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Luigi Paura » 9.Trasmissione su canale AWGN a banda limitata

Trasmissione su canale AWGN a banda limitata

Sommario:

Modello di canale.
Trasmissione di segnali PAM su un canale in banda base.
Trasmissione di segnali PAM su un canale passa-banda.
Cenni sugli spettri dei segnali modulati digitalmente.
Progetto di segnalazioni per canali a banda limitata.
Cenni sul calcolo della probabilità di errore.
Egualizzazione.

Modello di canale a banda limitata

Il canale è modellato come un filtro LTI che porta in conto la limitazione in banda seguito da un sommatore dal quale entra il rumore additivo gaussiano bianco.

Modello di canale a banda limitata

Grafico esplicativo

Modello di canale a banda limitata

Si noti che in questo caso il filtro è adattato alla componente utile del segnale ricevuto e non al segnale trasmesso. E’ quindi necessario conoscere h(t), o equivalentemente c(t), per costruire il filtro adattato.

SNR in uscita dal filtro

Modello di canale a banda limitata

Il canale ha introdotto una distorsione lineare:

Dispersione temporale perché T_h > T
Interferenza intersimbolica (ISI)
Selettività in frequenza H_i(f) = S_i(f) C(f)

Esempio di canale a banda limitata

Determinare il filtro adattato e l’SNR alla sua uscita dati g_T(t) e c(t).

Schema dell'esempio

Esempio di canale a banda limitata

Schema dell'esempio

Esempio di canale a banda limitata

Determinazione dell'SNR

Esempio di canale a banda limitata

Osserviamo che, essendo il segnale non limitato in banda, solo una parte dell’energia trasmessa viene ricevuta.

Il valore massimo di E_h, e quindi dell’SNR, si otterrà quando W -> ∞

Valore massimo di Eh

Esempio di canale a banda limitata

Per ottenere le migliori prestazioni bisogna fare in modo che il supporto della PSD del segnale trasmesso sia contenuto in quello della C(f).

Come si modificano le prestazioni quando si considera la trasmissione della sequenza di simboli ?

Trasmissione di segnali PAM su canali in banda base con limitazione in banda

Lo schema del sistema di comunicazione PAM M–ary è mostrato in figura, dove T=k/R_b è l’intervallo di tempo su cui è trasmesso un singolo impulso, 1/T=R_b/k è il rate per simbolo, R_b è il bit rate, e {a_n} è la sequenza dei livelli di ampiezza che corrisponde ai blocchi di k bit di informazione.

Schema del sistema di comunicazione PAM M–ary

Trasmissione di segnali PAM su canali in banda base con limitazione in banda

Nel caso in cui il filtro di ricezione sia adattato al segnale h(t), allora l’SNR in uscita da G_R(f) sarà massimo in corrispondenza degli istanti di campionamento.

Uscita del canale

Trasmissione di PAM su canali AWGN a banda limitata

Per recuperare i valori dei simboli {a_n} l’uscita y(t) viene campionata periodicamente ogni T secondi.

Determinazione di y(mT)

Interferenza Intersimbolo (ISI)

L’ISI è un effetto non desiderato che degrada le prestazioni di un sistema PAM numerico.
v_m, il rumore additivo, è una v.a. a media nulla, gaussiana, con varianza σ_n² = N₀E_h/2.

Interferenza Intersimbolo

Interferenza Intersimbolo (ISI)

La sommatoria per n#m rappresenta l’ISI.
L’effetto dell’ISI può essere visto su un oscilloscopio, e si ha il cosiddetto “eye pattern“.
L’occhio chiuso denota un livello elevato di ISI.

Oscilloscopio

Interferenza Intersimbolo (ISI)

Scegliendo opportunamente il filtro di trasmissione G_T(f) e di ricezione G_R(f) è possibile soddisfare la condizione x_n = 0 per n ≠ 0 eliminando così l’ISI. In quest’ultimo caso a degradare le prestazioni del sistema rimane solo la componente di rumore che, però dipende da G_R(f).

Esistono condizioni necessarie e sufficienti per rimuovere l’ISI dette condizioni di Nyquist.

Interferenza Intersimbolo (ISI)

L’analisi ora presentata per segnali in banda base può essere facilmente generalizzata alla trasmissione di segnali in banda traslata, per i quali si ottiene una espressione del tutto equivalente per l’ISI.

Cenni sugli spettri dei segnali modulati digitalmente

Lo spettro di un segnale PAM può essere calcolato trasformando (secondo Fourier) la sua funzione di auto-correlazione.

Spettro di un segnale PAM

Cenni sugli spettri dei segnali modulati digitalmente

Se a_m è una sequenza i.i.d. con media m_a e varianza σ_a² otteniamo R_a(m) e S_a(f).

Spettri dei segnali modulati digitalmente

Cenni sugli spettri dei segnali modulati digitalmente

Se G_T(f) ha nulli nei punti m/T (esempio se g_T(t)=rect(t/T)) non ci sono righe spettrali !!!

=> Problemi per la sincronizzazione

Spettri dei segnali modulati digitalmente

Cenni sugli spettri dei segnali modulati digitalmente

Per rendere la PSD S_V(f) compatibile con i requisiti spettrali del canale si può operare modificando:

S_a(f) – Codifica di linea (esempio: Codifica AMI)
G_T(f) spettro dell’impulso portante g_T(t)

Progetto di segnali per canali a banda limitata – (Criterio di Nyquist)

L’uscita del canale sarà y_m.
Per annullare l’ISI è sufficiente che:
- x(mT-nT) = 0 per m ≠ n
- x(0) ≠ 0
Senza perdere in generalità assumiamo che x(o) = 1
Dovrà verificarsi la condizione di x(nT) in figura.

Uscita del canale

Condizione da verificare

Progetto di segnali per canali a banda limitata – (Criterio di Nyquist)

Condizione necessaria e sufficiente affinchè si verifichi la condizione espressa in precedenza è che la sua TF X(f) soddisfi la condizione in figura.

Condizione necessaria e sufficiente

Progetto di segnali per canali a banda limitata – (Criterio di Nyquist)

Dimostrazione

Progetto di segnali per canali a banda limitata – (Criterio di Nyquist)

Dimostrazione

Progetto di segnali per canali a banda limitata – (Criterio di Nyquist)

Se 2W= 1/T allora rep_1/TX(f)=T è verificata se e solo se X(f)=rect(fT).

Grafico esplicativo

Progetto di segnali per canali a banda limitata – (Criterio di Nyquist)

La condizione in figura non può essere verificata se 2W<1/T perché X(f) ha banda 2W.

Condizione da verificare

Progetto di segnali per canali a banda limitata – (Criterio di Nyquist)

Senza aliasing

Aliasing

Impulsi a coseno rialzato

Un impulso spesso utilizzato per le sue proprietà è il coseno rialzato.
La banda occupata dal segnale al di sopra della frequenza di Nyquist 1/2T è detta eccesso di banda ed è espressa in %:
- α ∈ [0,1] è detto fattore di roll-off
- α=1/2 => l’eccesso di banda è 50%

Coseno rialzato

Impulsi a coseno rialzato

Grafici del coseno rialzato

Impulsi a coseno rialzato

N.B. t₀ è scelto in modo da assicurare la causalità dei filtri G_T e G_R.

Impulsi a coseno rialzato

Cenni sul calcolo della P(e)

In assenza di ISI l’espressione della P(e) è quella già considerata in AWGN.

Calcolo della P(e)

Cenni sull’egualizzazione

Degradazione dell'SNR

Cenni sull’egualizzazione ZF

Se la risposta C(f) del canale non è nota a priori (linea telefonica) e/o essa cambia nel tempo (collegamento radio) bisogna egualizzare in ricezione.
Se è solo non nota, in RX possiamo prima misurarla per mettere in cascata al filtro G_R(f) un filtro G_E(f) (vedi figura).
Questo egualizzatore forza l’ISI a zero (Zero-ForcingEqualizer).

Filtro di canale inverso

Cenni sull’egualizzazione

Può essere realizzato con un filtro trasversale (Filtro FIR): si assume che solo un numero limitato L di campioni interferisce con il campione utile.

Filtro lineare trasversale

Cenni sull’egualizzazione

G_E(f) è lo sviluppo in serie di Fourier troncato a 2N+1 termini di una funzione periodica di periodo 1/τ.
Si può egualizzare nella banda (-1/2 τ , 1/2 τ).

Sviluppo in serie di Fourier

Egualizzatore a spaziatura

Cenni sull’egualizzazione ZF

Cenni sull'egualizzazione ZF

Egualizzazione a spaziatura di simbolo

Come determinare i coefficienti c_n? Imponendo le condizioni di zero-forcing.

τ = T egualizzatore a spaziatura di simbolo

Condizioni di zero-forcing

Egualizzazione a spaziatura di simbolo

X•c = q

Sistema lineare in 2N+1 incognite (c_-N,…c_N) e 2N+1 equazioni (vedi esercizio pag. 544 Proakis-Salehi).

Nota bene: con l’egualizzatore FIR non è possibile egualizzare perfettamente il canale cioè rimuovere completamente l’ISI ma con N che cresce si può ridurre a piacere.

Egualizzazione a spaziatura frazionata

τ = T/2 egualizzatore a spaziatura frazionata

In questo caso i campioni all’uscita del filtro di ricezione (filtro adattato) sono presi con passo T/2 cioè a frequenza doppia rispetto al caso dell’egualizzatore a spaziatura di simbolo ⇒ due campioni per simbolo ⇒ intervallo temporale dimezzato a parità di numero di campioni.
Possiamo egualizzare in una banda doppia cioè (-1/T,1/T).
Campionando l’uscita del filtro di ricezione a frequenza doppia si riesce ad evitare l’aliasing.

Cenni sull’egualizzazione MMSE

MMSE è l’approccio alternativo allo zero-forcing.

Egualizzazione MMSE

Cenni sull’egualizzazione MMSE

Sviluppando i calcoli si ottiene un sistema di 2N+1 equazioni in 2N+1 incognite.

Sviluppo dei calcoli

Egualizzazione

Bisogna risolvere sia con lo zero-forcing che con l’MMSE un sistema lineare:

B•c = d
c_opt= B^-1•d

Esistono procedure iterative per evitare l’inversione della matrice B come l’algoritmo del gradiente stocastico detto anche Least Mean Square (LMS).

Considerazioni conclusive

Riassunto della lezione:

E’ stato affrontato il problema della trasmissione su canali a banda limitata.
E’ stata presentata l’espressione generale per segnale spettralmente correlati.
E’ stata dimostrato il criterio di Nyquist per annullare l’ISI introdotta dal canale a banda limitata.
Sono stati introdotti i concetti di base relativi all’egualizzazione ZF ed MMSE.