Modelli integrati di simulazione, Francesco Giannino « Modellistica degli Ecosistemi « Agraria

Indice della lezione

Introdurre il concetto di modelli integrati nello spazio e nel tempo (processi diffusivi e conduttivi), nuovo sistemi di modellizzazione e di analisi dei sistemi complessi.

Introduzione al problema

Modelli matematici di fenomeni ambientali nello spazio

Modelli dinamici a parametri distribuiti (Integrated Spatial Processes o modelli integrati): sono modelli in cui le grandezze incognite della cella sono funzioni del tempo e dipendono anche dai valori delle grandezze nelle celle adiacenti (cfr. processi laterali).

Esempi di questi modelli sono ad esempio i processi diffusivi (diffusione del calore, diffusione di fluidi, ecc), convettivi (trasporto di sedimenti, erosione, ecc.) e processi descritti da regole di avanzamento temporale (anche empiriche) come potrebbe essere la propagazione di un incendio in base alle caratteristiche del suolo e della vegetazione nelle celle adiacenti.

Modello integrato: un esempio

In figura è riportato un esempio di modello integrato. Il modello è ottenuto attraverso diversi sottomodelli che considerano diversi processi (incendio, vegetazione, distribuzione animali, idrologia) implementatati con diverse matematiche (PDE-processi spaziali, ODE-modelli pixel, probabilità). Inoltre i diversi sottomodelli possono essere scritti in linguaggi e software diversi, ma integrati in un unico ambiente di simulazione.

Schema di un modello integrato

Modelli algebrici

In un modello algebrico, le grandezze incognite non dipendono dal tempo. Inoltre, ogni cella della griglia è indipendente dalle altre e le grandezze incognite vengono calcolate in funzione delle sole proprietà note della cella in questione.

Matematicamente parlando, le grandezze incognite nella cella sono esprimibili mediante funzioni elementari delle grandezze note della cella. Dunque, le equazioni conseguenti sono algebriche.

Modello pixel

Modelli dinamici a parametri concentrati: sono modelli in cui le grandezze incognite evolvono nel tempo ma, come nei modelli algebrici, ogni cella è indipendente dalle altre. Quindi, l’evoluzione temporale delle grandezze incognite della cella dipende dai valori precedenti di tali grandezze e dalle proprietà note della cella stessa. Per avere un esempio semplice, si potrebbe pensare che ogni cella descriva lo stato di crescita di una pianta in funzione delle caratteristiche del suolo in quella cella. nell’ipotesi che le piante non interagiscano tra di loro. Tale ipotesi potrebbe essere realistica se le piante fossero sufficientemente distanti tra loro. Questi modelli a parametri concentrati portano alla formulazione matematica nella forma di equazioni differenziali ordinarie. Tipici modelli a parametri concentrati sono quelli realizzabili con il software SIMILE.

Modello spaziali: processi diffusivi

I processi diffusivi possono essere efficacemente descritti dalla classica equazione di diffusione (equazione 1), nella quale u(x,y) è la grandezza incognita che evolve nel tempo e c(x,y)c è una proprietà fisica, definita sul dominio rettangolare, che è un indice della rapidità con cui la quantità u diffonde.

Equazione del processi diffusivi

Modello spaziali: processi convettivi

Semplici processi convettivi possono essere invece descritti dalla classica equazione di trasporto (equazione 1), nella quale u(x,y) è l’incognita e v(x,y) ha il ruolo del campo vettoriale sulle cui linee la specie u viene trasportata. Per intenderci, in un modello che schematizza il trasporto di sedimenti, il campo v potrebbe rappresentare la velocità del vento in ogni cella della griglia.

Accanto ai processi descritti sopra, vale la pena di citare i processi che descrivono il moto dei fluidi (ad es. aria, acqua, ecc.). Notevoli applicazioni di questi modelli possono ad esempio servire a studiare il cambiamento delle correnti in un fiume dovuto alla costruzione di una diga, la distribuzione delle velocità del vento in aree geografiche, studio delle correnti marine e fenomeni meteorologici. Tali processi ad oggi vengono studiati mediante le equazioni di Navier-Stokes, problema per nulla facile dal punto di vista matematico, che descrivono l’evoluzione temporale del campo di velocità di un fluido in un dominio.

Equazione del processi convettivi

Modello probabilistici

Sono modelli in cui si descrive la distribuzione di probabilità di una grandezza nella cella, come ad esempio la probabilità di inizio di un incendio, in funzione delle proprietà fisiche della cella stessa (cfr. modelli a parametri concentrati), o delle celle vicine (cfr. modelli a parametri distribuiti). Tali modelli possono essere statici (il calcolo è relativo ad un solo istante di tempo come nei modelli algebrici) o dinamici, ovvero descrivere l’evoluzione nel tempo della distribuzione di probabilità di una grandezza, dando luogo a modelli matematici costituiti da equazioni differenziali stocastiche.

Sistema integrato di modellizzazione: i modelli

La figura mostra una rappresentazione concettuale della logica e delle relazioni tra i diversi processi considerati nel software 5D. Alcuni modelli possono operare all’interno di celle singole (pixel model), mentre altri si applicano a gruppi di celle (object model). I modelli possono essere sia spazialmente distribuiti ma con nessuna influenza dalle celle adiacenti (processi locali) o connessi ai vicini (processi laterale-spatial model).

In conclusione il sistema è in grado di gestire diversi operatori matematici:

Calcoli algebrici senza dipendenza dal tempo.
Equazioni differenziali ordinarie (ODE) con variabili di stato che cambiano nel tempo.
Equazioni differenziali alle derivate parziali (PDE) con variabili di stato che cambiano nel tempo e nello spazio.
Funzioni di probabilità.

Rappresentazione logica dei diversi tipi di modelli in 5D

Sistema integrato di modellizzazione: i dati

Nel software, l’output di un modello può essere utilizzato come input di un altro modello. Diversi tipi di dati possono essere utilizzati nel costruzione del modello: parametri (dati che non cambiano nel tempo), serie di dati (dati di serie temporali), mappe continue (pixel con numeri reali su scala continua), mappe classificate (pixel associati a una categoria di dati).

Tipi dati in 5D

Sistema integrato di modellizzazione: i software

Il software 5D è in grado di integrare le diverse classi e tipi di modelli attraverso un sistema di interfaccia e di scambio dati. Infatti l’architettura del sistema è in grado di caricare componenti di altri software che utilizzano la tecnologia COM e di coordinare con un scheduler le loro attivazione durante la simulazione. Ad esempio, SIMILE è utilizzato per rappresentare processi locali mentre Matlab può essere utilizzato per risolvere un processo spaziale.

Integrazione di software in 5D

La nostra “filosofia”

La nostra filosofia: sistemi complessi possono essere descritti da semplici processi, con la complessità che deriva come proprietà emergente della loro integrazione.

Applicazioni: soil water moisture

Applicazioni: radiazione solare e traspirazione

Modello della radiazione solare (Iqbal, 1983) implementato in 5D, che utilizza le coordinate di latitudine e longitudine del sito, pendenza e aspect, giorno e ora del giorno per calcolare la radiazione ricevuta da ogni cella della mappa, a seconda della sua esposizione topografica.