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Massimo Aria » 16.Approccio classico: Modello di decomposizione di una serie storica


Approccio classico all’analisi delle serie storiche

Generalmente si assume che una serie storica osservata sia il risultato della composizione di:
a) una sequenza completamente deterministica, f(t), che costituisce la parte sistematica della serie;
b) una sequenza di variabili casuali a(t), che rappresenta la parte stocastica della serie ed obbedisce ad una determinata legge di probabilità.

Zt = f(t) + a(t)

Le due sequenze non sono individualmente osservabili, ma vanno determinate sulla base di un campione.

Secondo l’approccio classico alle serie storiche, si suppone che esista una legge di evoluzione temporale del fenomeno, rappresentata da f(t).
La componente casuale a(t), viene assunta a rappresentare l’insieme delle circostanze, ciascuna di entità trascurabile, che non si vogliono o non possiamo considerare in Zt .
Per cui la parte residua Zt, non spiegata da f(t), viene pertanto imputata al caso ed assimilata ad un insieme di errori accidentali. Questo equivale ad ipotizzare che la componente stocastica a(t) sia generata da un processo white noise, ovvero da una successione di variabili casuali indipendenti, identicamente distribuite, di media nulla e varianza costante.
In sintesi, nell’approccio classico l’attenzione viene concentrata su f(t), essendo a(t) considerato un processo a componenti incorrelate e dunque trascurabile.

Componenti di una serie storiche

L’approccio classico si basa sulla decomposizione della parte deterministica della serie in un insieme di componenti di «segnale» (che esprimono l’informazione strutturale della serie) rispetto alla parte di «rumore» trascurabile.

Le componenti di una serie sono:

  • TREND (T): è la tendenza di fondo del fenomeno considerato, riferita ad un lungo periodo di tempo
  • CICLO (C): è costituito dalle fluttuazioni attribuibili al succedersi, nel fenomeno considerato, di fasi ascendenti e di fasi discendenti generalmente collegate, ad esempio, con le fasi di espansione e di contrazione dell’intero sistema economico.
  • STAGIONALITA’ (S): è costituita dai movimenti del fenomeno nel corso dell’anno che, per effetto dell’influenza di fattori climatici e sociali, tendono a ripetersi in maniera pressoché analoga nel medesimo periodo (es. mese, trimestre, ecc.).
  • COMPONENTE ACCIDENTALE (A): nei modelli di serie storiche non vi è mai una relazione perfetta tra la variabile sotto osservazione e le diverse componenti, la componente accidentale tiene conto di questo e del comportamento non perfettamente prevedibile degli agenti economici, sociali, ecc.

Modelli classici

I modelli di composizione possono essere studiati da due punti di vista

  • MODELLI DI COMPOSIZIONE: si conoscono le componenti elementari, e supponendo una certa forma di aggregazione si ricava la risultante serie
  • MODELLI DI DECOMPOSIZIONE: da una serie osservata si ipotizza l’esistenza di alcuni andamenti elementari dei quali si vogliono stabilire le caratteristiche

I modelli di decomposizione sono i più interessanti nella pratica.

Tipologie di aggregazione tra le componenti

Modello Additivo

Zt = Tt + Ct + St + At

Modello Moltiplicativo

Zt = Tt x Ct x St x At

Misto

Zt = Tt x St + Ct + At

Un modello moltiplicativo può essere ricondotto a quello additivo attraverso una trasformazione logaritmica della componenti della serie:

Zt = Tt x Ct x St x At

diventa

Log Zt = Log Tt + Log Ct + Log St + Log At

Esempio di una serie trimestrale a componenti additive (il ciclo si ritiene assente)

Esempio di una serie trimestrale a componenti additive (il ciclo si ritiene assente)


Modelli di decomposizione di tipo empirico

Una tecnica empirica per estrarre il trend da una serie storica è quello della curva ad occhio basata sul principio della conservazione delle aree.

Si traccia una linea “ad occhio” sulla serie in modo tale che le aree al di sopra della linea siano di pari ampiezza alle aree al di sotto della linea.

Esempio del metodo della curva ad occhio

Esempio del metodo della curva ad occhio


Stima della componente trend lineare

Se il trend della serie è lineare, o linearizzabile nei parametri attraverso una trasformazione di tipo logaritmico:

Tali trend sono stimabili attraverso le procedure derivate dalla regressione lineare.

- Trend polinomiale

f(t)= αo + α1 t + α2 t2 + … + αq tq + εt

Dove q rappresenta il grado del polinomio.

Per:

  • q = 0 si ottiene un trend costante
  • q = 1 si ottiene un trend lineare
  • q = 2 si ottiene un trend parabolico
Serie del traffico passeggeri del porto di Napoli (dal 2001 al 2008). In blu si ripota la componente trend. (la serie è espressa in forma logaritmica)

Serie del traffico passeggeri del porto di Napoli (dal 2001 al 2008). In blu si ripota la componente trend. (la serie è espressa in forma logaritmica)


Stima della componente trend non lineare

La presenza di un trend non lineare rende difficoltosa, se non impossibile, la individuazione di una forma funzionale nota f(t) con cui esprimere lo stesso.

In questi casi si ricorre allo strumento della media mobile (Moving Average)

La MA è una media aritmetica (semplice o ponderata) che si sposta ad ogni nuova iterazione (ad ogni tempo t) dall’inizio verso la fine della successione dei dati.

Supponiamo di disporre di n dati z1, z2, z3, …, z(n-1), zn
Calcoliamo la media dei primi 3 dati e sostituiamo al dato centrale il valore medio.
Ripetiamo il procedimento con i secondi 3 dati.

Il procedimento si esaurisce quando non vi sono più dati a disposizione.

Nel caso considerato la media mobile è composta da 3 soli dati. L’ordine della MA può essere esteso a 5, 7, 9, ecc.
Affinchè la MA possa essere centrata rispetto ai dati disponibili è necessario che l’ordine sia dispari.

Calcolo della media mobile di ordine 3

Calcolo della media mobile di ordine 3


Esempio di stima del trend non lineare

Serie annuale del tasso di inflazione in Canada dal 1950 al 2000. In blu si riporta la stima della componente trend con un metodo a media mobile di ordine 9

Serie annuale del tasso di inflazione in Canada dal 1950 al 2000. In blu si riporta la stima della componente trend con un metodo a media mobile di ordine 9


Stima della componente stagionale

Lo studio della stagionalità di una serie storica può avere il fine di:

  • stimare semplicemente la componente stagionale
  • eliminarla dall’andamento generale una volta stimata

Se si devono confrontare più serie storiche con diversa stagionalità, l’unica via di comparazione è la destagionalizzazione di entrambe

Vi sono diversi modi di stimare la componente stagionale. Uno di questi è il ricorso ad un modello di regressione mediante variabili ausiliari dicotomiche (variabili dummy).

Supponiamo l’esistenza di un modello additivo senza componente trend

Zt = St +At

E supponiamo di avere misurato la serie su cadenza mensile. E’ possibile definire le variabili dummy nel seguente modo

djt = 1 se l’ossservazione t è relativa al j-esimo mese dell’anno

djt = 0 altrimenti

Esempio di variabili dummy periodiche

Come si può vedere in tabella per tute le osservazioni relative al mese di gennaio la variabile D1 assume valore 1, così come D2 per quelle di febbraio, ecc.

Come si può vedere in tabella per tute le osservazioni relative al mese di gennaio la variabile D1 assume valore 1, così come D2 per quelle di febbraio, ecc.


Regressione con dummy periodiche

Una volta create le variabili dummy peridiodiche, la componente stagionale potrà essere stimata attraverso un modello di regressione:

Zt = β1D1 + β2D2 + … + β12D12 + εt

(Nel nostro caso ipotizziamo dati mensili)

La parte εt residua del modello rappresenta la parte della serie non spiegata dalla stagionalità. Se nella serie è presente una componente tendenziale, essa coinciderà proprio con εt

Nella tabella a lato si ripotano i coefficienti beta stimati per le variabili dummy mensili del traffico passeggeri del porto di Napoli.

Nel grafico a lato si riporta:

  • in rosso la serie originale
  • In blu la serie destagionalizzata
  • In verde il trend stimato con il modello lineare
Coefficienti stimati sui dati passeggeri porto di Napoli

Coefficienti stimati sui dati passeggeri porto di Napoli


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