Roberta Siciliano » 8.Modelli lineari per l'analisi delle serie storiche

Obiettivi e contenuti

Obiettivi

• Comprendere l’utilizzo dei modelli lineari per la decomposizione della serie storiche
• Acquisire la competenza per l’elaborazione dei dati temporali attraverso l’utilizzo del software Gretl

Contenuti

• Introduzione alle serie storiche
• Modelli per le serie storiche
• Modelli di decomposizione di una serie storica

Ambiti di applicazione delle serie storiche

• Fenomeni economici:
  • Generale: prezzi di merci, import-export
  • Aziendale: vendite, costi & ricavi, profitti
• Produzione industriale (pezzi difettosi, scarti, etc.)
• Fenomeni metereologici (temperatura, umidità, pioggia nell’unità di tempo)
• Fenomeni medico-sanitari (incidenza delle malattie, forme epidemiche)

Serie storiche deterministiche e probabilistiche

Un andamento temporale è deterministico quando si può prevedere il suo sviluppo futuro senza errore:
corrispondono a comportamenti temporali teorici che nella realtà non si verificano mai. I comportamenti reali si possono tutt’al più avvicinare di molto a quelli teorici tanto da venire considerati come deterministici

Un andamento temporale è probabilistico quando è caratterizzato da oscillazioni irregolari di segno positivo e negativo. Rientrano in questa categoria i processi stocastici:
la previsione nell’ambito degli andamenti temporali probabilistici è sempre affetta da errori.

Componenti di una serie storica

Le componenti elementari, generalmente riscontrabili nelle serie storiche, si identificano in:
Trend, T(t)→Rappresenta l’andamento nel lungo periodo della serie.
E’ rappresentabile con una funzione matematica semplice, che nel caso della retta e’ identificabile nella regressione
lineare di z rispetto a t.
Componente ciclica, C(t) →Rappresenta l’alternanza di fasi fra due periodi, pertanto facilmente confondibile con il trend. Per questa ragione questa componente viene solitamente associata al trend
Componente stagionale, S(t) → Rappresenta il ripetersi regolare di effetti, per serie con rilevazioni inferiori all’anno (mese, trimestri,…).
Componente casuale o erratica, a(t)→Rappresenta la casualità del comportamento della serie privata delle altre componenti.

Modelli per serie storiche

• Modelli Classici (modelli di decomposizione)
• Modelli Stocastici di Box & Jenkins

I modelli di composizione

I modelli classici

I modelli di composizione possono essere studiati da due punti di vista:

MODELLI DI COMPOSIZIONE:
Si conoscono le componenti elementari, e supponendo una certa forma di aggregazione si ricava la risultante serie
MODELLI DI DECOMPOSIZIONE:
Da una serie osservata si ipotizza l’esistenza di alcuni andamenti elementari dei quali si vogliono stabilire le caratteristiche

I modelli di decomposizione sono i più interessanti nella pratica.

I modelli di decomposizione: stima del trend

Il trend, o componente tendenziale, viene generalmente stimato attraverso tre generalmente metodi:

• attraverso metodi empirici
• attraverso una funzione matematica funzione del tempo t
• attraverso una media mobile

I modelli di decomposizione: stima del trend attraverso metodi empirici

I modelli di decomposizione: stima del trend polinomiale ai minimi quadrati

I modelli di decomposizione:stima del trend attraverso la media mobile

Stima attraverso il ricorso alla media mobile (MA – Moving Average)

Le applicazioni della media mobile nello studio delle serie storiche riguardano

• La sua azione spianatrice che consente di evidenziare il trend (che tratteremo nel prosieguo)
• Il suo utilizzo per calcolare gli indici di stagionalità (che non tratteremo nel prosieguo)
• Il suo impiego nel modello MA(q) di Box-Jenkins (vedi unità didattica 3.10)

Media mobile

Media Mobile (MA – Moving Average)

La MA è una media aritmetica (semplice o ponderata) che si sposta ad ogni nuova iterazione (ad ogni tempo t) dall’inizio verso la fine della successione dei dati.

Supponiamo di disporre di n dati z₁, z₂, z₃, …, z(_n-1), z_n

Calcoliamo la media dei primi 3 dati e sostituiamo al dato centrale il valore medio.

Ripetiamo il procedimento con i secondi 3 dati.

Il procedimento si esaurisce quando non vi sono più dati a disposizione.

Media mobile ponderata

I modelli di decomposizione: pregi e difetti della media mobile

Media Mobile (MA – Moving Average)
Pregi
Rispetto al trend polinomiale dei minimi quadrati è molto più elastica.

Si adatta a qualunque tipo di andamento.
Difetti
Perdita di osservazioni: una MA porta SEMPRE a perdere, all’inizio e alla fine della serie, un certo numero di dati. Se la serie contiene molti dati il problema è realmente trascurabile, altrimenti òla perdita di dati può avere un certo peso.

Non fornisce l’equazione del trend.

Esempio 1: ricostruzione del trend lineare

Fonte: Capritourism

Esempio 2: ricostruzione del trend attraverso la media mobile

I modelli di decomposizione:serie detrendizzata

Supponiamo di aver individuato il trend T(t) di una serie storica: cosa rimane della serie una volta che si è detrendizzata?
I metodi di decomposizione fanno ricorso all’esame dei residui in modo diverso a seconda che siano modelli additivi o moltiplicativi.

I modelli di decomposizione:serie detrendizzata di modelli additivi

modelli additivi

Un modello additivo (seza componente stagionale) è pari a

Z_t = T_t + a_t; la sua differenza a_t = z_t – T_t non deve presentare alcun trend apparente, o meglio dovrebbe portare ad un rumore bianco (White Noise – WN).

Componente casuale carattrerizzata dal fatto che ha valore atteso pari a zero e varianza costante (nel tempo t).

I modelli di decomposizione:serie detrendizzata di modelli moltiplicativi

modelli moltiplicativi
Un modello additivo (seza componente stagionale) è pari a

Z_t = T_t • a_t, da cui a_t = z_t/T_t non deve presentare alcun trend apparente.
In questo caso i residui non possono comportarsi come un rumore bianco poichè I loro valori saranno sempre maggiori e minori dell’unità.

Se i residui sono distribuiti in modo casuale attorno all’unità si può supporre che la serie sia ben rappresentata dal modello moltiplicativo.

I modelli di decomposizione:componente stagionale

Lo studio della stagionalità di una serie storica può avere il fine di:

• Stimare semplicemente la componente stagionale
• Eliminarla dall’andamento generale una volta stimata

Se si devono confrontare più serie storiche con diversa stagionalità, l’unica via di comparazione è la destagionalizzazione di entrambe.

I modelli di decomposizione:stima della componente stagionale

Vi sono diversi modi di stimare la componente stagionale. Uno di questi è il ricorso ad un modello di regressione mediante variabili ausiliari dicotomiche (variabili dummy). Utilizzeremo solo tale metodo.

Supponiamo l’esistenza di un modello additivo senza componente tendenziale

Z_t= S_t + a_t

Supponiamo di avere a disposizione dati mensili: la variabile dummy viene definita nel modo seguente:

d_jt= 1 nel j-mo mese dell’anno cui appartiene t

d_jt= 0 alrimenti

Esempio 3: Grafico della serie storica

E' evidente la mancanza di un trend, ma è altrettanto evidente la presenza di una componente stagionale.

Esempio 3: Sequenza dei comandi

Dalla finestra principale di Gretl selezionare Modello, quindi OLS.

Esempio 3: Comandi per la visualizzazione dei residui

Dalla finestra del modello selezionare Grafici →residui → Rispetto al tempo

Esempio 3: Interpretazione del grafico dei residui

I residui mostrano un andamento casuale attorno al valor medio (cioè zero). Ciò evidenzia come la componente stagionale sia stata modellata sufficientemente bene.

I modelli di composizione

Pregi

• Semplicità concettuale
• Applicabilità a serie di dimensioni ridotte
• Rappresentano una “prima” approssimazione della realtà

Difetti

• Ammettono più soluzioni
• Non si ha la certezza che le componenti esistano
• Non è possibile trattare la serie storica come un tutt’uno