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Walter Balzano » 24.Global Positioning System - parte terza


Global Positioning System

  • Errori nel GPS
  • Gli errori relativistici
  • Sincronizzazione degli orologi
  • Esempi
  • Il GPS assistito

Fonti di errore nella determinazione della posizione

Per ottenere una sincronizzazione perfetta, ogni orologio a bordo dei satelliti deve essere sincronizzato con tutti gli altri e con quelli sulla Terra.

Tuttavia occorre considerare alcuni fattori che costituiscono fonte di errore e sono di diversa natura:

  • fattori atmosferici (ritardo da 1 ns a 100 ns): causano un rallentamento del segnale al suo passaggio nella ionosfera e nella troposfera;
  • fattori elettronici (ritardo da 1 ns a 100 ns):
    • tempo impiegato dal segnale per il passaggio nella strumentazione;
    • tempo di elaborazione nei computer del GPS;
  • fattori relativistici:
    • fattori dovuti alla velocità;
    • fattori dovuti alla quota.

Errori Relativistici

Fattori relativistici (anticipo/ritardo del tempo) degli stessi orologi atomici.

Nota: Gli errori relativistici sono di quasi tre ordini di grandezza più grandi rispetto alle altre sorgenti di ritardo. La loro correzione è quindi indispensabile per il funzionamento dei sistemi di navigazione satellitare.

Albert Einstein. Fonte:  Mlahanas

Albert Einstein. Fonte: Mlahanas


Errori Relativistici

Secondo la teoria della Relatività, il tempo proprio di ogni corpo in movimento viene deformato secondo questa relazione:

\Delta t = \frac {\Delta t_0} {\sqrt {1- {\frac {v^2} {c^2}}}}

In cui Δt0 è il tempo proprio, cioè la differenza tra i tempi di due eventi che accadono nello stesso luogo.

Errori relativistici

Maggiore è la velocità del sistema di riferimento, maggiore è l’intervallo di tempo Δt, cioè l’orologio rallenta fino a fermarsi quando v=c. (vedi grafico)

Esempio
Ci sono due orologi sincronizzati sulla superficie della Terra; il primo orologio rimane sul nostro pianeta ed il secondo è lanciato nella profondità dello spazio a bordo di un’astronave che viaggia vicina alla velocità della luce (c = 300000 Km/ sec ). Quando torna a casa, comparando i due orologi si può osservare che:
L’orologio che ha viaggiato è in ritardo rispetto a quello che è rimasto sulla Terra!

Dilatazione del tempo nei sistemi in moto.

Dilatazione del tempo nei sistemi in moto.


Errori relativistici (segue)

Allo stesso modo qualsiasi corpo soggetto alla forza di gravità ha una deformazione del tempo pari a:

\Delta t = \frac {\Delta t_0} {1+ \frac{2 \Phi}{c^2}}

In cui Φ= -GM / R indica il potenziale gravitazionale scalare pseudo newtoniano con G che è la costante di gravitazione universale, M la massa del corpo generatore del campo gravitazionale e R la distanza radiale non euclidea fra i corpi (cioè soggetta alla legge relativistica dell’allungamento del raggio: DR = GM / 3c2).
Δt0 è ancora il tempo proprio ossia l’intervallo di tempo rispetto ad un sistema di riferimento in cui non vi sono campi gravitazionali.

Errori relativistici (segue)

Consegue che: gli orologi immersi in campi gravitazionali intensi rallentino la loro misurazione del tempo rispetto agli orologi soggetti a campi gravitazionali minori o nulli.

Esempio

Utilizziamo gli stessi due orologi sincronizzati sulla superficie della Terra. Questa volta mandiamo un orologio in una stazione spaziale orbitante intorno alla Terra, dove la gravità è minore che sulla superficie terrestre. Quando torna indietro possiamo osservare che: l’orologio che è stato spedito nella stazione spaziale è in anticipo rispetto a quello che è rimasto sulla superficie terrestre.

Dilatazione del tempo in presenza di campi gravitazionali.

Dilatazione del tempo in presenza di campi gravitazionali.


Effetti relativistici sul GPS

Effetto dovuto alla velocità: la formula t = t0(1 – (v/c)2)-1/2 applicata ad un satellite la cui velocità orbitale è 3,87 km/s mostra un ritardo di 7 μ-sec al giorno (la velocità, ricordiamo, dilata il tempo di un corpo relativamente ad uno più lento) rispetto agli orologi a terra.

Effetto dovuto alla quota: l’influenza del campo gravitazionale terrestre sui satelliti è quattro volte minore. Applicando la formula: t = t0(1 +2Φ /c2)-1, che lega il tempo relativo e la gravità, ne deduciamo che ogni satellite “guadagna” 45 μ-sec al giorno.

(μ-sec = microsecondi = 1* 10-6 secondi )

Effetti relativistici sul GPS (segue)

La somma algebrica delle variazioni dei tempi così ottenuti (7 μ-sec – 45 μ-sec ) ci porta a dire che un satellite del GPS anticipa il tempo segnato dall’orologio sulla terra di 38 μ-sec al giorno.

Nella localizzazione del ricevitore, che errore genera un anticipo di 38 μ-sec al giorno?
Per calcolarlo basta moltiplicare questo tempo per la velocità della luce:

38\mi \times 3 \cdot 10^8 \frac m s = 11400m = 11,4 km

Fonti di errori minori

Esistono numerose componenti fonti di errori che rendono complessa l’elaborazione anche perché tali fonti sono variabili nel tempo (basti pensare al diverso scenario gravitazionale della terra a seconda se si trovi in apogeo (più lontana dalla terra) o perigeo (più vicina alla terra).

Fonti di errori minori.

Fonti di errori minori.


Sincronizzazione orologi

Come più volte detto, l’efficacia e la precisione dell’intero sistema GPS dipende fortemente dalla precisione (e quindi dalla sincronizzazione) degli orologi sia terresti che satellitari.

Gli orologi atomici sono basati su Cesio e Rubidio e sono troppo costosi.

Gli orologi dei ricevitori sono basati su quarzo e sono economici; essi sono continuamente “resettati”.

Londra 1955. Uno dei primi orologi atomici basati sul principio dell’oscillazione dell’isotopo di Cesio 133. Fonte:  Fantascienza

Londra 1955. Uno dei primi orologi atomici basati sul principio dell'oscillazione dell'isotopo di Cesio 133. Fonte: Fantascienza


Sincronizzazione orologi (segue)

Sincronizzazione

Il ricevitore R, esaminando l’orario di 4 o più satelliti può misurare la propria imprecisione: in altre parole, solo e soltanto un orario T può soddisfare le equazioni geometriche per poter individuare un unico punto nello spazio: le 4 sfere di distanza individuate dai 4 satelliti e dal ricevitore si intersecano in un solo punto soltanto se le misurazioni ottenute sono precise: T è proprio l’orario degli orologi atomici dei satelliti. Il ricevitore R quindi calcola ed imposta il proprio orario a T semplicemente imponendo che l’intersezione delle 4 sfere coincida in un unico punto.

Il sistema GPS può quindi fornire gratuitamente l’accuratezza di un orologio atomico.

Sincronizzazione orologi (segue)

Esempio in 1D (in 3D il concetto è equivalente ma esteso a 4 sfere).

Le coordinate “spaziali” dei satelliti S1 ed S2 sono note al Ricevitore R (R infatti possiede l’Almanacco).

A seconda dell’ora dell’orologio di R (orario R1, R2 ed R3) posso quindi ricavare diverse grandezze delle sfere di distanza.

Nell’esempio si suppongono 3 casi relativi a 3 orari differenti (orario R1, R2 ed R3) dell’orologio del ricevitore R.
In figura 1: Caso 1: l’orologio di R è anticipato: le distanze calcolate tra il ricevitore ed i satelliti sono inferiori a quelle reali.

In figura 2: Caso 2: l’orologio di R è ritardato: le distanze calcolate tra il ricevitore ed i satelliti sono superiori a quelle reali.


Sincronizzazione orologi (segue)

Caso3: L’orologio di R è esatto: le distanze calcolate tra il ricevitore ed i satelliti sono uguali a quelle reali.

Caso3: L'orologio di R è esatto: le distanze calcolate tra il ricevitore ed i satelliti sono uguali a quelle reali.


Sincronizzazione orologi: caso 2D

Si supponga che:
in un piano C siano note le coordinate dei 3 punti S1, S2 ed S3 e siano invece ignote le coordinate del punto P.
Gli orologi di S1, S2 ed S3 siano precisi e perfettamente sincronizzati con tempo T.
L’orologio di P sia impreciso con tempo t (in cui t + e = T; e rappresenta l’errore, positivo o negativo, dell’orologio di P).

Sincronizzazione orologi: caso 2D (segue)

Sincronizzazione orologi caso 2D.

Sincronizzazione orologi caso 2D.


Sincronizzazione orologi: caso 2D (segue)

Si supponga che P misuri le distanze dai 3 punti S1, S2 ed S3 usando il proprio orologio t cioè P legge il proprio orologio ogni volta che riceve un messaggio: quindi P legge i 3 orari t1, t2 e t3 relativi all’arrivo dei messaggi di S1, S2 ed S3.
Con il teorema di Pitagora si calcolano le distanze tra P ed i punti S1, S2 ed S3.

Con la risoluzione di tale sistema di 3 equazioni con 3 incognite (Px, Py, e) si ricava anche il tempo T (infatti T = t + e).


A-GPS (Assisted GPS)

L’ A-GPS, è un sistema che consente di abbattere i tempi necessari alla prima localizzazione durante l’uso di un terminale GPS. Mostra la sua utilità soprattutto nei “canyon” urbani, quali vie strette o viali notevolmente alberati, in cui è difficile stabilire con precisione la lista di satelliti in vista al terminale. Questo sistema sta mostrando una notevole diffusione, ed è normalmente associato ai sistemi di localizzazione (LBS, Location Based Service) basati su telefonia cellulare.

Uno dei principali problemi dei terminali GPS classici è relativo alla prima localizzazione (il Fixing), in quanto un terminale, all’accensione, deve ricavare la lista dei satelliti in vista in quel momento, per potervisi agganciare e cercare di rilevare la propria posizione. Tale processo è in genere alquanto dispendioso in termini di tempo e risorse, ed il sistema A-GPS è stato studiato al fine di abbattere tali costi, anche in previsione di un utilizzo su terminali con basse capacità di elaborazione o con risorse energetiche limitate, quali i telefoni cellulari.

A-GPS (Assisted GPS)

Lo scopo principale di questo sistema è quello di “assistere” il ricevitore GPS nel calcolo della posizione, fornendogli informazioni sui satelliti in vista. Tale metodologia richiede il supporto dell’operatore di telefonia mobile.

L’idea di fondo è la seguente: dato che ogni cella di telefonia mobile presente sul territorio ha una posizione fissa, si fa in modo che sia la cella a ricavare quali siano i satelliti GPS ad essa in vista, istante per istante. Quando un terminale A-GPS vuole conoscere la sua posizione, si collega tramite la rete cellulare ad un Assistance Server (che può anche essere gestito dall’operatore stesso), al quale viene inviata anche l’informazione sulla cella a cui l’utente è agganciato. Dato che sono noti i satelliti in vista alla cella, si può assumere ragionevolmente che anche il terminale A-GPS veda i medesimi satelliti. Pertanto il server elabora una lista con i satelliti in vista, e la invia attraverso la rete cellulare al terminale, che in questo modo può ricavare immediatamente la propria posizione.

La ridotta quantità di dati da inviare ha suggerito l’impiego di messaggi di tipo cell broadcast, già ampiamente utilizzati, ad esempio, per effettuare tariffazioni diverse a seconda dell’area in cui l’utente si trova, e che compaiono sullo schermo dell’utente sotto forma di indicazione della provincia.

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