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Domenico Pirozzi » 6.Reazioni di mantenimento

Fattore di resa generalizzato

I modelli cinetici fin qui esaminati sono basati sull’ipotesi che il fattore di resa in biomassa sia costante:

$Y_{xs}=costante~~~~~~~~~~~~~~[1]$

E’ possibile definire un fattore di resa in biomassa generalizzato Y’_XS come rapporto tra la velocità di consumo del nutriente (-ds/dt) e la velocità di produzione della biomassa (dx/dt):

$Y{'}_{xs}=-\frac{\frac{dS}{dt}}{\frac{dX}{dt}}~~~~~~~~~~~~~~~[2]$

Nelle ipotesi adottate finora, i due fattori di resa coincidono:

$Y{'}_{xs}=-\frac{\frac{dS}{dt}}{\frac{dX}{dt}} = \frac{ Y_{xs}\mu X }{\mu X }= Y_{xs}=costante~~~~~~~~~~~~~~[3]$

Figura 1 – Velocità di consumo del nutriente (S) in funzione della velocità di produzione della biomassa (X). La pendenza della retta rappresenta il fattore di resa in biomassa generalizzato (Y'_XS).

Fattore di resa generalizzato

Nei casi reali, una parte dei nutrienti viene utilizzata nelle reazioni di mantenimento, che non contribuiscono alla crescita della biomassa:

mantenimento dei gradienti di concentrazione e di potenziale elettrico
cicli futili
turnover di macromolecole

La velocità di consumo del nutriente per le reazioni di mantenimento è proporzionale alla concentrazione della biomassa(m_sX). Pertanto, la reazione [3] diventa:

$Y{'}_{xs}=-\frac{\frac{dS}{dt}}{\frac{dX}{dt}} =\frac{\gamma_{xs} \mu X+m_{S} X}{\mu X}=\gamma_{xs}+\frac{m_{S}}{\mu}~~~~~~~~~~~[4]$

NOTA: γ_XSè un coefficiente stechiometrico che rappresenta il rapporto tra la velocità di consumo del solo nutriente utilizzato per la produzione di biomassa (γ_xsμ x), e la velocità di produzione della biomassa (μ x).

Figura 2 – Velocità di consumo del nutriente (S) in funzione della velocità di produzione della biomassa (X). In questo caso, la pendenza della retta non rappresenta il fattore di resa, ma il coefficiente stechiometrico (y_XS).

Bioreattore batch con mantenimento

In presenza di reazioni di mantenimento, i bilanci sulla biomassa (X) e sul nutriente (S) in un bioreattore discontinuo assumono la forma seguente:

$V \frac{dX}{dt}=V \mu X~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~[5]$

$-\frac{dS}{dt}=\gamma_{xs}\mu X{\color{red} + m_{S} X}~~~~~~~~~~~~~~[6]$

Osservando la relazione [4], o il secondo membro della relazione [6], è possibile notare come l’influenza delle reazioni mantenimento sulla cinetica di crescita sia trascurabile quando μ >> m_s. In questo caso Yxs si riduce progressivamente e tende a coincidere con γ_xs (la frazione di nutriente consumato nelle reazioni di mantenimento è trascurabile).

Al contrario, quando μ << m_s, Y_xs tende all’infinito (la maggior parte del nutriente viene consumato nelle reazioni di mantenimento).

Bioreattore batch con mantenimento

Al crescere del parametro (m_S), che misura la velocità delle reazioni di mantenimento, il consumo totale di nutriente diventa più rapido.

Tuttavia la velocità di crescita della biomassa viene rallentata, in quanto le concentrazioni di nutriente registrate istante per istante saranno più basse.

Figura 3 – Profili concentrazione-tempo in un fermentatore discontinuo. Effetto delle reazioni di mantenimento.

Bioreattore CSTB con mantenimento

In presenza di reazioni di mantenimento, i bilanci sulla biomassa (X) e sul nutriente (S) in un bioreattore continuo miscelato assumono la forma seguente:

$0= \mu X-DX~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~[7]$

$0=-\gamma_{xs}\mu X{\color{red}{ - m_{S} X}} +D\left (S_{F}-S\right )~~~~~~~~~~~~~[8]$

Il bilancio sulla biomassa è formalmente immutato rispetto al caso in cui le reazioni di mantenimento sono trascurabili.

Le relazioni [7] e [8] possono essere riscritte nella forma:

$\mu X=DX~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~[9]$

$\gamma_{xs}\mu X{\color{red}{ {\color{red} }+ m_{S} X }}=D\left (S_{F}-S\right )~~~~~~~~~~~~~~~~[10]$

ovvero:
$\mu=D~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~[11]$

$\gamma_{xs}\mu X{\color{red}{ + m_{S} X}} =D\left (S_{F}-S\right )~~~~~~~~~~~~~~~~~[12]$

Bioreattore CSTB con mantenimento

Dunque:

$\mu=D~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~[13]$

$\gamma_{xs} X+ {\color{red}{ {\color{red} }\frac{ m_{S} X }{\mu }}}= \left (S_{F}-S\right )~~~~~~~~~~~~~~~~[14]$

esplicitando l’espressione di μ secondo il modello di Monod:

$\mu_{max}\frac{S}{S+K_{M}}=D~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~[15]$

$\gamma_{xs} X+ {\color{red}{ {\color{red} }\frac{ m_{S} X }{\mu }}}= \left (S_{F}-S\right )~~~~~~~~~~~~~~~~[16]$

Dalle relazioni [15] e [16] si ricava:

$S= \frac{DK_{M}}{\mu_{max}-D}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~[17]$

$X=\frac{\left (S_{F}-S\right )}{ \gamma_{xs}+{\color{red}{ \frac{ m_{S}}{\mu }}}}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~[18]$

Bioreattore CSTB con mantenimento

La relazione [18] dimostra che, anche nel caso del bioreattore continuo miscelato, l’influenza delle reazioni mantenimento sulla cinetica di crescita è trascurabile quando μ >> m_s. Infatti, in questo caso Y_xs si riduce progressivamente e tende a coincidere con γ_xs (la quantità di nutriente consumato nelle reazioni di mantenimento è trascurabile).

Al contrario, quando μ << m_s, Y_xs tende all’infinito (la maggior parte del nutriente viene consumato nelle reazioni di mantenimento).

Bioreattore CSTB con mantenimento

Al crescere del parametro (m_S), che misura l’importanza delle reazioni di mantenimento, la concentrazione del nutriente allo stato stazionario rimane invariata. Infatti, nella relazione [18] non appare il parametro m_s.

Al contrario, la concentrazione della biomassa allo stato stazionario si riduce al crescere del parametro (m_S).

Tuttavia le condizioni di wash-out rimangono invariate. Infatti la relazione [19], utilizzata per il calcolo delle condizioni di wash-out, è ricavata dal bilancio sulla biomassa (relazione [15]), in cui non appare il parametro m_s.

$\mu_{max}\frac{S_{F}}{S_{F}+K_{M}}=D_{wash-out}~~~~~~~~~[19]$

La curva rappresentativa della concentrazione della biomassa allo stato stazionario tende a zero quando D tende a zero.

Figura 4 - Valori di X ed S in regime stazionario in funzione della dilution rate per un reattore continuo miscelato. Effetto delle reazioni di mantenimento.

Bioreattore CSTB con mantenimento

Al crescere del parametro (m_s), la produttività in termini di biomassa (rappresentata dal prodotto D X), in condizioni di regime stazionario si riduce.

Il punto di massimo della curva corrisponde ad un valore più alto della dilution rate. Queste condizioni corrispondono infatti ad un valore più elevato della velocità di crescita specifica μ, e dunque ad una ridotta influenza delle reazioni di mantenimento.

Figura 5 - Valori di X ed S in regime stazionario in funzione della dilution rate per un reattore continuo miscelato. Effetto delle reazioni di mantenimento.