Luigi Paura » 6.Prestazioni del ricevitore ottimo su canale AWGN I

Calcolo della P(e)

• Dato un ricevitore il calcolo della P(e) si affronta in maniera del tutto generale a partire dalla conoscenza delle regioni di decisione nello spazio R^N e di f(r|s_i) (i=1,2,..,M).
• Il calcolo richiede in generale la risoluzione di integrali su domini N dimensionali ed, è quindi complicato. Si semplifica se si fanno ipotesi che sono anche di interesse applicativo.

Calcolo della P(e)

• Se i segnali sono equiprobabili otterremo la formula in prima immagine.
• Se le P(c|s_i)=P(c) (sono costanti con i), cioè se il ricevitore è a regioni di decisioni congruenti, otterremo la formula in seconda immagine.

Segnalazione binaria

Se la distanza tra i segnali è d si ottengono le espressioni in figura.

Segnali antipodali

La probabilità di errore dipende solo dalla distanza d₁₂ fra i due segnali, quindi, per massimizzare la d₁₂ con il vincolo sulla energia massima ε_b basta considerare due segnali diametralmente opposti su una circonferenza di raggio √ε_b.

Prestazioni del ricevitore ottimo per segnali binari

Si è mostrato nel caso binario che la P(e) dipende solo dalla rappresentazione geometrica dei segnali trasmessi.

Esempio: segnalazioni binarie in banda base e banda traslata.

Calcolo della P(e) per segnali PAM

In figura si mostrano le equazioni di s_m, a_m, ε_av, P_av oltre a un grafico esplicativo.

Calcolo della P(e) per segnali PAM

Per i segnali esterni si verifica un errore per il caso in figura (equazioni e grafico esplicativo).

Calcolo della P(e) per segnali PAM

Per i segnali interni si verifica un errore se la componente di rumore n eccede in ampiezza √ε_g (in figura equazioni e grafico esplicativo).

Calcolo della P(e) per segnali PAM

Possiamo esprimere la P(e) in funzione di E_av

Comportamento della P(e) all’aumentare di M

Per segnalazioni monodimensionali (PAM, ASK) e bidimensionali (MPSK, QAM) all’aumentare di M la P_M può essere mantenuta costante aumentando E_bav/N₀ -> Non efficienti in potenza

Calcolo della P(e) per la segnalazione ortogonale

• Grazie alla simmetria dei segnali il RX MV è un ricevitore a regioni di decisione congruenti (vedi espressione di P(c)).
• Scegliamo i = 1 cioè trasmettiamo s₁

Calcolo della P(e) per la segnalazione ortogonale

Avendo eseguito (vedi immagine) il cambio di variabile x = r₁√(2/N₀).

Calcolo della P(e) per la segnalazione ortogonale

Esprimiamo la PM in funzione di SNR/bit cioè ε_b/N₀

Calcolo della P(e) per la segnalazione ortogonale

• Per poter confrontare schemi di modulazioni con valori di M diversi conviene convertire la P_M in probabilità di errore per bit P_b.
• Per segnali ortogonali equiprobabili tutti gli errori sul simbolo sono equiprobabili e ricorrono con probabilità pari alla prima immagine.
• Ci sono (k n) modi con cui n bits su k possono essere in errore. Il numero medio di bit errati è espresso in figura.

Prestazioni del ricevitore ottimo per segnalazioni ortogonali (AWGN)

M segnali ortogonali

Si nota che, all’aumentare di M si può ottenere una fissata probabilità di errore P_b con un SNR/bit sempre più piccolo ->

Efficienti in potenza