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Massimo Martorelli » 4.Le curve polinomiali cubiche: metodo di Hermite


Argomenti della lezione

  • Le curve polinomiali cubiche:
    - Rappresentazione geometrica (metodo di Hermite)
  • Funzioni di miscelamento
  • Limiti delle curve di Hermite

Vettore tangente

p^{u}(u)=\frac{dp}{du}

\left\{ \begin{array}{c} x^{u}=\frac{dx}{du}\\ y^{u}=\frac{dy}{du}\\ z^{u}=\frac{dz}{du}\end{array}\right

Vettore tangente alla curva in un punto

Vettore tangente alla curva in un punto


Risoluzione nella forma di Hermite

Dato il sistema di equazioni:

\begin{cases} \begin{array}{c} p(u)=a_{0}+a_{1}u+a_{2}u^{2}+a_{3}u^{3}\\ p^{u}(u)=a_{1}+2a_{2}u+3a_{3}u^{2}\end{array}\end{cases}

Conu\epsilon\left[0,1\right]

Metodo di Hermite:
Sono noti i 2 punti estremi della curva (2×3=6 condizioni)
p(u=0)=p0 e p(u=1)=p1

e le loro tangenti (2×3=6 condizioni)
pu(u=0)=pu0 e pu(u=0)=pu0

Charles Hermite. Fonte: History

Charles Hermite. Fonte: History


Risoluzione nella forma di Hermite

\begin{cases} \begin{array}{c} p(0)=p_{0}=a_{0}\\ p(1)=p_{1}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}\\ p^{u}(0)=p_{0}^{u}=a_{1}\\ p^{u}(1)=p_{1}^{u}=a_{1}+2a_{2}+3a_{3}\end{array}\end{cases}

da cui:

\begin{cases} \begin{array}{c} a_{0}=p_{0}\\ a_{1}=p_{0}^{u}\\ a_{2}=-3p_{0}+3p_{1}-2p_{0}^{u}-p_{1}^{u}\\ a_{3}=2p_{0}-2p_{1}+p_{0}^{u}+p_{1}^{u}\end{array}\end{cases}

Funzioni di Miscelamento

Sostituendo nell’equazione di una curva polinomiale cubica:

p(u)=a_{0}+a_{1}u+a_{2}u^{2}+a_{3}u^{3}\\

si ha:

p(u)=(2u^{3}-3u^{2}+1)p_{0}+(-2u^{3}+3u^{2})p_{1}+(u^{3}-2u^{2}+u)p_{0}^{u}+(u^{3}-u^{2})p_{1}^{u}

ponendo:
\left\{ \begin{array}{c}F_{1}(u)=2u^{3}-3u^{2}+1\\F_{2}(u)=-2u^{3}+3u^{2}\\F_{3}(u)=u^{3}-2u^{2}+u\\F_{4}(u)=u^{3}-u^{2}\end{array}\

si ottiene:

p(u)=F_{1}(u)p_{0}+F_{2}(u)p_{1}+F_{3}(u)p_{0}^{u}+F_{4}(u)p_{1}^{u}

dove :
F_{i}(u): Funzioni di Miscelamento o Blending Functions o Funzioni della base di Fergusson

p0, p1, pu0, pu1 : Coefficienti Geometrici

Forma matriciale delle curve p.c.

Forma matriciale di una curva polinomiale cubica:

p(u) = F B

dove:

F = [F1(u) F2(u) F3(u) F4(u)] Matrice delle funzioni di miscelamento o delle basi di Fergusson

B = [p0 p1 pu0 pu1]T Matrice dei coefficienti geometrici

Forma matriciale delle curve p.c.

Si può porre:

F = U M

Da cui:

p(u) = F B = U M B

p(u) = \left[u^{3}u^{2}u1\right]\left[\begin{array}{cccc} 2 & -2 & 1 & 1\\ -3 & 3 & -2 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c} p_{0}\\ p_{1}\\ p_{0}^{u}\\ p_{1}^{u}\end{array}\right]

Funzioni di Miscelamento

Funzioni di Miscelamento

Funzioni di Miscelamento


Limiti delle curve di Hermite

  • Controllo non sempre intuitivo della forma
  • Non è semplice controllare la curvatura solo attraverso i punti di interpolazione
  • L’uso di punti e vettori tangenti non è adeguato per l’input interattivo
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