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Walter Balzano » 21.Analisi spaziale - parte seconda


Analisi spaziale

  • Statistiche centrografiche
  • Analisi dei quadranti
  • Nearest Neighbour Analysis
  • Metodi di classificazione
  • Metodi di interpolazione lineare da isolinee
  • Metodi di campionamento
  • Metodo di Kriging
  • Variogramma

Indici statistici geospaziali

Gli indici statistici geospaziali definiscono metriche che qualificano la disposizione spaziale di un fenomeno.
Tali indici forniscono informazioni per:

  • il baricentro del fenomeno;
  • la dispersione territoriale;
  • la direzione prevalente;
  • la regolarità della distribuzione.

La disposizione spaziale o pattern definisce una specifica configurazione degli oggetti nello spazio:

  • pattern casuale: non sussiste alcuna regolarità;
  • pattern uniforme: i fenomeni sono equidistanti;
  • pattern a cluster: i fenomeni sono prevalentemente localizzati.
Pattern: A=casuale; B=uniforme; C=cluster.

Pattern: A=casuale; B=uniforme; C=cluster.


Statistiche centrografiche

Le statistiche centrografiche si prefiggono di individuare il centro geografico della distribuzione dei dati:

  • centro medio: media delle coordinate di latitudine e longitudine delle singole osservazioni (generalmente definito centro di gravità o punto di equilibrio delle osservazioni);
  • centro della distanza minima: identifica il punto che minimizza le distanze da tutti gli altri punti della distribuzione (definito anche punto di “viaggio minimo”);
  • deviazione standard della distanza: misura la dispersione dei fenomeni sul territorio in termini di distanza rispetto al centro medio (cerchio della deviazione standard ed ellisse delle deviazioni standard).

In figura 1:Puntini: residenze studenti iscritti Università di Milano Bicocca. Cerchio centrale: Università di Milano Bicocca. Quadratino: centro medio. Ellisse: area di maggiore concentrazione. Fonte: da Libro di testo del corso Boffi.

In figura 2: Cerchio centrale: centro della distanza minima da tutti i punti rappresentati nell’area; essi misurano l’accessibilità pedonale da un servizio di trasporto pubblico. Fonte: da Libro di testo del corso Boffi.

Puntini: residenze studenti iscritti Univ. di Milano Bicocca. Cerchio centrale: Univ. di Milano Bicocca. Quadratino: centro medio. Ellisse: area di maggiore concentrazione

Puntini: residenze studenti iscritti Univ. di Milano Bicocca. Cerchio centrale: Univ. di Milano Bicocca. Quadratino: centro medio. Ellisse: area di maggiore concentrazione

Cerchio centrale: centro della distanza minima da tutti i punti rappresentati. Fonte: Mario Boffi, Scienza dell’Informazione Geografica, Bologna, Zanichelli, 2004.

Cerchio centrale: centro della distanza minima da tutti i punti rappresentati. Fonte: Mario Boffi, Scienza dell'Informazione Geografica, Bologna, Zanichelli, 2004.


Analisi dei quadranti

L’analisi dei quadranti è uno strumento usualmente impiegato per l’analisi dei un pattern e della distribuzione su un territorio.

L’analisi dei quadranti è largamente impiegata in ambito biologico; essa permette di studiare le immagini derivanti dalla microscopia.

In generale la metodologia è fondata sul conteggiare osservazioni disposte su di una griglia regolare a maglie quadrate che suddivide l’immagine da studiare.

Si valutata la frequenza delle osservazioni (occorrenza) per ogni quadrato considerato.
Si calcola la varianza delle frequenze (misura di dispersione del fenomeno)
Si effettua un confronto tra la distribuzione osservata e tra una distribuzione casuale ricavando così una misura della presenza di pattern (clusters) della varabile sul territorio

Si noti che:

  • il risultato ottenuto dipende fortemente dalla dimensione della griglia utilizzata; non è possibile definire un criterio che determini la dimensione ottima della griglia;
  • non vengono considerate le variazioni locali tra le celle confinati.

Analisi dei vicinato (Nearest Neighbour Analysis)

L’ Indice Nearest Neighbour (NNI) misura il grado di dispersione spaziale di una distribuzione di punti.
Il calcolo è basato sulla misurazione delle distanze di punti adiacenti: la distanza tra punti raggruppati (clustered) è inferiore a quella in cui i punti sono distribuiti in un’area in modo casuale o uniforme.
Le formule per il calcolo dell’ NNI sono:

Ed=0,5 \sqrt A/N ~~~~~~Ad=\sum_{i=1}^N d_i /N~~~~~NNI=Ad / Ed

In cui:
Ed = distanza attesa
Ad = distanza di vicinato
di = distanza del punti i al punto più vicino
A = Area della mappa
N = numero totale dei punti

Analisi dei vicinato (Nearest Neighbour Analysis)

Se i punti cadono tutti nel medesimo luogo Allora Ad = 0 ed NNI = 0.
Se i punti sono molto raggruppati allora NNI tende a 0 poiché è piccola la loro distanza media.
Se i punti hanno una distribuzione casuale allora NNI tende a 1.
Se i punti sono distribuiti in modo perfettamente uniforme allora NNI tende a 2.1491.

Significato grafico dell’NNI.

Significato grafico dell'NNI.


Metodi di classificazione

  • Metodi locali: i metodi locali elaborano il valore sconosciuto basandosi sui valori noti nell’immediato intorno; essi riproducono con buona fedeltà le variazioni locali della variabile. Sono basati su singole funzioni matematiche applicate ad una parte della totalità dei punti campionati.
  • Metodi globali: i metodi globali stimano i valori nei punti sconosciuti utilizzando tutti i dati disponibili e cercando di valutarne la distribuzione e l’andamento globale; dato l’andamento globale si estrapolano i valori in qualunque zona d’interesse. Sono basati su singole funzioni matematiche applicate a tutti i punti.
  • Metodi esatti: nei metodi esatti La superficie risultante passa esattamente in tutti i punti del data set; essa risulta appropriata se risulta buona l’accuratezza dei dati.

Metodi di classificazione

Metodi approssimati: nei metodi approssimati la superficie risultante NON passa esattamente in tutti i punti del data set; il metodo risulta appropriato per dati molto accurati con alto grado di incertezza.

Metodi garduali: i metodi graduali producono superfici lisciate (smussate) che passano per tutti i punti. Il metodo risulta appropriato per l’interpolazione di dati con piccola variabilità locale.

Metodi bruschi: i metodi Bruschi producono superfici lisciate a gradini. E’ una metodologia generalmente applicata per l’interpolazione di dati con grandi variabilità locali o con forti discontinuità.

Metodi deterministici: i metodi deterministici vengono impiegati quando vi sono sufficienti conoscenze circa la superficie da modellare. Questa classe di metodi permettono di utilizzare modelli matematici specifici.

Metodi stocastici: i metodi stocastici sono di solito impiegati qualora occorra incorporare variabili random nelle superfici da interpolare.

Interpolazione

Con l’ interpolazione spaziale è possibile stimare il valore di una variabile in zone non “coperte” in modo diretto. Il metodo si basa su sulla conoscenza della variabile in punti noti.

Alcuni metodi di interpolazioni impiegati nei GIS sono:

  • Poligoni di Thiessen o Voronoi;
  • Triangulated Irregular Networks (TINs);
  • Spatial moving average o altre tecniche matematiche;
  • Trend Surfaces;
  • Kriging.

I presupposti fondamentali su sui è basata l’interpolazione spaziale sono:

  • si assume che il fenomeno d’interesse abbia natura continua e misurabile;
  • i fenomeni osservati siano spazialmente dipendenti (dati i punti circostanti è possibile derivare il valore della variabile in un punto prefissato.

Generalmente il metodo di interpolazione prescelto non deve essere indipendente dal tipo di distribuzione dei punti noti.

Metodi di Campionamento

Relazione tra metodi di campionamento e metodi di interpolazione. Fonte  Politecnico di Milano

Relazione tra metodi di campionamento e metodi di interpolazione. Fonte Politecnico di Milano


Interpolazione lineare da isolinee (stima locale)

Le isolinee costituiscono un metodo molto comune per rappresentare l’andamento di un valore nello spazio.

Il procedimento di interpolazione applicato a dati rappresentati sotto forma di isolinee permette di avere una stima della variabile in qualsiasi punto derivandolo dal valore nei punti che appartengono alle isolinee.

Il procedimento più semplice è quello del metodo di interpolazione lineare:

  • si traccia il segmento più breve che unisce due isolinee adiacenti e passante per il punto di interesse;
  • sul segmento generato si applica l’interpolazione lineare.
Interpolazione di Lagrange.

Interpolazione di Lagrange.


Interpolazione lineare da isolinee (stima locale)

Esempio di interpolazione lineare da isolinea.

Esempio di interpolazione lineare da isolinea.


Metodo di KRIGING (stima globale)

Il metodo di Kriging deriva il nome dall’ingegnere minerario sudafricano D.G. Krige che sviluppò una tecnica per poter ottenere una mappa dei filoni d’oro a partendo da un insieme di dati campionari.

Il processo di interpolazione di Kring è costituito da due fasi distinte:

  • analisi statistica delle tendenze di fondo della distribuzione dei punti campionari attraverso la costruzione del variogrammma;
  • interpolazione vera e propria guidata dal modello della regione.

Variogramma

Il Variogramma mediante un modello statistico descrive la variabile territoriale di interesse mediante una misurazione del grado di cambiamento dei dati campionari nello spazio. Il variogramma è fondato sulla autocorrelazione spaziale dei dati e può considerare eventuali andamenti non lineari del flusso del valore (direzioni preferenziali, filoni, ecc).

Da un punto di vista tecnico, il variogramma può essere definito come modello statistico della morfologia dello spazio ottenuto effettuando la somma delle tre componenti:

  • una componente strutturale drift (corrente, flusso) che rappresenta una costante di trend della regione;
  • una componente casuale correlata spazialmente;
  • un errore casuale che rappresenta l’errore residuo.

Da un punto di vista più formale potremmo affermare che il variogramma è una funzione che interpola la varianza dei valori osservati in gruppi di coppie di punti a determinate distanze ed è definito nel modo seguente:

\gamma (h)=\Sigma _{i=1}^{n(h)} \frac {(z(x+h)-z(x))^2} {n(h)}

in cui:
z = valore della misura nel relativo punto
h = classe di distanza tra punti di misura
n(h) = conteggio del numero di coppie di osservazioni effettuate alla distanza h

Interpolazione del Variogramma

Il passo successivo alla costruzione del variogramma consiste nel ricercare il modello, tra i modelli standard, che realizza la migliore approssimazione.

L’obiettivo di questo passo consiste nel ricavare una regola o legge che descrive in modo ottimale l’andamento della variabile in oggetto ed ottenendo così un modello del territorio applicabile su una scala globale (ovvero in tutta l’area ricoperta dai campioni considerati).

Approssimazioni di variogramma con modello noti. Fonte: Raimundo Sierra

Approssimazioni di variogramma con modello noti. Fonte: Raimundo Sierra


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