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Gianmaria De Tommasi » 13.PID: taratura dei guadagni e problemi implementativi

Indice della lezione

Metodi di taratura dei regolatori PID
Metodo di taratura ad anello aperto
Metodo di taratura ad anello chiuso

Problemi implementativi dei regolatori PID

Limitazione dell’azione derivativa
Desaturazione dell’azione integrale
Commutazioni bumpless

Introduzione

Una delle ragioni del successo dei regolatori PID è che il loro utilizzo non necessita di un modello dettagliato del processo da controllare.
Quando non si conosce il modello dell’impianto si devono utilizzare delle procedure di taratura, per poter scegliere i guadagni del controllore.
Queste procedure sono basate su semplici prove sperimentali da eseguire sull’impianto e sull’utilizzo di formule semi-empiriche che consentono di scegliere i valori dei parametri del controllore

Metodo di taratura ad anello aperto

Si suppone che il modello semplificato dell’impianto sia un modello del primo ordine con ritardo:

$G(s)=\frac{\mu}{1+sT}e^{-s\tau}\,,\ \tau\,,T>0$

Dove:

$\mu$ è il guadagno statico del processo
$\tau$ è il ritardo apparente in ingresso
$T$ è la costante di tempo del processo

Taratura ad anello aperto – Risposta a gradino

La risposta al gradino di $G(s)$ è riportata in figura.
Dalla risposta al gradino è possibile stimare i parametri dell’impianto, utilizzando il metodo della tangente (riportato in figura), oppure il metodo delle aree.
Per stimare i parametri del modello deve essere possibile, quindi, effettuare una prova ad anello aperto sul processo (senza controllore) .

Risposta al gradino di un sistema del primo con ritardo. Si osservi che il guadagno statico può essere stimato come [tex]\mu\cong\frac{\Delta y}{\Delta u}[/tex]

Taratura ad anello aperto

Una volta stimati i parametri dell’impianto è possibile calcolare i valori dei guadagni del regolatore secondo le relazioni riportate in questa tabella

	KP	TI	TD
Regolatore P	T/(µ τ)
Regolatore PI	0.9T/(µ τ)	3 τ
Regolatore PID	1.2T/(µ τ)	2 τ	0.5 τ

Taratura ad anello aperto – Esempio

Si supponga che la risposta dell’impianto ad un gradino di ampiezza $U_0=2$ sia quella riportata in figura.

Una possibile stima dei parametri del modello dell’impianto è la seguente

$T\cong 0.6$
$\tau\cong 0.2$
$\mu\cong 10$

Risposta a gradino del processo considerato nell'esempio.

Taratura ad anello aperto – Esempio

Dati i parametri dell’impianto stimati nella slide precedente, i guadagni per i tre tipi di regolatori P, PI e PID sono riportati in tabella

	KP	TI	TD
Regolatore P	0.3
Regolatore PI	0.27	0.6
Regolatore PID	0.36	0.4	0.1

Taratura ad anello aperto – Esempio

A questo link è contenuto il modello dell’impianto.

Per non utilizzare l’azione integrale nello schema Simulink, porre TI = Inf

Schema Simulinkdell'esempio.

Taratura ad anello aperto – Esempio

Effettuando le simulazioni è possibile osservare che:

nel caso di regolatore puramente proporzionale l’errore a regime è diverso da zero
per i regolatori PI e PID l’errore a regime è zero
il regolatore PID va a regime più velocemente ma con una sovraelongazione maggiore

Risposte di P, PI e PID tarati con il metodo ad anello aperto.

Taratura ad anello aperto – Esempio

La regole di taratura si basano sulla stima sperimentale dei parametri del modello.
Con un modello dettagliato dell’impianto è possibile ottenere prestazioni migliori utilizzando un PID.
La traccia nera in figura mostra la risposta di un PID progettato partendo dal modello dettagliato dell’impianto ( $K_P=0.225\,,T_I=0.5\,,T_D = 0.125$ ).

Metodo di taratura ad anello chiuso

Il secondo metodo di taratura per i PID è basato su una prova a ciclo chiuso sull’impianto (con il controllore) che prevede di:

chiudere l’anello inserendo un regolatore puramente proporzionale con basso guadagno $K_P$
aumentare progressivamente KP fino a che si innesca un’oscillazione permanente.

Metodo di taratura ad anello chiuso

$K_U$ è il valore del guadagno proporzionale per il quale si hanno oscillazioni permanenti
$T_U$ è il periodo di oscillazione

Oscillazioni permanenti ottenuti per un valore di KP pari a KU.

Metodo di taratura ad anello chiuso

Una volta stimati $K_U$ e $T_U$ è possibile calcolare i valori dei guadagni del regolatore secondo le relazioni riportate in tabella.

Metodo di taratura ad anello chiuso – Esempio

Dati i valori di $K_U$ e $T_U$ , i guadagni per i tre tipi di regolatori P, PI e PID sono riportati in tabella.

Qui è possiile scaricare lo schema Simulink per la simulazione.

	KP	TI	TD
Regolatore P	0.3
Regolatore PI	0.27	0.6
Regolatore PID	0.36	0.4	0.1

Oscillazioni permanenti per l'esempio considerato.

Problemi implementativi – Introduzione

Nella realizzazione pratica dei regolatori PID vengono adottati vari accorgimenti volti a migliorare le prestazioni del sistema. In questa lezione verranno trattate le seguenti problematiche:

limitazione dell’azione derivativa
desaturazione dell’azione integrale (sistema di anti wind-up)
commutazione manuale/automatico e automatico/manuale (sistema bumpless)

Limitazione dell’azione derivativa

Nello schema classico l’azione derivativa viene effettuata sulla variabile d’errore:

$U_D(s)=\frac{K_PT_Ds}{1+\frac{T_D}{N}s}E(s)$

In presenza di un gradino nel segnale di riferimento r(t), l’uscita del derivatore, e quindi la variabile di controllo u(t), avrebbe un andamento di tipo impulsivo.
Questa brusca variazione può provocare la saturazione dell’attuatore e, al limite, il suo danneggiamento.
Inoltre il sistema si potrebbe allontanare dalla condizione di linearità con riferimento alla quale si è progettato il sistema di controllo.

Azione derivativa solo sull’uscita

Si preferisce esercitare l’azione derivativa sulla sola variabile controllata y(t), il che equivale a porre c=0 in un PID ISA

$U_D(s)=-\frac{K_PT_D}{1+\frac{T_D}{N}s}Y(s)$

Saturazione dell’azione integrale

Uno schema realistico di un sistema di controllo prevede sempre la presenza di una saturazione nell’attuatore.
Se il sistema di controllo è ben progettato, a regime la variabile di controllo u(t) dovrebbe essere lontana dai livelli di saturazione

Confronto tra un PID con azione derivativa e con azione derivativa solo sull'uscita.

Saturazione dell’azione integrale

Durante i transitori, però, può capitare che u(t) superi i livelli di saturazione.
Quando u(t) è saturata il processo evolve con ingresso costante come se fosse a ciclo aperto e quindi non controllato.
Quando l’uscita del controllore u(t) è saturata l’azione integrale continua ad integrare l’errore e quindi la richiesta di controllo ureq(t) continua a crescere, casuando il fenomeno chiamato saturazione o wind-up dell’azione integrale.

La saturazione rappresenta un modello semplificato dell'attuatore.

Sistema di desaturazione (anti wind-up)

Saturazione azione inegrale e anti wind-up – Esempio

Sistema di anti wind-up. Quando l'uscita di controllo è saturata, l'azione integrale viene disabilitata connettendo un segnale nullo al suo ingresso.

Commutazione manuale/automatico automatico/manuale

Un regolatore può essere messo in qualsiasi momento in modalità di funzionamento manuale, in cui è un operatore umano a selezionare manualmente la variabile di controllo.
In qualsiasi momento è possibile effettuare la commutazione dalla modalità manuale a quella automatica e viceversa.
Queste commutazioni devono avvenire senza brusche variazioni della variabile di controllo (commutazioni bumpless).
In questo modo si possono evitare transitori indesiderati e danni agli attuatori.

Risposte di un PID senza sistema di anti wind-up.

Risposte di un PID con sistema di anti wind-up. Si noti come il segnale di controllo rimanfa saturato per un intervallo di tempo più corto, come il tempo di assestamento migliori e come la sovraelongazione massima diminuisca.

PID con sistema di commutazione bumpless

Commutazione manuale/automatico bumpless – Esempio

Sistema di commutazione bumpless. In modalità manuale l'azione di controllo viene generata attraverso l'azione integrale. Questo sistema consente di evitare salti dell'uscita di controllo u(t) nei passagi da manuale ad automatico e viceversa.