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Luigi Paura » 5.Trasmissione numerica su canale AWGN


Trasmissione numerica su canale AWGN

Sommario:

  • Introduzione del problema della trasmissione su canale AWGN.
  • Sintesi del ricevitore ottimo (a minima P(e)) per canali AWGN.
  • Strutture del ricevitore ottimo.

Canale AWGN

  • n(t) è un rumore gaussiano bianco con PSD
    • Sn(f) = N0/2
  • sl(t) è un segnale di durata T = k Tb (durata di simbolo) ed energia εm
Schema esplicativo

Schema esplicativo


Ricevitore ottimo

Ricevitore ottimo

Ricevitore ottimo


Ricevitore ottimo in AWGN

  • Si può dimostrare che il ricevitore che prende decisioni indipendenti sui singoli simboli costituenti il messaggio ξ utilizzando il segnale osservato nel corrispondente intervallo di simbolo, cioè âl
  • E’ ottimo se:
    • I simboli (i blocchi di k simboli binari all’ingresso del modulatore) sono statisticamente indipendenti
    • La modulazione è senza memoria
    • Il canale è senza memoria (nel nostro caso è AWGN)
Ricevitore ottimo in AWGN

Ricevitore ottimo in AWGN


Ricevitore ottimo in AWGN

Come scegliere â?

In maniera da minimizzare P{e} = P{ai ≠ â}

Ricevitore ottimo in AWGN

Ricevitore ottimo in AWGN


Ricevitore ottimo in AWGN

Si può mostrare che il ricevitore ottimo è costituito da due sezioni in cascata:

  • Il demodulatore che a partire da r(t) ricava un vettore r=(r1,r2,…rN), dove N è la dimensionalità dello spazio dei segnali trasmessi.
  • Il rivelatore che prende la decisione su quale simbolo è stato trasmesso.

Ricevitore ottimo in AWGN

=> r = (r1,r2,…rN) è sufficiente per prendere la decisione ottima (a minima P(e))

Ricevitore ottimo in AWGN

Ricevitore ottimo in AWGN


Ricevitore ottimo in AWGN

  • Calcoliamo f(r/sm) cioè la pdf del vettore N-dimensionale ricevuto r condizionato alla trasmissione del segnale sm(t) <-> sm
  • Le variabili aleatorie nk e ni sono congiuntamente gaussiane a media nulla e covarianza N0/2δ (k-i).
  • Le variabili aleatorie rk e ri sono congiuntamente gaussiane con medie smk e smi e covarianza N0/2δ (n-i).
Ricevitore ottimo in AWGN

Ricevitore ottimo in AWGN


Ricevitore ottimo in AWGN

Dimostriamo ora che r(t) <-> r è una statistica sufficiente, cioè n’(t) non aggiunge nessuna ulteriore informazione per prendere la decisione sul segnale (simbolo) trasmesso.

Ricevitore ottimo in AWGN

Ricevitore ottimo in AWGN


Ricevitore ottimo in AWGN

Ogni componente rk è incorrelata (e quindi indipendente perché v.a. gaussiane ) da n’(t) => n’(t) può essere ignorata.

Ricevitore ottimo in AWGN

Ricevitore ottimo in AWGN


Ricevitore ottimo in AWGN

Chi è r ?

  • E’ la proiezione di r(t) nello spazio dei segnali {si(t)}Mi=1
  • Lo spazio dei segnali è definito da una base {Ψk(t)}Nk=1 di {si(t)}Mi=1 determinata con la procedura di Gram-Schmidt.

Ricevitore ottimo in AWGN realizzato con correlatori

Ricevitore ottimo in AWGN realizzato con correlatori

Ricevitore ottimo in AWGN realizzato con correlatori


Ricevitore ottimo in AWGN realizzato con filtri adattati

Il correlatore può essere sostituito da un filtro LTI adattato a Ψk (t) seguito da un campionatore che preleva l’uscita all’istante T.

Ricevitore ottimo in AWGN realizzato con filtri adattati

Ricevitore ottimo in AWGN realizzato con filtri adattati

Ricevitore ottimo in AWGN realizzato con filtri adattati

Ricevitore ottimo in AWGN realizzato con filtri adattati


Proprietà del filtro adattato

Dato un segnale s(t) di durata T, il filtro adattato a s(t) è il filtro con h(t) = s(T-t) di durata T e diverso da 0 in (0,T).

Esercizio: Dimostrare che l’uscita del filtro adattato a s(t) è Rs(T-t) quando in ingresso vi è s(t); dimostrare, quindi, che essa è massima in t = T e uguale a εs

Decisione ottima: Criterio MAP

  • Definire una regola di decisione <-> Definire una ripartizione dello spazio di osservazione RN in M regioni Ri di decisione.
  • La ripartizione ottima è quella che minimizza la P(e) cioè massimizza la probabilità di corretta decisione P(c) = 1-P(e).
Decisione ottima: Criterio MAP

Decisione ottima: Criterio MAP


Decisione ottima: Criterio MAP

Criterio a massima probabilità a posteriori

Decisione ottima: Criterio MAP Criterio a massima probabilità a posteriori

Decisione ottima: Criterio MAP Criterio a massima probabilità a posteriori

Criterio a massima probabilità a posteriori

Criterio a massima probabilità a posteriori


Decisione ottima: Criterio MAP

Minimizzare la P(e) equivale a decidere con la regola MAP.

Decisione ottima: Criterio MAP

Decisione ottima: Criterio MAP


Ricevitore ottimo in AWGN

Si dimostra che in AWGN il criterio a Massima Verosimiglianza (MV) diventa un criterio a minima distanza euclidea.

Decisione ottima: Criterio MAP

Decisione ottima: Criterio MAP


Ricevitore ottimo in AWGN

Il rivelatore calcola M=2k distanze e decide per il segnale (e quindi per il simbolo) che è alla distanza minima rispetto a r.

Ricevitore ottimo in AWGN

Ricevitore ottimo in AWGN


Ricevitore ottimo in AWGN

Ricevitore ottimo in AWGN

Ricevitore ottimo in AWGN


Ricevitore ottimo in AWGN

R1 ≡ {r:||r-s1|| ≤ ||r-s2||}

Ricevitore ottimo in AWGN

Ricevitore ottimo in AWGN


Schema ricevitore ottimo per canale AWGN

Schema ricevitore ottimo per canale AWGN

Schema ricevitore ottimo per canale AWGN

Schema ricevitore ottimo per canale AWGN

Schema ricevitore ottimo per canale AWGN


Ricevitore ottimo a correlazione

Ricevitore ottimo a correlazione

Ricevitore ottimo a correlazione

Ricevitore ottimo a correlazione

Ricevitore ottimo a correlazione


Ricevitore ottimo con filtri adattati

Si può dimostrare che i correlatori possono essere sostituiti da filtri adattati.

Ricevitore ottimo con filtri adattati

Ricevitore ottimo con filtri adattati


Segnalazione QAM

Modello dei segnali QAM (Quadrature Amplitude Modulation): in immagine

{Amc} e {Ams} sono gli insiemi delle ampiezze dei segnali tali che ad ogni k-sequenza binaria corrisponde una coppia di ampiezze distinte:

gT(t) = rect[(t-T/2)/T]

Segnalazione QAM

Segnalazione QAM


Esempio: 16 QAM

k = 4 => M = 24 = 16

Esempio: 16 QAM

Esempio: 16 QAM


Considerazioni conclusive

Riassunto della lezione

  • E’ stato introdotto il problema della trasmissione su canale AWGN.
  • Sono stati derivati gli schemi del ricevitore ottimo mediante correlatori e filtri adattati.
  • E’ stato dimostrato che per canali AWGN il criterio MAP coincide con il criterio a minima distanza euclidea.
  • E’ stato introdotto il modello di segnale QAM.

Prossima lezione

Prestazioni del ricevitore ottimo in AWGN

  • Calcolo della della probabilità di errore conseguita dal ricevitore ottimo per schemi di modulazione binari, schemi PAM e per segnalazioni ortogonali.

I materiali di supporto della lezione

G.Proakis, M.Salehi, “Communication Systems Engineering”, p. 370-387.

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