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Vincenzo Canale » 3.La cinematica del moto multidimensionale

Vettori

Per estendere i concetti della lezione precedente quali posizione, velocità e accelerazione al moto multidimensionale si usano i vettori, che, in Fisica, sono strettamente connessi al concetto di posizione nello spazio. Dati due punti A e B definiamo il vettore AB corrispondente al concetto intuitivo di spostamento da A verso B. Questa nuova grandezza, che viene visualizzata come una freccia, è caratterizzata da tre proprietà:
• la direzione della retta AB;
• il verso lungo la retta da A a B;
• l’intensità o modulo pari alla distanza AB.
Questo concetto si generalizza a numerose altre grandezze fisiche v, che possono essere descritte da un vettore; in questi casi l’intensità rappresenta il valore numerico della grandezza misurata con lo strumento opportuno.
Dati due vettori u e v è possibile definire la loro somma tramite la regola del parallelogramma: uno dei due vettori viene spostato parallelamente all’altro fino a fare coincidere la fine del primo con l’inizio dell’altro, il vettore somma w=u+v corrisponde all’idea di spostamento complessivo. Si definisce anche la moltiplicazione di un vettore v per uno scalare α, il vettore αv che ha la stessa direzione ma una lunghezza moltiplicata per α, mentre il segno di α stabilisce se il verso è concorde (α >0) o discorde (α <0).

Vettori: definizioni ed operazioni di somma e moltiplicazione per uno scalare

Vettori (segue)

Per sfruttare efficacemente le grandezze vettoriali si definisce un sistema di riferimento costituito da tre assi ortogonali con i corrispondenti vettori di lunghezza unitaria (versori), un punto O preso come origine ed un osservatore che effettua le misure R(O,i,j,k;t), nel quale un vettore v si scrive come combinazione lineare:
$\vec{v}~=~v_x\vec{i}~+~v_y\vec{j}~+~v_z\vec{k} ~\Leftrightarrow~\left(v_x,v_y,v_z\right) $
I tre coefficienti sono le coordinate cartesiane del vettore; esse semplificano notevolmente le operazioni vettoriali che si riducono alle stesse sulle coordinate. Per esempio, dati due vettori, avremo che
$\left\{\begin{array}{l} \vec{u}\equiv\left(u_{x},u_{y},u_{z}\right)\\\vec{v}\equiv\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right)\\\end{array}\right. ~\Rightarrow~\left\{\begin{array}{l} \vec{v}+\vec{u}~ \equiv\left(u_x+v_x,u_y+v_y,u_z+v_z\right)\\~\alpha~\vec{u}~ \equiv\left(\alpha u_x,\alpha u_y, \alpha u_z\right)\\\left|\vec{u}\right|=u=\sqrt{u_x^2+u_y^2+u_z^2}\\\end{array}\right.$

La scelta del riferimento non è univoca; passando da R(O,i,j,k;t) a R’(O’,i’,j’,k’;t) le coordinate dei vettori cambiano con le stesse regole (roto-traslazioni). Dunque una legge in forma vettoriale è indipendente dalla scelta della terna di riferimento.

Coordinate cartesiane di un vettore

Legge oraria e traiettoria

Fissato il sistema di riferimento R(O,i,j,k;t) la posizione di un punto P viene descritta tramite il vettore posizione che ad ogni istante di tempo unisce il punto O a P:
$t\rightarrow \vec{\textrm{r}}(t)=\vec{OP}\equiv \left(\begin{array}{l}x(t)\\y(t)\\z(t)\end{array}\right)$
Le coordinate cartesiane sono delle funzioni del tempo e rappresentano la generalizzazione al caso multidimensionale della legge oraria; e forniscono tutte le informazioni sul moto.

Legge oraria

La traiettoria

Tuttavia in molti casi siamo interessati alle caratteristiche geometriche del moto nello spazio, per esempio alla traiettoria, cioè l’insieme dei punti dello spazio attraversati da P. Nei casi più frequenti si tratta della porzione di una curva regolare nello spazio (continua e differenziabile). La legge oraria rappresenta un’equazione della traiettoria in forma parametrica in cui il parametro è il tempo t.

In diversi casi è interessante fornire un’equazione non parametrica della traiettoria, questo significa eliminare il tempo dalle relazioni precedenti per ottenere delle relazione funzionali fra le coordinate.

In molti casi il moto avviene nel piano e la traiettoria assume la forma F(x,y)=0, mentre nel caso dello spazio sarà l’intersezione di due superfici F (x,y,z)=0 e G (x,y,z)=0. Nei casi più semplici si incontrano curve piuttosto note rette, parabole, ellissi, eliche, ecc.

Esempi di traiettoria

Spostamento e velocità media

I concetti di spostamento e velocità si estendono al caso multidimensionale sfruttando il metodo delle coordinate. Quando fra gli istanti t₁ e t₂ il punto P subisce uno spostamento:
$\vec{r}_2 - \vec{r}_1=\Delta\vec{r}\equiv\left(\Delta x, \Delta y, \Delta z \right)$

Per ottenere la velocità media si moltiplica il vettore spostamento per lo scalare (1/Δt):

$\vec{\textrm{v}}_m=\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}\equiv \left( \frac{\Delta x}{\Delta t}, \frac{ \Delta y}{\Delta t}, \frac{\Delta z}{\Delta t}\right)$

Spostamento e velocità media

Velocità istantanea

Riducendo l’intervallo di tempo fino a valori infinitesimi dt si ottiene la velocità istantanea:
$\vec{\textrm{v}}=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}\equiv \frac{\textrm{d}\vec{r}}{\textrm{dt}}\equiv \left( \frac{\textrm{d}x}{\textrm{dt}},\frac{\textrm{d}y}{\textrm{dt}},\frac{\textrm{d}z}{\textrm{dt}} \right)$

Lo spostamento infinitesimo dr rappresenta quello lungo la traiettoria, e dunque la relazione precedente, scritta con i differenziali, diventa:

$\textrm{d}\vec{r}= \vec{\textrm{v}}\cdot \textrm{dt}$

che indica come il vettore velocità in ogni punto è tangente alla traiettoria.
Si definisce l’ascissa curvilinea s(t) come la posizione percorsa lungo la traiettoria a partire da un punto di riferimento P₀; con questa definizione il valore con segno dell’intensità della velocità si scrive come:
$\textrm{v}~= ~\frac{\textrm{ds}}{ \textrm{dt}}$

Velocità istantanea

Accelerazione vettoriale media

L’estensione del concetto di accelerazione si ottiene in modo analogo andando a considerare la variazione del vettore velocità fra due istanti successivi, e si ottiene l’accelerazione media:
$\vec{\textrm{a}}_m=\frac{\Delta\vec{\textrm{v}}}{\Delta t}\equiv \left( \frac{\Delta \textrm{v}_x}{\Delta t}, \frac{ \Delta \tetxrm{v}_y}{\Delta t}, \frac{\Delta \textrm{v}_z}{\Delta t}\right)$

Accelerazione media

Accelerazione vettoriale istantanea

Successivamente si effettua il limite per istanti di tempo sempre più ravvicinati (Δt→0) per ottenere il vettore accelerazione istantanea:
$\vec{\textrm{a}}=\lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{ \Delta \vec{\textrm{v}}}{\Delta t}\equiv \frac{\textrm{d}\vec{\textrm{v}}}{\textrm{dt}}\equiv\left( \frac{\textrm{dv}_x}{\textrm{dt}},\frac{\textrm{dv}_y}{\textrm{dt}},\frac{\textrm{dv}_z}{\textrm{dt}}\right) \equiv\left( \frac{\textrm{d}^2x}{\textrm{dt}^2},\frac{\textrm{d}^2y}{\textrm{dt}^2},\frac{\textrm{d}^2z}{\textrm{dt}^2}\right)$

Nel caso multidimensionale il concetto di accelerazione è più complesso della generica accezione della vita corrente, poiché la velocità è vettoriale. L’accelerazione dipende dai cambiamenti della velocità sia come intensità (accelerare o frenare) che come direzione (curvare); vedremo come tradurre geometricamente questo duplice aspetto del vettore accelerazione.

Accelerazione istantanea

Coordinate cilindriche

La scelta delle coordinate cartesiane è la più frequente ma si possono usare altri sistemi di coordinate in situazioni che presentano particolari vantaggi, per esempio in presenza di particolari simmetrie. Nelle coordinate cilindriche, come mostrato nella figura la posizione del punto P è individuata dalla quota h e, dopo la proiezione sul piano x-y, dalla distanza r dall’origine e dall’angolo q rispetto all’asse x. La relazione con le coordinate cartesiane è

$\left\{ \begin{array}{l}x~=~\rho~\cos\theta \\y~=~\rho~\sin\theta \\z~=~ h \\ \end{array}\right. ~~\Leftrightarrow~~\left\{\begin{array}{l} \rho=~\sqrt{x^2+y^2} \\\theta~=~\arctan\frac{y}{x}~\\h~=~ z \\ \end{array}\right.$

Viene individuata anche una terna di base (u_ρ ,u_θ , u_z ) che permette di esprimere le grandezze cinematiche in queste coordinate.

Le coordinate cilindriche

Coordinate sferiche

Nei problemi con simmetria sferica si scelgono le coordinate sferiche. Dalla figura, la posizione del punto P è individuata dalla distanza dall’origine r e dai due angoli θ (colatitudine) e φ (azimuth). La relazione con le coordinate cartesiane si scrive:

$\left\{\begin{array}{l}x~=~r~\sin\theta~\cos\varphi \\ y~=~r~\sin\theta~\sin\varphi \\z~=~r~\cos\theta \\\end{array}\right. \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}r~=~\sqrt{x^2+y^2+z^2} \\ \varphi~=~\arctan\frac{y}{x}~\\\theta~ =~\arccos\left(\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\right) \\ \end{array}\right.$

Anche in questo caso si individua una terna di base (uρ ,uθ , uz) che permette di esprimere le grandezze cinematiche in queste coordinate.

Le coordinate sferiche

Il moto circolare

Come primo esempio consideriamo il caso semplice, anche se molto frequente ed importante, di un moto che avviene su una circonferenza di raggio R (moto circolare); è un moto piano descrivibile in un riferimento R(O,x,y;t) dove per semplicità si prende per origine il centro della circonferenza:
$\vec{r}(t) =\left(x(t),y(t)\right)~~\textrm{con}~~x(t)^2+y(t)^2=\textrm{R}^2=\textrm{cte}$

La posizione del punto è univocamente determinata dall’angolo θ(t) fra il vettore posizione, di lunghezza costante che ruota nel piano, e l’asse x; oppure dalla lunghezza dell’arco lungo la circonferenza s(t) poiché: s(t)=R.θ(t).

In questo modo, che equivale ad utilizzare le coordinate polari nel piano vista la particolare simmetria del problema, ci si riporta ad un moto unidimensionale nella nuova variabile θ(t) o s(t); è un caso particolare di descrizione del moto essendo nota la traiettoria. La relazione con le coordinate cartesiane si ottiene da:

$\left\{ \begin{array}{l}x(t)~=~\textrm{R}~\cos\theta(t) \\y(t)~=~\textrm{R}~\sin\theta(t) \end{array}\right.$

Moto circolare

Il moto circolare (segue)

Per le grandezze cinematiche nel moto circolare applichiamo le definizioni precedenti, tuttavia è istruttivo proseguire con l’approccio geometrico legato alla conoscenza della traiettoria circolare. In particolare fra due istanti di tempo avremo per il vettore spostamento (una corda di ampiezza angolare Δθ) e per l’arco percorso:
$\left\{\begin{array}{l} \left|\Delta\vec{r}\right| = 2\cdot \textrm{R}\cdot\sin\frac{\Delta\theta}{2}\\ \Delta s = \textrm{R}\cdot\Delta\theta\end{array}\right.$
Nel passare al limite Δt→0 per ottenere la velocità, lo spostamento infinitesimo coincide con quello lungo la traiettoria, avremo:
$\left|\textrm{d}\vec{r}\right|\approx \textrm{d}s\approx 2\cdot \textrm{R}\cdot\frac{\textrm{d}\theta}{2}$
e dunque il vettore velocità è ortogonale al vettore posizione, diretto nel verso del moto e con modulo:
$\left|\vec{\textrm{v}}\right|=\frac{\textrm{d}s}{\textrm{dt}}=\textrm{R}\frac{\textrm{d}\theta}{\textrm{dt}}=\textrm{R}\cdot\omega(t)$
dove abbiamo introdotto la velocità angolare ω(t) che si misura in rad/s. Il risultato si ottiene anche derivando le relazioni della legge oraria:

$\vec{\textrm{v}}\left\{\begin{array}{l}\dot{x}~=-\textrm{R}\omega\cos\theta \\ \dot{y}~=-\textrm{R}~\omega\sin\theta \end{array}\right.$

La velocità del moto circolare

Il moto circolare uniforme

Un caso piuttosto interessante ed abbastanza frequente nelle applicazioni è quello del moto circolare uniforme, in cui la velocità angolare è costante ω(t)=ω₀. In questo caso la velocità è costante in modulo v=R. ω₀. Il moto è periodico perché dopo un giro ritorna uguale a se stesso, per determinare il periodo dobbiamo trovare il tempo T in cui il punto fa un giro completo, cioè Δθ=2π (o Δs=2πR):

$T=\frac {\Delta s}{\text v}= \frac{2\pi R}{R\omega_0}=\frac {2\pi}{\omega_0}$

Moto circolare uniforme

Il moto circolare uniforme

Nella variabile angolare il moto è formalmente identico ad un moto uniforme unidimensionale e dunque:
$\theta(t)~=~\omega_0\cdot t +~\theta_0$
e la legge oraria assume la forma:
$\left\{ \begin{array}{l} x(t)~=~\textrm{R}~\cos\left(\omega_0t+\theta_0\right) \\ y(t)~=~\textrm{R}~\sin\left(\omega_0t+\theta_0\right.\end{array}\right.$
mentre per la velocità:

$\left\{\begin{array}{l}\dot{x}=-\omega_0\textrm{R}\sin\left(\omega_0t+\theta_0\right)\\\dot{y}=+\omega_0\textrm{R}\cos\left(\omega_0t+\theta_0\right. \end{array}\right.$

Il moto circolare uniforme (segue)

Come risulta dall’espressione precedente le componenti della velocità cambiano nel tempo e dunque il moto circolare uniforme è un moto accelerato (contrariamente al senso comune!). Questo perché la grandezza vettoriale velocità cambia di direzione. Prima di ricavare le componenti dell’accelerazione per derivazione possiamo discutere il problema geometricamente. Nell’intervallo Δt la posizione ruota di Δθ ed anche la velocità perché è ortogonale, dunque nel triangolo isoscele abbiamo:
$\left|\Delta\vec{\textrm{v}}\right|=2\textrm{v}\sin\frac{\Delta\theta}{2}$
e nel limite Δt→0 possiamo scrivere con i differenziali:
$\textrm{dv}\approx2\textrm{v}\frac{\textrm{d}\theta}{2}$
e dunque per il modulo dell’accelerazione:
$\left| \vec{\textrm{a}}\right|= \frac{\textrm{dv}}{\textrm{dt}}= \textrm{v}\cdot\omega_0=\textrm{R}\cdot\omega_0^2=\frac{\textrm{v}^2}{R}$

mentre la direzione è radiale diretta verso il centro (accelerazione centripeta). Questo risultato è immediato tramite l’operazione di derivazione: $\vec{\textrm{a}}\left\{\begin{array}{l}\ddot{x}=-\omega_0^2\textrm{R}\cos\left(\omega_0t+\theta_0\right)\\\ddot{y}=-\omega_0^2\textrm{R}\sin\left(\omega_0t+\theta_0\right) \end{array} \right.\Rightarrow \vec{\textrm{a}} = -\omega_0^2\vec{r}$

Il moto circolare vario

Il caso del moto circolare vario si discute in modo analogo introducendo le derivate temporali successive di θ(t) che identifica univocamente la posizione del punto sulla circonferenza di raggio R. Dopo la velocità angolare ω(t) definiamo l’accelerazione angolare:
$\alpha=\frac{\textrm{d}\omega}{\textrm{dt}}=\frac{\textrm{d}^2 \theta}{\textrm{dt}^2}\equiv~\ddot{\theta}$
La velocità vettoriale è tangente alla circonferenza ma non di intensità costante:
$v(t)=\textrm{R}\cdot \omega(t)\Rightarrow \frac{\textrm{dv}}{\textrm{dt}}= \textrm{R}\cdot\alpha$

Moto circolare vario

Il moto circolare vario (segue)

La variazione di velocità possiede due componenti una nella direzione della velocità ed una ortogonale ad essa:

$\textrm{d}\vec{\textrm{v}}= \textrm{dv}\vec{u}_t-\textrm{v}\textrm{d}\theta\vec{u}_r$

Per ottenere il vettore accelerazione con due componenti tangenziale e normale:

$\vec{\textrm{a}}=\underbrace{\frac{\textrm{dv}}{\textrm{dt}}}_{a_t}\vec{u}_t\underbrace{-\textrm{v}\omega}_{a_n}\vec{u}_r$

Componenti dell'accelerazione nel moto circolare vario

Moto circolare uniformemente accelerato

Il moto circolare uniformemente accelerato è quello in cui l’accelerazione angolare è costante α=α₀=cte si ritrovano le relazioni formalmente analoghe a quelle del moto rettilineo:

$\left\{ \begin{array}{l} \theta(t)=\frac{1}{2}\alpha_0t^2+\omega_0t+\theta_0\\ \omega(t)=\alpha_0t+\omega_0\\ \omega^2- \omega_0^2=2\alpha_0 \left(\theta\theta_0\right)\end{array}\right.$

Moto circolare uniformemente accelerato

Moto curvilineo su traiettoria definita

Generalizziamo al caso di un moto in cui è nota la traiettoria; è possibile descrivere il punto tramite una sola coordinata s(t), l’ascissa curvilinea, che rappresenta la distanza con segno percorsa lungo la curva da un’origine arbitraria. Questa descrizione è molto comoda perché è unidimensionale e si adatta bene ai casi con vincoli che fissano la traiettoria. Geometricamente possiamo definire in ogni punto della traiettoria una terna formata col versore tangente u_t , quello normale u_n ed il terzo u_b che completa la terna ortonormale. In questa base variabile, detta di Frenet, la velocità si scrive come:
$\vec{\textrm{v}}=~\textrm{v}~\vec{u}_t =\frac{\textrm{d}s}{\textrm{dt}} \vec{u}_t$
Per l’accelerazione possiamo ripetere il ragionamento del moto circolare immaginando come traiettoria una curva regolare (come succede sempre in Fisica) che localmente si può approssimare con una circonferenza tangente (cerchio osculatore) di raggio ρ detto di curvatura; e scriveremo:
$\vec{\textrm{a}}=~a_t\vec{u}_t+~a_n~\vec{u}_n~\equiv \left\{\begin{array}{l} a_t=\frac{dv}{dt}\\ a_n=-\frac{\textrm{v}^2}{\rho}\end{array}\right.$

a_t riflette la variazione del modulo della velocità; mentre a_n, diretta nel verso della concavità della curva, è legata alla variazione di direzione.

Integrazione del moto

Possiamo scrivere anche per il moto multidimensionale le relazioni integrali che ci permettono di risalire dall’accelerazione, come vedremo ricavabile dalla dinamica, alle caratteristiche del moto:

$\begin{array}{l} \vec{\textrm{v}}(t)=\int_{t_0}^{t}\vec{\textrm{a}}(t)dt~+\vec{\textrm{v}}_0\\ \vec{r}(t)=\int_{t_0}^{t}\vec{\textrm{v}}(t)dt~+\vec{r}_0\\\end{array}$

e l’uso delle grandezze vettoriali le rende indipendenti dalla base effettivamente usata per esplicitare le coordinate: le coordinate cartesiane, quelle cilindriche o sferiche, o anche una base variabile come la terna di Frenet.
È fondamentale precisare, per evitare confusioni, la differenza fra sistema di riferimento e base di scomposizione dei vettori. Il sistema di riferimento è costituito da un sistema di assi legati ad un osservatore ed in esso sono definite le grandezze cinematiche; fatto questo possiamo di volta in volta, al limite istante per istante, cambiare la base su cui scomporre i vettori nel modo più opportuno. La situazione è completamente diversa, come vedremo in seguito, se l’osservatore si muove insieme alla base variabile. Il vettore velocità di un punto P, definito in un dato sistema di riferimento, si scrive v. u_t nella base di Frenet mentre nel sistema di riferimento di Frenet sarebbe nullo!