Vai alla Home Page About me Courseware Federica Living Library Federica Federica Podstudio Virtual Campus 3D Le Miniguide all'orientamento Gli eBook di Federica La Corte in Rete
 
 
Il Corso Le lezioni del Corso La Cattedra
 
Materiali di approfondimento Risorse Web Il Podcast di questa lezione

Luigi Paura » 9.Trasmissione su canale AWGN a banda limitata


Trasmissione su canale AWGN a banda limitata

Sommario:

  • Modello di canale.
  • Trasmissione di segnali PAM su un canale in banda base.
  • Trasmissione di segnali PAM su un canale passa-banda.
  • Cenni sugli spettri dei segnali modulati digitalmente.
  • Progetto di segnalazioni per canali a banda limitata.
  • Cenni sul calcolo della probabilità di errore.
  • Egualizzazione.

Modello di canale a banda limitata

Il canale è modellato come un filtro LTI che porta in conto la limitazione in banda seguito da un sommatore dal quale entra il rumore additivo gaussiano bianco.

Modello di canale a banda limitata

Modello di canale a banda limitata


Modello di canale a banda limitata

Modello di canale a banda limitata

Modello di canale a banda limitata


Modello di canale a banda limitata

Grafico esplicativo

Grafico esplicativo


Modello di canale a banda limitata


Modello di canale a banda limitata

Si noti che in questo caso il filtro è adattato alla componente utile del segnale ricevuto e non al segnale trasmesso. E’ quindi necessario conoscere h(t), o equivalentemente c(t), per costruire il filtro adattato.

SNR in uscita dal filtro

SNR in uscita dal filtro


Modello di canale a banda limitata

Il canale ha introdotto una distorsione lineare:

  • Dispersione temporale perché Th > T
  • Interferenza intersimbolica (ISI)
  • Selettività in frequenza Hi(f) = Si(f) C(f)

Esempio di canale a banda limitata

Determinare il filtro adattato e l’SNR alla sua uscita dati gT(t) e c(t).

Schema dell’esempio

Schema dell'esempio


Esempio di canale a banda limitata

Schema dell’esempio

Schema dell'esempio


Esempio di canale a banda limitata

Determinazione dell’SNR

Determinazione dell'SNR


Esempio di canale a banda limitata

Osserviamo che, essendo il segnale non limitato in banda, solo una parte dell’energia trasmessa viene ricevuta.

Il valore massimo di Eh, e quindi dell’SNR, si otterrà quando W -> ∞

Valore massimo di Eh

Valore massimo di Eh


Esempio di canale a banda limitata

Per ottenere le migliori prestazioni bisogna fare in modo che il supporto della PSD del segnale trasmesso sia contenuto in quello della C(f).

Come si modificano le prestazioni quando si considera la trasmissione della sequenza di simboli ?

Trasmissione di segnali PAM su canali in banda base con limitazione in banda

Lo schema del sistema di comunicazione PAM M–ary è mostrato in figura, dove T=k/Rb è l’intervallo di tempo su cui è trasmesso un singolo impulso, 1/T=Rb/k è il rate per simbolo, Rb è il bit rate, e {an} è la sequenza dei livelli di ampiezza che corrisponde ai blocchi di k bit di informazione.

Schema del sistema di comunicazione PAM M–ary

Schema del sistema di comunicazione PAM M–ary


Trasmissione di segnali PAM su canali in banda base con limitazione in banda

Nel caso in cui il filtro di ricezione sia adattato al segnale h(t), allora l’SNR in uscita da GR(f) sarà massimo in corrispondenza degli istanti di campionamento.

Uscita del canale

Uscita del canale


Trasmissione di PAM su canali AWGN a banda limitata

Per recuperare i valori dei simboli {an} l’uscita y(t) viene campionata periodicamente ogni T secondi.

Determinazione di y(mT)

Determinazione di y(mT)


Interferenza Intersimbolo (ISI)

  • L’ISI è un effetto non desiderato che degrada le prestazioni di un sistema PAM numerico.
  • vm, il rumore additivo, è una v.a. a media nulla, gaussiana, con varianza σn2 = N0Eh/2.
Interferenza Intersimbolo

Interferenza Intersimbolo


Interferenza Intersimbolo (ISI)

  • La sommatoria per n#m rappresenta l’ISI.
  • L’effetto dell’ISI può essere visto su un oscilloscopio, e si ha il cosiddetto “eye pattern“.
  • L’occhio chiuso denota un livello elevato di ISI.
Oscilloscopio

Oscilloscopio


Interferenza Intersimbolo (ISI)

Scegliendo opportunamente il filtro di trasmissione GT(f) e di ricezione GR(f) è possibile soddisfare la condizione xn = 0 per n ≠ 0 eliminando così l’ISI. In quest’ultimo caso a degradare le prestazioni del sistema rimane solo la componente di rumore che, però dipende da GR(f).

Esistono condizioni necessarie e sufficienti per rimuovere l’ISI dette condizioni di Nyquist.

Interferenza Intersimbolo (ISI)

L’analisi ora presentata per segnali in banda base può essere facilmente generalizzata alla trasmissione di segnali in banda traslata, per i quali si ottiene una espressione del tutto equivalente per l’ISI.

Cenni sugli spettri dei segnali modulati digitalmente

Lo spettro di un segnale PAM può essere calcolato trasformando (secondo Fourier) la sua funzione di auto-correlazione.

Spettro di un segnale PAM

Spettro di un segnale PAM


Cenni sugli spettri dei segnali modulati digitalmente

Se am è una sequenza i.i.d. con media ma e varianza σa2 otteniamo Ra(m) e Sa(f).

Spettri dei segnali modulati digitalmente

Spettri dei segnali modulati digitalmente


Cenni sugli spettri dei segnali modulati digitalmente

Se GT(f) ha nulli nei punti m/T (esempio se gT(t)=rect(t/T)) non ci sono righe spettrali !!!

=> Problemi per la sincronizzazione

Spettri dei segnali modulati digitalmente

Spettri dei segnali modulati digitalmente


Cenni sugli spettri dei segnali modulati digitalmente

Per rendere la PSD SV(f) compatibile con i requisiti spettrali del canale si può operare modificando:

  • Sa(f) – Codifica di linea (esempio: Codifica AMI)
  • GT(f) spettro dell’impulso portante gT(t)

Progetto di segnali per canali a banda limitata – (Criterio di Nyquist)

  • L’uscita del canale sarà ym.
  • Per annullare l’ISI è sufficiente che:
    • x(mT-nT) = 0 per m ≠ n
    • x(0) ≠ 0
  • Senza perdere in generalità assumiamo che x(o) = 1
  • Dovrà verificarsi la condizione di x(nT) in figura.
Uscita del canale

Uscita del canale

Condizione da verificare

Condizione da verificare


Progetto di segnali per canali a banda limitata – (Criterio di Nyquist)

Condizione necessaria e sufficiente affinchè si verifichi la condizione espressa in precedenza è che la sua TF X(f) soddisfi la condizione in figura.

Condizione necessaria e sufficiente

Condizione necessaria e sufficiente


Progetto di segnali per canali a banda limitata – (Criterio di Nyquist)

Dimostrazione

Dimostrazione


Progetto di segnali per canali a banda limitata – (Criterio di Nyquist)

Dimostrazione

Dimostrazione


Progetto di segnali per canali a banda limitata – (Criterio di Nyquist)

Se 2W= 1/T allora rep1/TX(f)=T è verificata se e solo se X(f)=rect(fT).

Grafico esplicativo

Grafico esplicativo


Progetto di segnali per canali a banda limitata – (Criterio di Nyquist)

La condizione in figura non può essere verificata se 2W<1/T perché X(f) ha banda 2W.

Condizione da verificare

Condizione da verificare


Progetto di segnali per canali a banda limitata – (Criterio di Nyquist)

Senza aliasing

Senza aliasing

Aliasing

Aliasing


Impulsi a coseno rialzato

  • Un impulso spesso utilizzato per le sue proprietà è il coseno rialzato.
  • La banda occupata dal segnale al di sopra della frequenza di Nyquist 1/2T è detta eccesso di banda ed è espressa in %:
    • α ∈ [0,1] è detto fattore di roll-off
    • α=1/2 => l’eccesso di banda è 50%
Coseno rialzato

Coseno rialzato


Impulsi a coseno rialzato

Grafici del coseno rialzato

Grafici del coseno rialzato


Impulsi a coseno rialzato

N.B. t0 è scelto in modo da assicurare la causalità dei filtri GT e GR.

Impulsi a coseno rialzato

Impulsi a coseno rialzato


Cenni sul calcolo della P(e)

In assenza di ISI l’espressione della P(e) è quella già considerata in AWGN.

Calcolo della P(e)

Calcolo della P(e)

Calcolo della P(e)

Calcolo della P(e)


Cenni sull’egualizzazione

Degradazione dell’SNR

Degradazione dell'SNR


Cenni sull’egualizzazione ZF

  • Se la risposta C(f) del canale non è nota a priori (linea telefonica) e/o essa cambia nel tempo (collegamento radio) bisogna egualizzare in ricezione.
  • Se è solo non nota, in RX possiamo prima misurarla per mettere in cascata al filtro GR(f) un filtro GE(f) (vedi figura).
  • Questo egualizzatore forza l’ISI a zero (Zero-ForcingEqualizer).
Filtro di canale inverso

Filtro di canale inverso


Cenni sull’egualizzazione

Può essere realizzato con un filtro trasversale (Filtro FIR): si assume che solo un numero limitato L di campioni interferisce con il campione utile.

Filtro lineare trasversale

Filtro lineare trasversale


Cenni sull’egualizzazione

  • GE(f) è lo sviluppo in serie di Fourier troncato a 2N+1 termini di una funzione periodica di periodo 1/τ.
  • Si può egualizzare nella banda (-1/2 τ , 1/2 τ).
Sviluppo in serie di Fourier

Sviluppo in serie di Fourier

Egualizzatore a spaziatura

Egualizzatore a spaziatura


Cenni sull’egualizzazione ZF

Cenni sull’egualizzazione ZF

Cenni sull'egualizzazione ZF


Egualizzazione a spaziatura di simbolo

Come determinare i coefficienti cn? Imponendo le condizioni di zero-forcing.

τ = T egualizzatore a spaziatura di simbolo

Condizioni di zero-forcing

Condizioni di zero-forcing


Egualizzazione a spaziatura di simbolo

X•c = q

Sistema lineare in 2N+1 incognite (c-N,…cN) e 2N+1 equazioni (vedi esercizio pag. 544 Proakis-Salehi).

Nota bene: con l’egualizzatore FIR non è possibile egualizzare perfettamente il canale cioè rimuovere completamente l’ISI ma con N che cresce si può ridurre a piacere.

Egualizzazione a spaziatura frazionata

τ = T/2 egualizzatore a spaziatura frazionata

  • In questo caso i campioni all’uscita del filtro di ricezione (filtro adattato) sono presi con passo T/2 cioè a frequenza doppia rispetto al caso dell’egualizzatore a spaziatura di simbolo ⇒ due campioni per simbolo ⇒ intervallo temporale dimezzato a parità di numero di campioni.
  • Possiamo egualizzare in una banda doppia cioè (-1/T,1/T).
  • Campionando l’uscita del filtro di ricezione a frequenza doppia si riesce ad evitare l’aliasing.

Cenni sull’egualizzazione MMSE

MMSE è l’approccio alternativo allo zero-forcing.

Egualizzazione MMSE

Egualizzazione MMSE


Cenni sull’egualizzazione MMSE

Sviluppando i calcoli si ottiene un sistema di 2N+1 equazioni in 2N+1 incognite.

Sviluppo dei calcoli

Sviluppo dei calcoli


Egualizzazione

Bisogna risolvere sia con lo zero-forcing che con l’MMSE un sistema lineare:

  • B•c = d
  • copt= B-1•d

Esistono procedure iterative per evitare l’inversione della matrice B come l’algoritmo del gradiente stocastico detto anche Least Mean Square (LMS).

Considerazioni conclusive

Riassunto della lezione:

  • E’ stato affrontato il problema della trasmissione su canali a banda limitata.
  • E’ stata presentata l’espressione generale per segnale spettralmente correlati.
  • E’ stata dimostrato il criterio di Nyquist per annullare l’ISI introdotta dal canale a banda limitata.
  • Sono stati introdotti i concetti di base relativi all’egualizzazione ZF ed MMSE.

Prossima lezione

Capacità di Canale e Codifica

  • Caratterizzazione del canale
  • Capacità di canale
  • Teorema della codifica di canale (II teorema di Shannon)
  • Capacità per un canale gaussiano
  • Le potenzialità offerte dalla codifica di canale

I materiali di supporto della lezione

G.Proakis, M.Salehi, “Communication Systems Engineering”, p. 474-500.

  • Contenuti protetti da Creative Commons
  • Feed RSS
  • Condividi su FriendFeed
  • Condividi su Facebook
  • Segnala su Twitter
  • Condividi su LinkedIn
Progetto "Campus Virtuale" dell'Università degli Studi di Napoli Federico II, realizzato con il cofinanziamento dell'Unione europea. Asse V - Società dell'informazione - Obiettivo Operativo 5.1 e-Government ed e-Inclusion