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Giuliana Fiorillo » 2.Cinematica del punto materiale


Moto e sistemi di riferimento

La CINEMATICA è lo studio dei moti, ovvero la loro descrizione in termini di MODELLI ELEMENTARI.
Il moto di un corpo, come la sua posizione, sono concetti relativi. Essi sono definiti solo rispetto ad un sistema che si sceglie come riferimento.
Un SISTEMA DI RIFERIMENTO è definito da un certo numero di corpi che non cambiano la loro posizione relativa. Per poter definire la posizione ed il moto di un corpo rispetto ad essi è necessario disporre di regoli (per misurare le distanze) ed orologi (per misurare i tempi). Osservatore, regoli ed orologi devono essere fermi rispetto al sistema scelto.
Lo studio dei moti consiste nella loro descrizione spazio-temporale rispetto ad un dato sistema di riferimento (arbitrario).
Nel seguito utilizzeremo il modello del punto materiale, dove il corpo in esame verrà schematizzato come un punto dotato di massa, purché le sue dimensioni siano trascurabili rispetto alla precisione con cui se ne vuole determinare il moto.
Fissato il sistema di riferimento (che indicheremo con S), è possibile definire in esso un sistema di coordinate spaziali che ci consentiranno di individuare la posizione della particella istante per istante.

Vettore posizione ed equazione del moto

La posizione della particella nel sistema di riferimento S è definita dal vettore di componenti uguali alle COORDINATE del punto P in cui si trova la particella

\begin{array}{l}P\equiv (x,y,z)\\ \text{\bf r}=x\text{\bf i}+y\text{\bf j}+z\text{\bf k}\end{array}

Se la posizione del punto materiale varia nel tempo con continuità è possibile descriverne il moto tramite l’equazione vettoriale

\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)

detta equazione del moto, essa istante per istante definisce il vettore posizione come funzione del tempo t.
Note le coordinate, anch’esse saranno espresse come funzioni continue del tempo. L’equazione vettoriale del moto è dunque costituita da tre equazioni scalari:

\mathbf r(t)=\left\{ \begin{array}{l}x(t) \\y(t) \\z(t)\end{array} \right.

Figura 2.1: Vettore posizione a due istanti t1 e t2.

Figura 2.1: Vettore posizione a due istanti t1 e t2.


Traiettoria e legge oraria

L’insieme delle posizioni occupate dalla particella durante il suo moto è una curva nello spazio chiamata traiettoria.
Una rappresentazione della traiettoria è quella parametrica o intrinseca, che ci permette di esprimere la curva come funzione di un parametro intrinseco. Le equazioni del moto possono quindi essere viste come una rappresentazione geometrica della traiettoria in cui il parametro t è il tempo.
Fissiamo arbitrariamente sulla curva un punto che chiameremo origine Ω, un verso positivo ed una scala in modo da poter misurare le lunghezze di arco lungo la curva: ad ogni punto sulla curva potremo far corrispondere una coordinata il cui valore sarà dato dalla lunghezza dell’arco di curva che lo separa dall’origine ed un segno positivo o negativo a seconda che esso si trovi rispetto ad Ω dalla parte del verso positivo o negativo.
Questa coordinata è detta ascissa curvilinea e può essere utilizzata come parametro per rappresentare la traiettoria

\mathbf{r}=\mathbf{r}(s)

L’equazione s = s(t) è detta legge oraria e insieme alla precedente fornisce le informazioni complete sul moto.

Figura 2.2: Ascissa curvilinea e rappresentazione intrinseca della traiettoria.

Figura 2.2: Ascissa curvilinea e rappresentazione intrinseca della traiettoria.


Un esempio: il moto circolare

Se il moto avviene su una circonferenza di raggio R nel piano xy, possiamo scrivere l’equazione della traiettoria come

\left\{\begin{array}{rcl}x^2+y^2&=&R^2\\z&=&0\end{array}\right.

Alternativamente, possiamo definire l’ascissa curvilinea s come indicato in figura s=Rθ per cui la rappresentazione parametrica della curva sarà:

\left\{\begin{array}{l}x=R\cos \theta= R\cos \left(\frac{s}{R}\right)\\y=R\sin \theta=R\sin \left(\frac{s}{R}\right) \\ z=0\end{array}\right.

Figura 2.3: Moto circolare.

Figura 2.3: Moto circolare.


Moto elicoidale

Se il punto percorre archi uguali in tempi uguali la legge oraria sarà:

\theta(t)=\omega t \rightarrow s(t)=R\omega t

e le equazioni del moto si scriveranno

\left\{\begin{array}{l}x(t)=R\cos \omega t \\y(t)=R\sin \omega t \\z=0 \end{array}\right.

Se le coordinate x ed y descrivono una circonferenza ed inoltre la coordinata z varia uniformemente nel tempo, z = vt , le equazioni del moto diventano

\left\{\begin{array}{l}x(t)=R\cos \omega t \\y(t)=R\sin \omega t \\z(t)=vt\end{array}\right.

e la traiettoria è l’elicoide mostrato in figura.

Figura 2.4: Moto elicoidale.

Figura 2.4: Moto elicoidale.


Vettore spostamento

Il vettore spostamento da P1 a P2 è per definizione il segmento orientato che congiunge P1 a P2. Come si può vedere in figura esso si ottiene dalla differenza tra i vettori posizione finale ed iniziale

\begin{array}{rl}\Delta\text{\bf r}=\text{\bf r}_2 - \text{\bf r}_1=&(x_2\text{\bf i} + y_2\text{\bf j}+z_2\text{\bf k})-(x_1\text{\bf i} + y_1\text{\bf j}+z_1\text{\bf k})=\\=&(x_2-x_1)\text{\bf i}+(y_2-y_1)\text{\bf j}+(z_2-z_1)\text{\bf k}=\\=&\Delta x\text{\bf i}+\Delta y\text{\bf j}+\Delta z\text{\bf k}\end{array}

Le componenti del vettore \Delta\text{\bf r} sono date dalla differenza delle rispettive componenti di r2 ed r1.

In figura 2.5: Vettore posizione a due istanti t1 e t2. La differenza tra r2 e r1 è il vettore spostamento da P1 a P2. Nell’esempio in figura la componente lungo x è negativa, mentre le altre due sono positive.

Figura 2.5.

Figura 2.5.


Spostamento complessivo

Dalle regole di composizione dei vettori si ricava facilmente che la somma tra due spostamenti successivi da P1 a P2 e da P2 a P3 è pari allo spostamento complessivo da P1 a P3.

\Delta\text{\bf r}_{12} + \Delta\text{\bf r}_{23}=(x_2-x_1)\text{\bf<br />
i}+(y_2-y_1)\text{\bf j}+(z_2-z_1)\text{\bf k}+(x_3-x_2)\text{\bf i}+(y_3-y_2)\text{\bf<br />
j}+(z_3-z_2)\text{\bf k}=(x_3-x_1)\text{\bf i}+(y_3-y_1)\text{\bf j}+(z_3-z_1)\text{\bf<br />
k}=\Delta\text{\bf r}_{13}

Inoltre la somma è commutativa

\Delta\text{\bf r}_{12} + \Delta\text{\bf r}_{23}=\Delta\text{\bf r}_{23}+\Delta\text{\bf r}_{12}

Lo spostamento totale è dunque la somma degli spostamenti effettuati.

Velocità media

Per descrivere compiutamente il moto di una particella lungo la sua traiettoria, è necessario fornire oltre alle informazioni spaziali anche quelle temporali, ossia gli intervalli di tempo impiegati ad effettuare i singoli spostamenti.
Il RAPPORTO tra lo spostamento e l’intervallo di tempo trascorso è detto velocità media. Poiché lo spostamento è un vettore, lo è anche la velocità media, che ha la sua stessa direzione. Essa è una caratteristica del moto che non dipende dalla traiettoria ma solo dalle posizioni iniziale e finale, nonché dal tempo di percorrenza.
Se t e t’=t+Δt sono due generici istanti di tempo nei quali la particella si trova nelle posizioni \mathbf{r}(t) ed \mathbf{r}(t') , lo spostamento è

\Delta\text{\bf r}=\text{\bf r}(t')-\text{\bf r}(t) e la velocità media
\bar{\text{\bf v}}=\frac{\text{\bf r}(t')-\text{\bf r}(t)}{(t'-t)}=\frac{\text{\bf r}(t+\Delta t) - \text{\bf r}(t)}{\Delta t}=\frac{\Delta\text{\bf r}}{\Delta t}

Le componenti della velocità media si ottengono in modo analogo:

\left\{\begin{array}{l}\bar{v}_x=\frac{\Delta x}{\Delta t}\\ \bar{v}_y=\frac{\Delta y}{\Delta t} \\ \bar{v}_z=\frac{\Delta z}{\Delta t} \end{array}\right.

Le dimensioni della velocità sono: \left[v\right]=\frac{\left[L\right]}{\left[T\right]}

e la sua unità di misura è il m/s.

Velocità istantanea

Considerando intervalli di tempo sempre più piccoli si ottiene una descrizione del moto sempre più puntuale e la velocità media si avvicina a quella istantanea.
Nel limite per t'\rightarrow t \Rightarrow \Delta t\rightarrow 0. Il punto P’ tende a P e la secante PP’ tende alla tangente alla traiettoria nel punto P.
Il vettore velocità è definito come:

\text{\bf v}(t)=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\bar{\text{\bf v}}=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\text{\bf r}(t+\Delta t) - \text{\bf r}(t)}{\Delta t}=\frac{d\text{\bf r}(t)}{dt}

Le componenti del vettore velocità sono le derivate rispetto al tempo delle coordinate del punto materiale:

\left\{\begin{array}{l}{v}_x(t)=\frac{dx(t)}{dt}\\{v}_y(t)=\frac{dy(t)}{dt} \\{v}_z(t)=\frac{dz(t)}{d t}\end{array}\right.

La direzione della velocità istantanea è tangente alla traiettoria nel punto considerato (ossia parallelo a \mathbf{u}_t, si veda la figura) ed il suo verso è quello di percorrenza della stessa.

Figura 2.6: Direzione del vettore velocità. La velocità media ha la direzione di PP’. La velocità istantanea quella di ut.

Figura 2.6: Direzione del vettore velocità. La velocità media ha la direzione di PP'. La velocità istantanea quella di ut.


Versore tangente e velocità scalare

Una diversa rappresentazione della velocità si basa sull’ascissa curvilinea. Stabilita un’origine ed un verso sulla traiettoria consideriamo il vettore dato dal rapporto tra PP’Δs, che ha la direzione della secante ed il verso concorde a quello degli archi crescenti. Nel limite di Δt→0, la lunghezza del segmento PP’ tende ad essere uguale alla lunghezza dell’arco sotteso Δs→0

\lim_{\Delta s\rightarrow 0}\frac{|\overrightarrow {PP'}|}{\Delta s}=1

Poiché questo vettore ha modulo unitario e direzione tangente alla traiettoria esso è il versore tangente alla curva orientata:

\Rightarrow \mathbf{u}_t=\lim_{\Delta s\rightarrow 0}\frac{\Delta\text{\bf r}}{\Delta s}=\frac{d\text{\bf r}}{ds}

Figura 2.6b: Rappresentazione intrinseca e versore tangente alla traiettoria.

Figura 2.6b: Rappresentazione intrinseca e versore tangente alla traiettoria.


Versore tangente e velocità scalare (segue)

Di conseguenza la velocità istantanea può essere espressa come

\mathbf{v}(t)=\frac{d\text{\bf r}}{dt}=\frac{d\text{\bf r}}{ds}\frac{ds}{dt}=\frac{ds}{dt}\mathbf{u}_t=v_s\mathbf{u}_t

dove abbiamo introdotto la velocità scalare, calcolata come derivata dell’ascissa curvilinea:

v_s(t)=\frac{ds(t)}{dt}

La velocità scalare costituisce una rappresentazione intrinseca della velocità. Si noti che essa differisce dal modulo di v perché, a differenza di quest’ultimo, può avere sia segno positivo che negativo (a seconda che la particella si muova nel verso delle ascisse crescenti o decrescenti).

Figura 2.6b: Rappresentazione intrinseca e versore tangente alla traiettoria.

Figura 2.6b: Rappresentazione intrinseca e versore tangente alla traiettoria.


Diagramma orario

La rappresentazione intrinseca del moto ci permette di introdurre il concetto di diagramma orario, ossia una rappresentazione grafica del moto dalla quale facilmente si ricavano le caratteristiche cinematiche.
In figura è rappresentata in funzione del tempo l’ascissa curvilinea di due mobili A e B che si muovono sulla stessa traiettoria.
Le lunghezze XA e XB esprimono gli spazi percorsi dalle due particelle nell’intervallo di tempo tX.

\begin{array}{l}\mathit{XA}=s_A=\mathit{XO}\tan \alpha_A=t_X\tan \alpha_A=v_A t_X\\\mathit{XB}=s_B=\mathit{XO}\tan \alpha_B=t_X\tan \alpha_B=v_B t_X\\v_A=\frac{s_A}{t_X}

dove abbiamo introdotto la velocità scalare media

v_m=\frac{\Delta s}{\Delta t}

Il mobile C in figura presenta una velocità media tra P1 e P2 pari alla tangente dell’angolo \gamma

Figura 2.7: Diagramma orario.

Figura 2.7: Diagramma orario.


Diagramma orario (segue)

Il limite per Δt→0 della velocità scalare media è la velocità scalare, rappresentata geometricamente dalla pendenza della curva oraria.

v_s(t)=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta s}{\Delta t} =\frac{ds(t)}{dt}

Dalla conoscenza della legge oraria è dunque possibile ricavare tutte le informazioni necessarie sulla velocità scalare.

Esercizio 2.1

Osservando i grafici rappresentati in figura:

  1. Si descriva il moto di ciascuno dei 4 mobili A, B, C, D;
  2. Si indichi in che punto (in che posizione ed a quale istante) il mobile B incrocia il mobile C;
  3. Si indichi l’istante nel quale i mobili A e D si trovano nella stessa posizione;
  4. Si indichi la posizione nella quale il mobile D si ferma.
Figura 2.8: Diagramma orario di quattro particelle sulla stessa traiettoria.

Figura 2.8: Diagramma orario di quattro particelle sulla stessa traiettoria.

Figura 2.9: Corrispondenti velocità.

Figura 2.9: Corrispondenti velocità.


Moto rettilineo uniforme

Se la velocità scalare è costante nel tempo il moto è detto uniforme. In questo caso, la curva oraria ha pendenza costante, ossia è una retta

s(t)=v_0t+s_0

Dove abbiamo indicato con  v_0 il valore della velocità scalare e con s_0 l’ascissa curvilinea del punto nel quale la particella si trova all’istante t = 0.
Se anche la traiettoria è una retta il moto è detto rettilineo uniforme; l’ascissa curvilinea è semplicemente la coordinata x dell’asse coincidente con la traiettoria e l’equazione del moto è

x(t)=v_0t+x_0

Figura 2.10: Legge oraria del moto rettilineo uniforme.

Figura 2.10: Legge oraria del moto rettilineo uniforme.


Moto circolare uniforme (1)

Se la velocità scalare è costante e la traiettoria è una circonferenza il moto è detto circolare uniforme; l’ascissa curvilinea è definita come s=Rθ e la legge oraria è

\theta(t)=\frac{s(t)}{R}=\omega_0 t+\theta_0
dove la quantità scalare \omega_0=\frac{v_0}{R} è chiamata velocità angolare ed ha le dimensioni di un angolo diviso un tempo; essa si misura in rad/s.

\theta_0=\frac{s_0}{R} rappresenta la fase iniziale del moto.

L’equazione del moto è data da

\left\{\begin{array}{l}x(t)=R\cos \theta (t) = R\cos \left(\omega_0 t+\theta_0 \right)\\y(t)=R\sin \theta (t) =R\sin \left(\omega_0 t+\theta_0 \right)\end{array}\right.

È immediato verificare che

|\vec{r}(t)|=\sqrt{x^2(t)+y^2(t)}=\sqrt{R^2\cos^2 \theta (t)+R^2\sin^2 \theta (t)}=R

In figura 2.11: Moto circolare uniforme. Le curve blu e rossa rappresentano l’equazione del moto lungo x e lungo y rispettivamente.

Figura 2.11.

Figura 2.11.


Moto circolare uniforme (2)

Calcoliamo le componenti della velocità istantanea:

\left\{\begin{array}{l}v_x(t)=\frac{dx(t)}{dt}=\frac{d}{dt}\lbrack R\cos \left(\omega_0 t+\theta_0 \right) \rbrack=-R\omega_0\sin \left(\omega_0 t+\theta_0 \right)\\v_y(t)=\frac{dy(t)}{dt}=\frac{d}{dt}\lbrack R\sin \left(\omega_0 t+\theta_0 \right)\rbrack=R\omega_0\cos \left(\omega_0 t+\theta_0 \right)\\v_z(t)=\frac{dz(t)}{dt}=0\end{array}\right.

|\vec{v}(t)|=\sqrt{v_x^2(t)+v_y^2(t)+v_z^2(t)}=\sqrt{R^2\omega^2_0\sin^2 \theta (t)+R^2\omega^2_0\cos^2 \theta (t)}=R\omega_0

Si può verificare che il vettore velocità è perpendicolare al vettore posizione e dunque sempre tangente alla traiettoria.

Esercizio 2.2

Dimostrare che

\mathbf{v}(t)\cdot\mathbf{r}(t)=0

Figura 2.12. Vettore velocità nel moto circolare uniforme.

Figura 2.12. Vettore velocità nel moto circolare uniforme.


Accelerazione media

Se la velocità cambia lungo la traiettoria (in modulo o direzione) tra gli istanti t e t’=t+Δt possiamo valutare la sua variazione media nell’intervallo di tempo Δt. In modo analogo alla velocità media si definisce l’accelerazione media come:

\bar{\text{\bf a}}=\frac{\text{\bf v}(t')-\text{\bf v}(t)}{(t'-t)}=\frac{\text{\bf v}(t+\Delta t) - \text{\bf v}(t)}{\Delta t}=\frac{\Delta\text{\bf v}}{\Delta t}

Le componenti della accelerazione media si ottengono dalle equazioni scalari

\left\{\begin{array}{l}\bar{a}_x=\frac{\Delta v_x}{\Delta t}\\\bar{a}_y=\frac{\Delta v_y}{\Delta t} \\\bar{a}_z=\frac{\Delta v_z}{\Delta t}\end{array}\right.

Figura 2.12b: Variazione del vettore velocità.

Figura 2.12b: Variazione del vettore velocità.


Accelerazione istantanea

Nel limite per Δt→0 l’accelerazione media tende all’accelerazione istantanea definita come:

\text{\bf a}(t)=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\bar{\text{\bf a}}=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\text{\bf v}(t+\Delta t) - \text{\bf v}(t)}{\Delta t}=\frac{d\text{\bf v}(t)}{dt}=\frac{d^2 \text{\bf r}(t)}{dt^2}

Le componenti del vettore accelerazione sono le derivate rispetto al tempo delle componenti della velocità e dunque le derivate seconde rispetto al tempo delle coordinate del punto materiale:

\left\{\begin{array}{l}a_x(t)=\frac{dv_x(t)}{dt}=\frac{d^2 x(t)}{dt^2}\\a_y(t)=\frac{dv_y(t)}{dt}=\frac{d^2 y(t)}{dt^2} \\a_z(t)=\frac{dv_z(t)}{d t}=\frac{d^2 z(t)}{dt^2}\end{array}\right.

Le dimensioni dell’accelerazione sono:

\left[a\right]=\frac{\left[LT^{-1}\right]}{\left[T\right]}=\left[L\right]\left[T\right]^{-2}

e la sua unità di misura è il \text{m/s}^2.

Moto circolare uniforme (3)

Per esercizio calcoliamo l’accelerazione istantanea del moto circolare uniforme discusso in precedenza.

\begin{array}{l}\mathbf{r}(t)=R\cos(\omega_0 t) \mathbf{i}+R\sin(\omega_0 t)\mathbf{j} \\ \mathbf{v}(t)=\frac{d\mathbf{r}(t)}{dt}=-R\omega_0\sin(\omega_0 t)\mathbf{i}+ R\omega_0\cos (\omega_0 t)\mathbf{j} \\\mathbf{a}(t)=\frac{d\mathbf{v}(t)}{dt}=-R\omega^2_0\cos(\omega_0 t)\mathbf{i}-R\omega^2_0\sin (\omega_0 t) \mathbf{j} \\ \Rightarrow \mathbf{a}(t)=-\omega^2_0 \mathbf{r}(t)\end{array}

Ossia l’accelerazione istantanea ha la stessa direzione di r(t) ma verso opposto ed è dunque sempre diretta verso il centro della circonferenza. Inoltre essa forma col vettore velocità un angolo retto.

Accelerazione tangenziale

La rappresentazione intrinseca dell’accelerazione si ottiene derivando il vettore velocità:

\mathbf{a}=\frac{d\text{\bf v}}{dt}=\frac{d }{dt}(v_s\mathbf{u}_t)=\frac{d v_s}{dt} \mathbf{u}_t+v_s\frac{d\mathbf{u}_t}{dt}

I due vettori componenti dell’accelerazione sono dunque:

\mathbf{a}_t =\frac{dv_s}{dt}\mathbf{u}_t
e
\mathbf{a}_n =v_s\frac{d\mathbf{u}_t}{dt}

Il primo dei due componenti è diretto come il versore tangente alla traiettoria (accelerazione tangenziale). Il suo modulo è dato dalla derivata della velocità scalare rispetto al tempo, esso quindi rappresenta la variazione della velocità lungo la sua direzione ed è nullo per vs=cost. (moto uniforme):

\mathbf{a}_t =\frac{dv_s}{dt}\mathbf{u}_t=\frac{d^2s}{dt^2}\mathbf{u}_t=\ddot{s}\mathbf{u}_t

Accelerazione centripeta

Il secondo componente dell’accelerazione è perpendicolare al versore tangente alla traiettoria, come si può verificare facilmente eseguendo il prodotto scalare

\frac{d\mathbf{u}_t}{dt}\cdot \mathbf{u}_t=\frac{1}{2}\frac{d}{dt}(\mathbf{u}_t\cdot \mathbf{u}_t)=\frac{1}{2}\frac{d}{dt}(|\mathbf{u}_t|^2)=\frac{1}{2}\frac{d}{dt}(1)=0

Chiamiamo un la direzione di an, per quanto detto sopra \mathbf{u}_n\perp \mathbf{u}_t.

Per valutare il modulo di an, consideriamo ora la variazione del versore ut nell’intervallo di tempo Δt.
Dalla figura è immediato verificare che, per Δt→0 , l’angolo Δθ→0 e Δut tende ad essere perpendicolare rispetto a ut.

\begin{array}{l}\Delta \theta=\pi-2\varphi\\\Delta \theta\to 0 \Rightarrow \varphi\to \frac{\pi}{2}\end{array}

Il modulo di Δut è pari a

\left|\Delta\mathbf{u}_t\right|=|\mathbf{u}_t|2\sin(\Delta\theta/2)

Figura 2.13: Moto lungo una traiettoria curva nel piano.

Figura 2.13: Moto lungo una traiettoria curva nel piano.


Accelerazione centripeta (segue)

Considerando ora il limite per Δt→0

\left|\frac{\Delta\mathbf{u}_t}{\Delta t}\right|=\frac{|\Delta\mathbf{u}_t|}{\Delta \theta}\frac{\Delta\theta}{\Delta t}=\frac{|\mathbf{u}_t|2\sin(\Delta\theta/2)}{\Delta \theta}\frac{\Delta\theta}{\Delta t}=\frac{\sin(\Delta\theta/2)}{\Delta \theta/2}\frac{\Delta\theta}{\Delta t}\to\frac{d\theta}{dt}

Dunque la derivata di ut rispetto a t ha la direzione di un ed il modulo pari alla derivata di θ rispetto al tempo,

\Rightarrow \mathbf{a}_n=v_s\frac{d\mathbf{u}_t}{dt}=v_s\frac{d\theta}{dt}\mathbf{u}_n

Il significato fisico dei termini che compaiono nella formula precedente è meglio compreso se si considera che ds=ρdθ, dove ρ è il raggio del cosiddetto cerchio osculatore, ossia il cerchio tangente alla traiettoria nel punto considerato. L’accelerazione  an è diretta verso il centro di questo cerchio e pertanto è detta centripeta o radiale.

\frac{d\theta}{dt}=\frac{d\theta}{ds}\frac{ds}{dt}=\frac{1}{\rho}\frac{ds}{ds}\frac{ds}{dt}=\frac{\dot{s}}{\rho}=\frac{v_s}{\rho}

In conclusione l’accelerazione centripeta si può scrivere come:

\mathbf{a}_n =v_s\frac{d\mathbf{u}_t}{dt}=v_s\frac{d\theta}{dt}\mathbf{u}_n=\frac{(v_{s})^2}{\rho}\mathbf{u}_n

Rappresentazione intrinseca dell’accelerazione

Riassumendo, per un generico moto lungo la traiettoria γ, il vettore accelerazione si può esprimere tramite i suoi componenti:

\mathbf{a}=\mathbf{a}_t+\mathbf{a}_n  =\frac{dv_s}{dt}\mathbf{u}_t+v_s\frac{d\mathbf{u}_t}{dt}

L’accelerazione tangenziale

\mathbf{a}_t =\frac{dv_s}{dt}\mathbf{u}_t=\ddot{s}\mathbf{u}_t

è responsabile della variazione della velocità lungo la traiettoria ed è quindi nulla per un moto uniforme.

L’accelerazione centripeta

\mathbf{a}_n =\frac{(v_{s})^2}{\rho}\mathbf{u}_n=\frac{(\dot{s})^2}{\rho}\mathbf{u}_n

è responsabile della variazione di direzione della velocità ed è non nulla solo se la traiettoria è curvilinea, essendo pari a 0 per un moto rettilineo ρ→∞.

Figura 2.14: Componenti del vettore accelerazione.

Figura 2.14: Componenti del vettore accelerazione.


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