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Giuliana Fiorillo » 4.Principi di dinamica del punto materiale


Dinamica classica

Le leggi della Meccanica consentono di prevedere il moto dei corpi note le condizioni al contorno e le interazioni con l’ambiente. In generale gli obiettivi della Meccanica sono due:

  1. note le forze agenti su un corpo, ricavare la legge del moto;
  2. noto il moto di un corpo, derivare le leggi di forza alle quali è soggetto.

Si definiscono PRINCIPI quelle leggi che descrivono tutti i sistemi fisici relativamente ad una classe molto estesa di fenomeni.
La loro validità è comunque limitata dalla conferma sperimentale.
La dinamica classica o Newtoniana trova i suoi limiti nelle dimensioni del sistema in esame e nella sua velocità:

  • per dimensioni dell’ordine delle dimensioni atomiche è necessario ricorrere alla meccanica quantistica
  • per velocità vicine a quella della luce occorre utilizzare la relatività speciale.

Entrambe queste teorie sono verificate sperimentalmente in laboratorio, entrambe possono approssimarsi con la meccanica classica quando sono riferite ad un sistema fisico di grandi dimensioni in moto lento.

Fig. 4.1. Schema concettuale della Meccanica classica

Fig. 4.1. Schema concettuale della Meccanica classica


Definizione di forza

Il concetto di forza è associato alla deformazione di un corpo o alle variazioni del suo stato di moto.
La definizione operativa di questa grandezza dunque può essere di tipo statico o dinamico.
Per introdurre i principi della dinamica partiremo dalla definizione statica di forza, che fa uso di uno strumento detto dinamometro, costituito da una molla graduata – ossia un oggetto la cui deformazione è proporzionale all’intensità della forza ad esso applicata. Esso ci consente un confronto tra forze diverse.
La natura vettoriale delle forze è verificata sperimentalmente come in figura:

  • gli effetti di due forze applicate contemporaneamente si sommano;
  • le regole di somma delle forze sono quelle dell’algebra vettoriale.

Quindi le forze sono vettori e le loro azioni simultanee sono indipendenti (principio di sovrapposizione).
In base a questo principio due forze uguali e opposte agenti sullo stesso corpo si compensano a vicenda e ne assicurano l’equilibrio.

Figura 4.2. Natura vettoriale delle forze (immagine tratta dal Serway)

Figura 4.2. Natura vettoriale delle forze (immagine tratta dal Serway)


Reazioni vincolari

Alcune forze hanno il solo effetto di limitare il moto di un corpo. Ad esempio il cavo che sostiene un lampadario esercita una forza esattamente opposta al peso di quest’ultimo, in modo da garantirne l’equilibrio. Analogamente un corpo posto su un piano è soggetto, oltre alla sua forza peso, anche ad una forza opposta che lo mantiene in equilibrio.
Queste forze sono dette di reazione perché dipendono dall’azione di altre forze.
Il vincolo è detto liscio se la reazione è perpendicolare alla superficie di contatto, altrimenti è detto scabro e in tal caso il componente tangente alla superficie è chiamato ATTRITO.

Figura 4.3. Esempio di reazione vincolare (immagine tratta dal Serway)

Figura 4.3. Esempio di reazione vincolare (immagine tratta dal Serway)


Principio di inerzia

Sperimentalmente si osserva che se un corpo (in questo caso assimilato ad un punto materiale) è in quiete, la risultante delle forze agenti su di esso è nulla.

\mathbf{v}=0\Rightarrow \mathbf{F}=0

D’altra parte non è vero che un corpo soggetto a forze con risultante nulla sia necessariamente in quiete

\mathbf{F}=0\nRightarrow \mathbf{v}=0

infatti un semplice esperimento con un piano inclinato dimostrerà che un corpo lasciato libero di scivolare giù dal piano continuerà a muoversi anche sulla superficie orizzontale alla sua base tanto più a lungo quanto più questa può essere considerata liscia, ciò malgrado sul corpo agisca una risultante nulla.
Questo tipo di esperimenti condusse Galileo a concludere che in assenza di attrito il corpo non rallenterebbe affatto, ossia si muoverebbe con velocità costante

\mathbf{F}=0\Rightarrow \mathbf{v}=\text{cost.}

Poiché l’inerzia è la tendenza a non cambiare la velocità, questo principio prende il nome di Principio di inerzia.

Figura 4.4. Esperimento sul piano inclinato

Figura 4.4. Esperimento sul piano inclinato


Sistemi di riferimento inerziali

Chiaramente il Principio di inerzia non può valere in tutti i sistemi di riferimento. Ad esempio una traiettoria rettilinea in un sistema S può apparire come curvilinea in un secondo sistema in rotazione rispetto ad S (in particolare il sistema terrestre non soddisfa il principio di inerzia).
Si chiama SISTEMA INERZIALE un sistema in cui vale il Principio di inerzia.
Un sistema approssimativamente inerziale è quello con origine nel Sole ed assi puntati verso le stelle fisse. (Poiché anche il Sole è in rotazione rispetto al centro della galassia anche questo sistema in realtà non soddisfa esattamente il principio di inerzia.)
Trovato un sistema inerziale S_0, un corpo libero, cioè non soggetto a forze (isolato) oppure soggetto a forze con risultante nulla, si troverà in quiete o si muoverà di moto rettilineo uniforme. Un osservatore in qualsiasi altro sistema di riferimento S’ in moto di traslazione rettilinea uniforme con velocità V rispetto a S_0 misurerà per il corpo libero una velocità costante

\mathbf{v}'=\mathbf{v}-\mathbf{V}

Quindi S’ è anch’esso un sistema inerziale.
È dovuta a Newton la formulazione del Primo principio della dinamica o prima legge di Newton:
esistono infiniti sistemi di riferimento detti inerziali, rispetto ai quali un punto materiale libero ha velocità costante

Secondo principio della dinamica

Si osserva sperimentalmente che una forza applicata ad un corpo, assimilabile ad un punto materiale, produce una variazione del suo stato di moto, ossia una variazione della velocità.
L’accelerazione del corpo in questo caso risulta parallela alla forza applicata e proporzionale alla sua intensità.

\mathbf{a}\propto\mathbf{F}

Se più forze agiscono contemporaneamente l’accelerazione osservata è uguale alla somma delle accelerazioni prodotte da ciascuna delle forze applicate singolarmente e risulta proporzionale alla risultante delle forze

\mathbf{a}=\sum_{k=1}^{n}\mathbf{a}_k\propto\sum_{k=1}^{n}\mathbf{F}_k=\mathbf{F}

Gli esperimenti dunque suggeriscono che anche in condizioni dinamiche vale il principio di sovrapposizione (indipendenza delle azioni simultanee).
Inoltre applicando al medesimo corpo forze diverse è possibile verificare che il rapporto tra forza e accelerazione rimane invariato, ossia è una costante caratteristica del corpo considerato chiamata massa inerziale m.
Queste osservazioni costituiscono la base del Secondo principio della dinamica o seconda legge di Newton:
in un sistema di riferimento inerziale un corpo si muove di moto accelerato se su di esso agisce una forza risultante non nulla; tra forza risultante ed accelerazione esiste in ogni istante la relazione

\mathbf{F}=m\mathbf{a}

Massa inerziale

Per comprendere il significato della massa inerziale applichiamo la medesima forza F a due corpi diversi; essi acquisteranno le accelerazioni

\mathbf{F}=m_1\mathbf{a}_1=m_2\mathbf{a}_2

Il rapporto tra a_1 e a_2 è indipendente dalla forza applicata e inversamente proporzionale al rapporto tra le masse dei corpi:

\frac{a_1}{a_2}=\frac{m_2}{m_1}

La massa è dunque una proprietà intrinseca di un corpo che ne misura l’inerzia. Maggiore la massa minore sarà l’accelerazione conseguita dal corpo.
Fissata arbitrariamente la massa di un corpo campione, la massa di qualsiasi altro corpo potrà essere stabilita misurando le accelerazioni prodotte sul campione e sul corpo in esame da una medesima forza.
Poiché la massa è assunta come grandezza fondamentale nel SI, la forza è una grandezza derivata, le cui dimensioni possono essere ricavate dalla seconda legge di Newton
\left[F\right]=\left[m\right]\left[a\right]=\left[MLT^{-2}\right]

l’unità di misura della forza è il Newton, definito come
1\text{ N}=1\text{ kg m/s}^2

Legge di forza ed equazione del moto

Note le condizioni al contorno e la legge di forza, il secondo principio consente di ricavare la legge del moto del punto materiale.
L’equazione vettoriale che esprime la seconda legge della dinamica

\mathbf{F}=m\mathbf{a}\Rightarrow \mathbf{F}(\mathbf{r},\frac{d\mathbf{r}}{dt},t)=m\frac{d^2\mathbf{r}(t)}{dt^2}

è equivalente ad un sistema di tre equazioni differenziali del secondo ordine, che in alcuni casi può essere risolto analiticamente.

Ad esempio, se la risultante delle forze è costante \mathbf{F}=\mathbf{f}_0, l’equazione diventa
\frac{d^2\mathbf{r}(t)}{dt^2}=\frac{\mathbf{f}_0}{m} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} \frac{d^2x(t)}{dt^2}=\frac{f_{0x}}{m}\\ \frac{d^2y(t)}{dt^2}=\frac{f_{0y}}{m} \\ \frac{d^2z(t)}{dt^2}=\frac{f_{0z}}{m}\end{array}\right.

la cui soluzione è la legge del moto uniformemente accelerato

\left\{\begin{array}{l} x(t)=\frac{f_{0x}}{2m}t^2+v_{0x}t+x_0\\ y(t)=\frac{f_{0y}}{2m}t^2+v_{0y}t+y_0\\ z(t)=\frac{f_{0z}}{2m}t^2+v_{0z}t+z_0\end{array}\right. \Rightarrow \mathbf{r}(t)=\frac{\mathbf{f}_{0}}{2m}t^2+\mathbf{v}_{0}t+\mathbf{r}_0

La forza peso

Un esempio di forza costante è la forza peso.
È un fatto sperimentale che tutti i corpi cadono nel vuoto con la stessa accelerazione, detta accelerazione gravitazionale g (il valore di g dipende dal luogo di misurazione e sulla Terra vale in media 9,81 \text{ m/s}^2).
Di conseguenza per la seconda legge di Newton possiamo esprimere il peso di in corpo come \mathbf{P}=m\mathbf{g}
È la forza peso che viene equilibrata nella bilancia la quale dunque fornisce una misura del peso e non della massa. Poiché la bilancia rimane in equilibrio indipendentemente dal luogo dove viene effettuata la misura, i corpi di ugual peso hanno in comune una proprietà intrinseca m_g detta massa gravitazionale tale che \mathbf{P}=m_g\vec {\gamma} e \vec{\gamma} dipende dal luogo ma non dal corpo considerato.

Si avrà dunque

m_g\vec{\gamma}=m\mathbf{g}

e il rapporto tra massa gravitazionale e massa inerziale risulta indipendente dal corpo considerato (principio di equivalenza).

\frac{m_{g}}{m}=\text{cost.}

Scegliendo lo stesso campione per massa inerziale e massa gravitazionale, si possono caratterizzare entrambe le proprietà con lo stesso valore m.

Terzo principio della dinamica

Perché su un corpo agisca una forza è necessario che ci sia almeno un altro corpo col quale esso interagisce.
Si osserva che ogni qualvolta un corpo subisce l’azione di un secondo corpo \mathbf{f}_{21}, anche quest’ultimo è soggetto a una forza \mathbf{f}_{12}

\mathbf{f}_{12}=-\mathbf{f}_{21}

Il Terzo principio della dinamica afferma che ad ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria.
Le forze dunque si presentano sempre in coppia. Si noti che il terzo principio riguarda una coppia di corpi e le due forze sono applicate a corpi diversi: esse non si annullano a vicenda!

Figura 4.5. La terza legge di Newton

Figura 4.5. La terza legge di Newton


Quantità di moto e impulso

Una formulazione moderna dei principi della dinamica utilizza il concetto di quantità di moto, definita come \mathbf{q}=m\mathbf{v}

Il primo principio si esprime dunque nella forma: in un sistema di riferimento inerziale una particella libera ha quantità di moto costante.
Se invece sul punto materiale agisce una risultante non nulla la quantità di moto varierà

\frac{d\mathbf{q}}{dt}=m\frac{d\mathbf{v}}{dt}+\frac{dm}{dt}\mathbf{v}

considerando anche la possibilità che la massa del sistema possa variare.

Quantità di moto e impulso (segue)

La generalizzazione del secondo principio della dinamica è espressa dalla relazione

\mathbf{F}=\frac{d\mathbf{q}}{dt}

Se la forza \mathbf{F} agisce in un intervallo di tempo Δt la variazione della quantità di moto si può calcolare dall’integrale

\mathbf{I}=\int_{t_1}^{t_2}\mathbf{F}(t)dt=\int_{t_1}^{t_2}\frac{d\mathbf{q}}{dt}dt=\int_{t_1}^{t_2}d\mathbf{q}=\mathbf{q}(t_2)-\mathbf{q}(t_1)=\Delta\mathbf{q}

che è chiamato impulso della forza.
Teorema dell’impulso: l’impulso della forza risultante agente su un punto materiale durante un dato intervallo di tempo Δt è uguale alla variazione della quantità di moto in Δt

Momento angolare

Per un generico vettore a il momento rispetto al polo O è definito come il vettore
\mathbf{m}=\mathbf{r}\times \mathbf{a}
Il momento della quantità di moto è chiamato momento angolare
\mathbf{L}=\mathbf{r}\times \mathbf{q}
Dal secondo principio della dinamica è possibile ricavare un’espressione del momento angolare valida per il moto di ogni punto materiale:
\frac{d\mathbf{L}}{dt}=\frac{d\mathbf{r}}{dt}\times\mathbf{q}+ \mathbf{r}\times \frac{d\mathbf{q}}{dt}=\mathbf{v}\times m\mathbf{v}+ \mathbf{r}\times\mathbf{F}= 0+\mathbf{M}
\Rightarrow \frac{d\mathbf{L}}{dt}=\mathbf{M}\end{array}

dove M è il momento della forza risultante rispetto a O.

Per il momento angolare vale un teorema analogo a quello dell’impulso
\Delta\mathbf{L}=\int_{t_1}^{t_2}\mathbf{M}(t)dt

Figura 4.6. Momento angolare di una particella

Figura 4.6. Momento angolare di una particella


Leggi di conservazione

Dal secondo principio della dinamica si deduce dunque che per un punto materiale libero (o per un sistema isolato)

  • la quantità di moto è costante (legge di conservazione della quantità di moto);
  • il momento angolare è costante (legge di conservazione del momento angolare).

Queste due affermazioni hanno carattere ancor più generale del secondo principio in quanto conservano la loro validità anche nel campo della Relatività e della Meccanica Quantistica.
Se consideriamo un sistema isolato di due particelle interagenti tra loro, la quantità di moto complessiva del sistema sarà data da \mathbf{Q}= \mathbf{q}_1+\mathbf{q}_2 e per la seconda legge di Newton si avrà

\frac{d\mathbf{q}_1}{dt}+\frac{d\mathbf{q}_2}{dt}=\mathbf{f}_{21}+\mathbf{f}_{12}

\left\{\begin{array}{lcl}\frac{d\mathbf{Q}}{dt}=0 & \Leftrightarrow & \mathbf{f}_{12}=-\mathbf{f}_{21} \\\frac{d\mathbf{L}}{dt}=0 &\Leftrightarrow &\mathbf{m}_{12}=-\mathbf{m}_{21} \end{array}\right.

Ossia dai principi di conservazione della quantità di moto e del momento angolare deriva il principio di azione e reazione di Newton. Le forze devono essere uguali e contrarie, ed inoltre devono agire sulla stessa retta di azione:

\begin{array}{l}\mathbf{m}_{21}+\mathbf{m}_{12}=\mathbf{r}_1\times\mathbf{f}_{21}+\mathbf{r}_2\times \mathbf{f}_{12}=(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2)\times\mathbf{f}_{21} \\ \mathbf{m}_{21}+\mathbf{m}_{12}=0\Rightarrow\mathbf{r}_{21}\parallel \mathbf{f}_{21}\end{array}

Interazioni fondamentali

Si è detto che le forze sono espressione delle interazioni che il corpo ha con l’ambiente circostante.
Per ambiente si intende l’insieme dei corpi coi quali il sistema in esame interagisce, trascurando quelli le cui interazioni hanno effetti non rilevanti ai fini del problema.
A livello macroscopico le interazioni possono essere dovute al contatto tra i corpi o agire a distanza ma la distinzione sparisce a livello microscopico, dove tutte le interazioni sono ricondotte a quelle fondamentali tra particelle elementari. I sistemi complessi vengono quindi considerati come strutture complicate ma pur sempre spiegabili in termini dei loro elementi e delle interazioni fra questi.
Oggi riusciamo a spiegare i fenomeni complessi in termini di tre sole interazioni fondamentali:

  • l’interazione gravitazionale
  • l’interazione elettrodebole
  • l’interazione forte
Figura 4.7. Il rivelatore ATLAS del CERN di Ginevra dove vengono misurate le interazioni fondamentali tra particelle. (foto Cern)

Figura 4.7. Il rivelatore ATLAS del CERN di Ginevra dove vengono misurate le interazioni fondamentali tra particelle. (foto Cern)


La legge di gravitazione universale

La legge di gravitazione universale, formulata da Newton, descrive l’interazione gravitazionale tra due masse puntiformi M_1 ed M_2 poste a distanza R l’una dall’altra

\mathbf{f}_{12}=-G\frac{M_1 M_2}{R^2}\mathbf{u}_{12}
G=6.673\cdot 10^{-11}\text{N m}^2/ \text{kg}^2

Il versore \mathbf{u}_{12} è diretto dal corpo 1 al corpo 2 e pertanto la forza subita dal corpo 1 a causa della presenza di 2 è di tipo attrattivo.
La legge di gravità dipende dall’inverso del quadrato della distanza. Grazie a questa proprietà si può dimostrare che la forza gravitazionale esercitata da un corpo a simmetria sferica di massa M è uguale a quella esercitata da un corpo puntiforme della stessa massa posto al centro del corpo esteso.
L’interazione gravitazionale, pur essendo fra le interazioni fondamentali quella più debole, governa la struttura dell’intero universo in quanto ha raggio di azione infinito e diventa dominante per corpi celesti di massa molto grande. Essa inoltre è responsabile della forza peso, che ci tiene attaccati alla Terra.

La gravità vicino alla Terra

Per un corpo di massa m posto ad un’altezza h rispetto alla superficie terrestre, l’interazione col pianeta – assunto a simmetria sferica – è equivalente a quella che esso avrebbe con una particella puntiforme posta al centro della Terra e avente la massa M_T:

\mathbf{f}_{p}=-G\frac{m M_T}{(R_T+h)^2}\mathbf{k}

Sostituendo i valori per la massa ed il raggio terrestre, e trascurando h

\begin{array}{l}R_T=6.371\cdot 10^{6}\text{ m} ;\;\;\; M_T=5.974\cdot 10^{24}\text{ kg} \\ \mathbf{f}_{p}\simeq m\left(-\frac{GM_T}{R_T^2}\mathbf{k}\right)=m\mathbf{g}\\ \mathbf{g}=-\frac{GM_T}{R_T^2}\mathbf{k}=-\frac{GM_T}{R_T^2}\mathbf{k}=-(9.8\text{ m/s}^2)\mathbf{k}\end{array}

La forza peso è dunque la forza di gravitazione universale calcolata sulla superficie della Terra. L’accelerazione di gravità dipende dalla latitudine (perché varia R_T) e dall’altitudine; inoltre essa è influenzata dalla rotazione terrestre.

Figura 4.8. Forza esercitata dalla Terra su una palla da baseball (immagine tratta dal Serway)

Figura 4.8. Forza esercitata dalla Terra su una palla da baseball (immagine tratta dal Serway)


Legge di Coulomb

La legge di Coulomb descrive l’interazione elettrostatica tra due cariche puntiformi q_1 e q_2 poste a distanza R l’una dall’altra

\mathbf{f}_{12}=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{q_1 q_2}{R^2}\mathbf{u}_{12}\\

\epsilon_0 è detta costante dielettrica del vuoto.

La dipendenza dall’inverso del quadrato della distanza rende questa forza molto simile a quella gravitazionale. La differenza sta nel fatto che diversamente dalle masse gravitazionali, le cariche elettriche possono essere sia positive che negative, pertanto la forza è di tipo attrattivo o repulsivo a seconda che essa agisca tra cariche di segno opposto o uguale.
Questo tipo di interazione elettromagnetica è alla base dei legami atomici e molecolari e di tutti i processi chimici e biologici. Diventa trascurabile su distanze macroscopiche perché normalmente i corpi macroscopici sono complessivamente neutri. L’elettromagnetismo descrive inoltre l’elettricità, il magnetismo ed i fenomeni luminosi.
L’interazione elettrodebole unifica l’interazione elettromagnetica e quella debole, responsabile ad esempio dei decadimenti radioattivi dei nuclei atomici. L’ulteriore unificazione della forza nucleare forte, che tiene insieme protoni e neutroni nel nucleo di un atomo, con quella elettrodebole è oggetto di intenso lavoro teorico e sperimentale da parte dei fisici.

Campi di forza centrali

Le due leggi di forza illustrate sinora, quella gravitazionale e quella di Coulomb, descrivono sistemi interagenti a distanza. Poiché l’interazione non si propaga a velocità infinita la forza non può trasmettersi istantaneamente.
Possiamo descrivere il fenomeno come l’interazione di un corpo con il campo di forza generato da un secondo corpo chiamato sorgente del campo.
Ad esempio nel caso dell’interazione gravitazionale tra la Terra ed il Sole, possiamo immaginare che la massa solare generi in tutto lo spazio un campo di forza del quale la terra risente attraverso la sua massa.
Considerando il Sole come l’origine del nostro sistema di riferimento, scriveremo la forza agente sulla Terra come

\mathbf{f}_{T}=-G\frac{M_T M_S}{R_T^2}\mathbf{u}_{r}=M_T\vec{\gamma}(R_T)

dove \vec{\gamma}(r) è il campo gravitazionale generato dal Sole. Poiché il campo \vec{\gamma} è sempre diretto verso la sorgente, esso è detto campo centrale.

Figura 4.9. Campo gravitazionale

Figura 4.9. Campo gravitazionale


Moto in un campo centrale

Il momento angolare di ogni corpo che si muove sotto l’azione di un campo centrale è conservato, ossia rimane invariato nel tempo. Infatti la forza è parallela a \mathbf{u}_{r} e quindi si ha

\frac{d\mathbf{L}}{dt}=\mathbf{M}=\mathbf{r}\times\mathbf{f}=0\Rightarrow\mathbf{L}=\text{cost.}

La conservazione del momento angolare ci permette di derivare alcune caratteristiche del moto:

  1. essendo L perpendicolare al piano contenente r e v ed L=cost., il moto è un moto piano;
  2. la velocità areolare, ossia la rapidità con la quale il vettore posizione spazza il piano, è costante:

dA=\frac{|\mathbf{r}\times d\mathbf{r}|}{2}=\frac{|\mathbf{r}\times \mathbf{v}|dt}{2}
\frac{dA}{dt}=\frac{L}{2m}

Figura 4.10. Moto di un pianeta nel campo gravitazionale solare

Figura 4.10. Moto di un pianeta nel campo gravitazionale solare


Moto nel campo gravitazionale: leggi di Keplero

Come esempio di campo centrale studiamo il caso del campo gravitazionale. Come è noto le leggi di Keplero descrivono il moto dei pianeti del sistema solare nell’ambito di un MODELLO STRUTTURALE che vede il Sole al centro ed i pianeti in orbita attorno ad esso sotto l’azione della forza di gravità. Esse recitano:

  1. I pianeti descrivono orbite ellittiche di cui il Sole è uno dei fuochi.
  2. Il raggio vettore che congiunge il Sole col centro di ciascun pianeta spazza aree uguali in tempi uguali.
  3. I quadrati dei periodi di rivoluzione sono proporzionali ai cubi dei semiassi maggiori delle orbite ellittiche.

La prima legge di Keplero consegue direttamente dalla legge dell’inverso del quadrato della distanza.
La seconda legge di Keplero è la conservazione della velocità areolare che caratterizza i campi centrali.
La terza legge può essere dimostrata in modo semplice approssimando le orbite come circolari:
se il moto del pianeta è circolare uniforme la sua accelerazione centripeta è data dalla forza di gravità

\begin{array}{l}\mathbf{f}_{P}=-\frac{GM_PM_S}{R_P^2}\mathbf{u}_r=M_P\mathbf{a}_n\\ \mathbf{a}_n=-\frac{v^2}{R_P}\mathbf{u}_r;\;\;\;v=\frac{2\pi R_P}{T_P}\\ \frac{GM_PM_S}{R_P^2}=\frac{M_P}{R_P}\left(\frac{2\pi R_P}{T_P}\right)^2\\ T_P^2=\left(\frac{4\pi^2}{GM_S}\right)R_P^3\end{array}

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