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Antonio D'Ambrosio » 13.Analisi della volatilità - Parte settima

In questa lezione

Analisi della volatilità;
Modelli con effetti asimmetrici;
Funzione di impatto delle notizie.

TGARCH

Un semplice modello asimmetrico è il Threshold GARCH (TGARCH), definito da:
$r_t = \mu _t + \varepsilon _t ;{\rm }\varepsilon _t = \sqrt {h_t } \eta _t ;{\rm }\eta _t \bot \sqrt {h_t } ;$

$h_t = \omega + \sum\limits_{i = 1}^p {\alpha _i \varepsilon _{t - p}^2 } + \sum\limits_{i = 1}^q {\beta _i h_{t - i} } + \gamma \delta _{t - 1}^ - \varepsilon _{t - 1}^2$

Dove $\delta _{t - 1}^ -$ è una variabile dummy che vale uno se $\varepsilon_{t - 1} < 0$ .

Nel caso più semplice di un TGARCH(1,1) si ha

$h_t = \omega + \alpha \varepsilon _{t - 1}^2 + \beta h_{t - 1} + \gamma \delta _{t - 1}^ - \varepsilon _{t - 1}^2$ .

TGARCH

E’ immediato verificare che se $\varepsilon_{t - 1} > 0$ si ha

$h_t = \omega + \alpha \varepsilon _{t - 1}^2 + \beta h_{t - 1}$

mentre se $\varepsilon_{t - 1} < 0$ si ottiene

$h_t = \omega + \alpha \varepsilon _{t - 1}^2 + \beta h_{t - 1} + \gamma \delta _{t - 1}^ - \varepsilon _{t - 1}^2 = \omega + \left( {\alpha + \gamma } \right)\varepsilon _{t - 1}^2 + \beta h_{t - 1}$

TGARCH

Il coefficiente γ>0 misura l’effetto differenziato per shock negativi.

Vi è volatilità più elevata se ci sono innovazioni negative e quanto più queste sono “pesanti” (e misurate dal quadrato delle stesse).

E’ possibile testare l’effetto leverage implementato nel modello TGARCH su di una serie storica per mezzo di un test t sul coefficiente γ.

EGARCH

La stima dei coefficienti del modello TGARCH potrebbero violare le condizioni di non negatività (si ricordi che la volatility equation è l’equazione per la varianza condizionata, che per definizione è non negativa).

Nel caso in cui un parametro stimato non appartiene all’insieme dei valori ammissibili, si dovrebbe procedere a stime vincolate imponendo le condizioni che sono alla base del modello.

Nella specificazione del modello asimmetrico EGARCH (Exponential GARCH) non si deve tener conto di questa eventuale possibilità. Infatti per costruzione rende impossibile ottenere varianze negative. Inoltre rende possibile misurare effetti asimmetrici proporzionali all’entità delle innovazioni

EGARCH

Un modello EGARCH(1,1) è scritto come

$r_t = \mu _t + \varepsilon _t ;{\rm }\varepsilon _t = \sqrt {h_t } \eta _t ;{\rm }\eta _t \bot \sqrt {h_t } ;$

$\ln \left( {h_t } \right) = \omega + \alpha \left( {\left| {\eta _{t - 1} } \right| - E\left( {\eta _{t - 1} } \right)} \right) + \gamma \eta _{t - 1} + \beta \ln \left( {h_{t - 1} } \right)$

Se $\eta _t$ si distribuisce normalmente si ha $E\left( {\eta _t } \right) = \sqrt {\frac{2}{\pi }}$ ,

e poiché $\eta _t = \frac{{\varepsilon _t }}{{\sqrt {h_t } }}$

L’espressione diviene

$\ln \left( {h_t } \right) = \omega + \alpha \left( {\frac{{\left| {\varepsilon _{t - 1} } \right|}}{{\sqrt {h_{t - 1} } }} - \sqrt {\frac{2}{\pi }} } \right) + \gamma \frac{{\varepsilon _{t - 1} }}{{\sqrt {h_{t - 1} } }} + \beta \ln \left( {h_{t - 1} } \right)$

Proprietà del modello EGARCH

La non negatività della varianza è assicurata dalla trasformazione esponenziale.

Il modello è stazionario se $0 < \beta < 1$ . La persistenza della volatilità è «caturata» dal termine $\beta \ln \left( {h_{t - 1} } \right)$ .

Il termine $\gamma \eta _{t - 1}$ evidenzia l’effetto asimmetrico del modello.

Funzione di impatto delle notizie

Nel valutare l’effetto leverage consentito dai modelli GARCH, soprattutto asimmetrici, uno strumento utile è costituito dalla funzione di impatto delle notizie (NIC, da News Impact Curve).

La NIC produce un determinato valore di h_t, fissate le altre variabili del modello ai loro valori stazionari.

Pertanto, misurando la reazione della volatilità a realizzazioni delle innovazioni, si è in grado di rappresentare graficamente come le innovazioni si traducono in volatilità.

Funzione di impatto delle notizie

E’ noto che il GARCH è un modello simmetrico. La NIC, per un GARCH(1,1), risulta essere pari a

$\begin{array}{l}NIC^G = A^G + \alpha \varepsilon _{t - 1}^2 ; \\A^G = \omega + \beta \sigma ^2 ; \\\sigma ^2 = \frac{\omega }{{1 - \alpha - \beta }} \\\end{array}$

La NIC per un GARCH(1,1)

NIC per GARCH, TGARCH e EGARCH

Funzione di impatto delle notizie

Un modello TGARCH è, lo sappiamo, un modello asimmetrico. La NIC è data da
$\begin{array}{l}NIC^T = A^T + \alpha \varepsilon _{t - 1}^2 + \gamma \varepsilon _{t - 1}^2 = A^T + \left( {\alpha + \gamma } \right)\varepsilon _{t - 1}^2 {\rm se }\varepsilon _{t - 1} < 0; \\NIC^T = A^T + \alpha \varepsilon _{t - 1}^2 {\rm se }\varepsilon _{t - 1} \ge 0; \\A^T = \omega + \beta \sigma ^2 ; \\ \sigma ^2 = \frac{\omega }{{1 - \alpha - \beta }} \\\end{array}$

La NIC per un TGARCH

Funzione di impatto delle notizie

Per un modello EGARCH la NIC è data da
$\begin{array}{l}NIC^E = A^E \exp \left( {\frac{{\gamma - \alpha }}{\sigma }\varepsilon _{t - 1} } \right){\rm se }\varepsilon _{t - 1} < 0; \\ NIC^E = A^E \exp \left( {\frac{{\gamma + \alpha }}{\sigma }\varepsilon _{t - 1} } \right){\rm se }\varepsilon _{t - 1} \ge 0; \\A^E = \exp \left( {\omega - \alpha \sqrt {\frac{2}{\pi }} } \right)\sigma ^2 ^\beta \\ \end{array}$