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Roberta Siciliano » 8.Modelli lineari per l'analisi delle serie storiche


Obiettivi e contenuti

Obiettivi

  • Comprendere l’utilizzo dei modelli lineari per la decomposizione della serie storiche
  • Acquisire la competenza per l’elaborazione dei dati temporali attraverso l’utilizzo del software Gretl

Contenuti

  • Introduzione alle serie storiche
  • Modelli per le serie storiche
  • Modelli di decomposizione di una serie storica

Le serie storiche

Si parla di serie storiche (o temporali) quando si considera un certo fenomeno in relazione alla sua evoluzione nel tempo.


Le serie storiche

Se si considera una generica grandezza z che varia nel tempo t, si possono avere:

  • Serie storiche continue: la grandezza z è funzione continua del tempo t
  • Serie storiche discrete: la grandezza z si rileva solo in certi istanti t = 0, 1, 2, 3, …
1: serie storiche continue 2: serie storiche discrete

1: serie storiche continue 2: serie storiche discrete


Ambiti di applicazione delle serie storiche

  • Fenomeni economici:
    • Generale: prezzi di merci, import-export
    • Aziendale: vendite, costi & ricavi, profitti
  • Produzione industriale (pezzi difettosi, scarti, etc.)
  • Fenomeni metereologici (temperatura, umidità, pioggia nell’unità di tempo)
  • Fenomeni medico-sanitari (incidenza delle malattie, forme epidemiche)

Serie storiche deterministiche e probabilistiche

Un andamento temporale è deterministico quando si può prevedere il suo sviluppo futuro senza errore:
corrispondono a comportamenti temporali teorici che nella realtà non si verificano mai. I comportamenti reali si possono tutt’al più avvicinare di molto a quelli teorici tanto da venire considerati come deterministici

Un andamento temporale è probabilistico quando è caratterizzato da oscillazioni irregolari di segno positivo e negativo. Rientrano in questa categoria i processi stocastici:
la previsione nell’ambito degli andamenti temporali probabilistici è sempre affetta da errori.

Modello misto

Alcuni fenomeni temporali sembrano formati dalla sovrapposizione di un amdamento deterministico ed uno probabilistico
In questo caso si parla di modello misto:
Zt= f(t) + a (t) Componente deterministica
Componente probabilistica
Tali modelli vengono detti modelli di composizione poichè uniscono diversi comportamenti.


Componenti di una serie storica

Le componenti elementari, generalmente riscontrabili nelle serie storiche, si identificano in:
Trend, T(t)→Rappresenta l’andamento nel lungo periodo della serie.
E’ rappresentabile con una funzione matematica semplice, che nel caso della retta e’ identificabile nella regressione
lineare di z rispetto a t.
Componente ciclica, C(t) →Rappresenta l’alternanza di fasi fra due periodi, pertanto facilmente confondibile con il trend. Per questa ragione questa componente viene solitamente associata al trend
Componente stagionale, S(t) → Rappresenta il ripetersi regolare di effetti, per serie con rilevazioni inferiori all’anno (mese, trimestri,…).
Componente casuale o erratica, a(t)→Rappresenta la casualità del comportamento della serie privata delle altre componenti.

Modelli per serie storiche

  • Modelli Classici (modelli di decomposizione)
  • Modelli Stocastici di Box & Jenkins

I modelli di composizione


I modelli classici

I modelli di composizione possono essere studiati da due punti di vista:

MODELLI DI COMPOSIZIONE:
Si conoscono le componenti elementari, e supponendo una certa forma di aggregazione si ricava la risultante serie
MODELLI DI DECOMPOSIZIONE:
Da una serie osservata si ipotizza l’esistenza di alcuni andamenti elementari dei quali si vogliono stabilire le caratteristiche

I modelli di decomposizione sono i più interessanti nella pratica.

I modelli di decomposizione: stima del trend

Il trend, o componente tendenziale, viene generalmente stimato attraverso tre generalmente metodi:

  • attraverso metodi empirici
  • attraverso una funzione matematica funzione del tempo t
  • attraverso una media mobile

I modelli di decomposizione: stima del trend attraverso metodi empirici


I modelli di decomposizione: stima del trend polinomiale ai minimi quadrati


I modelli di decomposizione:stima del trend attraverso la media mobile

Stima attraverso il ricorso alla media mobile (MA – Moving Average)

Le applicazioni della media mobile nello studio delle serie storiche riguardano

  • La sua azione spianatrice che consente di evidenziare il trend (che tratteremo nel prosieguo)
  • Il suo utilizzo per calcolare gli indici di stagionalità (che non tratteremo nel prosieguo)
  • Il suo impiego nel modello MA(q) di Box-Jenkins (vedi unità didattica 3.10)

Media mobile

Media Mobile (MA – Moving Average)

La MA è una media aritmetica (semplice o ponderata) che si sposta ad ogni nuova iterazione (ad ogni tempo t) dall’inizio verso la fine della successione dei dati.

Supponiamo di disporre di n dati z1, z2, z3, …, z(n-1), zn

Calcoliamo la media dei primi 3 dati e sostituiamo al dato centrale il valore medio.

Ripetiamo il procedimento con i secondi 3 dati.

Il procedimento si esaurisce quando non vi sono più dati a disposizione.

Calcolo della media mobile

Media Mobile (MA – Moving Average)
Nel caso considerato la media mobile è composta da 3 soli dati. L’ordine della MA può essere esteso a 5, 7, 9, ecc.
Affinchè la MA possa essere centrata rispetto ai dati disponibili è necessario che l’ordine sia dispari.


Media mobile con numero pari di termini

Media Mobile (MA – Moving Average)
Se il numero di termini della MA è pari, non esiste un termine centrale e la media andrebbe posta all’interlinea della coppia centrale. Questa interlinea deve essere eliminata!

Media dei 12 mesi di un anno, media dei 4 trimestri, ecc.


Esempio di media mobile con numero pari di termini

Media Mobile (MA – Moving Average)
Supponiamo di disporre di n dati mensili z1, z2, z3, …,zn e di voler calcolare serie mobili successive di 4 mesi.
La media aritmetica semplice tra queste due MA ricadrebbe all’inizio di Marzo….


Media mobile ponderata


I modelli di decomposizione: pregi e difetti della media mobile

Media Mobile (MA – Moving Average)
Pregi
Rispetto al trend polinomiale dei minimi quadrati è molto più elastica.

Si adatta a qualunque tipo di andamento.
Difetti
Perdita di osservazioni: una MA porta SEMPRE a perdere, all’inizio e alla fine della serie, un certo numero di dati. Se la serie contiene molti dati il problema è realmente trascurabile, altrimenti òla perdita di dati può avere un certo peso.

Non fornisce l’equazione del trend.

Esempio 1: ricostruzione del trend lineare

Fonte: Capritourism

Fonte: Capritourism


Esempio 2: ricostruzione del trend attraverso la media mobile


I modelli di decomposizione:serie detrendizzata

Supponiamo di aver individuato il trend T(t) di una serie storica: cosa rimane della serie una volta che si è detrendizzata?
I metodi di decomposizione fanno ricorso all’esame dei residui in modo diverso a seconda che siano modelli additivi o moltiplicativi.

I modelli di decomposizione:serie detrendizzata di modelli additivi

modelli additivi

Un modello additivo (seza componente stagionale) è pari a

Zt = Tt + at; la sua differenza at = zt – Tt non deve presentare alcun trend apparente, o meglio dovrebbe portare ad un rumore bianco (White Noise – WN).

Componente casuale carattrerizzata dal fatto che ha valore atteso pari a zero e varianza costante (nel tempo t).

I modelli di decomposizione:serie detrendizzata di modelli moltiplicativi

modelli moltiplicativi
Un modello additivo (seza componente stagionale) è pari a

Zt = Tt • at, da cui at = zt/Tt non deve presentare alcun trend apparente.
In questo caso i residui non possono comportarsi come un rumore bianco poichè I loro valori saranno sempre maggiori e minori dell’unità.

Se i residui sono distribuiti in modo casuale attorno all’unità si può supporre che la serie sia ben rappresentata dal modello moltiplicativo.

I modelli di decomposizione:componente stagionale

Lo studio della stagionalità di una serie storica può avere il fine di:

  • Stimare semplicemente la componente stagionale
  • Eliminarla dall’andamento generale una volta stimata

Se si devono confrontare più serie storiche con diversa stagionalità, l’unica via di comparazione è la destagionalizzazione di entrambe.

I modelli di decomposizione:stima della componente stagionale

Vi sono diversi modi di stimare la componente stagionale. Uno di questi è il ricorso ad un modello di regressione mediante variabili ausiliari dicotomiche (variabili dummy). Utilizzeremo solo tale metodo.

Supponiamo l’esistenza di un modello additivo senza componente tendenziale

Zt= St + at

Supponiamo di avere a disposizione dati mensili: la variabile dummy viene definita nel modo seguente:

djt= 1 nel j-mo mese dell’anno cui appartiene t

djt= 0 alrimenti

Esempio 3: Valore aggiunto dell’agricoltura, silvicoltura e pesca

Il dataset (fonte ISTAT) comprende dati trimestrali dal 1980 al 1996 sul valore aggiunto dell’agricoltura, silvicoltura e pesca in Italia.
Per visualizzare il hgrafico temporale in Gretl procedere come segue:

Nella finestra principale di Gretl selezionare la variabile di cui si vuol tracciare il grafico (nel nostro caso è la variabile Y).

Selezionare il menù Visualizza, quindi selezionare Grafico ed infine cliccare su serie storica.


Esempio 3: Grafico della serie storica

E’ evidente la mancanza di un trend, ma è altrettanto evidente la presenza di una componente stagionale.

E' evidente la mancanza di un trend, ma è altrettanto evidente la presenza di una componente stagionale.


Esempio 3: Sequenza dei comandi

Dalla finestra principale di Gretl selezionare Modello, quindi OLS.

Dalla finestra principale di Gretl selezionare Modello, quindi OLS.


Esempio 3: Specificazione del modello

Inserire la variabile Y come variabile dipendente, ed inserire le variabili dummy temporali tra i predittori.

Da notare come sono state inserite TUTTE  le dummy temporali. Per evitare la trappola delle variabili dummy si è esclusa la costante dal modello.


Esempio 3: Interpretazione dei parametri

Le stime dei parametri possono interpretarsi come I valori medi assunti dalla Y ad ogni trimestre.

I coefficienti sono tutti altamente significativi.


Esempio 3: Comandi per la visualizzazione dei residui

Dalla finestra del modello selezionare Grafici →residui → Rispetto al tempo

Dalla finestra del modello selezionare Grafici →residui → Rispetto al tempo


Esempio 3: Interpretazione del grafico dei residui

I residui mostrano un andamento casuale attorno al valor medio (cioè zero).

Ciò evidenzia come la componente stagionale sia stata modellata sufficientemente bene.

I residui mostrano un andamento casuale attorno al valor medio (cioè zero). Ciò evidenzia come la componente stagionale sia stata modellata sufficientemente bene.


I modelli di composizione

Pregi

  • Semplicità concettuale
  • Applicabilità a serie di dimensioni ridotte
  • Rappresentano una “prima” approssimazione della realtà


Difetti

  • Ammettono più soluzioni
  • Non si ha la certezza che le componenti esistano
  • Non è possibile trattare la serie storica come un tutt’uno
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