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Vincenzo Canale » 4.I principi della dinamica del punto materiale


Introduzione

Iniziamo lo studio della dinamica, cioè del moto dei corpi e delle sue cause. Per affrontare il problema dovremo prima inquadrare logicamente i due concetti fondamentali di massa e di forza, che sebbene molto intuitivi, celano molte fonti di confusione. Grazie ai lavori, principalmente di Galileo e Newton, il problema si risolve completamente, almeno in linea teorica, con tre Leggi o Principi che permettono di descrivere qualsiasi moto. Il termine Principio in Fisica significa una legge di validità universale; e rappresenta l’analogo dell’assioma nelle teorie matematiche con la differenza fondamentale che la sua validità si fonda sulla verifica sperimentale.
Come per ogni teoria in Fisica, la dinamica di Newton (meccanica classica) possiede un dominio di applicabilità:

  • le velocità v << c di quella della luce, altrimenti alcuni concetti fondamentali (come per esempio il tempo non più assoluto) vanno rivisitati nell’ambito della Relatività Ristretta
  • le distanze devono essere ben superiori alla scala atomica (~10-10m) per potere trascurare gli effetti quantistici (quantizzazione delle grandezze, principio d’indeterminazione, ecc…)

La meccanica classica si applica generalmente ai sistemi macroscopici permettendo anche di trascurare le fluttuazioni termodinamiche.

Il concetto di forza

Per procedere nello studio della dinamica dobbiamo considerare due nuove grandezze rispetto alla cinematica, la forza e la massa, che sono ben note a livello intuitivo. Il concetto di forza è collegato all’idea di spingere o di tirare, che può avere un effetto dinamico (moto) o statico (deformazione).
Per quantificare una forza (intensità) possiamo usare il dinamometro a deformazione, una molla che si allunga sotto l’azione della forza. Scegliendo una forza campione si può effettuare una taratura fra allungamenti e valori dell’intensità della forza, anche se vedremo che sarà più vantaggioso definire l’unità della forza dalle sue caratteristiche dinamiche.

Il concetto di forza

Il concetto di forza


Il concetto di forza

Oltre l’intensità, nella forza, è ben presente l’idea di direzione e verso; per questo possiamo pensare che sia una grandezza vettoriale, tuttavia questa proprietà va verificata sperimentalmente. In effetti usando fili leggeri e pulegge ben lubrificate si può variare la direzione della forza applicata. In questo modo si verifica che applicare due forze corrisponde ad applicarne una sola corrispondente alla loro somma (risultante) ottenuta con la regola del parallelogramma: la forza è una grandezza vettoriale.

Carattere vettoriale della forza

Carattere vettoriale della forza


Il primo principio o Principio d’inerzia

Il primo principio della dinamica rappresenta l’esempio più bello del metodo sperimentale introdotto da Galileo che sconvolge il pensiero comune, ritiene che per avere un moto ci deve essere una forza. Galileo fece un esperimento, in parte ideale, in cui faceva scendere una pallina su un piano inclinato. Per un angolo θ, come vedremo, la pallina subisce una forza netta dovuta alla proiezione del peso lungo il piano (Peff= g sinθ); e si misura un moto con accelerazione aθ=cost. Riducendo l’inclinazione si ha: \theta_1\geq\theta_2\geq\theta_3\Rightarrow a_1\geq a_2\geq a_3

e dunque: \theta\rightarrow 0\Rightarrow a\rightarrow 0 ~~\Leftrightarrow~~\textrm{v}=cost.\neq 0

Pertanto sul piano orizzontale, in assenza di forza netta, la pallina è in moto rettilineo uniforme e non per forza in equilibrio!

Esperimento del piano inclinato

Esperimento del piano inclinato


Il primo principio o Principio d’inerzia

La generalizzazione del risultato costituisce il primo principio o principio d’inerzia:
Un corpo non soggetto a forze non subisce variazioni di velocità, resta fermo se era in uno stato di quiete (V=0) oppure si muove di moto rettilineo uniforme.
Una forza nulla significa: il corpo è isolato oppure le forze ci sono ma la risultante è nulla. Un caso che si realizza nella pratica con buona approssimazione, per esempio nei piani senza attrito.

Il primo principio o principio d’inerzia

Il primo principio o principio d'inerzia


I sistemi di riferimento inerziali

Il principio d’inerzia rappresenta una vera e propria rivoluzione nel pensiero, e soprattutto nell’aspetto metodologico con cui fu ottenuto: effettuando esperimenti e non basandosi su pre-giudizi o ragionamenti astratti! Naturalmente la sua scoperta contrasta con il senso dell’esperienza comune, perché nella pratica risulta molto difficile eliminare l’effetto di alcune forze, come per esempio gli attriti. Da questo punto di vista il risultato di Galileo esalta due aspetti della metodologia in Fisica: l’osservazione sperimentale e la realizzazione di situazioni ideali o semplificate che evidenziano gli aspetti profondi di un problema.

Un altro aspetto del primo principio è che non è valido per tutti gli osservatori in un qualsiasi sistema di riferimento. Risulta, sperimentalmente, che è valido solo per dei sistemi di riferimento particolari, detti inerziali. Un sistema legato alla Terra è con buona approssimazione inerziale (per fortuna se no non si sarebbe scoperto il principio d’inerzia!); mentre quello più importante è il riferimento di Copernico con l’origine nel centro del sole e direzioni delle stelle fisse. Approfondiremo questa tematica in un capitolo successivo.

In ultima analisi la validità del principio d’inerzia equivale ad affermare l’esistenza di riferimenti inerziali.


Il Secondo Principio o legge di Newton

Il principio d’inerzia ci ha indicato quale sistema di riferimento usare per studiare il moto. Newton analizzò la relazione quantitativa fra le forze ed il moto; attraverso numerosi sperimenti, alcuni anche molto semplici ed intuitivi, osservò che vi era una relazione fra la forza agente su un corpo e l’accelerazione del moto del corpo:

\vec{F}~\propto~\vec{a}

e questa costante di proporzionalità era una caratteristica intrinseca del corpo detta massa inerziale mi\vec{F}~\stackrel{sper.}{=}~m_i~\vec{a}

detta, secondo principio o legge di Newton, che è il risultato più importante della dinamica.

La relazione precedente è un principio perché lega due grandezze indipendenti forza ed accelerazione; in realtà si assume che la forza misurata staticamente continui ad avere le stesse caratteristiche quando il corpo è in moto.

Tuttavia in molti casi le forze in gioco non sono scindibili dal moto (per esempio la resistenza opposta da un fluido); allora il secondo principio è un modo, nota l’accelerazione, per definire la forza agente sul punto. La Legge di Newton viene assunta e se ne verificano le previsioni con i risultati sperimentali; per questo a volte si dice, con un leggero abuso, che il secondo principio definisce la grandezza forza.

Il secondo principio o legge di Newton

Il secondo principio o legge di Newton


Il concetto di massa

Il secondo principio fa intervenire il concetto di massa, una grandezza molto ben radicata nell’esperienza comune, che trae origine da fenomeni diversi:

  • da un lato è una nozione legata all”inerzia di un corpo a modificare il suo moto (per esempio più facile fare muovere o fermare una pallina da ping-pong che una di cannone!) e questa è quella più legata alla legge di Newton
  • dall’altro l’idea della massa è strettamente connessa al peso, cioè quanto i corpi vengono attratti verso il suolo dalla Terra (gravitazione)

Questi due aspetti sono concettualmente diversi e si parla di massa inerziale e massa gravitazionale. Come vedremo successivamente, queste due grandezze sono sperimentalmente uguali e possono essere confuse, un risultato intuitivo ma per nulla scontato; anzi la loro uguaglianza è alla base delle Teoria della Relatività Generale!
Il secondo principio, unito alla definizione operativa della massa, permette di definire in modo più semplice l’unità di misura delle forze come grandezze derivate:

L’unità di forza è il Newton: 1N ≡ 1 kg.m.s-2

Il concetto di massa

Il concetto di massa


Il terzo principio o legge di azione e reazione

Quando applichiamo una forza, per esempio spingiamo contro un muro, si osserva l’instaurarsi di una forza di reazione, sentiamo il muro che spinge su noi! Newton verificò questa semplice osservazione per numerosi altri fenomeni, fino a formularla come legge generale della dinamica. Il terzo principio o legge di azione e reazione: se un corpo A esercita una forza (azione) su B allora B esercita su A una forza (reazione) uguale e contraria e diretta lungo la congiungente i due punti:

\left\{\begin{array}{l}\vec{F}_{A\rightarrow B}=-\vec{F}_{B\rightarrow A}\\ \vec{F}_{A\rightarrow B}\parallel \overrightarrow{AB}\end{array}\right.

Il terzo principio della dinamica

Il terzo principio della dinamica


Il terzo principio o legge di azione e reazione

Per evitare paradossi è importante sottolineare che:le forze di una coppia di azione-reazione sono applicate sempre su punti diversi! Ricordiamo:

  • il peso è la forza di attrazione della Terra sui corpi, ma anche i corpi esercitano sulla Terra una forza di pari intensità
  • un blocco che poggia su un piano, a causa del suo peso spinge ed il piano reagisce con una forza, è la reazione vincolare; notare che in questo esempio la reazione non è al peso ma alla forza di contatto

Il terzo principio, applicato ad un sistema di due corpi isolati dal resto, permette una definizione operativa delle masse tramite misure di accelerazione.

Esempi di coppie azione e reazione

Esempi di coppie azione e reazione


Il problema generale della dinamica

Con questi tre principi generali siamo in grado di affrontare, in linea teorica, un qualsiasi problema di dinamica di un punto materiale di massa m. Si tratta di:

  • scegliere un sistema di riferimento inerziale per descrivere il moto, che nella stragrande maggioranza dei casi sarà un riferimento solidale con il suolo terrestre
  • trovare tutte le forze che agiscono sul punto, per questo si potrà sfruttare anche la legge di azione e reazione, e determinarne la risultante, che nel caso generale potrà dipendere anche da posizione, velocità e tempo

\sum_{i}\vec{f}_i~\equiv~~\vec{F}\left(\vec{r},\dot{\vec{r}},t\right)

La condizione di equilibrio

La condizione di equilibrio


Il problema generale della dinamica

A questo punto si può scrivere la legge fondamentale di Newton:

m~\vec{a}~~=~\vec{F}~\Rightarrow~~m~\ddot{\vec{r}}~=~\vec{F}\left(\vec{r},\dot{\vec{r}},t\right)

che rappresenta un’equazione differenziale del secondo ordine, la cui soluzione rappresenta la legge oraria del moto:

\vec{r}\left(t,\vec{r}_0,\vec{\textrm{v}}_0\right)

Naturalmente per specificare esattamente il moto, si dovranno fornire le condizioni di posizione r0 e velocità v0 all’istante iniziale.

La soluzione del problema potrà essere più o meno difficile, dal punto di vista matematico, e si dovrà ricorrere eventualmente a tecniche numeriche.

Il problema generale della dinamica

Il problema generale della dinamica


La condizione di equilibrio

Fra i moti vi è il caso particolare dell’equilibrio, cioè del punto fermo in cui la posizione è costante e la velocità nulla. Una velocità nulla è comunque costante e dunque significa accelerazione nulla e dunque per il secondo principio avremo una forza nulla:

P~~\textrm{fermo}~~\equiv~\left\{\begin{array}{l}\vec{r}=cost\\ \dot{\vec{r}}=0\end{array}\right.~\Rightarrow~~\vec{F}=0

Notiamo che l’annullarsi della forza è una condizione necessaria per l’equilibrio; ma non è sufficiente perché con forza nulla il moto è rettilineo uniforme.

La condizione di equilibrio

La condizione di equilibrio


La condizione di equilibrio

In genere le posizioni di equilibrio si dividono in:

  • posizioni stabili: la forza nel punto è nulla ma appena ci si sposta si osserva una forza netta che punta verso la posizione di equilibrio, si parla anche di forza di richiamo
  • posizioni instabili: la forza è nulla e appena ci si sposta si osserva una forza netta che tende ad allontanare il punto dalla posizione di equilibrio
  • posizioni indifferenti: nello spostare il punto non si osserva nessuna forza netta

Un esempio, che approfondiremo meglio nel seguito, è quello di una pallina che si trova su una rotaia curva, il fondo degli avvallamenti è un equilibrio stabile, mentre la sommità è un equilibrio instabile e i tratti orizzontali sono di equilibrio indifferente.

La condizione di equilibrio

La condizione di equilibrio


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