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Massimo Martorelli » 4.Le curve polinomiali cubiche: metodo di Hermite

Argomenti della lezione

Le curve polinomiali cubiche:
- Rappresentazione geometrica (metodo di Hermite)
Funzioni di miscelamento
Limiti delle curve di Hermite

Vettore tangente

$p^{u}(u)=\frac{dp}{du}$

$\left\{ \begin{array}{c} x^{u}=\frac{dx}{du}\\ y^{u}=\frac{dy}{du}\\ z^{u}=\frac{dz}{du}\end{array}\right$

Vettore tangente alla curva in un punto

Risoluzione nella forma di Hermite

Dato il sistema di equazioni:

$\begin{cases} \begin{array}{c} p(u)=a_{0}+a_{1}u+a_{2}u^{2}+a_{3}u^{3}\\ p^{u}(u)=a_{1}+2a_{2}u+3a_{3}u^{2}\end{array}\end{cases}$

Con $u\epsilon\left[0,1\right]$

Metodo di Hermite:
Sono noti i 2 punti estremi della curva (2×3=6 condizioni)
p(u=0)=p₀ e p(u=1)=p₁

e le loro tangenti (2×3=6 condizioni)
p^u(u=0)=p^u₀ e p^u(u=0)=p^u₀

Charles Hermite. Fonte: History

Risoluzione nella forma di Hermite

$\begin{cases} \begin{array}{c} p(0)=p_{0}=a_{0}\\ p(1)=p_{1}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}\\ p^{u}(0)=p_{0}^{u}=a_{1}\\ p^{u}(1)=p_{1}^{u}=a_{1}+2a_{2}+3a_{3}\end{array}\end{cases}$

da cui:

$\begin{cases} \begin{array}{c} a_{0}=p_{0}\\ a_{1}=p_{0}^{u}\\ a_{2}=-3p_{0}+3p_{1}-2p_{0}^{u}-p_{1}^{u}\\ a_{3}=2p_{0}-2p_{1}+p_{0}^{u}+p_{1}^{u}\end{array}\end{cases}$

Funzioni di Miscelamento

Sostituendo nell’equazione di una curva polinomiale cubica:

$p(u)=a_{0}+a_{1}u+a_{2}u^{2}+a_{3}u^{3}\\$

si ha:

$p(u)=(2u^{3}-3u^{2}+1)p_{0}+(-2u^{3}+3u^{2})p_{1}+(u^{3}-2u^{2}+u)p_{0}^{u}+(u^{3}-u^{2})p_{1}^{u}$

ponendo:
$\left\{ \begin{array}{c}F_{1}(u)=2u^{3}-3u^{2}+1\\F_{2}(u)=-2u^{3}+3u^{2}\\F_{3}(u)=u^{3}-2u^{2}+u\\F_{4}(u)=u^{3}-u^{2}\end{array}\$

si ottiene:

$p(u)=F_{1}(u)p_{0}+F_{2}(u)p_{1}+F_{3}(u)p_{0}^{u}+F_{4}(u)p_{1}^{u}$

dove :
$F_{i}(u)$ : Funzioni di Miscelamento o Blending Functions o Funzioni della base di Fergusson

p₀, p₁, p^u₀, p^u₁ : Coefficienti Geometrici

Forma matriciale delle curve p.c.

Forma matriciale di una curva polinomiale cubica:

$p(u) = F B$

dove:

F = [F₁(u) F₂(u) F₃(u) F₄(u)] Matrice delle funzioni di miscelamento o delle basi di Fergusson

B = [p₀ p₁ p^u₀ p^u₁]T Matrice dei coefficienti geometrici

Forma matriciale delle curve p.c.

Si può porre:

F = U M

Da cui:

$p(u) = F B = U M B$

$p(u) = \left[u^{3}u^{2}u1\right]\left[\begin{array}{cccc} 2 & -2 & 1 & 1\\ -3 & 3 & -2 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c} p_{0}\\ p_{1}\\ p_{0}^{u}\\ p_{1}^{u}\end{array}\right]$

Funzioni di Miscelamento

Limiti delle curve di Hermite

Controllo non sempre intuitivo della forma
Non è semplice controllare la curvatura solo attraverso i punti di interpolazione
L’uso di punti e vettori tangenti non è adeguato per l’input interattivo