Luigi Paura » 5.Trasmissione numerica su canale AWGN

Canale AWGN

• n(t) è un rumore gaussiano bianco con PSD
  • S_n(f) = N₀/2
• s_l(t) è un segnale di durata T = k T_b (durata di simbolo) ed energia ε_m

Ricevitore ottimo in AWGN

• Si può dimostrare che il ricevitore che prende decisioni indipendenti sui singoli simboli costituenti il messaggio ξ utilizzando il segnale osservato nel corrispondente intervallo di simbolo, cioè â_l
• E’ ottimo se:
  • I simboli (i blocchi di k simboli binari all’ingresso del modulatore) sono statisticamente indipendenti
  • La modulazione è senza memoria
  • Il canale è senza memoria (nel nostro caso è AWGN)

Ricevitore ottimo in AWGN

Come scegliere â?

In maniera da minimizzare P{e} = P{a_i ≠ â}

Ricevitore ottimo in AWGN

=> r = (r₁,r₂,…r_N) è sufficiente per prendere la decisione ottima (a minima P(e))

Ricevitore ottimo in AWGN

• Calcoliamo f(r/s_m) cioè la pdf del vettore N-dimensionale ricevuto r condizionato alla trasmissione del segnale s_m(t) <-> s_m
• Le variabili aleatorie n_k e n_i sono congiuntamente gaussiane a media nulla e covarianza N₀/2δ (k-i).
• Le variabili aleatorie r_k e r_i sono congiuntamente gaussiane con medie s_mk e s_mi e covarianza N₀/2δ (n-i).

Ricevitore ottimo in AWGN

Dimostriamo ora che r(t) <-> r è una statistica sufficiente, cioè n’(t) non aggiunge nessuna ulteriore informazione per prendere la decisione sul segnale (simbolo) trasmesso.

Ricevitore ottimo in AWGN

Ogni componente r_k è incorrelata (e quindi indipendente perché v.a. gaussiane ) da n’(t) => n’(t) può essere ignorata.

Ricevitore ottimo in AWGN realizzato con filtri adattati

Il correlatore può essere sostituito da un filtro LTI adattato a Ψ_k (t) seguito da un campionatore che preleva l’uscita all’istante T.

Decisione ottima: Criterio MAP

• Definire una regola di decisione <-> Definire una ripartizione dello spazio di osservazione R^N in M regioni R_i di decisione.
• La ripartizione ottima è quella che minimizza la P(e) cioè massimizza la probabilità di corretta decisione P(c) = 1-P(e).

Decisione ottima: Criterio MAP

Criterio a massima probabilità a posteriori

Decisione ottima: Criterio MAP

Minimizzare la P(e) equivale a decidere con la regola MAP.

Ricevitore ottimo in AWGN

Si dimostra che in AWGN il criterio a Massima Verosimiglianza (MV) diventa un criterio a minima distanza euclidea.

Ricevitore ottimo in AWGN

Il rivelatore calcola M=2^k distanze e decide per il segnale (e quindi per il simbolo) che è alla distanza minima rispetto a r.

Ricevitore ottimo in AWGN

R₁ ≡ {r:||r-s₁|| ≤ ||r-s₂||}

Ricevitore ottimo con filtri adattati

Si può dimostrare che i correlatori possono essere sostituiti da filtri adattati.

Segnalazione QAM

Modello dei segnali QAM (Quadrature Amplitude Modulation): in immagine

{A_mc} e {A_ms} sono gli insiemi delle ampiezze dei segnali tali che ad ogni k-sequenza binaria corrisponde una coppia di ampiezze distinte:

g_T(t) = rect[(t-T/2)/T]

Esempio: 16 QAM

k = 4 => M = 2⁴ = 16