Approccio classico all’analisi delle serie storiche
Generalmente si assume che una serie storica osservata sia il risultato della composizione di:
a) una sequenza completamente deterministica, f(t), che costituisce la parte sistematica della serie;
b) una sequenza di variabili casuali a(t), che rappresenta la parte stocastica della serie ed obbedisce ad una determinata legge di probabilità.
Zt = f(t) + a(t)
Le due sequenze non sono individualmente osservabili, ma vanno determinate sulla base di un campione.
Secondo l’approccio classico alle serie storiche, si suppone che esista una legge di evoluzione temporale del fenomeno, rappresentata da f(t).
La componente casuale a(t), viene assunta a rappresentare l’insieme delle circostanze, ciascuna di entità trascurabile, che non si vogliono o non possiamo considerare in Zt .
Per cui la parte residua Zt, non spiegata da f(t), viene pertanto imputata al caso ed assimilata ad un insieme di errori accidentali. Questo equivale ad ipotizzare che la componente stocastica a(t) sia generata da un processo white noise, ovvero da una successione di variabili casuali indipendenti, identicamente distribuite, di media nulla e varianza costante.
In sintesi, nell’approccio classico l’attenzione viene concentrata su f(t), essendo a(t) considerato un processo a componenti incorrelate e dunque trascurabile.
Componenti di una serie storiche
L’approccio classico si basa sulla decomposizione della parte deterministica della serie in un insieme di componenti di «segnale» (che esprimono l’informazione strutturale della serie) rispetto alla parte di «rumore» trascurabile.
Le componenti di una serie sono:
- TREND (T): è la tendenza di fondo del fenomeno considerato, riferita ad un lungo periodo di tempo
- CICLO (C): è costituito dalle fluttuazioni attribuibili al succedersi, nel fenomeno considerato, di fasi ascendenti e di fasi discendenti generalmente collegate, ad esempio, con le fasi di espansione e di contrazione dell’intero sistema economico.
- STAGIONALITA’ (S): è costituita dai movimenti del fenomeno nel corso dell’anno che, per effetto dell’influenza di fattori climatici e sociali, tendono a ripetersi in maniera pressoché analoga nel medesimo periodo (es. mese, trimestre, ecc.).
- COMPONENTE ACCIDENTALE (A): nei modelli di serie storiche non vi è mai una relazione perfetta tra la variabile sotto osservazione e le diverse componenti, la componente accidentale tiene conto di questo e del comportamento non perfettamente prevedibile degli agenti economici, sociali, ecc.
Modelli classici
I modelli di composizione possono essere studiati da due punti di vista
- MODELLI DI COMPOSIZIONE: si conoscono le componenti elementari, e supponendo una certa forma di aggregazione si ricava la risultante serie
- MODELLI DI DECOMPOSIZIONE: da una serie osservata si ipotizza l’esistenza di alcuni andamenti elementari dei quali si vogliono stabilire le caratteristiche
I modelli di decomposizione sono i più interessanti nella pratica.
Tipologie di aggregazione tra le componenti
Modello Additivo
Zt = Tt + Ct + St + At
Modello Moltiplicativo
Zt = Tt x Ct x St x At
Misto
Zt = Tt x St + Ct + At
Un modello moltiplicativo può essere ricondotto a quello additivo attraverso una trasformazione logaritmica della componenti della serie:
Zt = Tt x Ct x St x At
diventa
Log Zt = Log Tt + Log Ct + Log St + Log At
Esempio di una serie trimestrale a componenti additive (il ciclo si ritiene assente)
Modelli di decomposizione di tipo empirico
Una tecnica empirica per estrarre il trend da una serie storica è quello della curva ad occhio basata sul principio della conservazione delle aree.
Si traccia una linea “ad occhio” sulla serie in modo tale che le aree al di sopra della linea siano di pari ampiezza alle aree al di sotto della linea.
Esempio del metodo della curva ad occhio
Stima della componente trend lineare
Se il trend della serie è lineare, o linearizzabile nei parametri attraverso una trasformazione di tipo logaritmico:
Tali trend sono stimabili attraverso le procedure derivate dalla regressione lineare.
- Trend polinomiale
f(t)= αo + α1 t + α2 t2 + … + αq tq + εt
Dove q rappresenta il grado del polinomio.
Per:
- q = 0 si ottiene un trend costante
- q = 1 si ottiene un trend lineare
- q = 2 si ottiene un trend parabolico
Serie del traffico passeggeri del porto di Napoli (dal 2001 al 2008). In blu si ripota la componente trend. (la serie è espressa in forma logaritmica)
Stima della componente trend non lineare
La presenza di un trend non lineare rende difficoltosa, se non impossibile, la individuazione di una forma funzionale nota f(t) con cui esprimere lo stesso.
In questi casi si ricorre allo strumento della media mobile (Moving Average)
La MA è una media aritmetica (semplice o ponderata) che si sposta ad ogni nuova iterazione (ad ogni tempo t) dall’inizio verso la fine della successione dei dati.
Supponiamo di disporre di n dati z1, z2, z3, …, z(n-1), zn
Calcoliamo la media dei primi 3 dati e sostituiamo al dato centrale il valore medio.
Ripetiamo il procedimento con i secondi 3 dati.
Il procedimento si esaurisce quando non vi sono più dati a disposizione.
Nel caso considerato la media mobile è composta da 3 soli dati. L’ordine della MA può essere esteso a 5, 7, 9, ecc.
Affinchè la MA possa essere centrata rispetto ai dati disponibili è necessario che l’ordine sia dispari.
Calcolo della media mobile di ordine 3
Esempio di stima del trend non lineare
Serie annuale del tasso di inflazione in Canada dal 1950 al 2000. In blu si riporta la stima della componente trend con un metodo a media mobile di ordine 9
Stima della componente stagionale
Lo studio della stagionalità di una serie storica può avere il fine di:
- stimare semplicemente la componente stagionale
- eliminarla dall’andamento generale una volta stimata
Se si devono confrontare più serie storiche con diversa stagionalità, l’unica via di comparazione è la destagionalizzazione di entrambe
Vi sono diversi modi di stimare la componente stagionale. Uno di questi è il ricorso ad un modello di regressione mediante variabili ausiliari dicotomiche (variabili dummy).
Supponiamo l’esistenza di un modello additivo senza componente trend
Zt = St +At
E supponiamo di avere misurato la serie su cadenza mensile. E’ possibile definire le variabili dummy nel seguente modo
djt = 1 se l’ossservazione t è relativa al j-esimo mese dell’anno
djt = 0 altrimenti
Esempio di variabili dummy periodiche
Come si può vedere in tabella per tute le osservazioni relative al mese di gennaio la variabile D1 assume valore 1, così come D2 per quelle di febbraio, ecc.
Regressione con dummy periodiche
Una volta create le variabili dummy peridiodiche, la componente stagionale potrà essere stimata attraverso un modello di regressione:
Zt = β1D1 + β2D2 + … + β12D12 + εt
(Nel nostro caso ipotizziamo dati mensili)
La parte εt residua del modello rappresenta la parte della serie non spiegata dalla stagionalità. Se nella serie è presente una componente tendenziale, essa coinciderà proprio con εt
Nella tabella a lato si ripotano i coefficienti beta stimati per le variabili dummy mensili del traffico passeggeri del porto di Napoli.
Nel grafico a lato si riporta:
- in rosso la serie originale
- In blu la serie destagionalizzata
- In verde il trend stimato con il modello lineare
Coefficienti stimati sui dati passeggeri porto di Napoli
Le lezioni del Corso
2. Caratteri statistici e scale di misura
3. Sintesi tabellare e grafica di una distribuzione statistica
6. Forma di una distribuzione statistica
7. Distribuzioni doppie di frequenza
8. Relazioni tra variabili: associazione e dipendenza in media
9. Relazioni tra variabili: Correlazione lineare
10. Interpolazione statistica e Retta di regressione
11. Elementi di calcolo delle probabilità
12. Introduzione alle variabili casuali
13. Modelli per variabili casuali discrete di uso comune
14. Modelli per variabili casuali continue di uso comune
15. Introduzione alle serie storiche
16. Approccio classico: Modello di decomposizione di una serie storica
