Luigi Paura » 11.Codifica di canale a blocchi

Perché la codifica

I segnali ortogonali sono affidabili ma non efficienti cioè P_M tende a zero, ma W tende ad infinito.

E’ possibile trasmettere con P_M tendente a 0 ma con banda W finita? SI, utilizzando ad esempio la codifica di canale

Perché la codifica

Esempio

In un sistema digitale si utilizza una potenza P per trasmettere informazione con un tasso R (bit-rate). Il sistema impiega una segnalazione PPM.

Perché la codifica

Con a_i1 e a_i2 (±1) il primo e secondo simbolo binario del blocco (k = 2) di simboli all’ingresso del modulatore.

Perché la codifica

Le parole codici più “vicine” differiscono in una sola componente.

Perché la codifica

Invece di usare un PPM di dimensionalità due utilizziamo tre segnali ortogonali per trasmettere la coppia (k=2) di simboli di informazione.

Perché la codifica

Ogni parola codice differisce da ogni altra di due componenti.

Perché la codifica

Quale vantaggio abbiamo essendo aumentata la banda impegnata?

Il confronto tra le due soluzioni è a parità di energia spesa per la trasmissione dei due bit di informazione.

Perché la codifica

La riduzione della probabilità di errore è pagata dall’incremento della banda impegnata e dall’aumento in complessità (presenza del codificatore e del decodificatore).

L’incremento di banda non è esponenziale!!!

Codifica a blocchi

Più in generale: ad ogni blocco di k bit di informazione si associa una parola codice di lunghezza n.

Codifica a blocchi

Le parole codice sono sui vertici di un ipercubo di dimensionalità n con spigoli di lunghezza 2√E.

Codifica a blocchi

Ricordiamo che le prestazioni di un ricevitore ottimo in AWGN possono essere valutate in maniera approssimativa utilizzando la distanza minima euclidea tra i segnali.

Codifica a blocchi

Applicando il bound dell’unione si ottiene la relazione in figura.

Codifica a blocchi

Se non si effettua codifica tutti i vertici dell’ipercubo di dimensionalità k sono utilizzati.

Codifica a blocchi

Poiché R_c<1 (k<n) per un fissato k e n il miglior codice sarà quello che massimizza la distanza minima di Hamming.

Requisiti di banda

• La durata degli impulsi per la trasmissione del singolo bit quando non si adotta la codifica è 1/R, quindi W_SC=R.
• Quando si adotta la codifica, la durata del singolo impulso per trasmettere il singolo simbolo della parola codice è T (in figura).

Codifica per canale AWGN

Si può dimostrare che in AWGN esiste una famiglia di codici a blocco (n_i, k_i) con R_C = k_i/n_i tale che con ni che cresce R_C resta fissato e quindi espansione di banda fissata.

La P_e può andare a zero senza una espansione di banda esponenziale come accade per i segnali ortogonali.