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Domenico Pirozzi » 1.Bioreattori discontinui - Parte prima

Fermentatori

Tipologie di fermentatori
Si definisce Bioreattore un reattore in cui è possibile realizzare un processo chimico utilizzando organismi viventi o sostanze biochimicamente attive da essi derivate.

Un Bioreattore utilizzato per la coltura di microorganismi si dice Fermentatore.
Le principali modalità di impiego dei fermentatori sono elencate di seguito.

Fermentatori discontinui (Batch Fermenters)
Fermentatori continui (Continuous Fermenters)

fermentatori continui miscelati (Continuous Stirred Tank Fermenters)
fermentatori continui con flusso a pistone (Continuous Plug Flow Fermenters)

Fermentatori semicontinui (Fed-batch Fermenters)

Modello di Monod

Il modello di Monod è il modello cinetico più frequentemente utilizzato per descrivere la crescita microbica.

Se la velocità di crescita dei microorganismi è influenzata dalle concentrazioni di più nutrienti (S₁,S₂,…S_n), è necessario utilizzare la sua formulazione più generale:

$\mu_{max}=\frac{S_1}{S_1+K_{M1}}~\frac{S_2}{S_2+K_{M2}}~\frac{S_3}{S_3+k_{M3}}~...~\frac{S_n}{S_n+K_{Mn}}~~~[1]$

[h^-1] velocità di crescita specifica della biomassa

S_i [g lt^-1] concentrazione del nutriente i-esimo

μ_max [h^-1] valore massimo della velocità di crescita specifica

K_M[g lt^-1]costante di Monod per il nutriente i-esimo

Il modello [1] si riduce alla forma [2] se tutti i nutrienti tranne uno sono in concentrazione saturante (S_i >> K_Mi), rendendo così meno complessi i calcoli per la progettazione ed il controllo dell’impianto.

$\mu=\mu_{max}\frac S{S+K_M}~~~~~[2]$

Figura 1 – Rappresentazione grafica del modello di Monod con un unico nutriente cineticamente limitante. Il parametro μ_max rappresenta il valore asintotico raggiunto da μ al crescere di S. Il parametro K_M rappresenta il valore di S in corrisponenza del quale μ = μ_max/2.

Modello di Monod (segue)

$x=\mu_{max}\frac{S}{S+K_{M}}~~~~~[2]$

I parametri μ_max e K_M dipendono dalle condizioni operative.
Valori elevati di μ_max corrispondono ad una cinetica di crescita più rapida dei microorganismi.
Valori elevati di K_M corrispondono ad un aumento più contenuto di μ al crescere di S.

Effetto del parametro K_M (valore di S in corrispondenza del quale μ = μ_max/2) .

Effetto del parametro μ_max (valore asintotico della velocità di crescita specifica)‏

Fermentatori discontinui

Vantaggi dei fermentatori discontinui:

versatilità: adattabili a produzioni stagionali
facilità di sterilizzazione del reattore e dei nutrienti
rischio di mutazioni genetiche ridotto, essendo limitata la durata dei cicli produttivi
adatti per processi con crescita di biomassa lenta o nulla

Svantaggi dei fermentatori discontinui

brevità dei cicli produttivi: costi di gestione più elevati, problemi di sicurezza
tempi morti: svuotamento, pulizia, riempimento, sterilizzazione, fase lag
la variabilità nel tempo della composizione del terreno di coltura complica l’ottimizzazione delle condizioni operative ed il controllo dell’impianto

Figura 2 - Schema di un reattore discontinuo.

Modello matematico

Bilancio sulla biomassa

$V \frac{dX}{dt}=V \mu X~~~~[3]$

V [lt] volume del reattore
X [g lt^-1] concentrazione della biomassa
μ [h^-1] velocità di crescita specifica

eliminando V, ed esprimendo μ attraverso il modello di Monod [2], si ottiene:

$\frac{dX}{dt}=\mu_{max}\frac{S}{S+K_{M}} X~~~~[4]$

S [g lt^-1] concentrazione del nutriente cineticamente limitante

Il processo di crescita dei microorganismi è autocatalitico. Infatti, il bilancio sulla biomassa [4] dimostra che la velocità di crescita dei microorganismi è funzione non solo della concentrazione del nutriente (S), ma anche della concentrazione della biomassa stessa (X).

Modello matematico (segue)

Bilancio sul nutriente

Noti i parametri cinetici μ_max e K_M, il bilancio sulla biomassa [4] fornisce un’equazione differenziale nelle incognite X(t) e S(t).

La determinazione dei profili X(t) e S(t) richiede una seconda equazione differenziale, che si può ottenere scrivendo il bilancio sul nutriente:

$-V\frac{dS}{dt}=VY_{xs}\mu X~~~~[5]$

Il fattore di resa Y_xs [adimensionale] rappresenta i grammi di nutriente (S) consumati per produrre un grammo di biomassa (X).

Eliminando V, ed esprimendo μ attraverso il modello di Monod [1], si ottiene:

$-\frac{dS}{dt}=Y_{xs}\mu_{max}\frac{S}{S+K_{M}} X~~~~~[6]$

Modello matematico (segue)

I bilanci [4] e [6] costituiscono un sistema di due equazioni differenziali nelle incognite X(t) e S(t), che può essere risolto conoscendo i parametri cinetici μ_max e K_M ed i valori di X ed S all’istante iniziale.

$\left\{\begin{matrix}\frac{dX}{dt}=\mu_{max}\frac{S}{S+K_{M}} X ~~~~~~~~~~[4]\\ \\-\frac{dS}{dt}=Y_{xs} \mu_{max}\frac{S}{S+K_{M}} X ~~~~~[6]\end{matrix}\right.$

L’integrazione del sistema consente di conoscere i profili X(t) ed S(t) (vedi animazione).

Profili X(t) e S(t) in un fermentatore batch.

Modello matematico (segue)

I profili di X(t) ed S(t) ottenuti (figura 3) consentono di individuare 3 fasi del processo di crescita:

fase esponenziale – se S>>K_M (concentrazione saturante di nutriente), la velocità di crescita della biomassa (dX/dt) è proporzionale ad X, e la curva X(t) assume un profilo esponenziale
fase intermedia – la velocità di crescita della biomassa (dX/dt) si riduce man mano che la concentrazione di nutriente (S) si avvicina allo zero
fase stazionaria – la velocità di crescita è virtualmente nulla

Il valore massimo della concentrazione di biomassa, raggiungibile in caso di conversione completa del nutriente, è:

$X_{max}=X_{0}+\frac{S_{0}}{Y_{xs}}~~~~[7]$

Figura 3- Fasi di crescita in un fermentatore batch.

Modello matematico (segue)

Dalle relazioni [4] e [6], dividendo membro a membro, si ricava:

$-\frac{dS}{dt}=Y_{xs}\frac{dX}{dt}~~~~[8]$

da cui, integrando:

$S_{0}-S(t)=Y_{xs}\left [X(t)- X_{0}\right ]~~~~[9]$

Dunque, se il fattore di resa Y_xs è costante, la relazione tra X(t) e S(t) è lineare.

La retta di lavoro nel diagramma X-S (a destra) mostra tutti gli stati che il sistema può assumere partendo dalle condizioni iniziali (S₀ , X₀) fino alle condizioni finali (0 , X_max).

Retta di lavoro X-S per un fermentatore discontinuo.

Modello matematico (segue)

Bilancio sul prodotto metabolico P

$V\frac{dP}{dt}=VY_{xp}\mu X~~~~[10]$

Il fattore di resa Y_xp [adimensionale] rappresenta i grammi del prodotto metabolico P generati insieme ad un grammo di biomassa.

Eliminando V, ed esprimendo μ attraverso il modello di Monod [1], si ottiene:

$\frac{dP}{dt}=Y_{xp}\mu_{max} \frac{S}{S+K_{M}}X~~~~[11]$

Dalle relazioni [4] e [11] dividendo membro a membro, si ricava:

$\frac{dP}{dt}=Y_{xp}\frac{dX}{dt}~~~~[12]$

da cui, integrando:

$P(t)-P_{0}=Y_{xp}\left [X(t)- X_{0}\right ]~~~~[13]$

Ciclo produttivo

Nei fermentatori discontinui industriali, ad ogni ciclo produttivo di durata t_p segue un tempo morto t_m, dovuto alle operazioni di svuotamento, pulizia, riempimento e sterilizzazione del reattore (figura 4).

Noto il profilo X(t), la concentrazione della biomassa al termine del ciclo produttivo sarà:

$X_{fin}=X\left (t_{p \right )~~~~[14]$
Se V è il volume del reattore, la quantità di biomassa ottenuta nel corso di un ciclo produttivo sarà:

$W_{X ciclo}=X\left (t_{p} \right )~~~~[15]$

Nell’ipotesi che il fermentatore venga utilizzato a ciclo continuo, il numero di cicli produttivi svolti in un anno sarà:

$N_{cicli-anno}=\frac{365\cdot 24}{t_{p}+t_{m}}~~~~[16]$

Figura 4– Sequenza di cicli produttivi e tempi morti in un fermentatore discontinuo industriale.

Ciclo produttivo (segue)

La quantità di biomassa prodotta in un anno sarà:

$W_{X anno}= W_{X ciclo}\cdot N_{cicli-anno}=V \cdot X\left (t_{p} \right )\cdot \frac{365\cdot 24}{t_{p}+t_{m}}~~~~[17]$

In un fermentatore impiegato per la produzione di biomassa, la durata ottimale del ciclo produttivo è ovviamente quella corrispondente all’ottenimento della massima quantità di biomassa.

Diagrammando la quantità di biomassa prodotta in un anno (W_{x_anno}) in funzione della durata del ciclo produttivo (t_p), si ottiene una curva con un punto di massimo, che corrisponde alla durata ottimale del ciclo produttivo (Figura 5).

Figura 5– Quantità di biomassa prodotta in un anno in funzione della durata del ciclo produttivo in un fermentatore discontinuo industriale.

Ciclo produttivo (segue)

L’esistenza di una durata ottimale del ciclo produttivo indica che bisogna evitare cicli produttivi troppo brevi (figura 6), che non consentirebbero il completamento della fase esponenziale, cioè della fase in cui si registra la velocità di crescita più elevata.

D’altronde, ciclo produttivi troppo lunghi finirebbero per includere la fase stazionaria, nel corso della quale la velocità di crescita è nulla (figura 7).