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Francesco Giannino » 14.Modelli Suscettibili - Infetti - Rimossi (SIR)


Indice della lezione

Introduzione ai modelli di epidemiologia, in particolare ai modelli a tre comparti: Suscettibili, Infetti e Rimossi.

Implementazione del modello dinamico.

Introduzione

Motivazioni

Le problematiche relative alla diffusione di numerose forme di influenza più o meno virulente ha assunto negli ultimi anni grande importanza negli studi scientifici e nell’opinione pubblica. In particolare sono sotto la lente d’ingrandimento i fenomeni epidemiologici legati a mutazioni di virus in altre forme (ceppi) legate al tipo principale ma in grado di modificare le proprie caratteristiche e di contagiare individui diversi dal target originale.

E’ ciò che è successo, ad esempio, per l’influenza H5N1 ad Hong Kong originariamente presente in una specie di uccelli e trasmessasi infine all’uomo.

schema rappresentativo della possibile diffusione di malattia animale/uomo

schema rappresentativo della possibile diffusione di malattia animale/uomo


Introduzione

Epidemiologia ai tempi della SARS

Recentemente la matematica applicata ha dato una grande mano alla biologia e all’epidemiologia attraverso l’implementazione di modelli di diffusione virale tali da studiare e prevedere gli effetti di un possibile scoppio epidemico e delle difese attuabili da enti sanitari, nazioni ed organizzazioni internazionali.

Questo tipo di analisi è stato ad esempio largamente usato in Canada durante l’emergenza sanitaria accorsa in seguito alla diffusione del noto virus SARS.

Ai progressi e ai risultati ottenuti in questo campo l’autorevole rivista Science ha dedicato un intero fascicolo nel mese di febbraio 2004.

Modelli SIR

Per modellizare la diffusione delle malattie o di una epidemia, la popolazione deve suddivisa in diverse classi, in funzione delle caratteristiche principali che sono rilevanti per l’infezione in esame. Ad esempio, per la maggior parte delle comuni malattie infantili ha senso dividere la popolazione in quelle che sono sensibili alla malattia (S), quelli che sono infetti (I) e di quelli che hanno recuperato e sono immuni (R) (figura 1).

La figura 2 mostra la dinamica di S (linea), I (puntini) e R (linea in grassetto) per il morbillo.

Figura 1: schema del modello SIR

Figura 1: schema del modello SIR

Figura 2: dinamica del morbillo rappresentata da un modello SIR

Figura 2: dinamica del morbillo rappresentata da un modello SIR


Modelli SIR e sistemi dinamici

In una rappresentazione schematica dei modelli SIR in Simile, ogni classe della popolazione equivale ad un compartimento, con dei flussi che “traducono” il processo di contagio e guarigione.

Rappresentazione del modello SIR in SIMILE

Rappresentazione del modello SIR in SIMILE


Modelli ed epidemiologia

Il modello SIR è solo uno delle diverse schematizzazione matematiche della diffusione di malattie, infatti esistono diverse epidemie che si propagano all’interno della popolazione in funzione di altre classi.

Tra questi modelli ricordiamo:

SEIR: suscettibili, esposti, infetti, rimossi. Per molte importanti infezioni vi è un significativo periodo di tempo durante il quale l’individuo è stato infettato, ma non è ancora infettivo. Durante questo periodo latente l’individuo è nel compartimento E (per esposti).

MSIR: M-immuni, suscettibili, esposti, infetti, rimossi. Per molte infezioni, incluso il morbillo, i bambini non “nascono” nel comparto suscettibili, ma sono immuni alla malattia per i primi mesi di vita a causa di protezione da anticorpi materni. Questa sistema può essere modellizato da un nuovo compartimento M-immuni (immunità di origine materna) all’inizio del modello.

SIS: suscettibili, infetti, suscettibili. Alcune infezioni, come ad esempio il gruppo dei responsabili del comune raffreddore, non conferisce alcun immunità di lunga durata. Tali infezioni non hanno il compartimento rimossi e gli individui diventano sensibili nuovamente dopo l’infezione.

Modello SIR senza dinamica vitale

Un unico focolaio epidemico di solito è molto più rapido rispetto alla dinamica vitale di una popolazione, quindi, se l’obiettivo è quello di studiare le conseguenze immediate di un unico epidemia, si può trascurare i processi di nascita-morte. In questo caso il sistema SIR può essere espresso delle equazioni differenziali in figura 1.

Dove:

  • il tasso di transizione tra S e I è dato pI, dove p è il tasso di contatto, cioè la probabilità di ottenere la malattia in un contatto tra sensibili e infettive;
  • il tasso di transizione tra il I e R è ν, semplicemente il tasso di recupero.

Questo modello è stato per la prima volta proposto dalla O. Kermack e Anderson McKendrick Gray, che aveva lavorato con il premio Nobel e padre della matematica epidemiologia Ronald Ross

Figura 1: semplice schema matematico del modello SIR

Figura 1: semplice schema matematico del modello SIR


Modello SIR senza dinamica vitale: risultati

Risultato della simulazione del modello SIR con valori iniziali di S=100 (blu), I=10 (rosso), R=0 (verdi) e tasso di contagio p=0.01 e tasso di rimossi q=0.5

Risultato della simulazione del modello SIR con valori iniziali di S=100 (blu), I=10 (rosso), R=0 (verdi) e tasso di contagio p=0.01 e tasso di rimossi q=0.5


I materiali di supporto della lezione

Modello SIR implementato in Simile

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