Home

Federica EU

1/23

Giuliana Fiorillo » 8.Dinamica dei sistemi

Dinamica dei sistemi

Concentreremo ora la nostra attenzione sullo studio di un sistema composto da più particelle, ad esempio una coppia di punti materiali interagenti, come due corpi celesti, o un gas, costituito da moltissimi elementi – atomi o molecole – ciascuno assimilabile ad un punto materiale.
In linea di principio il sistema di punti materiali può essere utilizzato anche come modello semplificato per un corpo esteso. Sarà sufficiente in questo caso estendere il modello ad un numero di punti infinito, ciascuno con massa infinitesima, in modo tale che l’insieme discreto diventi continuo. Questa descrizione fornisce una buona schematizzazione per i corpi rigidi, dove le distanze relative tra i punti materiali sono fisse.

Figura 8.1. Trottola (immagine tratta da wikimedia).

Centro di massa

La descrizione di un sistema di punti materiali è molto semplificata dall’osservazione che esiste un punto geometrico – detto centro di massa - la cui posizione è determinata dalla distribuzione delle masse di tutti i punti costituenti il sistema, che si muove come se tutta la massa del sistema fosse concentrata in quel punto e tutte le forze agenti sul sistema agissero su di esso.
Per renderci conto di questo fatto è sufficiente osservare il moto di un corpo lanciato in aria: i diversi punti del corpo si muovono in modo diverso ma esiste un particolare punto il cui moto è parabolico, in tutto identico a quello di un proiettile.

Figura 8.2. Il salto libero di uno sciatore: il centro di massa percorre una traiettoria parabolica (immagine tratta da wikipedia).

La posizione del centro di massa (1)

La posizione del centro di massa è definita come:
$\mathbf{r}_{C}=\frac{\sum_{i=1}^N m_i \mathbf{r}_i}{\sum_{i=1}^N m_i }=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^N m_i \mathbf{r}_i$
dove
$M=\sum_{i=1}^N m_i$
è la massa totale del sistema.
Il centro di massa si trova dunque in una posizione data dalla media ponderata di quelle effettivamente occupate dai singoli punti. Se la distribuzione delle masse gode di un asse di simmetria, il centro di massa si trova su di esso.
A titolo di esempio consideriamo il caso di due masse poste sull’asse x. Se $m_1=\alpha m_2$ si ha
$x_{\textsc{CM}}=\frac{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2}=\frac{\alpha x_1+x_2}{\alpha+1}$

Figura 8.3. Centro di massa di un sistema di due particelle. Fonte: Serway, Jewett, “Principi di Fisica Vol I”, Edises.

La posizione del centro di massa (2)

Esercizio 8.1

Calcolare la posizione del centro di massa del sistema di punti materiali rappresentato in figura.
Le masse m₁ m₂ e m₃ sono nei rapporti 1:3:2. Le loro coordinate espresse in cm sono rispettivamente
$\begin{array}{l} \mathbf{r}_1=(1,2,1) \\ \mathbf{r}_2=(2,3,0) \\ \mathbf{r}_3=(0,3,3) \end{array}$

Soluzione

Detta m la massa m₁ la massa totale è 6m. Le coordinate del centro di massa sono dunque
$\left\{ \begin{array}{l}x_C=\dfrac{ m \times 1+3m \times 2 +2m \times 0}{6m}=1.2\text{ cm}\\ y_C=\dfrac{ m \times 2+3m \times 3 +2m \times 3}{6m}=2.8\text{ cm}\\z_C=\dfrac{ m \times 1+3m \times 0 +2m \times 3}{6m}=1.2\text{ cm} \end{array} \right.$

Figura 8.3b. Centro di massa di un sistema di tre punti materiali.

Quantità di moto

Per dimostrare che il punto definito sopra come centro di massa descrive il moto complessivo del sistema, consideriamo la sua velocità. Derivando l’equazione che definisce la posizione del centro di massa si ottiene
$\mathbf{v}_{C}=\frac{d \mathbf{r}_{C}}{dt }=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^N m_i \frac{d \mathbf{r}_i}{dt}=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^N m_i \mathbf{v}_i$

La quantità che compare alla destra dell’equazione precedente è il vettore ottenuto sommando le quantità di moto dei singoli punti, ossia la quantità di moto totale del sistema
$\sum_{i=1}^N m_i\mathbf{v}_i=\sum_{i=1}^N \mathbf{q}_i=\mathbf{Q}$

Essa obbedisce al primo teorema del centro di massa
$\mathbf{Q}=M\mathbf{v}_{C}$
ossia la quantità di moto del sistema è pari alla velocità del centro di massa per la massa totale del sistema.

Forze interne e forze esterne

Su un qualunque punto di un sistema complesso agiscono forze da parte degli altri punti del sistema (forze interne) e forze dall’esterno del sistema (forze esterne).
Sia f_ij la forza che il punto i-esimo fa sul punto j-esimo. Per il terzo principio della dinamica sul punto i-esimo agisce una forza uguale e contraria f_ji=-f_ij
Indicando con f_i^(e) la risultante delle forze che sul punto i-esimo agiscono dall’esterno, per il secondo principio della dinamica si avrà
$\frac{d\mathbf{q}_i}{dt}=\mathbf{f}_i^{(e)}+\sum_{j\neq i}\mathbf{f}_{ji}$
La derivata della quantità di moto totale si ottiene sommando su tutti i punti del sistema:
$\frac{d\mathbf{Q}}{dt}=\sum_i\frac{d\mathbf{q}_i}{dt}=\sum_i\mathbf{f}_i^{(e)}+\sum_{i,j\neq i}\mathbf{f}_{ji}$
dove, per quanto detto sopra il secondo termine della somma è nullo
$\sum_{i,j\neq i}\mathbf{f}_{ji}=\sum_i\sum_{j>i}\left(\mathbf{f}_{ji}+\mathbf{f}_{ij}\right)=0$

Figura 8.4. Forze interne e forze esterne ad un sistema.

Moto del centro di massa

Il moto del centro di massa è dunque determinato dalle forze esterne al sistema
$\frac{d\mathbf{Q}}{dt}=\sum_i\mathbf{f}_i^{(e)}=\mathbf{F}^{(e)}$
che è la prima equazione della dinamica dei sistemi, valida in un sistema di riferimento inerziale per qualunque sistema materiale.
Da essa si ricava il secondo teorema del centro di massa
$\mathbf{F}^{(e)}=M\mathbf{a}_{C}$
il centro di massa si muove come se la massa totale del sistema fosse concentrata in esso e ad essa fosse applicata la risultante delle sole forze esterne.

Questa circostanza ci induce a scegliere il contorno del sistema in modo da poter considerare esterne tutte le forze note ed interne quelle ignote, così da poter determinare il moto del sistema almeno per quanto riguarda il suo centro di massa. Il moto del centro di massa fornisce informazioni sulla parte traslatoria del moto complessivo del sistema.

Il caso della forza peso

Esempio 8.1: la forza peso

Il caso illustrato nell’immagine mostrata a fianco può essere descritto come un insieme di punti materiali soggetti alla forza peso.
Per il secondo teorema del centro di massa
$M\mathbf{a}_{C} =\mathbf{F}^{(e)}= \sum_i m_i\mathbf{g}=M\mathbf{g}$
Ossia il centro di massa si muove con accelerazione g, indipendentemente dall’azione delle forze interne.
Se ad esempio tra i punti agissero forze elettriche o elastiche, questi si muoverebbero lungo traiettorie complicate a causa della mutua attrazione/repulsione; il centro di massa però descrive una semplice parabola con accelerazione g.

Figura 8.2. Il salto libero di uno sciatore: il centro di massa percorre una traiettoria parabolica (immagine tratta da wikipedia).

Moto del centro di massa (2)

Esercizio 8.2

Un corpo di massa m₁ scivola su un piano orizzontale liscio sotto l’azione di una forza esterna F. Su di esso è posto un corpo di massa m₂ libero di muoversi rispetto ad m₁ e tra i due corpi agisce una forza di attrito radente con coefficiente di attrito dinamico μ_d. Si calcoli l’accelerazione dei due corpi.

Soluzione
Le equazioni del moto dei due corpi si scrivono
$\left\{ \begin{array}{l}\mathbf{F}+\mathbf{f}_d+\mathbf{P}_1+\mathbf{N}_1=m\mathbf{a}_1\\ -\mathbf{f}_d+\mathbf{P}_2+\mathbf{N}_2=m\mathbf{a}_2\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{l}F-\mu_dN_2=m_1a_1\\\mu_dN_2=m_2a_2\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{l}a_1=\dfrac{F-\mu_dm_2g}{m_1}\\a_2=\mu_dg\end{array}\right.$
$a_{C}=\frac{m_1a_1+m_2a_2}{m_1+m_2}=\frac{F}{m_1+m_2}$
Il moto del centro di massa è determinato unicamente dalla forza esterna F.

Figura 8.4b. Esercizio 8.2

Momento angolare

Indicazioni sul moto rotatorio dei sistemi si possono ottenere dallo studio del momento angolare totale. Esso è definito come la somma dei momenti angolari dei singoli punti:
$\mathbf{L}=\sum_i \mathbf{l}_i=\sum_i (\mathbf{r}_i \times \mathbf{q}_i)$
Rispetto ad un polo qualunque O
$\mathbf{L}_{O}=\sum_i (\mathbf{r}_i \times \mathbf{q}_i)=\sum_i \left[(\mathbf{r}_i -\mathbf{r}_{C})\times \mathbf{q}_i+\mathbf{r}_{C}\times \mathbf{q}_i\right]=\mathbf{L}_{C}+\mathbf{r}_{C}\times \mathbf{Q}$

Terzo teorema del centro di massa:
il momento angolare di un sistema è la somma del momento angolare totale rispetto al centro di massa e del momento angolare di un punto materiale posto nel centro di massa e avente la quantità di moto complessiva del sistema.

Sistema del centro di massa

Nel sistema di riferimento con origine nel centro di massa e ad esso solidale (sistema del centro di massa) si ha:
$\begin{array}{rl}\mathbf{L}'_{C}= &\sum_i (\mathbf{r}'_i \times m_i\mathbf{v}'_i)=\sum_i m_i\left[ (\mathbf{r}_i- \mathbf{r}_{C})\times (\mathbf{v}_i- \mathbf{v}_{C})\right] =\\ =&\sum_i \left[ (\mathbf{r}_i- \mathbf{r}_{C})\times \mathbf{q}_i \right] -\left( \sum_i m_i\mathbf{r}_i\right) \times \mathbf{v}_{C}+\left( \sum_i m_i\right) \mathbf{r}_{C}\times \mathbf{v}_{C}=\\ = &\mathbf{L}_{C}-M\mathbf{r}_{C}\times \mathbf{v}_{C}+M\mathbf{r}_{C}\times \mathbf{v}_{C}=\mathbf{L}_{C}\end{array}$
Quindi il momento angolare totale nel sistema del centro di massa è uguale a quello calcolato nel sistema del laboratorio rispetto al punto C
$\mathbf{L}'_{C}=\mathbf{L}_{C}$

Moto rispetto al centro di massa

Il terzo teorema del centro di massa può allora essere scritto come
$\mathbf{L}_{O}=\mathbf{L}'_{C}+\mathbf{r}_{C}\times \mathbf{Q}$
relazione che esprime il cosiddetto teorema di Koenig per il momento angolare. Essa mostra che la componente rotazionale del moto del sistema può essere descritta come la somma di due termini relativi a

la rotazione dei punti del sistema rispetto al centro di massa $\mathbf{L}'_{C}$
la rotazione del centro di massa rispetto al punto O $\mathbf{r}_{C}\times\mathbf{Q}$

Calcolo del momento angolare

Esercizio 8.3
Si determini il valore del momento angolare nel sistema del laboratorio ed in quello del centro di massa nei due casi in figura.
Soluzione
Nel primo caso il centro di massa coincide col polo O e la sua velocità è nulla; quindi
$\mathbf{L}_{O} =\mathbf{L}'_{C}=\mathbf{L}_{C} =2m\mathbf{r}\times \mathbf{v}$
Il modulo del momento angolare è $L=2mdv$
Nel secondo caso,
$\mathbf{r}_C=\frac{1}{2}(\mathbf{r}_1+\mathbf{r}_2)$
La velocità del centro di massa è v e la quantità di moto del sistema è
$\mathbf{Q}=2m\mathbf{v}$
Il momento angolare nel sistema del centro di massa è nullo e quello nel laboratorio è
$\mathbf{L}_{O}=\mathbf{r}_{C}\times \mathbf{Q}=\frac{1}{2}(\mathbf{r}_1+\mathbf{r}_2)\times 2m\mathbf{v}$
con modulo

$L=2mhv$

Figura 8.5. Esercizio 8.3

Momento risultante

Il momento risultante di tutte le forze agenti sul sistema è
$\mathbf{M}=\sum_i \mathbf{m}_i=\sum_i\mathbf{r}_i \times \left(\mathbf{f}_i^{(e)}+\sum_{j\neq i}\mathbf{f}_{ji}\right)=\mathbf{M}^{(e)}+\mathbf{M}^{(i)}$
Il termine dovuto alle forze interne è nullo per il principio di azione e reazione, infatti si può scrivere
$\mathbf{M}^{(i)}=\sum_{i,j\neq i}\mathbf{r}_i \times \mathbf{f}_{ji}=\sum_i\sum_{j>i}\left(\mathbf{r}_i \times \mathbf{f}_{ji}+\mathbf{r}_j \times\mathbf{f}_{ij}\right)=\sum_i\sum_{j>i}\left(\mathbf{r}_i -\mathbf{r}_j\right)\times \mathbf{f}_{ji}=0$
perché
$(\mathbf{r}_i -\mathbf{r}_j)\parallel \mathbf{f}_{ji}$

È immediato quindi verificare la seconda equazione della dinamica dei sistemi che stabilisce, in un sistema di riferimento inerziale, la relazione tra la derivata temporale del momento angolare totale ed il momento delle forze esterne agenti sul sistema
$\frac{d\mathbf{L}}{dt}=\sum_i\frac{d\mathbf{l}_i}{dt}=\sum_i \mathbf{m}_i=\mathbf{M}^{(e)}$

Equazioni cardinali

Riassumendo quanto detto sopra dunque possiamo scrivere le equazioni cardinali della dinamica dei sistemi, valide per sistemi di riferimento inerziali
$\left\{\begin{array}{l}\dfrac{d\mathbf{Q}}{dt}=\mathbf{F}^{(e)}\\ \dfrac{d\mathbf{L}}{dt}=\mathbf{M}^{(e)}\end{array}\right.$
Le equazioni cardinali (equivalenti a 6 equazioni scalari) rappresentano tutte le informazioni che possiamo avere sulle grandezze caratteristiche del sistema, la quantità di moto ed il momento angolare.

Per un sistema isolato, ossia un sistema che non interagisce con l’ambiente circostante, la quantità di moto totale ed il momento angolare totale si conservano.

Conservazione della quantità di moto (1)

In un sistema isolato la quantità di moto totale si conserva. Questa legge è più generale della legge di conservazione dell’energia meccanica perché spesso le forze interne sono non conservative. Queste forze determinano variazioni dell’energia meccanica totale del sistema, ma il loro effetto non altera la quantità di moto totale del sistema. Essendo una relazione vettoriale, la legge è valida per ciascuna componente.

Esercizio 8.4
Alberto e Bianca si trovano a bordo di un pattino. Le loro masse sono rispettivamente 75 kg e 52 kg. Ad un dato istante i due ragazzi si tuffano con la stessa velocità ma direzioni diverse, rispettivamente verso Est e verso Sud. Trovare la direzione in cui si sposta il pattino.

Suggerimento
Poiché sul sistema composto dal pattino di massa M e dai due ragazzi di massa m_A e m_B non agiscono forze esterne nel piano della superficie, la componente della quantità di moto complessiva rimane costante in quel piano. Essendo nulla prima del tuffo, essa dovrà rimanere nulla anche dopo che i ragazzi si sono tuffati.
$\mathbf{Q}=M\mathbf{V}+m_A\mathbf{v}_A+m_B\mathbf{v}_B=0$

Figura 8.6. Due ragazzi si tuffano da un pattino.

Conservazione della quantità di moto (2)

Soluzione esercizio 8.4
Le componenti della velocità del pattino nel piano soddisfano dunque le equazioni
$\left\{ \begin{array}{l} V_y=-\dfrac{m_Av_{Ay}+m_Bv_{By}}{M}\\V_x=-\dfrac{m_Av_{Ax}+m_Bv_{Bx}}{M} \end{array} \right.$
dalle quali si ricava
$\Rightarrow \tan{\alpha}=\frac{V_y}{V_x}=\dfrac{m_Av_{Ay}+m_Bv_{By}}{m_Av_{Ax}+m_Bv_{Bx}}$
Scegliendo l’asse y diretto verso il Nord e l’asse x diretto verso Est, si ha
$\begin{array}{l}\mathbf{v}_A=v\mathbf{i}\\\mathbf{v}_B=-v\mathbf{j}\end{array}$
E infine
$\tan{\alpha}=\dfrac{-m_Bv}{m_Av}=\dfrac{-52\text{ kg}}{75\text{ kg}} \Rightarrow \alpha=145^{\circ}$

Figura 8.6. Due ragazzi si tuffano da un pattino.

Conservazione del momento angolare (1)

In un sistema isolato il momento angolare totale si conserva. Come per la quantità di moto, questa legge descrive una proprietà molto generale dei sistemi, che discende direttamente dall’isotropia dello spazio, ossia dal fatto che non esiste per un sistema isolato una direzione privilegiata.

Esercizio 8.5
Due punti materiali di massa uguale sono legati tra loro rigidamente e ruotano in un piano orizzontale senza attrito attorno al centro O.
In figura sono rappresentate le due situazioni: inizialmente le due masse sono a distanza 2r₁ e ruotano con velocità
$\omega_1=\tfrac{v_1}{r_1}$ ; successivamente la loro distanza aumenta (per effetto di forze interne) sino a diventare 2r₂. Si calcoli la velocità finale $\omega_2$ .

Suggerimento
Le forze esterne al sistema, la forza peso e la reazione del piano, hanno momento nullo rispetto al centro O. La tensione che fornisce la forza centripeta necessaria al moto circolare è interna al sistema ed ha momento nullo. Si può dunque utilizzare la conservazione del momento angolare rispetto al centro O.

Figura 8.7. Esercizio 8.5

Conservazione del momento angolare (2)

Soluzione esercizio 8.5
Il momento angolare iniziale è ortogonale al piano del moto e diretto verso l’osservatore
$L_i=2r_1mv_1=2mr_1^2\omega_1$
Dopo l’allontanamento delle due masse, il momento angolare è
$L_f=2r_2mv_2=2mr_2^2\omega_2$
Poiché
$L_f=L_i$
Si ricava
$\omega_2=\omega_1\frac{ r_1^2}{r_2^2}$
Ossia il sistema rallenta la sua velocità di rotazione.

Figura 8.7. Esercizio 8.5

Energia cinetica

Per definire l’energia del sistema di particelle procediamo in modo analogo a quanto fatto per le grandezze fisiche Q e L.
L’energia cinetica totale è
$K=\sum_i\frac{1}{2}m_i v^2_i$
La velocità di ciascuna particella può essere espressa come somma della velocità nel sistema del centro di massa più la velocità di trascinamento del centro di massa
$v^2_i =(\mathbf{v}'_i+\mathbf{v}_C)\cdot (\mathbf{v}'_i+\mathbf{v}_C)=v'^2_i+v^2_C+2\mathbf{v}'_i\cdot\mathbf{v}_C$
Con questa sostituzione riscriviamo l’energia cinetica totale
$K=\sum_i\frac{1}{2}m_iv'^2_i+\frac{1}{2}Mv^2_C+\left(\sum_im_i\mathbf{v}'_i\right)\cdot\mathbf{v}_C$
L’ultimo termine è proporzionale alla quantità di moto complessiva nel centro di massa, che è identicamente nulla, quindi:
$K=K'+\frac{1}{2}Mv^2_C=K'+K_C$
L’energia cinetica di un sistema può scriversi come la somma dell’energia cinetica calcolata nel sistema del centro di massa e di un termine che rappresenta l’energia che avrebbe un punto materiale di massa uguale ad M e coincidente col centro di massa (teorema di Koenig per l’energia cinetica).

Lavoro per un sistema di punti

Il lavoro svolto dalle forze agenti sul punto materiale i-esimo è in forma infinitesima
$\delta L_i=\mathbf{f}_i\cdot d\mathbf{r}_i =\mathbf{f}_i^{(e)}\cdot d\mathbf{r}_i+\sum_{j\neq i}\mathbf{f}_{ji}\cdot d\mathbf{r}_i$
Sommando su tutti i punti del sistema
$\delta L=\sum_i\mathbf{f}_i^{(e)}\cdot d\mathbf{r}_i+\sum_{i,j\neq i}\mathbf{f}_{ji}\cdot d\mathbf{r}_i=\delta L^{(e)}+\delta L^{(i)}$
Il lavoro può esprimersi come somma del lavoro svolto dalle forze esterne e di quello svolto dalle forze interne. Quest’ultimo contributo non è necessariamente nullo, a meno che le mutue distanze tra i punti non siano fisse (come per un corpo rigido). Infatti
$\begin{array}{rl}\delta L^{(i)}=&\sum_{i,j\neq i}\mathbf{f}_{ji}\cdot d\mathbf{r}_i=\sum_i\sum_{j>i}\left(\mathbf{f}_{ji}\cdot d\mathbf{r}_i+\mathbf{f}_{ij}\cdot d\mathbf{r}_j\right)=\\=&\sum_i\sum_{j>i}\mathbf{f}_{ij}\cdot\left(d\mathbf{r}_j-d\mathbf{r}_i\right)=\sum_i\sum_{j>i}\mathbf{f}_{ij}\cdot d\mathbf{r}_{ij}\end{array}$

Il teorema dell’energia cinetica

Ricordando l’espressione dell’energia cinetica totale del sistema, possiamo scrivere
$\delta L=\sum_i\frac{d}{dt}(m\mathbf{v}_i)\cdot \mathbf{v}_i dt= \sum_i d(\frac{1}{2}m v_i^2)=d\left(\sum_i\frac{1}{2}m_i v^2_i\right)=dK$
In generale dunque il teorema dell’energia cinetica per un sistema di punti materiali si esprime come segue
$L^{(e)}+L^{(i)}=\Delta K$
Se le forze interne sono tutte conservative, il lavoro svolto da esse può scriversi come variazione della corrispondente energia potenziale. Di conseguenza, è possibile definire l’energia propria del sistema in modo che il lavoro delle forze esterne risulti uguale alla sua variazione
$L^{(e)} =\Delta (K+V^{(i)})=\Delta E^{(0)}$
Utilizzando il teorema di Koenig per l’energia cinetica è possibile evidenziare nell’espressione precedente l’energia interna del sistema U, ossia l’energia propria nel sistema del centro di massa
$U= K'+V^{(i)}$
e in conclusione risulta
$L^{(e)}=\Delta E^{(0)}=\Delta (K'+K_C+V^{(i)})=\Delta U+\Delta K_C$

Conservazione dell’energia

Quando tutte le forze, sia esterne che interne, sono conservative si ha la conservazione dell’energia meccanica del sistema
$L^{(e)} =-\Delta V^{(e)}=\Delta E^{(0)}\Rightarrow \Delta (K+V^{(i)}+V^{(e)})=\Delta E_M=0$
In una descrizione dei sistemi in termini di costituenti elementari, le forze interne sono interazioni fondamentali e pertanto tutte conservative; in tal caso, la variazione dell’energia meccanica è dovuta unicamente al lavoro delle forze non conservative
$\Delta E_M=L^{nc}$
Nei fenomeni macroscopici si ha a che fare con forze dissipative e dunque in generale l’energia meccanica non è quasi mai conservata, nemmeno per un sistema isolato. In un approccio macroscopico si devono prendere in considerazione forme di energia di altro tipo (energia chimica o nucleare ad esempio) che entrano nel bilancio energetico tramite l’equazione di continuità per l’energia:
$\Delta E=\sum H$
dove E comprende tutte le forme di energia e H è l’energia scambiata con l’ambiente esterno (ad esempio sotto forma di calore o di lavoro).
L’esperienza dimostra che tale equazione ha validità universale ossia vale il Principio di conservazione dell’energia:
in un sistema isolato l’energia totale si conserva
$\Delta E=0$