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Gianmaria De Tommasi » 12.Regolatori PID - Leggi di controllo

Indice della lezione

Regolatori PID industriali
Introduzione
Leggi di controllo:
PID ideale
PID reale
PID in forma ISA

introduzione – Regolatori standard

In ambito industriale le caratteristiche dinamiche dei sistemi controllati possono variare fortemente in base alla particolare applicazione.
Risulterebbe economicamente conveniente avere delle strutture standard per gli apparati di controllo da configurare in base all’applicazione.
In ambito industriale esistono controllori dalla struttura fissata per i quali bisogna effettuare solo la taratura di alcuni parametri.

Nella categoria dei controllori standard lineari e tempo invarianti la struttura più importante è sicuramente il regolatore PID, cioè il regolatore ad azione proporzionale-integrale-derivativa.
Nella categoria dei controllori non lineari la tipologia più diffusa è sicuramente il controllore a relé.

Controllori a relé

Un controllore a relé è un sistema di controllo che nella catena di amplificazione diretta comprende un amplificatore a relé.

I controllori a relé:

sono semplici da realizzare
sono affidabili
hanno rendimenti elevati
hanno costi realizzativi contenuti
non necessitano di attuatori con comportamento lineare

Caratteristica di un relé con isteresi. L'isteresi consente di evitare il fenomeno del chattering.

Esempio di controllore a relé

A questo link è disponibile lo schema Simulink riportato in figura, che consente di simulare un semplice schema di controllo a relé

Schema Simulink per la simulazione di un controllore a relé.

Esempio di uscita controllata da un controllore a relé con isteresi.

Regolatori PID – Ragioni del loro successo

Il successo del regolatori PID in ambito industriale è dovuto essenzialmente ai seguenti motivi:

capacità di regolare efficientemente un’ampia gamma di processi industriali di diversa natura (termici, meccanici, ecc.);
possibilità di realizzazione con diversi tipi di tecnologia (pneumatica, elettronica, ecc.);
convenienza ed economicità di avere una struttura standard (abbattimento dei costi di progetto, conduzione e manutenzione, benefici nella gestione dei magazzini);
l’utilizzo dei PID non necessita della conoscenza di un modello dettagliato del processo da controllare.

Regolatore PID – Schema di riferimento

In figura è riportato lo schema di controllo al quale si farà riferimento nelle prossime slide.

In particolare:

r(t) – riferimento
e(t) – errore di controllo
u(t) – variabile di controllo
y(t) – grandezza da controllare
d(t) – disturbo additivo sull’uscita
n(t) – rumore di misura

Schemadi riferimento per un regolatore PID.

Legge di controllo di un PID ideale

In un regolatore PID la variabile di controllo u(t) viene generata come somma di tre contributi:

il primo è proporzionale all’errore e(t) tra il riferimento r(t) e l’uscita da controllare y(t);
il secondo è proporzionale all’integrale dell’errore e(t) (quindi proporzionale al suo valor medio);
il terzo è proporzionale alla derivata di e(t)

L’andamento della variabile di controllo u(t) nel dominio del tempo è dato dalla seguente equazione

$u(t)=K_Pe(t)+K_I\int_0^te(\tau)d\tau+K_D\frac{de(t)}{dt}$

dove:

$K_P$ è il coefficiente dell’azione proporzionale o guadagno proporzionale
$K_I$ è il coefficiente dell’azione integrale o guadagno integrale
$K_D$ è il coefficiente dell’azione derivativa o guadagno derivativo

PID ideale – Tempo integrale e tempo derivativo

La rappresentazione più utilizzata della legge di controllo di un PID è la seguente

$u(t)=K_P\left(e(t)+\frac{1}{T_I}\int_0^te(\tau)d\tau+T_D\frac{de(t)}{dt}\right)$

con

$T_I=K_P/K_I$ tempo integrale (o tempo di reset)
$T_D=K_D/K_P$ tempo derivativo

Banda proporzionale

Nella letteratura tecnica si preferisce specificare l’azione proporzionale in termini di banda proporzionale PB, piuttosto che in termini di $K_P$ .
La banda proporzionale rappresenta l’ampiezza dell’errore e(t) (espressa in percentuale del suo valore di fondo scala) che manda l’uscita del PID a fondo scala.
La relazione che c’è tra BP e $K_P$ è

$K_P=\frac{100}{BP}$

Banda proporzionale – Esempio

Siano $e_{fs}$ è il valore di fondo scala per l’errore e $u_{fs}$ il valore di fondo scala per l’azione di controllo
Se BP=40% vuol dire che quando l’errore $e(t) = 0.4e_{fs}$ , si avrà $u(t) = u_{fs}$
Il guadagno proporzionale si ottiene come $K_P = \frac{u(t)/u_{fs}}{e(t)/e_{fs}}=\frac{100}{40}=2.5$

PID ideale nel dominio di Laplace

Trasformando secondo Laplace la legge di controllo del PID ideale si ottiene

$U(s)=K_P\left(1+\frac{1}{T_Is}+T_Ds\right)E(s)=K_P\left(\frac{T_DT_Is^2+T_Is+1}{T_Is}\right)E(s)$

dove U(s) e E(s) sono le trasformate di Laplace di u(t) e e(t).

La legge di controllo presa in considerazione viene chiamata ideale perché non è fisicamente realizzabile.

Legge di controllo di un PID reale

La legge di controllo del PID reale si ottiene filtrando l’azione derivativa.

$U(s)=K_P\left(1+\frac{1}{T_Is}+\frac{T_Ds}{1+s\frac{T_D}{N}}\right)E(s)$

In questo modo si rende l’azione derivativa fisicamente realizzabile.

Schema a blocchi di un PID

Unregolatore PID può essere visto come il parallelo delle tre azioni: proporzionale, integrale e derivativo

$PID(s)=\frac{U(s)}{E(s)}=K_P+\frac{K_P}{T_Is}+\frac{K_PT_Ds}{1+s\frac{T_D}{N}}=P(s)+I(s)+D(s)$

Schema a blocchi di un regolatore PID.

Azione proporzionale

$U_P(s)=K_PE(s)$

non introduce sfasamento
non garantisce errore nullo a regime per riferimenti r(t) e disturbi additivi d(t) costanti
per ottenere errori a regime piccoli sono necessari valori di KP elevati che possono compromettere la stabilità del sistema e rendere il sistema troppo sensibile rumore di misura n(t)
è possibile annullare l’errore a regime per un dato riferimento sommando un valore costante al termine proporzionale, quindi si ha $U_P(s) = K_PE(s)+\bar{U}$

Azione integrale

$U_I(s)=\frac{K_P}{T_Is}E(s)$

assicura che l’errore a regime vada a zero per riferimenti r(t) e disturbi additivi d(t) costanti (astatismo)
introduce uno sfasamento di 90° in ritardo (può creare problemi per la stabilità del sistema)
può causare la saturazione dell’attuatore (problema del wind-up integrale).

Azione derivativa

$U_D(s)=\frac{K_PT_Ds}{1+\frac{T_D}{N}s}E(s)$

amplifica il rumore n(t) ad alta frequenza, quindi potrebbe danneggiare gli attuatori con valori elevati di u(t). Per attenuare questa amplificazione si utilizza il filtraggio e si sceglie N in maniera tale che il polo in $-N/T_D$ sia fuori dalla banda del sistema a ciclo chiuso (i valori tipici di N sono compresi tra 1 e 5)
introduce uno sfasamento di 90° in anticipo

Regolatori P, I, PI, PD e PID

In un regolatore industriale non è necessario che siano presenti tutte le azioni contemporaneamente.

In particolare è possibile avere:

regolatori P
regolatori I
regolatori PI
regolatori PD
regolatori PID

PID in forma ISA

Le implementazioni commerciali del PID realizzano diverse variazioni della legge di controllo vista fino ad ora.
L’implementazione più diffusa e quella del PID ISA, la cui legge di controllo è

$U(s)=K_P\left(bR(s)-Y(s)+\frac{1}{sT_I}E(s)+\frac{sT_D}{1+s\frac{T_D}{N}}\left(cR(s)-Y(s)\right)\right)$

con b e c compresi tra 0 e 1.

PID ISA – Azione in feedback ed in feedforward

Attraverso semplici conti è possibile scomporre la funzione di trasferimento di un PID ISA nel contributo di due termini: uno in feedback ed uno in feedforward

$PID_{ISA}(s)=K_{ff}(s)+K_{fb}(s)$