Antonio Sforza » 4.Ottimizzazione non lineare multidimensionale vincolata

Schema della lezione

In questa lezione si presentano i problemi di ottimizzazione multidimensionale caratterizzati da un insieme di relazioni vincolari che definiscono un dominio di ammissibilità delle soluzioni.

Per introdurre l’argomento si aggiungono semplici vincoli lineari al problema già descritto nella lezione sull’ottimizzazione multidimensionale non vincolata.

Si descrive la struttura generale dei metodi di soluzione a direzione ammissibile e si fornisce una rappresentazione grafica delle direzioni ammissibili e di miglioramento.

Si fornisce infine una rappresentazione geometrica delle condizioni di ottimo vincolato, descritte analiticamente nel testo di riferimento.

Rappresentazione grafica della funzione obiettivo I = f (v, g)

Punto di ottimo vincolato

Curve di livello, dominio di ammissibilità e punto di ottimo vincolato

Un esempio di Ottimizzazione Multidimensionale Vincolata

Un’azienda manifatturiera dispone di tre impianti per la produzione di componenti meccanici ottenuti per montaggio di diversi semilavorati. Gli impianti 1 e 2 sono destinati alla produzione dei semilavorati. L’impianto 3 è destinato anche all’assemblaggio.

In seguito ad una innovazione tecnologica l’azienda dispone di ore di lavoro giornaliere residue da destinare a due nuovi prodotti (A e B) di tipo sperimentale: 4 ore nell’impianto 1, 12 nell’impianto 2 e 18 nell’impianto 3. Una unità di prodotto A richiede 1 ora di lavoro nell’impianto 1 e 3 ore di lavoro nell’impianto 3. Una unità di prodotto B richiede 2 ore di lavoro nell’impianto 2 e 2 ore di lavoro nell’impianto 3.

Il profitto unitario dei prodotti A e B, espresso in euro, è variabile con la produzione ed è dato dalle seguenti funzioni lineari, nelle quali x_A e x_B indicano la produzione giornaliera di A e B:

p_A = p_A (x_A) = 126 – 9x_A

p_B = p_B (x_B) = 182 – 13x_B

Modello e analisi grafica

Modello e analisi grafica

Metodi a direzione ammissibile

Per la soluzione di un problema di ottimizzazione vincolata con funzione obiettivo non lineare e vincoli lineari è possibile utilizzare un metodo a direzione ammissibile.

Esso parte da un punto iniziale x₀ ed utilizza la relazione ricorsiva già impiegata nell’algoritmo di discesa ripida: x_k+1=x_k+θ_k d_k

A partire da un generico punto x_k le direzioni di spostamento devono essere di miglioramento, cioè:
(x_k+1) < f (x_k ) per un problema di minimo (x_k+1) > f (x_k ) per un problema di massimo.

ma devono essere anche ammissibili, cioè devono realizzare spostamenti che non fuoriescano dalla regione ammissibile.

Interpretazione geometrica delle direzioni ammissibili e di miglioramento

Percorso di un algoritmo a direzione ammissibile

Direzioni ammissibili e di miglioramento nel punto B

Condizioni necessarie di minimo