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Vincenzo Canale » 11.Statica dei fluidi

Introduzione

Nello studio dei sistemi abbiamo considerato, per semplicità, solo il caso di quelli rigidi; naturalmente questa è un’approssimazione perché i sistemi fisica reali non lo sono mai perfettamente, e presentano sempre un certo grado di deformabilità. Tuttavia lo studio dei corpi deformabili (elasticità) , sebbene molto importante dal punto di vista delle applicazioni pratiche, è piuttosto complesso e esula dal livello di questo corso. Come spesso accade in Fisica, la situazione completamente opposta, cioè di totale deformabilità come nei fluidi, è più facile da studiare.

I fluidi

Per fluido intendiamo della materia in cui il legami fra i costituenti microscopici (atomi e molecole) sono piuttosto deboli e dunque il corpo si deforma molto facilmente. In particolare non sopporta gli sforzi di taglio cioè paralleli alla superficie che li delimita; mentre ci può essere resistenza alle azioni ortogonali (sbattendo la mano sull’acqua sembra dura, mentre se la spingiamo parallelamente alla superficie è molto facile!).

La conseguenza è che un fluido non possiede una forma propria ma si adatta al recipiente che lo contiene; si distinguono:

i liquidi che hanno un volume proprio ed in generale sono poco comprimibili
i gas, in cui i legami molecolari sono ancora più deboli, che non hanno volume proprio ma occupano tutto quello a disposizione del recipiente e sono facilmente comprimibili

Tratteremo il fluido ideale, assenza di resistenza per lo scorrimento, e principalmente i liquidi nel caso statico; mentre torneremo sui gas nello studio dei fenomeni termici.

Caratterizzazione dei fluidi

Massa volumica o densità di un fluido

Nello studio dei fluidi si adotta una descrizione locale (puntuale) del sistema e dobbiamo immaginare una descrizione continua, naturalmente a livello macroscopico, cioè la scala d della granularità in gioco, sebbene molto piccola, è comunque molto più grande di quella microscopica (d>>10^-10m).
Cominciamo con l’estensione locale del concetto di massa; dato un punto, possiamo considerarne il volumetto ΔV che lo contiene e la massa Δm ivi racchiusa. Definiamo la massa volumica (o densità) media il rapporto:
$\bar{\rho}=\frac{\Delta m}{\Delta V}~\rightarrow~\rho(x,y,z) =\frac{dm}{dV}$

che, nel limite di volumetti infinitesimi nel senso specificato prima, diventa una grandezza locale.

Le dimensioni fisiche sono [ρ]=[M].[L]^-3 e si misura in kg/m³ nel SI anche se spesso si usano i g/cm³ o kg/litro facendo attenzione alle conversioni:
$\rho_{acqua}=~1g/cm^3\equiv~1kg/litro~\equiv 10^3kg/m^3$

Valori caratteristici di densità

Misura diretta della densità di un fluido

Nel caso di un corpo omogeneo la densità è costante, coincide con quella media, e si calcola banalmente dal rapporto:
$\rho=~\frac{m_{tot}}{V_{tot}}$

Nel caso di corpi di forma irregolare e dimensioni non troppo grandi, per misurare la densità media si può usare un picnometro, con successive pesate come mostrato in figura.

Misura della densità con il picnometro

Concetto di pressione di un fluido

Un’esperienza ben nota è quella di sentirsi premere sulle orecchie quando si va sotto l’acqua o decomprimere quando si sale in montagna! In ogni punto di un fluido (liquido o gas) si esplica una forza F_p, che si può mettere in evidenza con il semplice sensore schematizzato in figura, con le seguenti caratteristiche:

in un dato punto la forza non dipende dall’orientamento dello strumento (isotropia)
la forza può dipendere dal punto, ed in particolare vedremo che dipende dalla profondità
la forza dipende dalla superficie δA dello strumento in contatto con il fluido ma il rapporto F_p/δA ne è abbastanza indipendente

Concetto di pressione in un fluido

La pressione di un fluido

Queste osservazioni permettono di definire in ogni punto la pressione p(x,y,z) del fluido, una grandezza scalare, come:
$p=\lim_{\delta A\rightarrow 0}\frac{\left|\vec{F}_p\right|}{\delta A}$

Le dimensioni fisiche della pressione sono [p]≡[F]/[S]=[M][L]^-1[T]^-2 e l’unità di misura nel SI è il Pascal: 1Pa=1N/m². In realtà per motivi storici e pratici esistono numerose altre unità: (a) bar 1bar=10⁵Pa, (b) l’atmosfera 1atm=1,01 10⁵Pa; (c) il millimetro di mercurio 760mmHg=1 atm. Legate principalmente al valore della pressione atmosferica media al livello del mare p_atm≈ 1,01 10⁵Pa!
Valori tipici di pressioni in alcuni sistemi fisici sono riportati in figura.

Definizione di pressione

L’equilibrio dei fluidi

Un fatto ben noto dall’esperienza è che la pressione di un fluido diminuisce (aumenta) con la quota (profondità) come risentiamo sulle nostre orecchie.
In un fluido ad una profondità x=h dalla superficie libera, consideriamo un cubetto di spigolo dx; nel caso statico si annulla la risultante agente sul volumetto, dovuta alle forze di pressione sulle facce ed al peso. Le componenti orizzontali si bilanciano, mentre lungo la verticale la pressione può dipendere dalla profondità:

$p(x+dx).dA~-~p(x).dA~-~dm.g~=0$

$\Rightarrow~p(x+dx).dA~-~p(x).dA~-~\rho.dx.dA.g~=0$

Fluido in equilibrio

Il principio dell’idrostatica o legge di Stevino

Nella relazione precedente si può eliminare la dipendenza dalla sezione:

$dp~=~\rho.g.dx$

ed integrare questa relazione fra una posizione di riferimento p₀ (tipicamente la superficie libera del fluido) per ottenere (nel caso frequente di ρ=cte):

$p(h)~=~p_0~+~\rho~g~h$

che esprime la dipendenza della pressione di un fluido dalla profondità o quota (nel qual caso si cambia il segno al gradiente).
Questa relazione è nota come principio fondamentale dell’idrostatica o legge di Stevino. Notare la differenza di comportamento fra acqua e mercurio!

La legge di Stevino

Generalizzazione della legge di Stevino

In realtà questa legge ha una validità generale che include tutte le forze di volume (proporzionali alla massa) che derivano da un’energia potenziale per unità di massa U_p; e si ottiene:

$dp=~-\rho.dU_p\$

$\Rightarrow p(x,y,z)=cost.~\Leftrightarrow~U_p(x,y,x)=cost.$

Questi effetti sono importanti, per esempio, nei sistemi non inerziali (vedi figura), e giocano un ruolo rilevante nei fenomeni atmosferici studiati nel riferimento terrestre.

Generalizzazione del principio dell'idrostatica

Applicazione della legge di Stevino

La legge di Stevino rende conto di molti fenomeni interessanti e frequenti nell’esperienza quotidiana; vediamo alcuni esempi:

il principio dei vasi comunicanti: il livello della superficie libera di un liquido, fra recipienti che comunicano, non dipende dalla loro forma
il principio di Pascal: se ad un liquido in equilibrio si comunica un extrapressione questa si trasmette a tutto il fluido. Questo risultato consente di realizzare la pressa idraulica che permette di moltiplicare una forza: $\delta p_1 =\frac{F_1}{A_1}=\frac{F_2}{A_2}=\delta p_2 \Rightarrow F_2 = \left(\frac{A_2}{A_1}\right)~F_1>~F_1$

ma l’incompressibilità del liquido assicura la conservazione dell’energia:

$A_2.dx_1~=A_2.dx_1~\Rightarrow~dW_2=~F_2.dx_2~=\frac{A_2}{A_1}~F_1.dx_2=~F_1.dx_1~=dW_1$

Principio dei vasi comunicanti e principio di Pascal

Applicazioni della legge di Stevino

il barometro di Torricelli che permise di evidenziare per la prima volta la pressione atmosferica: $p_{atm}=\underbrace{p_{vap}}_{\approx 0}+~\rho_{Hg}.g.h$

da cui l’origine dell’unità di misura della pressione in millimetri di mercurio

il tubo ad U, un manometro che permette misure di pressione in eccesso o difetto rispetto a quella atmosferica direttamente dalla differenza di quota del liquidi nei due bracci

$p_r~=~p_0~+~\rho.g.\Delta h$

Applicazione della legge di Stevino alle misure di pressione

La spinta di Archimede

La conseguenza, forse più importante, della legge di Stevino è la spinta di Archimede. Un corpo, immerso in un fluido, riceve una spinta verso l’alto; come sappiamo bene quando ci sentiamo più leggeri in acqua o vediamo galleggiare i corpi!
L’origine della spinta è l’aumento della pressione con la profondità; come mostrato in figura le intensità delle forze di pressione δF_i, agenti sugli elementi di superficie δA_i, sono maggiori nelle parti inferiori: δF_i, =p_i.δA_i. Pertanto ci possiamo aspettare una risultante complessiva rivolta verso l’alto, la spinta di Archimede per l’appunto.

Origine della spinta di Archimede

La spinta di Archimede

Per ricavarne direzione ed intensità immaginiamo di riempire di liquido un involucro chiuso estremamente sottile (massa trascurabile) e di metterlo nel liquido. La situazione è quella di un corpo di liquido nello stesso liquido (è quello si vede a volte al mare con le buste di plastica piene di acqua!) e dunque si trova in equilibrio. La risultante delle forze di pressione è pari al peso del liquido contenuto all’interno; riempiendo l’involucro con materiale diverso, le forze di pressione esterne non variano perché dipendono solo dalla geometria superficiale del corpo. Pertanto deduciamo che la spinta è pari al peso del volume di liquido spostato:

$F_A~=~\rho_{fluido}.\textrm{V}_{corpo}~g$

La spinta idrostatica o spinta di Archimede

Il galleggiamento

La spinta di Archimede spiega il galleggiamento dei corpi; immergendo un corpo di volume V_tot e densità ρ_x in un liquido di densità ρ_l ; se orientiamo gli assi lungo la verticale discendente, la forza risultante agente sarà:

$F_R=P-F_A=\left(\rho_x-\rho_l\right).\textrm{V}_{tot}~g$

e vediamo che il verso dipende dai valori delle densità:
$\left\{\begin{array}{l}\rho_x>\rho_l~\textrm{affonda}\\\rho_x<\rho_l~\textrm{galleggia}\\\rho_x=\rho_l~\textrm{flottazione}\end{array}\right.$

Il fenomeno del galleggiamento

Il galleggiamento

Se ρ_x < ρ_l il corpo è spinto verso l’alto fino ad emergere dal fluido, il corpo galleggia! Naturalmente il corpo emerge per un volume tale che la spinta sul volume che resta immerso è pari al peso; possiamo scrivere:
$\rho_x.\textrm{V}_{tot}.g~=~\rho_l.\textrm{V}_{imm.}.g\Rightarrow~~\textrm{V}_{imm.}=\left(\frac{\rho_x}{\rho_l}\right)~\textrm{V}_{tot}~~\textrm{e}~~\textrm{V}_{eme.}=\left(1-\frac{\rho_x}{\rho_l}\right)~\textrm{V}_{tot}$
Per questo gli iceberg sono pericolosi, (ρ_ghiaccio /ρ_acqua )≈0,92 più del 90% del ghiaccio rimane immerso!

La spinta si applica nel centro di massa G del fluido spostato, che, nel caso del galleggiamento, non coincide con il centro di massa C del corpo dove è applicato il peso. Nel caso in cui C è sopra G si realizza un equilibrio instabile!

Galleggiamento e stabilità

Verifica sperimentale della legge di Archimede

Per effettuare la verifica sperimentale della legge di Archimede si usa la pesata idrostatica. Se un corpo viene pesato prima in aria e poi immergendone una parte in un fluido il suo peso apparente si riduce per effetto della spinta idrostatica; come mostrato in figura dalla differenza delle misure del dinamometro si ottiene il valore della spinta:
$\left\{\begin{array}{l}F_{el}^{(0)}=mg\\F_{el}^{(i)}+F_{A}^{(i)}=mg\end{array}\right.\Rightarrow F_{A}^{(i)}=F_{el}^{(i)}-F_{el}^{(0)}$

Idea del metodo della pesata idrostatica

Verifica sperimentale della legge di Archimede

L’apparato sperimentale è mostrato in figura; al sensore di forza viene fissata una molla del tipo usato nello studio dell’oscillatore armonico ed a questa si possono appendere dei blocchetti cilindrici di diversi materiali (allumino, plexiglass, ottone).
Un recipiente contenente acqua è disposto su un dispositivo a pantografo, e se ne può regolare l’altezza fino ad immergere volumi prefissati V_i del blocchetto. Raggiunto l’equilibrio si ricava il valore della spinta, corrispondente a Vi , sottraendo alla misura del sensore quella effettuata in aria:
$F_{A}^{(i)}=F_{sens.}^{(i)}-F_{sens.}^{(0)}$

L’incertezza sulle misure di forza si stima dalla differenza fra il peso misurato in aria e quello ricavato della massa pesata con la bilancia elettronica (δm=0,01g); e risulta ΔF≈0,01N.

Apparato sperimentale per lo studio della spinta di Archimede

Misura della densità dell’acqua

Possiamo verificare la dipendenza della spinta di Archimede dal solo volume immerso e stimare la densità dell’acqua. Si misurano indipendentemente V_i e F_ai , per i diversi corpi, e si riportano i punti sperimentali su un grafico. Si osserva un andamento rettilineo che non dipende dal materiale; effettuando un fit con una funzione lineare si ricava una stima della densità dell’acqua (α=ρ.g).

Principio di misura della densità dell'acqua

Misura della densità dell’acqua

I blocchetti hanno forma cilindrica ed il volume immerso viene misurato con la formula:
$V_i~=~\frac{\pi}{4}~d^2~h_i$

dove d è il diametro ed hi l’altezza immersa che viene traguardata preliminarmente con dei segni sul blocchetto. L’incertezza relativa sulla misura del volume si ricava dalla formula dell’errore massimo:

$\frac{\Delta V_i}{V_i}~=~2\frac{\Delta d}{d}~+~\frac{\Delta h_i}{h_i}$

Il diametro si misura molto bene (con un calibro Δd≈0,05mm) mentre la stima delle h_i, a causa della dimensione del tratto e della tensione superficiale, è decisamente peggiore (Δh≈1mm).
Conviene lavorare nelle unità naturali del problema che sono i cm³, ricordandosi di apportare i corretti fattori di scala in sede di risultato finale.
I dati sperimentali per alluminio e plexiglass sono mostrati sulle figure e le stime della densità dell’acqua sono in accordo con il valore noto.

Misure di densità dell'acqua dalla spinta di Archimede

Misura della densità di corpi

Gli stessi dati possono essere usati per stimare le densità dei diversi materiali di questo corpi omogenei. In effetti possiamo combinare la legge della spinta di Archimede con l’espressione della forza peso in funzione di densità e volume:
$\left\{\begin{array}{l}F_{A}^{(i)}=\rho_a.\textrm{V}_i.g\\m.g=\rho_x.\textrm{V}_{tot}.g \end{array}\right.$

per ricavare la relazione fra le grandezze misurabili (V_i/V_tot) e (F_ai/mg):
$\frac{V_{i}}{V_{tot}}=\left(\frac{\rho_x}{\rho_a}\right).\left(\frac{F_{A}^{(i)}}{m.g}\right)$

L’andamento è sempre lineare ma la pendenza dipende dalla densità del materiale.

Metodo per la stima della densità di un materiale

Misura della densità di corpi

I dati sperimentali per il plexiglass e l’alluminio sono riportati in figura; per il peso del corpo si può usare la misura del dinamometro in aria perché in questo modo nel rapporto si cancellano eventuali sistematiche legate allo strumento. Tuttavia si deve tenere conto del peso della molla che non si cancella più come prima nella differenza; per ovviare al problema si può azzerare il sensore quando vi è appesa soltanto la molla, in questo modo lo strumento misura soltanto le forze in eccesso. I risultati sono in accordo con i valori noti delle densità dei materiali studiati.