lo sforzo normale applicato in $C$ con un sistema di forze equivalenti costituito dallo sforzo normale applicato nel baricentro e dalla conseguente coppia di trasporto $\mathbf{M_G}=N\,\boldsymbol\rho_C$.
Pertanto, ricordando la formula monomia della flessione semplice si ha

\hat\sigma_z(\boldsymbol\rho)=\frac{N}{A}+\frac{M_{n_G}}{I_{n_G}}\,d_{n_G}(\boldsymbol\rho)<br />

(9.12)

essendo

I_{n_G}=\mathbf{J}_G\,\boldsymbol\iota_f \cdot \boldsymbol\iota_f \qquad d_{n_G}(\boldsymbol\rho)=\boldsymbol\rho \cdot \boldsymbol\iota_f \qquad M_{n_G}={\mathbf{M}_G^\perp}\cdot\boldsymbol\iota_f=\mathbf{M}_G\cdot\boldsymbol\iota_n<br />

essendo

\boldsymbol\iota_f=\frac{\boldsymbol\kappa_\sigma}{|{\boldsymbol\kappa_\sigma}|}=\frac{\mathbf{J}_G^{-1}\,\boldsymbol\rho_C}{|{\mathbf{J}_G^{-1}\,\boldsymbol\rho_C}|}<br />

(9.13)

e $\boldsymbol\iota_n$ il ruotato di $\boldsymbol\iota_f$ di $\pi/2$ in senso orario, vedi fig. 1.

Formule binomie della pressoflessione (2/2)

In definitiva I_{n_G} rappresenta il momento d’inerzia della sezione rispetto all’asse $n_{\scriptscriptstyle G}$ passante per il baricentro e parallelo all’asse neutro. Inoltre $d_{n_G}(\boldsymbol\rho)$ rappresenta la distanza del generico punto $\boldsymbol\rho$ dall’asse $n_{\scriptscriptstyle G}$ e $M_{n_G}$ la componente di $\mathbf{M}_G^\perp$ lungo $f$ ovvero di $\mathbf{M}_G$ lungo $n_{\scriptscriptstyle G}$. Per analogia con il caso della flessione semplice la (9.12) si può anche scrivere

\[\hat\sigma_z(\boldsymbol\rho)=\frac{N}{A}+\frac{\abs{\mathbf{M}_G}}{I'_{n_G}}\,d'_{n_G}(\boldsymbol\rho)\]<br />

in modo da far comparire il modulo del momento $|{\mathbf{M}_G}|=|{\mathbf{M}_G^\perp}|=N\,|{\boldsymbol\rho_C}|$.  Le grandezze ${I'_{n_G}}$ e $d'_{n_G}(\boldsymbol\rho)$ sono definite analogamente al caso della flessione semplice

 

Formule monomie della pressoflessione (1/9)

Si vuole ora mostrare che la formula (9.1) può essere ricondotta ad alcune espressioni, costituite da un unico termine, che risultano di particolare interesse per un duplice motivo. Da un lato esse sono molto utili nelle applicazioni, ad esempio nella progettazione delle travi precompresse; dall’altro forniscono una interessante interpretazione geometrica della relazione che intercorre tra il centro di pressione C ed il relativo asse neutro. A tale scopo introduciamo il vettore

\boldsymbol\pi=\boldsymbol\rho-\boldsymbol\rho_{n_{\boldsymbol\kappa}}<br />

(9.14)

che definisce la posizione di un generico punto rispetto al sistema di riferimento cartesiano con origine in $P$, intersezione dell’asse di flessione con l’asse neutro. L’espressione di $\boldsymbol\rho_{n_{\boldsymbol\kappa}}$ si ottiene ponendo

\boldsymbol\rho_{n_{\boldsymbol\kappa}}=\mu\,\boldsymbol\kappa_\sigma \qquad \text{con} \,\,\,\,\,\,\,\mu \in \mathcal{R}<br />

nella (9.6); si ricava quindi

\mu=-\,\frac{1}{A(\boldsymbol\kappa_\sigma\cdot \boldsymbol\kappa_\sigma)}<br />

e

\boldsymbol\rho_{n_{\boldsymbol\kappa}}=-\,\frac{\boldsymbol\kappa_\sigma}{A(\boldsymbol\kappa_\sigma \cdot \boldsymbol\kappa_\sigma )}<br />

(9.15)

Formule monomie della pressoflessione (2/9)

La (9.1) si scrive allora

\hat\sigma_z(\boldsymbol\pi+{\boldsymbol\rho}_{n_{\boldsymbol\kappa}})={\widetilde{\sigma}}_z(\boldsymbol\pi)=N \biggl[ \frac{1}{A}+ \mathbf{J}_G^{-1}\,\boldsymbol\rho_C \cdot \boldsymbol\pi+\mathbf{J}_G^{-1}\,\boldsymbol\rho_C\cdot \boldsymbol\rho_{n_{\boldsymbol\kappa}}\biggr]=

=N\, \mathbf{J}_G^{-1}\,\boldsymbol\rho_C\cdot\boldsymbol\pi=N\,\boldsymbol\kappa_\sigma\cdot \boldsymbol\pi

(9.16)

in quanto $\,\,\,\,\,\mathbf{J}_G^{-1}\,{\boldsymbol\rho}_C \cdot {\boldsymbol\rho}_{n_{\boldsymbol\kappa}}=-\,1/A\,\,\,$ in base alla (9.6). Dunque i punti della sezione che hanno una tensione dello stesso segno dello sforzo normale applicato sono quelli identificati dal vettore posizione che, rispetto al punto P in fig. 1, formano prodotto scalare positivo con $\boldsymbol\kappa_\sigma=\mathbf{J}_G^{-1}\,\boldsymbol\rho_C$. Per esprimere la (9.16) in maniera più espressiva osserviamo preliminarmente che il momento statico della sezione valutato rispetto al punto P è definito da

\mathbf{s}_{P}=\int_\Sigma \boldsymbol\pi \,dA=\int_\Sigma (\boldsymbol\rho-\boldsymbol\rho_{n_{\boldsymbol\kappa}})\,dA= - \,A\,\boldsymbol\rho_{n_{\boldsymbol\kappa}}<br />

(9.17)

come peraltro poteva desumersi dal teorema di Huygens-Steiner.

Formule monomie della pressoflessione (3/9)

Si deduce altresì dalla (9.16) che

N=\int_\Sigma {\widetilde{\sigma}}_z(\boldsymbol\rho)\,dA=N\,\boldsymbol\kappa_\sigma\cdot\int_\Sigma \boldsymbol\pi \, dA=N \,\boldsymbol\kappa_\sigma \cdot\mathbf{s}_{P}<br />

da cui si ricava

\boldsymbol\kappa_\sigma \cdot \mathbf{s}_{P}=1<br />

Nel sistema di riferimento nf con origine in P la relazione precedente si scrive in componenti

g_n\,s_{Pn}+g_f\,s_{Pf}=1\,\, \Rightarrow \,\,g_f=\frac{1}{s_{Pf}}<br />

(9.18)

essendo nulla la componente di $\boldsymbol\kappa_\sigma$ lungo $n$.

La (9.16) si scrive quindi

{\widetilde{\sigma}}_z(\boldsymbol\pi)=N\,[g_n\,n(\boldsymbol\pi)+g_f\,f(\boldsymbol\pi)]=\frac{N\,f(\boldsymbol\pi)}{s_{Pf}}<br />

(9.19)

in virtù della (9.18).

Formule monomie della pressoflessione (4/9)

Ricordiamo che il sistema di riferimento nf è stato orientato in modo che sia direttamente sovrapponibile alla coppia $\mathbf{M}_G-\mathbf{M}_G^\perp$ ovvero $\mathbf{M}_G-\mathbf{r}_C$. Dunque la (9.19) si scrive, in modo più tradizionale, nella forma

\widetilde{\sigma}_z(\boldsymbol\pi)=\frac{N\,d_n(\boldsymbol\pi)}{S_n}<br />

(9.20)

essendo $d_n$ la distanza del generico punto dall’asse neutro, positiva se il punto $\boldsymbol\pi$ è alla sinistra dell’osservatore diretto lungo n, e $S_n$ il momento statico della sezione calcolato rispetto a $n$, assunto positivo se il baricentro $G$ si trova alla sinistra di $n$. Evidentemente il rapporto $d_n/S_n$ è indipendente dall’orientamento assunto per n. Vogliamo ora dimostrare una interessante relazione geometrica che è alla base di procedimenti di calcolo manuale di grande interesse culturale ed applicativo.

A tale scopo si consideri l’equivalenza tra il momento rispetto all’asse neutro della distribuzione di tensioni e quello della risultante di queste ultime, ovvero $N$, applicato in $C$. In formule

N\,\mathbf{r}_C\times{\mathbf{k}}=\int_\Sigma\mathbf{r}_{\pi}\times\widetilde{\sigma}_z(\pi)\,{\mathbf{k}}\,dA<br />

(9.21)

Formule monomie della pressoflessione (5/9)

essendo

\mathbf{r}_\pi=\begin{vmatrix} \boldsymbol\pi \\ 0 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} n \\ f \\ 0 \end{vmatrix}<br />

Premoltiplicando vettorialmente per \mathbf{k} ambo i membri si ottiene

N\,\mathbf{r}_C=\int_\Sigma \widetilde{\sigma}_z(\boldsymbol\pi)\,\mathbf{r}_{\pi}\,dA<br />

(9.22)

Considerando solo le componenti non nulle della espressione precedente si ottiene, per la (9.16),

N{\boldsymbol\pi}_C=\int_\Sigma {\widetilde{\sigma}}(\boldsymbol\pi){\boldsymbol\pi} \,dA=N \int_\Sigma({\boldsymbol\kappa}_{\sigma}\cdot {\boldsymbol\pi})\boldsymbol\pi\,dA

(9.23)

Formule monomie della pressoflessione (6/9)

Posto

\mathbf{J}_{P}=\int_\Sigma\boldsymbol\pi\otimes\boldsymbol\pi\,dA<br />

(9.24)

la (9.23) diventa

{\boldsymbol\pi}_C=\mathbf{J}_{P}\,\boldsymbol\kappa_\sigma<br />

(9.25)

che fornisce una elegante relazione tra il gradiente dello stato tensionale e la posizione del centro di pressione, valutata rispetto al punto P.Nel sistema di riferimento nf la (9.25) si scrive

\begin{bmatrix} \vspace{0.2cm} (\boldsymbol\pi_C)_n \\ (\boldsymbol\pi_C)_f \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \vspace{0.2cm} (\mathbf{J}_{P})_{nn} &(\mathbf{J}_P)_{nf} \\ (\mathbf{J}_P)_{fn} &(\mathbf{J}_P)_{ff} \end{bmatrix}\,\begin{bmatrix} \vspace{0.2cm} 0 \\ g_f \end{bmatrix}<br />

(9.26)

da cui si ricava

(\boldsymbol\pi_C)_f=(\mathbf{J}_P)_{ff}\,g_f<br />

Formule monomie della pressoflessione (7/9)

Pertanto, in virtù della (9.18) si ha

(\boldsymbol\pi_C)_f=\frac{(\mathbf{J}_{P})_{ff}}{(s_{P})_f}<br />

che si scrive in modo più tradizionale nella forma

d_{Cn}=\frac{I_n}{S_n}<br />

(9.27)

La precedente relazione stabilisce che il centro di pressione può interpretarsi come baricentro dei momenti statici delle aree elementari che si ottengono moltiplicando l’area $dA$ per la corrispondente distanza dall’asse neutro. Infatti

S_n=\int_\Sigma d_n\,dA<br />

può interpretarsi come area generalizzata, ovvero come misura, estesa alla sezione $\Sigma$, delle aree elementari $d_ndA$ e

I_n=\int_\Sigma d_n(d_n\,dA)<br />

come momento statico di tali aree elementari.

Formule monomie della pressoflessione (8/9)

Sostituendo la (9.27) nella (9.20) si ha quindi

\widetilde{\sigma}_z(\boldsymbol\pi)=\frac{N\,d_{Cn}}{I_n}\,d_n(\boldsymbol\pi)<br />

(9.28)

che rappresenta l’analoga della formula monomia della flessione deviata in conside\-razione del fatto che risulta

M_n=N\,d_{Cn}<br />

Tale analogia diventa ancora più significativa imponendo l’equivalenza tra il momento della distribuzione delle tensioni, questa volta valutata rispetto all’asse neutro baricentrico, ed il momento della risultante della distribuzione, ovvero N. Si ha in tal caso, analogamente alla (9.21)

N\,\mathbf{r}_C\times\mathbf{k}=\int_\Sigma \mathbf{r} \times \hat\sigma_z(\boldsymbol\rho)\mathbf{k}\,dA<br />

ovvero, premoltiplicando ambo i membri per \mathbf{k}

N\,\mathbf{r}_C=\int_\Sigma\hat\sigma_z(\boldsymbol\rho)\,\mathbf{r}\,dA<br />

 

Formule monomie della pressoflessione (9/9)

Considerando solo le componenti non nulle della espressione precedente si ha

N\,{\boldsymbol\rho}_C=\int_\Sigma \hat\sigma_z(\boldsymbol\rho)\boldsymbol\rho\,dA=N\,\int_\Sigma\biggl[ \frac{1}{A}+ \boldsymbol\kappa_\sigma\cdot\boldsymbol\rho\biggr]\boldsymbol\rho\,dA<br />

in cui l’ultima uguaglianza discende dalla (9.4). Poichè il sistema di riferimento in cui è valutato $\boldsymbol\rho$  è baricentrico il primo integrale è nullo e l’espressione precedente fornisce

\boldsymbol\rho_C=\mathbf{J}_G\,\boldsymbol\kappa_\sigma<br />

relazione che costituisce l’analoga della (9.25).

Quindi, con passaggi identici a quelli che hanno condotto alla (9.27) si ha

d_{C_{n_G}}=\frac{(J_G)_{ff}}{(s_P)_f}=\frac{I_{n_G}}{S_n}<br />

sicchè la (9.20) si scrive anche

\hat\sigma_z(\boldsymbol\rho)=\frac{N\,d_{C_{n_G}}}{I_{n_{\scriptscriptstyle G}}}d_n(\boldsymbol\rho)<br />

che costituisce l’analoga della (9.28) in cui il momento dello sforzo normale applicato in $C$ è ora valutato rispetto all’asse n_{\scriptscriptstyle G}.

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