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Luigi Paura » 11.Codifica di canale a blocchi


Codifica di canale a blocchi

Sommario:

  • Perché realizzare la codifica.
  • Codici a blocco.
  • Espansione in banda e coding gain.

Perché la codifica

I segnali ortogonali sono affidabili ma non efficienti cioè PM tende a zero, ma W tende ad infinito.

E’ possibile trasmettere con PM tendente a 0 ma con banda W finita? SI, utilizzando ad esempio la codifica di canale

Segnali ortogonali

Segnali ortogonali


Perché la codifica

Esempio

In un sistema digitale si utilizza una potenza P per trasmettere informazione con un tasso R (bit-rate). Il sistema impiega una segnalazione PPM.

Esempio

Esempio


Perché la codifica

Schema dell’esempio

Schema dell'esempio


Perché la codifica

Con ai1 e ai2 (±1) il primo e secondo simbolo binario del blocco (k = 2) di simboli all’ingresso del modulatore.

Schema dell’esempio

Schema dell'esempio


Perché la codifica

Le parole codici più “vicine” differiscono in una sola componente.

Notazione vettoriale

Notazione vettoriale


Perché la codifica

Invece di usare un PPM di dimensionalità due utilizziamo tre segnali ortogonali per trasmettere la coppia (k=2) di simboli di informazione.

Tre segnali ortogonali

Tre segnali ortogonali


Perché la codifica

Ogni parola codice differisce da ogni altra di due componenti.

Notazione vettoriale

Notazione vettoriale


Perché la codifica

Quale vantaggio abbiamo essendo aumentata la banda impegnata?

Il confronto tra le due soluzioni è a parità di energia spesa per la trasmissione dei due bit di informazione.

Vantaggio ottenuto

Vantaggio ottenuto

Confronto tra le soluzioni

Confronto tra le soluzioni


Perché la codifica

La riduzione della probabilità di errore è pagata dall’incremento della banda impegnata e dall’aumento in complessità (presenza del codificatore e del decodificatore).

L’incremento di banda non è esponenziale!!!

Confronto tra le soluzioni

Confronto tra le soluzioni


Codifica a blocchi

Più in generale: ad ogni blocco di k bit di informazione si associa una parola codice di lunghezza n.

Parola codice

Parola codice


Codifica a blocchi

Le parole codice sono sui vertici di un ipercubo di dimensionalità n con spigoli di lunghezza 2√E.

Ipercubo

Ipercubo


Codifica a blocchi

  • Quante parole codice servono?
    • Tante quanti sono i blocchi di informazione cioè M=2k
  • Quante sono le possibili parole codice?
    • Tante quanti sono i vertici dell’ipercubo di dimensionalità n: # possibili parole codice=2n>2k

Codifica a blocchi

  • Scegliere un codice significa selezionare 2k tra le 2n possibili parole codice.
  • Come eseguire questa scelta?
    • In modo che le parole codice siano quanto più differenti tra di loro cioè quanto più i segnali si siano distanti tra di loro.

Codifica a blocchi


Codifica a blocchi

Esempio

Esempio


Codifica a blocchi

Ricordiamo che le prestazioni di un ricevitore ottimo in AWGN possono essere valutate in maniera approssimativa utilizzando la distanza minima euclidea tra i segnali.

Prestazioni di un ricevitore ottimo

Prestazioni di un ricevitore ottimo


Codifica a blocchi

Applicando il bound dell’unione si ottiene la relazione in figura.

Bound dell’unione

Bound dell'unione


Codifica a blocchi

Probabilità di errore

Probabilità di errore


Codifica a blocchi

Se non si effettua codifica tutti i vertici dell’ipercubo di dimensionalità k sono utilizzati.

Codifica non effettuata

Codifica non effettuata


Codifica a blocchi

Confronto tra i bound

Confronto tra i bound


Codifica a blocchi

Poiché Rc<1 (k<n) per un fissato k e n il miglior codice sarà quello che massimizza la distanza minima di Hamming.

Requisiti di banda

  • La durata degli impulsi per la trasmissione del singolo bit quando non si adotta la codifica è 1/R, quindi WSC=R.
  • Quando si adotta la codifica, la durata del singolo impulso per trasmettere il singolo simbolo della parola codice è T (in figura).
Durata del singolo impulso

Durata del singolo impulso


Espansione in banda

Espansione in banda

Espansione in banda


Codifica per canale AWGN

Si può dimostrare che in AWGN esiste una famiglia di codici a blocco (ni, ki) con RC = ki/ni tale che con ni che cresce RC resta fissato e quindi espansione di banda fissata.

La Pe può andare a zero senza una espansione di banda esponenziale come accade per i segnali ortogonali.

Probabilità di errore con banda fissata

Probabilità di errore con banda fissata


Svantaggi della codifica

Come paghiamo questo vantaggio?

In complessità perché la lunghezza del blocco n e quindi k deve crescere.

All’aumentare di k il numero delle parole codice M=2k cresce esponenzialmente e quindi anche la complessità del codificatore e del decodificatore a meno di non imporre al codice ulteriori proprietà (linearità) al fine di ottenere una complessità accettabile.

Tecniche di codifica

  • Codici a blocco lineari
  • Codici a blocco ciclici
  • Codici convoluzionali

Considerazioni conclusive

Riassunto della lezione:

  • Sono stati esposti i vantaggi e gli svantaggi della codifica di canale.
  • Sono stato introdotti i codici a blocco.

Prossima lezione

Codici a blocco lineari

  • Struttura dei codici lineari
  • Codificatore e decodificatore
  • Prestazioni dei codici lineari

I materiali di supporto della lezione

G.Proakis, M.Salehi, “Communication Systems Engineering”, p. 595-601.

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