Sergio Scippacercola » 3.Dall'analogico al digitale

Sistemi Posizionali

Per i sistemi posizionali si definisce base il numero dei simboli diversi che si possono utilizzare. La base della numerazione in cui è espresso il numero è indicata in basso a destra; quando si omette la base si intende in base 10.

Sistema posizionale significa, che ogni numero è scomponibile secondo le potenze della sua base.  Considerando un numero in base 10, ad esempio 456, la sua scomposizione è 4×10² + 5x 10¹+6×10⁰.

  I sistemi posizionali più usati sono:

• il binario (base 2) con simboli 0 1
• l’ottale (base 8) con simboli 0 1 2 3 4 5 6 7
• il decimale (base 10) con simboli 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
• l’esadecimale (base 16) con simboli 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Rappresentazione analitica di un numero in un sistema posizionale con base b

Numero N che abbia m+n+1 cifre C in una base b e relativo esempio di 964,23 in base 10

Conversioni: convertire un numero intero positivo I₁₀ da base 10 a base 2

• Si consideri il numero I₁₀ rappresentato da {c_n c_n-1 … c₀}₁₀ con c_i generica cifra decimale, e lo si divida 2.
• Si ottiene un quoziente Q_i ed un resto R_i(R_i<2). Il quoziente Q_i se è maggiore o uguale a 2 può ancora essere diviso per 2 ottenendo un nuovo quoziente Q_i+1 ed un resto R_i+1. Le divisioni si arrestano quando si ottiene un quoziente Q_n minore di 2.
• Per ottenere il numero I₁₀ convertito in binario si considerano l’ultimo quoziente Q_n e la successione dei resti iniziando dall’ultimo (R_n) fino al primo (R₀): I₁₀ = [Q_n R_n-1 ... R₁ R₀]₂ = I₂

Esempio: conversione di N₁₀ = 125 in binario:

       125=62·2+1   62=31·2+0   31=15·2+1    15=7·2+1   7=3·2+1  3=1·2+1  

       si ha che N₁₀= 125₁₀=[1111101]₂.

Verifica:

    [111101]₂  = 1·2⁵ +1·2⁴ +1·2³ +1·2² +0·2¹ +1·2⁰ = 64+32+16+8+4+1=125

Conversioni: convertire la parte decimale da base 10 a base 2

•  Si moltiplica il numero D per la nuova base 2 ottenendo una parte intera I₁  più una parte decimale D₁;  

• Se la parte decimale D₁¹≠0  si moltiplica ancora per 2 e così via; l’algoritmo si arresta dopo la i‑ ma moltiplicazione solo se D_i=0.  Talvolta D_i non diventa zero nemmeno dopo molte iterazioni perché il numero convertito può assumere, nella nuova base, caratteristiche differenti: cioè può diventare ad esempio periodico nella nuova base. Il procedimento si può, in ogni caso, arrestare dopo aver calcolato un prestabilito numero di cifre, in tal caso il numero convertito sarà, però, calcolato con difetto.

• La configurazione della parte decimale nella nuova base è:              D = [I₁ I₂ ... I_n D_n].
  Esempio: La conversione di 1,125₁₀ a base 2 è:  per la parte intera 1₁₀ = 1₂ e per la parte decimale 0,25₁₀si ha:
  0,125·2 = 0 + 0,250                                                 (D_i diverso da 0)
  0,250·2 = 0 + 0,500                                                 (D_i diverso da 0)
  0,500·2 = 1 + 0,000                                                 (D_i uguale a 0)si ha che 0,125₁₀=0,001₂  esattamente e, quindi il numero 1,125 convertito in base 2 sarà 1,125=1,001₂. 

   

Conversioni: convertire un numero negativo I da base 10 a base 2

• Si stabilisce il numero di bit (in numero sufficiente) in cui convertire il numero.
• Si considera il valore assoluto del numero |-I₁₀| e lo si converte in binario.
• Si invertono i bit sostituendo zero dove c’è uno e viceversa.
• Si somma uno al risultato ottenuto.
• Se la somma risultante eccede il numero di bit previsto, si elimina il bit più significativo.

Per verificare se il numero negativo è stato correttamente convertito basta sommare il numero positivo (in base 2) a quello negativo (in base 2) ed il risultato deve essere zero (sempre considerando che se la somma risultante eccede il numero di bit previsto, si elimina in bit più significativo.

Esempio: per convertire il numero -15₁₀ su cinque cifre binarie; si codifica il valore assoluto del numero (½-15₁₀½ =01111₂); si invertono i bit sostituendo zero dove c’è uno e viceversa (10000₂); si somma uno al risultato ottenuto (10001₂);

La somma non eccede cinque bit e quindi -15₁₀=10001₂.

Verifica: 01111₂+10001₂=100000₂ e, poiché deve essere su cinque cifre si elimina la cifra più significativa e si ottiene 00000₂.

Le rappresentazioni dei numeri in virgola fissa e mobile

Rappresentazione in virgola fissa

La rappresentazione in virgola fissa consiste nel rappresentare qualsiasi numero reale prefissando il numero di cifre per la parte intera e per la parte decimale:

Esempio:  n=6,24 stabilendo che

• 5 CIFRE per la parte intera
• 3 per la parte decimale

il numero si rappresenta come 00006,240

Rappresentazione in virgola fissa – possibili errori nei risultati

• Se vengono condotte operazioni aritmetiche sui numeri rappresentati in virgola fissa può accadere che i risultati eccedano il numero di cifre a disposizione in tal caso si avrà un errore di traboccamento. L’ uso della virgola fissa è sconsigliato per le applicazioni di tipo scientifico.
• Sorgono problemi di risultato specialmente con le operazioni di addizione, moltiplicazione e divisione.

Esempi.

Dati i numeri 87,2 e 976,8  se per la parte intera si prefissano 3 cifre e 1 per le decimali i numeri saranno così rappresentati:

087,2 e 976,8 la loro somma sarà 064,0  invece di 1064,0 perchè  il risultato eccede il numero di cifre intere.

Identica sorte anche se moltiplichiamo i due numeri il risultato sarà 176,9 invece di 85176,96.

Rappresentazione in virgola mobile

La rappresentazione in virgola mobile consiste nel rappresentare qualsiasi numero reale N nella forma:

N = M b^x = ±(C₁ C₂ … C_n) b^±x

Dove M viene detta mantissa di m cifre, b è la base del sistema di numerazione adottato, x è l’esponente, detto caratteristica ed indica di quanti posti deve essere spostata la virgola per ottenere R. La rappresentazione in virgola mobile viene detta normalizzata se la prima cifra della mantissa M è diversa da zero, il che avviene solo se  0.1   ≤  M      < 1  .

Esempi.

Il numero 0,00045 in virgola fissa normalizzata è 0,45^.10^-3  in tal modo sono stati eliminati gli zeri dopo la virgola che non sono significativi.

Altro esempio di numero normalizzato: +0,4521 x 10⁺²

Non normalizzati: 0,004521 x 10⁺⁴     +452,1 x 10^-1

Codifica dei caratteri e dei simboli

I numeri sono convertiti direttamente in binario ma possono essere anche codificati con codici opportuni. I caratteri, invece, devono essere sempre codificati in binario secondo opportuni codici.  Per codificare  i caratteri e tutti i simboli utilizzati nella scrittura, sono stati creati appositi codici binari di conversione.

Viene definito codice una tabella che fa corrispondere ad ogni carattere o simbolo  una stringa di bit:

la codifica è una legge di corrispondenza che associa ad ogni sequenza k di caratteri o simboli del testo originario,

almeno una sequenza di m bit nel testo codificato.

Se si usa sempre un numero fisso di bit (ad es. otto bit), il codice si dice a lunghezza fissa. Il codice Hollerith era un codice a lunghezza fissa (12 bit), esistono anche codici a lunghezza variabile, tipico esempio è il famoso codice Morse che usa punto e linea per codificare i caratteri ed i simboli.  Se si dispone di un solo bit esso può assumere solo due valori (zero o uno) e se associamo ad ogni valore un carattere possiamo associare solo due caratteri ad es. A a zero e B ad uno. Volendo codificare quattro lettere dobbiamo disporre di almeno due bit perché con due bit abbiamo a disposizione quattro combinazioni (00, 01, 10, 11) che sono associabili a quattro caratteri ( ad es. A, B, C, D) e così via.

Codifica giorni

Ipotesi di codifica dei giorni della settimana

Calcolo numero minimo simboli

In generale, detto B il numero dei simboli da utilizzare per le combinazioni, m il numero delle cifre da combinare, il numero C di combinazioni diverse che si vogliono ottenere è dato da:

C = B^m

 Si calcola, facilmente che, per codificare 64  caratteri e simboli  si deve costruire un codice a sei cifre, per  codificare 128 caratteri ci vuole un codice a sette bit e così via. Infatti per calcolare di quanti bit deve essere composto il codice a lunghezza fissa, detto N il numero di caratteri da codificare, il numero di bit necessari sarà dato dal logaritmo in base 2 di N arrotondato per eccesso:

m =  log₂ C

Esempi   Se si vogliono codificare C= 4 caratteri sono sufficienti solo due bit.  Se si desiderano codificare sette caratteri (ad es. i giorni della settimana)  m è uguale a 2,81 che, arrotondato, è uguale a 3, ma con tre  bit si possono formare ben otto configurazioni distinte ed in tal caso il codice è sovrabbondante perché resta una configurazione di bit (111) a cui non corrisponde un giorno della settimana  .

Potenze di 2

Per effettuare il calcolo del numero minimo di bit per la codifica o si ricorre  ai logaritmi oppure alle potenze di 2:

• 2⁰=1
• 2¹=2
• 2²=4
• 2³=8
• 2⁴=16
• 2⁵=32
• 2⁶=64
• 2⁷=128
• 2⁸=256
• etc.

Ad esempio se si vogliono codificare 200 simboli differenti poiché C = B^m , e 200 si colloca tra 2⁷=128 e 2⁸=256 sette bit sono insufficienti perché si codificherebbero solo 128 simboli mentre con otto bit si codificano fino a 256 e, quindi, si devono scegliere otto anche se sono in eccesso le combinazioni di bit. Se si vogliono codificare 32 simboli sono indispensabili proprio cinque bit perchè con cinque bit si possono effettuare 32 combinazioni di bit.

Misure del bit e byte

Ed, infine si riportano le misure del bit/byte e loro mutipli:

1 BYTE = 2³ bit = 8 bit

• KB (kilobyte) 1024¹ = 2¹⁰
• MB (megabyte) 1024² = 2²⁰ (CIRCA 1 MILIONE DI BYTE)
• GB (gigabyte) 1024³ = 2³⁰ (CIRCA 1 MILIARDO DI BYTE)
• TB (terabyte) 1024⁴ = 2⁴⁰ (CIRCA MILLE MILIARDI DI BYTE)
• PB (petabyte) 1024⁵ = 2⁵⁰
• EB (exabyte) 1024⁶ = 2⁶⁰
• ZB (zettabyte) 1024⁷ = 2⁷⁰
• YB (yottabyte) 1024⁸ = 2⁸⁰

Codici

I codici binari a lunghezza fissa oggi più diffusi sono :

• il codice EBCDIC (Extended Binary Coded Decimal Interchange Code) usato oggi nei computer più grandi e potenti;

• il codice ASCII  (American Standard Code for Information Interchange) base (a sette bit) (Tab. 5) ed esteso a otto bit; La  tabella ASCII usa solo sette degli otto bit e lascia l’ottavo come bit di controllo di parità/disparità. Il bit di parità/disparità serve a rendere pari (o dispari) il numero di bit presenti all’interno del byte in modo da poter controllare, in fase di ricezione dei dati, se il carattere è corretto. Ad esempio se il carattere da trasmettere è rappresentato, in sette bit, 1101 000  e quindi sono presenti 3 bit 1 viene aggiunto il bit  1 di parità / 0 di disparità per cui il carattere trasmesso diventa 1101 0001. 

• il codice UNICODE (16 e più bit), in via di affermazione, può rappresentare 49194 caratteri ed è in grado di codificare sia i caratteri moderni che antichi.