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Vincenzo Canale » 10.Le leggi di conservazione

I sistemi isolati

L’evoluzione di un sistema di punti è governata dalle due equazioni cardinali che descrivono l’effetto delle azioni esterne sul sistema:
$\left\{\begin{array}{l}\frac{d\vec{P}_T}{dt}=\vec{F}^{est.}_{ris.}\\ \frac{d\vec{L}_O}{dt}=\vec{\mathcal{M}}^{est.}_{ris.}\end{array}\right.$

Nel sistema precedente le due equazioni sono indipendenti; ma a parte il caso particolare dei corpi rigidi, il sistema precedente non permette sempre di risolvere completamente il moto.

Leggi di evoluzione dinamica di un sistema

I sistemi isolati

Un caso particolarmente interessante è quello dei sistemi isolati che possiamo separare in diverse categorie:

quelli che non sono soggetti ad azioni esterne, come per esempio un’astronave nello spazio molto lontana da pianeti ed astri
quelli soggetti a forze esterne ma la cui risultante è nulla

In entrambi i casi la prima equazione cardinale ci dice che la quantità di moto totale si conserva; mentre in generale nel secondo potrebbe non conservarsi il momento angolare totale (M_ris≠0 anche se F_ris=0). Può succedere anche, a causa di vincoli, che risulti M_ris=0 con F_ris≠0.
Queste leggi di conservazione permettono di risolvere semplicemente diversi problemi; tuttavia, come accenneremo, hanno una valenza molto più generale del semplice ambito meccanico e sono connesse a proprietà fondamentali delle interazioni.

Sistemi isolati e leggi di conservazione

La conservazione della quantità di moto

Come esempio di applicazione della legge di conservazione della quantità di moto consideriamo il caso molto familiare del rinculo delle armi da fuoco. In prima approssimazione sul sistema canna proiettile si annullano le forze esterne lungo l’asse orizzontale e dunque si conserva la componente P_Tx durante lo sparo, provocato da forze interne (energia chimica liberata nell’esplosione):
$P^{fin}_{Tx}=P^{ini}_{Tx}=0~\Rightarrow~M.\textrm{V}~+~m.\textrm{v}~=0~\Rightarrow~~\textrm{V}=-\frac{m}{M}.\textrm{v}$
in questo caso l’energia cinetica non si conserva, aumenta a spese dell’energia chimica dell’esplosione.

La conservazione della quantità di moto nel rinculo del cannone

La conservazione della quantità di moto

Nel secondo caso le due masse, collegate da una molla di costante K ed inizialmente compressa di ΔL, si trovano su un piano liscio. In questo caso si conservano sia la quantità di moto che l’energia meccanica del sistema:
$\left\{\begin{array}{l}m_1.\textrm{v}_1~+~m_2.\textrm{v}_2=0\\~\frac{1}{2}m_1\textrm{v}_1^2+\frac{1}{2}m_1\textrm{v}_2^2=\frac{1}{2}K(\Delta L)^2\end{array}\right.$
e dunque:
$\textrm{v}_1=\sqrt{\frac{K.m_2}{m_1.(m_1+m_2)}}~\left|\Delta L\right|~~e~~\textrm{v}_2=\sqrt{\frac{K.m_1}{m_2.(m_1+m_2)}}~\left|\Delta L\right|$

Conservazione della quantità di moto e lavoro delle forze interne

La propulsione a reazione

La conservazione della quantità di moto spiega la propulsione a reazione. Per semplicità consideriamo un razzo lontano dai pianeti e dal sole; il sistema è isolato ed il razzo, per muoversi nella direzione x, espelle del gas nella direzione opposta con velocità u_gas rispetto al veicolo. Nel sistema di riferimento inerziale fra due istanti t e t+Δt: (a) la velocità del razzo varia fra V e V+ΔV, (b) una massa di gas dM>0 è espulsa con velocità V_gas=V- u_gas, (c) la massa del razzo diventa m-dM.

La propulsione a reazione

Scrivendo la conservazione della quantità di moto lungo l’asse x:
$M.\textrm{V}=\left(M-dM\right).\left(\textrm{V}+\textrm{dV}\right)+ ~dM.\underbrace{\left(\textrm{V}-u_{gas}\right)}_{\textrm{V}_{gas}} \Rightarrow M.d\textrm{V}-\underbrace{dM.d\textrm{V}}_{\approx 0}-dM.u_{gas}=0$

dove trascuriamo gli finitesimi di ordine superiore; e ricaviamo la spinta fornita dal motore:
$M.\frac{d\textrm{V}}{dt}=u_{gas}\frac{dM}{dt}=F_{spinta}$
che evidenzia l’importanza di massimizzare u_gas ed il tasso di espulsione.
Integrando si ricava la massima velocità in funzione della massa iniziale e finale:
$d\textrm{V}=u_{gas}\frac{dM}{M}\Rightarrow\textrm{V}_{fin}-\textrm{V}_{ini}=u_{gas}\log\left(\frac{M_{ini}}{M_{fin}}\right)$
da cui l’importanza di perdere peso.

La propulsione a reazione

Fenomeni di urto

Una classe di fenomeni, molto importanti ed abbastanza familiari nell’esperienza quotidiana, in cui si applica la conservazione della quantità di moto, è quella degli urti fra sistemi liberi. Per parlare di urto si devono verificare le seguenti condizioni:

i due sistemi interagiscono in una regione limitata di spazio ed in un t tempo molto breve rispetto agli altri tempi in gioco nel processo
le forze di interazione F_int fra i due sistemi sono talmente intense (impulsive) da potere trascurare le altre azioni esterne

La quantità di moto totale si conserva; la variazione è opposta per il singolo sottosistema ed è pari all’impulso della forza interna:

$\Delta\vec{p}_1=-\Delta\vec{p}_2\Rightarrow\left|\Delta\vec{p}\right|=J=~\int_{t_1}^{t_2}F_{int}(t).dt= ~.\tau$

Fenomeni di urto

Nella descrizione degli urti è particolarmente utile il riferimento del centro di massa in cui la quantità di moto totale è nulla e dunque:

$\vec{P}^*_T=0=cte\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\vec{p}^*_{1i}=-\vec{p}^*_{2i}=\vec{p}^*_{ini}\\\vec{p}^*_{1f}=-\vec{p}^*_{2f}=\vec{p}^*_{fin}\end{array}\right.$

In generale le quantità di moto del singolo sottosistema possono non avere la stessa intensità prima e dopo l’urto:

$\left|p_i^*\right|\neq\left|p_f^*\right|$

Descrizione degli urti nel sistema di riferimento del centro di massa

Caratterizzazione energetica degli urti

Come abbiamo detto nei fenomeni di urto si conserva la quantità di moto totale e dunque è costante la velocità del centro di massa del sistema. Dall’espressione del primo teorema di Koenig:
$E_{k}=\underbrace{\frac{1}{2}\left(m_1+m_2\right)\textrm{V}^2_{cm}}_{cte}+ E_{k}^{*}$
possiamo caratterizzare l’urto con la variazione di energia cinetica ΔE_k=ΔE_k* :

ΔE_k*=0 ( p*ini= p*fin ) elastico
ΔE_k*<0 ( p*ini> p*fin ) anelastico, vi è dissipazione di energia cinetica per effetto di attriti
ΔE_k*>0 ( p*ini< p*fin ) esplosivo, vi è produzione di energia cinetica a spese di altre forme di energia (chimica, interna, ecc…)

Caratterizzazione energetica degli urti

Possiamo scrivere l’energie cinetica, prima e dopo, nel riferimento del centro di massa come:
$\left\{\begin{array}{l} E_{k}^{*~ini}=\left(\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}\right)~.\frac{p^{*2}_{ini}}{2} \\ E_{k}^{*~fin}=\left(\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}\right)~.\frac{p^{*2}_{fin}}{2} \end{array}\right.$

e dunque la classificazione precedente corrisponde a:

p*_ini= p*_fin elastico
p*_ini> p*_fin anelastico
p*_ini< p*_fin esplosivo

Generalmente gli urti sono anelastici perché è praticamente impossibile realizzare a livello macroscopico fenomeni senza dissipazioni; è consuetudine definire il coefficiente di restituzione come:
$\epsilon~=~\frac{p_{fin}^*}{p_{ini}^*}~~\left\{\begin{array}{l}=1~~\textrm{elastico}\\<1~~\textrm{analestico}\end{array}\right.$

Caratterizzazione energetica degli urti

Urto completamente anelastico

In generale il coefficiente ∈ non è noto a priori, tranne nell’urto completamente anelastico ∈=0 che corrisponde al caso in cui E*_Kfin=0. I sistemi sono fermi nel riferimento del centro di massa, restano attaccati ed hanno stessa velocità finale:
$\vec{\textrm{v}}_{1f}=\vec{\textrm{v}}_{2f}=\vec{\textrm{V}}_{cm}=\frac{m_1\vec{\textrm{v}}_{1i}+m_2\vec{\textrm{v}}_{2i}}{m_1+m_2}$
In questo caso la dissipazione di energia cinetica è massima:
$\Delta E_k^{max}=\frac{1}{2}\left(\frac{m_1.m_2}{m_1+m_2}\right)~\left( \vec{\textrm{v}_1}-\vec{\textrm{v}}_2\right)^2<0$

Urti completamente anelastici

Urto completamente anelastico

Nel pendolo balistico un proiettile, con velocità v, si conficca in un blocco, inizialmente in quiete, appeso ad un filo ed il pendolo così formato risale fino all’angolo θ_M. La tensione, sebbene impulsiva, è verticale perché il filo non sopporta sforzi laterali; si conserva la componente orizzontale della quantità di moto:
$m.\textrm{v}~+~0~=~\left(m+M\right).\textrm{V}\Rightarrow \textrm{V}=\frac{m}{m+M}~\textrm{v}$
Dalla conservazione dell’energia per il pendolo si ricava la velocità iniziale del proiettile:
$-\frac{1}{2}\left(m+M\right).\textrm{V}^2=-\left(m+M\right).g.l\left(1-\cos\theta_M\right) \Rightarrow \textrm{v}=\left(\frac{m+M}{m}\right)\sqrt{2~g~l\left(1-\cos\theta_M\right)}$

Il pendolo balistico

Urti elastici in una dimensione

In diverse situazioni l’approssimazione dell’urto elastico è sufficientemente ben verificata (sferette dure di metallo o gomma oppure fra le molecole di un gas). Consideriamo il caso unidimensionale, possiamo scrivere, nel riferimento del laboratorio, le leggi di conservazione della quantità di moto e dell’energia cinetica:

$\left\{\begin{array}{l}m_1\textrm{v}_{1i}+m_2\textrm{v}_{2i}=m_1\textrm{v}_{1f}+m_2\textrm{v}_{2f}\\\frac{1}{2}m_1\textrm{v}_{1i}^2+\frac{1}{2}m_2\textrm{v}_{2i}^2=\frac{1}{2}m_1\textrm{v}_{1f}^2+\frac{1}{2}m_2\textrm{v}_{2f}^2\end{array}\right.$

e risolvendo:

$\left\{\begin{array}{l}\textrm{v}_{1f}=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\textrm{v}_{1i}+\frac{2m_2}{m_1+m_2}\textrm{v}_{2i}\\\textrm{v}_{2f}=\frac{2m_1}{m_1+m_2} \textrm{v}_{1i} +\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}\textrm{v}_{2i}\\ \end{array}\right.$

Urti elastici unidimensionali

Urti elastici in una dimensione

Nel caso v_2i=0 possiamo distinguere i casi interessanti:

m₁=m₂ → v_1f=0 e v_2f=v1i i corpi si scambiano le velocità
m₁<<m₂ → v_1f=-v_1i e v_2f≈0 il primo corpo rimbalza su una parete
m₁>>m₂ → v_1f≈+v_1i e v_2f≈+2_v1i il primo corpo procede indisturbato ed il secondo schizza avanti

L’ultimo caso è il cosiddetto effetto fionda (vedi filmato) che viene sfruttato dalle sonde spaziali contro i pianeti o spiega il meccanismo di accelerazione dei raggi cosmici!

Urti in più dimensioni

In più dimensioni la situazione si complica; per esempio se consideriamo il caso di due corpi che si urtano elasticamente nel piano avremo le due leggi di conservazione:

$\left\{\begin{array}{l} m_1\vec{\textrm{v}}_{1i}~+~m_2\vec{\textrm{v}}_{2i}~=~m_1\vec{\textrm{v}}_{1f}~+~m_2\vec{\textrm{v}}_{2f}\\\frac{1}{2}m_1\textrm{v}^2_{1i}~+~\frac{1}{2}m_2\textrm{v}_{2i}~=~\frac{1}{2}m_1\textrm{v}^2_{1f}~+~\frac{1}{2}m_2\textrm{v}^2_{2f}\end{array}\right$

che forniscono tre equazioni insufficienti per le quattro incognite corrispondenti alle componenti delle velocità finali.

Urto elastico bidimensionale

Urti in più dimensioni

Nelle applicazioni più frequenti il secondo corpo è fermo e si sceglie la direzione della prima come riferimento e dunque riscriviamo:
$\left\{\begin{array}{l} m_1\textrm{v}_{1i}~=~m_1\textrm{v}_{1f}\cos\theta_1+~m_2\textrm{v}_{2f}\cos\theta_2\\0~=~m_1\textrm{v}_{1f}\sin\theta_1~m_2\textrm{v}_{2f}\sin\theta_2\\\frac{1}{2}m_1\textrm{v}^2_{1i}~+~\frac{1}{2}m_2\textrm{v}_{2i}~=~\frac{1}{2}m_1\textrm{v}_{1f}~+~\frac{1}{2}m_2\textrm{v}_{2f}\end{array}\right.$

e si misura l’angolo di diffusione θ₁ che permette di determinare lo stato finale. Lo studio delle distribuzioni angolari fornisce informazioni sull’interazione; ricordiamo la celeberrima esperienza di Rutherford per la scoperta della struttura dell’atomo!

Diffusione da un centro fermo

Conservazione del momento angolare

Consideriamo adesso dei sistemi in cui si conserva il momento angolare totale. Il primo esempio è quello di una giostra a forma di disco, inizialmente ferma, che può ruotare con attrito trascurabile intorno al suo asse di simmetria verticale, sul cui bordo salta, con velocità tangenziale, un ragazzo. Le forze esterne, il peso e la reazione normale perché parallele all’asse e la reazione del vincolo perché con braccio nullo, hanno momento nullo rispetto all’asse e dunque si conserva la componente del momento angolare totale. E si ottiene la velocità angolare della giostra:
$\underbrace{m.\textrm{v}.r}_{L_{Oz}^{ini}}=\underbrace{\left(m.r^2+I_O\right).\omega}_{L_{Oz}^{fin}}\Rightarrow \omega=\frac{m.\textrm{v}.r}{\left(m.r^2+I_O\right)}$

Conservazione del momento angolare: ragazzo che salta sulla giostra

Conservazione del momento angolare

Un secondo esempio è quello di due pattinatori, su una pista liscia, che si vengono incontro, per semplicità con uguale velocità v e stessa massa m in modo che V_C=0, su direzioni separate e che si aggrappano nel punto di massimo avvicinamento d. Cominciano a girare con velocità angolare ricavabile dalla conservazione del momento angolare lungo la verticale:
$\underbrace{2.m.\textrm{v}.\frac{d}{2}}_{L_{z}^{ini}}=\underbrace{2.m.\left(\frac{d}{2}\right)^2.\omega_c}_{L_{z}^{fin}}\Rightarrow \omega_c=\frac{2\textrm{v}}{d}$

Conservazione del momento angolare: la coppia di pattinatori

Momento angolare in sistemi deformabili

Un esempio molto noto in cui interviene la conservazione del momento angolare, anche se in un sistema non rigido, è quello della ballerina pattinatrice che effettua la piroetta e che possiamo schematizzare come un sistema di momento d’inerzia I₁che ruota con velocità angolare ω₁ su una piattaforma. Quando gli attriti sono trascurabili allora le forze esterne hanno una componente del momento nulla lungo l’asse verticale di rotazione; e si conserva questa componente L_z del momento angolare totale.

Attirando le braccia al corpo, la ballerina riduce il suo momento d’inerzia a I2 < I1 e conseguentemente la sua velocità angolare aumenterà:

$L_{z}=cte\Rightarrow~\underbrace{I_1.\omega_1}_{L_{z}^{(1)}}=\underbrace{I_2.\omega_2}_{L_{z}^{(2)}}\Rightarrow~\omega_2= \left(\frac{I_2}{I_1}\right)~\omega_1>~\omega_1$

Conservazione del momento angolare: la piroetta della ballerina

Momento angolare in sistemi deformabili

È interessante notare che in questo caso l’energia cinetica totale aumenta perché:
$\Delta E_k=\frac{1}{2}I_2\omega_2^2-\frac{1}{2}I_1\omega_1^2=\frac{1}{2}\left(\frac{I_1}{I_2}-1\right).I_1\omega_1^2>0$
ed il lavoro necessario è fornito dalle forze interne esercitate dalla ballerina nell’avvicinare le braccia.

Questo tipo di situazione è analoga a quella dei tuffatori che raggomitolandosi aumentano la velocità angolare e riescono a fare diversi salti mortali.

Fenomeni impulsivi angolari

I fenomeni impulsivi si estendono al caso delle rotazioni introducendo l’impulso angolare ricevuto da un sistema e che si scrive in funzione del momento risultante che agisce:
$\Delta\vec{L}=\vec{J}_{ang}=\int_{t_1}^{t_2}\vec{\mathcal{M}}_{est}dt=<\vec{\mathcal{M}}_{est}>.\tau$
Quando fra due sistemi in interazione non ci sono, o si possono trascurare, i momenti delle forze esterne allora avremo la conservazione del momento angolare.

Fenomeni impulsivi angolari

Consideriamo un disco orizzontale che ruota liberamente (I₀ e ω₀ ) intorno al suo asse (z); si lascia cadere verticalmente un punto m, alla distanza r dall’asse. Si annullano i momenti delle forze esterne rispetto a (z) e dunque:
$L_{z}=cte\Rightarrow~\underbrace{I_0.\omega_i}_{L_{z}^{(i)}}=\underbrace{\left(m.r^2+I_0\right).\omega_f}_{L_{z}^{(f)}}\Rightarrow~\omega_f=\left(\frac{I_0}{m.r^2+I_0}\right)~\omega_i<~\omega_i$
Nel secondo esempio abbiamo due dischi in asse, di momenti I₁ e I₂, che ruotano liberamente con ω₁ e ω₂. Si attaccano fino a formare un unico disco e realizzano l’analogo di un urto completamente anelastico:
$L_{z}=cte\Rightarrow~\underbrace{I_1.\omega_1~+~I_2.\omega_2}_{L_{z}^{(i)}}= \underbrace{\left(I_1+I_2\right).\omega_f}_{L_{z}^{(f)}}\Rightarrow~\omega_f=\frac{I_1.\omega_1~+~I_2.\omega_2}{I_1+I_2}$

Urto fra punto materiale ed un disco

Urto fra dischi

Urti con sistemi vincolati

Un caso frequente è quello degli urti in con vincoli che bloccano alcuni punti dei sistemi. In questo si esercita una reazione esterna impulsiva e non si conserva la quantità di moto totale, tuttavia può succedere che il momento delle azioni esterne si annulli e dunque si conservi il momento angolare.

Consideriamo un proiettile che colpisce, orizzontalmente e vi si conficca, una sbarra verticale incernierata ad un asse orizzontale. Nell’urto la reazione vincolare è impulsiva e probabilmente non verticale, tuttavia il suo momento rispetto all’asse si annulla così come quello del peso (braccio nullo) e si conserva il momento angolare lungo l’asse:
$\underbrace{m.d.\textrm{v}}_{L_{\Delta}^{(i)}}=\underbrace{\left(m.d^2+I_0\right).\omega_o}_{L_{z}^{(f)}}\Rightarrow~\omega_0= \left(\frac{m.d}{m.d^2+I_0}\right)~\textrm{v}$
e poi dalla conservazione dell’energia si collega la velocità del proiettile con l’ampiezza di oscillazione.

Urto di una pallina su una sbarra vincolata

Urti con sistemi vincolati

La reazione vincolare non è nulla, e se ne calcola il valore medio dal teorema del centro di massa ed il risultato precedente. Come mostrato sulla figura, esiste un punto, detto centro di percussione, per il quale la reazione sul vincolo si annulla; è quanto accade colpendo bene con la racchetta da tennis: il colpo non si sente sul polso!

Il centro di percussione

Importanza delle leggi di conservazione

Le leggi di conservazione, utili nella risoluzione di molti problemi, hanno in realtà, insieme alla legge di conservazione dell’energia, un significato fisico più ampio. Il loro dominio di validità (assenza di azioni esterne) è molto più vasto poiché la differenza fra esterne ed interne è convenzionale, potendo allargare il sistema agli agenti esterni. Inoltre le grandezze quantità di moto, momento angolare ed energia si estendono ad altre entità fisiche; ed il loro contributo è fondamentale nel computo complessivo. Per esempio la forza magnetica di Lorentz viola, apparentemente, il terzo principio ma con il contributo del campo elettromagnetico si ristabilisce la validità della conservazione della quantità di moto.

Importanza delle leggi di conservazione

Queste leggi esprimono delle proprietà fondamentali di invarianza, nel senso descritto per la relatività, delle leggi fisiche; in effetti si può mostrare che la conservazione:

della quantità di moto è legata all’invarianza per traslazione spaziale
del momento angolare a quella per rotazione nello spazio
dell’energia a quella per traslazione nel tempo

La connessione fra invarianza e grandezze conservate si osserva anche in altri campi della fisica come l’elettromagnetismo (la conservazione della carica elettrica) o le moderne teorie sulle particelle elementari.