Massimo Aria » 3.Sintesi tabellare e grafica di una distribuzione statistica

Distribuzione di quantità

La distribuzione di quantità è una organizzazione dei dati in forma tabellare tale che per ogni modalità della variabile X si fa corrispondere la quantità totale misurata/rilevata sulle N unità della popolazione.

Essa esplicita, quindi, come l’ammontare complessivo del fenomeno si distribuisce tra le modalità del carattere X.

Il pedice “i” indica la generica modalità del carattere (con i=1,2,…,k).

Distribuzione di frequenza

La distribuzione di frequenza è una organizzazione dei dati in forma tabellare tale che ad ogni modalità della variabile X si fa corrispondere la rispettiva frequenza.

In altre parole, la distribuzione di frequenza esplicita quante volte una determinata modalità si presenta nel collettivo oggetto di studio.

Essa è un modo sintetico per rappresentare le unità statistiche che assumono uguale modalità indicandone unicamente la frequenza di risposta.

Distribuzione di frequenza per variabili discrete

Si immagini una popolazione composta da N unità su cui è osservata una variabile X che assume k distinte modalità (variabile discreta). E’ possibile rappresentare le osservazioni in una distribuzione di frequenza in cui:

• x_i consiste nella i-esima modalità della X
• n_i consiste nella i-esima frequenza assoluta (il numero di volte che la modalità i si presenta nel collettivo osservato)

Frequenze assolute n_i

• f_i = n_i /N consiste nella i-esima frequenza relativa (la proporzione con cui la modalità i si presenta nel collettivo osservato)

Frequenze relative f_i = n_i / N

Rappresentazioni grafiche per variabili discrete

Una prima sintesi grafica della distribuzione di una variabile discreta può essere ottenuta attraverso un diagramma a barre (o diagramma cartesiano).

Esso è costruito ponendo sull’asse delle ascisse le modalità della variabile X e sulle ordinate le frequenze (assolute o relative) corrispondenti ad ogni modalità.

Si ottiene così una rappresentazione detta “a barre verticali”.

Alcune osservazioni

• L’impiego delle frequenze assolute o relative non cambia la forma della distribuzione
• Il ricorso alle frequenze relative è necessario se si vogliono confrontare due diverse distribuzioni (es. distribuzione del numero di figli in Italia e in Francia)

La suddivisione in classi

Si definisce una generica classe come:

[x_i-1, x_i]

“in essa sono incluse tutte le modalità di X maggiori di x_i-1 e minori o uguali a x_i”

Si definisce ampiezza di una classe [x_i-1, x_i], la differenza tra l’estremo superiore e l’estremo inferiore della stessa:

a_i=x_i – x_i-1

I criteri di suddivisione delle modalità in classi sono i seguenti:

• sulla base della conoscenza del fenomeno: con l’ausilio di esperti si determina la suddivisione che si ritiene maggiormente esplicativa dell’oggetto di studio

sulla base di regole empiriche:

• in classi di pari ampiezza (equi-ampie)
• in classi di pari frequenza (equi-frequenti)

Densità di frequenza

Per la rappresentazione grafica di una distribuzione in classi, non è possibile utilizzare il grafico a barre in quanto le classi potrebbero avere diversa ampiezza e le frequenze non sarebbero quindi confrontabili.

In luogo delle frequenze si introduce il concetto di densità di frequenza.
Essa si definisce come il rapporto tra la frequenza di una classe e la rispettiva ampiezza:

d_i=n_i/(x_i – x_i-1)

Rappresentazioni grafiche per variabili continue

La rappresentazione grafica di una variabile continua avviene attraverso l’impiego dell’istogramma.

Esso fa corrispondere ad ogni classe un rettangolo la cui base è pari all’ampiezza della classe e la cui altezza è pari alla rispettiva densità di frequenza.

Le barre così ottenute hanno un’area pari alla frequenza assoluta delle corrispondenti classi e forniscono, quindi, una informazione non distorta sulla forma della distribuzione.

Alcune osservazioni:

• nei diagrammi a barre l’ampiezza della barra è convenzionale, mentre nell’istogramma indica l’ampiezza della classe
• nei diagrammi a barre la frequenza è pari all’altezza della barra, mentre nell’istogramma essa è pari all’area della barra
• nel caso di una distribuzione in classi equi-ampie di ampiezza pari a 1, l’istogramma equivale ad un diagramma a barre

Funzione di ripartizione empirica

La funzione di ripartizione empirica è una funzione che associa ad ogni valore reale x_i la proporzione di unità statistiche che assumono valori uguali o inferiori a x_i.

In pratica, la funzione di ripartizione empirica è ottenuta cumulando progressivamente le frequenze relative al crescere di X.

Il concetto di funzione di ripartizione trova applicazione nel contesto delle variabili quantitative.

Definizione

F_i = frequenza relativa cumulata

Proprietà

0 ≤ F(x) ≤ 1

F(x) non è decrescente

F(-∞) = 0  F(+∞) = 1

F(x) è continua da destra