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Simona Balbi » 10.Multidimensional scaling

Modalità di rilevazione dei dati

Per il Multidimensional scaling è quindi necessario rilevare dei dati particolari: quelli che esprimono un giudizio comparativo dei consumatori nei confronti dei prodotti/marche presenti sul mercato di interesse.

Per ciò che riguarda la tecnica di rilevazione, i dati di prossimità possono essere ottenuti contattando un campione di consumatori, secondo diverse modalità:

come giudizi diretti
- un giudizio diretto corrisponde in sostanza al valore che un intervistato attribuisce alla somiglianza percepita tra due prodotti o marche su una scala prefissata
come valutazioni assimilabili a probabilità condizionate
- secondo tale impostazione al consumatore viene presentato visivamente o descritto verbalmente un prodotto e gli si chiede di identificarlo
come valutazioni assimilabili a probabilità congiunte
- la prossimità fra coppie di unità può essere misurata ricorrendo a valutazioni assimilabili a probabilità congiunte. Si pensi al caso in cui si chiede ai consumatori di indicare i due prodotti, tra quelli presentati, che sono considerati i più simili, e quindi sostitutivi al momento dell’acquisto

Multidimensional scaling metrico

Si è soliti parlare di multidimensional scaling metrico quando i valori di prossimità in input sono di tipo metrico, ossia sono espressi secondo scale di misura ad intervallo o a rapporti.

In questo caso l’obiettivo dell’analisi è di determinare una configurazione degli n elementi in uno spazio geometrico di dimensione ridotta, in modo tale che le distanze tra i punti che li rappresentano siano il più possibile vicine alle prossimità originarie.

In generale all’aumentare della non somiglianza, deve crescere anche la distanza tra i punti nello spazio geometrico.

Si possono utilizzare diverse misure di distanza tra i punti; ma quella maggiormente usata è la distanza euclidea.

Nella pratica delle ricerche di mercato matrici di dati di prossimità di questo tipo sono raramente disponibili.

Multidimensional scaling metrico: scelta del numero di dimensioni

Il modello cosiddetto metrico, utilizzabili per dati di prossimità su scala metrica ed espressi in forma aggregata, ha lo scopo di individuare una configurazione degli n prodotti o marche in esame in uno spazio geometrico di dimensioni p. ai fini dell’interpretazione di una soluzione di MDS è cruciale proprio la scelta del numero di dimensioni della configurazione. Un numero limitato facilita la rappresentazione grafica facilitando di conseguenza l’interpretazione. Ciò non garantisce però che la soluzione sia anche statisticamente soddisfacente. Una regola ci comportamento pratico suggerisce di tener conto del numero di prodotti o marche sottoposti all’analisi. Per ottenere una configurazione interpretabile è necessario che le coppie distinte di elementi presi in esame siano almeno in numero doppio rispetto alle coordinate della mappa da stimare.

Determinazione delle coordinate della mappa

Dati quindi N elementi, di cui si conosce la matrice delle distanze D(N,N), la tecnica MDS ci permette di definire una matrice di coordinate X(N,k, con k<<N) in uno spazio metrico euclideo adeguato a rappresentare gli N elementi considerati. Tali coordinate non sono quelle dei punti realmente associati alla matrice D originaria e che in seguito saranno indicati con Z. Ma esse sono relative ad un insieme di punti tali che la matrice delle loro distanze D sia il più possibile simile alla matrice D originaria. Per dare una rappresentazione centrata delle coordinate dei punti si introduce la matrice B definita in figura.

b_rs rappresenta le coordinate del r-esimo ed s-esimo punto, individuati come elementi della matrice Z.

Determinazione delle coordinate della mappa

Inoltre si osservi che, diagonalizzando la matrice B si ottiene: B = Γ Λ Γ’

La simmetria della matrice B garantisce l’esistenza di una base ortonormale di autovettori Γ per B e permette di definire la matrice Λ come una matrice diagonale in cui sono presenti gli autovalori della matrice B.

Quindi è possibile arrivare alla formulazione X studiando gli autovalori e gli autovettori della matrice B (vedi figura) dove le colonne rappresentano gli autovettori calcolati mentre la riga i-esima costituisce le coordinate dell’i-esimo elemento che si voleva rappresentare.

Esempio: il mercato del caffè

La Café latina s.p.a., azienda presente da molti anni in una posizione di rilievo sul mercato nazionale del caffè, intende conoscere il modo in cui il proprio prodotto si posiziona nella mente dei consumatori rispetto alle altre marche di caffè presenti sul mercato. Le marche dei principali concorrenti appartenenti alla stessa classe di prodotti sono:

Karamba (K)
Latazza (L)
Giulia (G)
Samba (S)
Aloha (A)

Esempio: il mercato del caffè

Sulla prima dimensione si ha la contrapposizione tra G e le altre marche, in particolare A e S

Gli attributi che differenziano la G dalla A e dalla S sono il prezzo e la qualità.

La prima dimensione sintetizza il rapporto prezzo-qualità.

Seconda dimensione: contrapposizione tra L e K, da una parte, e G dall’altra. Il contrasto si basa su:
prezzo, reperibilità, varietà dei prodotti, ricorso a pubblicità televisiva e esistenza di un servizio consumatori (numero verde) e ancora una volta qualità.

Significato alla seconda dimensione: si può parlare di variabile di status.

Multidimensional scaling non metrico

Se i valori di prossimità in input sono espressi su una scala di tipo ordinale si applicano metodi di Multidimensional scaling non metrico. In questo caso l’obiettivo dell’analisi è di pervenire ad una configurazione degli n elementi in uno spazio geometrico di dimensione ridotta tale per cui l’ordinamento generato dalle distanze tra gli n punti che li rappresentano sia il più possibile analogo a quello dato dalle prossimità originarie.

Con l’MDS non metrico non è possibile definire direttamente una soluzione analitica, ma viene utilizzata una procedura iterativa, che, partendo da una configurazione iniziale di distanze, scelta a caso, consente di giungere ad una matrice finale di distanze e di coordinate.

Multidimensional scaling non metrico

L’esempio riguarda un’indagine sul posizionamento di 5 marche di pasta alimentare. Il giudizio di prossimità dei consumatori poteva essere distorto dal differente e vasto assortimento esistente nell’ambito della stessa marca. Per tale motivo, il confronto è stato limitato ad un singolo prodotto: gli spaghetti, che rappresenta un pò il biglietto da vista delle marche considerate almeno per il mercato territorio d’indagine.

Le marche prese in considerazione sono: V, B, D, R e A.

Multidimensional scaling non metrico

La prima dimensione sintetizza il prezzo con la reperibilità.

La seconda sintetizza l’immagine di marca che scaturisce dalla comunicazione pubblicitaria.

Matrice delle coordinate delle marche

Fasi dell’Mds non metrico

Dalla matrice delle dissimilarità, si crea una configurazione iniziale
si calcolano le distanze tra tutte le possibili coppie di elementi della precedente configurazione
si confronta l’ordinamento di tali distanze con quello degli indici di dissimilarità per vedere se è soddisfatta l’ipotesi di monotonicità
se la relazione di monotonicità non è rispettata, si calcolano le disparità (o pseudo distanze), con diversi metodi, ad esempio con la regressione monotonica, che consiste nel trasformare le distanze in modo che sia rispettato l’ordinamento delle dissimilarità

Fasi dell’Mds non metrico

In pratica, ordinate le distanze secondo il posto occupato dai rispettivi indici di dissimilarità, se nella successione delle distanze alcuni valori consecutivi si discostano dalla monotonicità, ad ognuno di essi si sostituisce la loro media.

La nuova successione, se è monotona, è quella delle disparità, le quali non sono distanze, se non è monotona, si ripete il procedimento finché non viene soddisfatta la condizione di monotonicità.

L’indice di STRESS

Nel multidimensional scaling non metrico la qualità dell’adattamento ai dati viene misurato tramite una misura chiamata STRESS (vedi figura).

Unfolding

Il modello di analisi dei dati di preferenza conosciuto come unfolding ipotizza che i consumatori, al momento in cui formulano giudizi di preferenza, siano caratterizzati da un punto di riferimento ideale.

Si stimano, quindi, anche le coordinate del punto ideale individuale:

ogni coordinata designa il livello della caratteristica/attributo associabile alla dimensione di rappresentazione ideale per il soggetto
quanto più un prodotto o una marca sono vicini al punto di riferimento ideale tanto più sono preferiti

Per valutare le coordinate dei punti ideali si possono utilizzare due distinti approcci, l’approccio implicito ed esplicito. Nel primo caso la stima delle coordinate del punto ideale avviene a partire dai soli giudizi di preferenza espressi sui prodotti a confronto.

Nel secondo caso la stima è effettuata a partire da risposte dirette degli intervistati su questo argomento, il che avviene includendo un prodotto ideale ipotetico tra quelli giudicati.

Obiettivi dell’unfolding

L’analisi di unfolding ha come obiettivi principali:

Desumere da misure di preferenza fornite dai consumatori i punti di riferimento ideali che i consumatori prendono in considerazione nel formulare le loro valutazioni di preferenza
Determinare l’importanza che assume ciascuna delle caratteristiche associate alle dimensioni di rappresentazione della mappa e, quindi, ricostruire una graduatoria delle caratteristiche