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Luigi Paura » 6.Prestazioni del ricevitore ottimo su canale AWGN I


Prestazioni del ricevitore ottimo su canale AWGN (prima parte)

Sommario:

  • Calcolo della probabilità di errore per segnalazioni binarie.
  • Calcolo della probabilità di errore per segnalazioni M-PAM.
  • Calcolo della probabilità di errore per segnalazioni ortogonali.

Calcolo della P(e)

  • Dato un ricevitore il calcolo della P(e) si affronta in maniera del tutto generale a partire dalla conoscenza delle regioni di decisione nello spazio RN e di f(r|si) (i=1,2,..,M).
  • Il calcolo richiede in generale la risoluzione di integrali su domini N dimensionali ed, è quindi complicato. Si semplifica se si fanno ipotesi che sono anche di interesse applicativo.
Espressione di P(e)

Espressione di P(e)


Calcolo della P(e)

  • Se i segnali sono equiprobabili otterremo la formula in prima immagine.
  • Se le P(c|si)=P(c) (sono costanti con i), cioè se il ricevitore è a regioni di decisioni congruenti, otterremo la formula in seconda immagine.
Segnali equiprobabili

Segnali equiprobabili

Ricevitore a regioni di decisioni congruenti

Ricevitore a regioni di decisioni congruenti


Segnalazione binaria

Espressione di P(e|s)

Espressione di P(e|s)

Espressione di P(e)

Espressione di P(e)

Grafico esplicativo

Grafico esplicativo


Segnalazione binaria

Se la distanza tra i segnali è d si ottengono le espressioni in figura.

Definizione di P(e) e d2

Definizione di P(e) e d2


Segnali antipodali

La probabilità di errore dipende solo dalla distanza d12 fra i due segnali, quindi, per massimizzare la d12 con il vincolo sulla energia massima εb basta considerare due segnali diametralmente opposti su una circonferenza di raggio √εb.

Distanza d12

Distanza d12

Grafico esplicativo

Grafico esplicativo


Segnalazione ortogonale e on-off

Grafici ed equazioni (segnali ortogonali/on-off)

Grafici ed equazioni (segnali ortogonali/on-off)


Prestazioni del ricevitore ottimo per segnali binari

Grafici ed equazioni (segnali ortogonali/antipodali)

Grafici ed equazioni (segnali ortogonali/antipodali)


Prestazioni del ricevitore ottimo per segnali binari

Si è mostrato nel caso binario che la P(e) dipende solo dalla rappresentazione geometrica dei segnali trasmessi.

Esempio: segnalazioni binarie in banda base e banda traslata.

Equazioni dell’esempio

Equazioni dell'esempio


Prestazioni del ricevitore ottimo per segnali binari

  • Segnali che hanno la stessa rappresentazione geometrica sono equivalenti in termini di prestazioni.
  • Possiamo utilizzare la forma dei segnali per soddisfare altre esigenze ( ad esempio semplicità di generazione dei segnali o ridurre ISI).

Prestazioni del ricevitore ottimo

  • Si può mostrare che questa proprietà vale anche per M>2.
  • Due insiemi di segnali che hanno rappresentazioni geometriche sovrapponibili (con un moto rigido) avranno le stesse prestazioni ottime sono equivalenti cioè i ricevitori MV hanno le stesse prestazioni.
  • Due insieme di segnali equivalenti non hanno lo stesso RX MV ma le stesse prestazioni ottime.

Calcolo della P(e) per segnali PAM

In figura si mostrano le equazioni di sm, am, εav, Pav oltre a un grafico esplicativo.

Calcolo della P(e) per segnali PAM

Calcolo della P(e) per segnali PAM


Calcolo della P(e) per segnali PAM

Per i segnali esterni si verifica un errore per il caso in figura (equazioni e grafico esplicativo).

Grafico esplicativo

Grafico esplicativo

Calcolo per i segnali esterni

Calcolo per i segnali esterni


Calcolo della P(e) per segnali PAM

Per i segnali interni si verifica un errore se la componente di rumore n eccede in ampiezza √εg (in figura equazioni e grafico esplicativo).

Grafico esplicativo

Grafico esplicativo

Calcolo per i segnali interni

Calcolo per i segnali interni


Calcolo della P(e) per segnali PAM

Possiamo esprimere la P(e) in funzione di Eav

Espressione di Eav

Espressione di Eav

Espressione di PM

Espressione di PM


Comportamento della P(e) all’aumentare di M

Per segnalazioni monodimensionali (PAM, ASK) e bidimensionali (MPSK, QAM) all’aumentare di M la PM può essere mantenuta costante aumentando Ebav/N0 -> Non efficienti in potenza

Grafico PAM

Grafico PAM


Calcolo della P(e) per la segnalazione ortogonale

  • Grazie alla simmetria dei segnali il RX MV è un ricevitore a regioni di decisione congruenti (vedi espressione di P(c)).
  • Scegliamo i = 1 cioè trasmettiamo s1
Espressione di sm
Espressione di P(c)
Trasmissione di s1

Calcolo della P(e) per la segnalazione ortogonale

Avendo eseguito (vedi immagine) il cambio di variabile x = r1√(2/N0).

Espressione di P(c)

Espressione di P(c)

Espressione di PM

Espressione di PM


Calcolo della P(e) per la segnalazione ortogonale

Esprimiamo la PM in funzione di SNR/bit cioè εb/N0

Espressione di PM
Espressione di Es
Espressione di PM in funzione di Es

Calcolo della P(e) per la segnalazione ortogonale

  • Per poter confrontare schemi di modulazioni con valori di M diversi conviene convertire la PM in probabilità di errore per bit Pb.
  • Per segnali ortogonali equiprobabili tutti gli errori sul simbolo sono equiprobabili e ricorrono con probabilità pari alla prima immagine.
  • Ci sono (k n) modi con cui n bits su k possono essere in errore. Il numero medio di bit errati è espresso in figura.
Probabilità
Numero medio di bit errati in un blocco
Espressione di Pb

Prestazioni del ricevitore ottimo per segnalazioni ortogonali (AWGN)

M segnali ortogonali

Si nota che, all’aumentare di M si può ottenere una fissata probabilità di errore Pb con un SNR/bit sempre più piccolo ->

Efficienti in potenza

Grafico espicativo (M segnali ortogonali)

Grafico espicativo (M segnali ortogonali)


Considerazioni conclusive

Riassunto della lezione

  • Sono state calcolate le prestazioni del ricevitore ottimo su canale AWGN per segnalazioni binarie.
  • Sono state calcolate le prestazioni del ricevitore ottimo su canale AWGN per segnalazioni M-PAM.
  • Sono state calcolate le prestazioni del ricevitore ottimo su canale AWGN per segnalazioni ortogonali.
  • E’ stato mostrato come le segnalazioni ortogonali, al contrario di quelle mono e bidimensionali, siano efficienti in potenza.

Prossima lezione

Prestazioni del ricevitore ottimo in AWGN II

  • Schemi di modulazione PSK e PSK differenziali
  • Calcolo della della probabilità di errore conseguita dal ricevitore ottimo per segnalazioni QAM
  • Union-bound
  • Confronto tra schemi di modulazione senza memoria

I materiali di supporto della lezione

G.Proakis, M.Salehi, “Communication Systems Engineering”, p. 405-427.

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