Antonio Sforza » 8.Ottimizzazione lineare: Algoritmo del Simplesso - III parte

Schema della lezione

In questa lezione si descrive l’algoritmo del simplesso nel caso che i vincoli del modello non siano tutti del tipo ≤, ma ci sia almeno un vincolo di uguale o di ≥.

Vincoli del tipo = o ≥

Se i vincoli del modello non sono tutti del tipo ≤, ma c’è almeno un vincolo di uguale o di ≥, il sistema di equazioni ottenuto con l’aggiunta delle variabili slack non è in forma canonica e quindi non è possibile determinare immediatamente una prima soluzione basica ammissibile.

Ciò corrisponde geometricamente al fatto che l’origine degli assi non appartiene necessariamente al dominio di ammissibilità, proprio in virtù della presenza di almeno un vincolo di = o di ≥. È allora necessario aggiungere al modello variabili ausiliarie, definite variabili artificiali, al fine di aggiungere le variabili necessarie alla costruzione della matrice identità ottenendo in questo modo un sistema in forma canonica ed una prima soluzione basica ammissibile.

L’aggiunta delle variabili artificiali fa espandere il dominio di ammissibilità. La soluzione basica ammissibile ottenuta con l’aggiunta delle variabili artificiali corrisponde ad un vertice di questo dominio di ammissibilità.

Vincoli del tipo ≤, =, ≥

Dominio esteso

Dominio esteso

Dominio esteso

Dal dominio esteso al dominio originario

L’algoritmo del Simplesso può partire con l’aggiunta delle variabili artificiali, ma per ottenere la soluzione ottima del problema originario è necessario muoversi dal dominio esteso al dominio originario. È necessario quindi eliminare le variabili artificiali.

A tal fine si possono utilizzare due metodi:

• il metodo del Big M
• il metodo delle due fasi