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Raffaele Landolfo » 21.Fondamenti di dinamica delle strutture


Indice

Dinamica delle strutture

L’oscillatore semplice

  • Oscillazioni libere non smorzate
  • Oscillazioni libere smorzate
  • Oscillazioni forzate smorzate

Approccio statico e approccio dinamico

Lo spettro di risposta

L’oscillatore semplice nella realtà

Sistemi elastici a più gradi di libertà

  • Analisi modale
  • Analisi statica equivalente

Dinamica delle strutture

Definizione

La dinamica è quella parte della Meccanica delle Strutture che studia la risposta dei sistemi soggetti a forze e/o spostamenti variabili nel tempo.

La conoscenza dei fondamenti della dinamica delle strutture è indispensabile per comprendere le strategie di progettazione antisismica.

Terremoto a L’Aquila

Terremoto a L'Aquila


L’oscillatore semplice

Nella dinamica delle strutture, il più semplice sistema strutturale è l’oscillatore elementare, detto anche S.D.O.F.

Esso è costituito da un corpo rigido di massa m che può muoversi lungo un’unica direzione X. Pertanto la sua posizione, nel generico istante di tempo t, è univocamente definita dal valore del parametro di spostamento x, che rappresenta l’unico grado di libertà del sistema.

La funzione x(t) è la funzione spostamento; la sua conoscenza permette di sapere, in ogni istante t, la posizione della massa m. Le derivate prima e seconda della funzione spostamento rispetto al tempo forniscono rispettivamente:
\dot x (t)= funzione velocità;

\ddot x(t)= funzione accelerazione.

Il corpo di massa m non è libero nel piano, ma vincolato ad una molla elastica, di costante K, che tende a riportarlo nella sua posizione originaria.

La costante elastica K [N/m] rappresenta la rigidezza della molla, ossia la forza di richiamo che nasce per effetto di uno spostamento unitario della massa.

Oscillatore semplice

Oscillatore semplice

Forza di richiamo elastico nell’oscillatore semplice

Forza di richiamo elastico nell'oscillatore semplice


Oscillazioni libere non smorzate

Si ipotizzi che, per una qualunque causa esterna, l’oscillatore si sposti dalla sua posizione di riposo di una certa quantità x.

Per effetto di tale spostamento, la molla eserciterà una forza di richiamo elastico (-Kx) che tenderà a riportare la massa nella sua posizione originaria. Come conseguenza di tutto ciò la massa m inizierà ad oscillare con continuità intorno alla sua posizione di riposo.

L’equazione del moto è fornita dalla Legge di Newton; essa esprime l’equilibrio che deve verificarsi, istante per istante, tra la forza d’ inerzia e la forza di richiamo elastico.

L’equazione del moto di un oscillatore semplice elastico in regime di oscillazioni libere non smorzate è un’equazione differenziale del secondo ordine nell’incognita x(t).

Oscillatore semplice elastico in regime di oscillazioni libere non smorzate

Oscillatore semplice elastico in regime di oscillazioni libere non smorzate

Dalla legge di Newton all’equazione del moto di un oscillatore semplice in regime di oscillazioni libere non smorzate

Dalla legge di Newton all'equazione del moto di un oscillatore semplice in regime di oscillazioni libere non smorzate


Oscillazioni libere non smorzate: moto armonico

Introducendo la grandezza ω, ossia la “pulsazione naturale del sistema”, l’equazione del moto si trasforma nell’equazione del “moto armonico” .

Trattasi di un particolare moto che ripete identicamente le sue caratteristiche ad intervalli regolari di tempo.
Per questa sua caratteristica questo tipo di moto è detto periodico e le due grandezze fondamentali che lo contraddistinguono sono:

  • il periodo T: ossia il tempo necessario alla massa per compiere un’oscillazione completa. Si misura in secondi e risulta essere direttamente proporzionale alla massa e inversamente proporzionale alla rigidezza della molla;
  • la frequenza f: è l’inverso del periodo e indica il numero di oscillazioni complete che si verificano nell’unità di tempo. Si misura in hertz (1/sec).
Equazione del moto armonico, definizione della pulsazione w, e delle grandezze T e f

Equazione del moto armonico, definizione della pulsazione w, e delle grandezze T e f

Moto armonico: soluzione e sua rappresentazione grafica

Moto armonico: soluzione e sua rappresentazione grafica


Oscillazioni libere smorzate

Nella realtà il moto armonico, essendo di tipo perpetuo, non può esistere. Infatti, per effetto dei fenomeni di attrito, il moto oscillatorio della massa m si smorzerà inevitabilmente con il passare del tempo fino ad annullarsi completamente.

Per introdurre l’effetto di smorzamento dovuto ai fenomeni di attrito occorre aggiungere al modello dell’oscillatore semplice un dispositivo di dissipazione viscosa.

Trattasi di un dispositivo, di costante b, che, come la molla, si oppone al moto dell’oscillatore ma la cui forza di richiamo risulta essere proporzionale alla velocità della massa.

La costante di smorzamento viscoso b [N sec/m] rappresenta la forza di richiamo viscosa che nasce per effetto di una velocità unitaria della massa.

Es. di dispositivo di dissipazione viscosa

Es. di dispositivo di dissipazione viscosa

Diagramma forza-spostamento del dissipatore

Diagramma forza-spostamento del dissipatore


Oscillazioni libere smorzate

Se dunque per effetto di una qualunque causa esterna l’oscillatore viene posto in movimento, è facile comprendere che, in questo caso, saranno due le forze che, istante per istante, si opporranno al moto e precisamente:

  • la forza di richiamo elastico, esercitata dalla molla, di intensità proporzionale allo spostamento della massa;
  • la forza di dissipazione viscosa, esercitata dal dispositivo di smorzamento, proporzionale alla velocità della massa.

L’equazione che regola il moto dell’oscillatore semplice in queste condizioni (regime di oscillazioni libere smorzate) si ottiene sempre dalla legge di Newton ed è ancora un’equazione differenziale del secondo ordine nell’incognita x(t).

Oscillatore semplice elastico in regime di oscillazioni libere smorzate

Oscillatore semplice elastico in regime di oscillazioni libere smorzate

Dalla legge di Newton all’equazione del moto

Dalla legge di Newton all'equazione del moto


Oscillazioni libere smorzate: moto pseudoperiodico

Si dimostra che per un fattore di smorzamento ν < 1 (ciò si verifica sempre in campo strutturale) il moto è ancora oscillatorio ma con ampiezza decrescente.

Il moto non è periodico, poiché l’ampiezza dell’oscillazione varia nel tempo, tuttavia gli zeri della funzione si ripetono ad intervalli costanti e si può parlare di moto pseudo-periodico. Le grandezze fondamentali che lo contraddistinguono sono:

  • la pseudo-pulsazione;
  • lo pseudo-periodo;
  • la pseudo-frequenza.

Per ν << 1 (poche unità percentuali) la differenza tra periodo e pseudo-periodo è minima e si può considerare con buona approssimazione T=Td.

Rappresentazione grafica della soluzione

Rappresentazione grafica della soluzione

Caratteristiche del moto pseudo-periodico

Caratteristiche del moto pseudo-periodico


Oscillazioni forzate smorzate

Il caso delle oscillazioni forzate smorzate può verificarsi per due motivi, equivalenti dal punto di vista matematico:

  • se sulla massa m agisce una forza esterna F(t) variabile nel tempo;
  • se alla base dell’SDOF sono impressi degli spostamenti s(t), ovvero delle accelerazioni a(t), variabili nel tempo.

L’equazione del moto si ottiene sempre partendo dalla legge di Newton . In essa le forze di richiamo elastico e quella viscosa saranno proporzionali rispettivamente allo spostamento e alla velocità relativa, mentre la forza d’inerzia sarà funzione dell’accelerazione assoluta.

L’equazione del moto è un’equazione differenziale del secondo ordine completa la cui soluzione è l‘Integrale di Duhamel, che fornisce la funzione spostamento della massa nel tempo x(t).

In questo caso la soluzione non è più funzione delle sole caratteristiche dell’oscillatore (valori di T e ν), ma dipende anche dalla forzante ossia dalla storia di accelerazioni del suolo a(t).

Oscillatore semplice elastico in regime di oscillazioni smorzate soggetto ad una accelerazione a(t)

Oscillatore semplice elastico in regime di oscillazioni smorzate soggetto ad una accelerazione a(t)

Equazione del moto in caso di oscillazioni forzate smorzate

Equazione del moto in caso di oscillazioni forzate smorzate


Oscillazioni forzate smorzate

Una volta nota la soluzione dell’equazione del moto, ovvero la funzione x(t), sono facilmente ottenibili per derivazione successiva la funzione velocità e la funzione accelerazione, ed è quindi possibile conoscere istante per istante cosa accade all’SDOF per effetto dell’assegnato accelerogramma a(t).

Considerando la funzione accelerazione si può osservare che:
\ddot x _{max}= massima accelerazione subita dall’SDOF
generalmente non coincide con la massima accelerazione del terreno (PGA), ma potrà essere maggiore o minore in funzione delle caratteristiche proprie dell’oscillatore.

Massima accelerazione subita dall’SDOF

Massima accelerazione subita dall'SDOF

Massima accelerazione del terreno (PGA)

Massima accelerazione del terreno (PGA)


Approccio statico e approccio dinamico

Approccio dinamico
L’approccio che permette di determinare, istante per istante, la storia degli spostamenti dell’oscillatore semplice per un assegnato accelerogramma a(t) è definito “Time History”, e consiste nell’integrare l’equazione del moto per conoscere la funzione spostamento x(t) e quindi il comportamento del SDOF per l’intera durata del terremoto.
Tale metodo, detto anche “Analisi Dinamica al passo” , nelle pratiche applicazioni si presenta abbastanza complicato, sia per le difficoltà connesse all’integrazione dell’equazione del moto che per la necessità di caratterizzazione l’imput sismico con uno o più accelerogrammi, la cui conoscenza è spesso problematica.

Approccio statico
In alternativa all’approccio dinamico, gli effetti di un terremoto sul SDOF possono essere valutati seguendo un approccio semplificato. Esso consiste nel considerare tali effetti “”equivalenti ” a quelli provocati da una forza orizzontale, applicata staticamente alla massa m, il cui valore è pari alla massa del corpo moltiplicata per l’accelerazione massima subita dal SDOF durante quel determinato terremoto.
Per l’applicazione pratica di tale approccio è quindi necessario conoscere l’accelerazione massima subita dall’oscillatore durante il terremoto. Quest’ultima dipende dalle sue caratteristiche inerziali (T e ν) nonché dall’accelerogramma a(t).

Approccio dinamico

Approccio dinamico

Approccio statico

Approccio statico


Spettro di risposta di un terremoto

Per un assegnato accelerogramma a(t) e per un determinato valore di ν la curva che si ottiene diagrammando le accelerazioni massime subite dall’oscillatore in funzione di T è detta Spettro di Risposta elastico in termini di accelerazioni (SdA).

In maniera del tutto analoga si potrebbero ottenere anche gli spettri di risposta elastici in termini di velocità (SdV) e di spostamenti (SdS).

Variando il terremoto (con la relativa PGA) varia l’intero spettro. Considerando quindi, per una determinata zona, una serie di accelerogrammi rappresentativi, si ottengono una serie di spettri tutti diversi tra loro, per forma e PGA.

Le normative, attraverso un processo di normalizzazione e successivo trattamento statistico dei vari spettri di risposta ottenuti al variare dei possibili terremoti, forniscono uno spettro normalizzato di forma semplificata, come quello riportato nella figura.

Spettro di risposta elastico in termini di accelerazioni

Spettro di risposta elastico in termini di accelerazioni

Spettro di risposta elastico da normativa

Spettro di risposta elastico da normativa


Approccio statico: uso dello Spettro di Risposta

Grazie allo spettro è dunque possibile conoscere, senza ricorrere all’approccio Time History, il valore dell’accelerazione massima che subisce l’SDOF .

Quest’ultima sarà pari al prodotto dell’ordinata spettrale, funzione del periodo T dell’oscillatore, e del PGA del terremoto, e attraverso essa si potrà valutare la forza statica equivalente al terremoto.

Determinazione dell’ordinata spettrale

Determinazione dell'ordinata spettrale

Calcolo della forza sismica

Calcolo della forza sismica


L’oscillatore semplice nella realtà

Esistono strutture reali il cui comportamento dinamico può essere ricondotto perfettamente al modello di oscillatore semplice, come ad esempio un serbatoio sospeso.

Anche una costruzione monopiano può, con buona approssimazione, essere studiata dal punto di vista dinamico mediante il modello del SDOF.

In essa infatti:

  • la massa m è generalmente concentrata a livello dell’impalcato;
  • la forza di richiamo elastico è esercitata dal sottosistema portante verticale (telaio, pareti, etc) la cui rigidezza traslante sarà ovviamente funzione della natura stessa di tale sottosistema.
Serbatoio sospeso di riserva d’acqua e sua schematizzazione tramite l’S.D.O.F. Fonte: ASET servizi

Serbatoio sospeso di riserva d'acqua e sua schematizzazione tramite l'S.D.O.F. Fonte: ASET servizi

Edificio monopiano e sua schematizzazione tramite l’S.D.O.F

Edificio monopiano e sua schematizzazione tramite l'S.D.O.F


Sistemi elastici a più gradi di libertà

Per gli edifici a più piani non è possibile adottare il modello dell’oscillatore semplice, ma occorre considerarli come sistemi a più gradi di libertà (MDOF).

Ipotizzando le masse prevalentemente concentrate a livello degli impalcati, il numero di gradi di libertà è pari al numero di piani.

Il moto di questi sistemi, se n è il numero di gradi di libertà, è descritto da un sistema di n equazioni differenziali nelle n incognite xi(t).

Edificio di tre piani e sua schematizzazione come M.D.O.F

Edificio di tre piani e sua schematizzazione come M.D.O.F


Sistemi elastici a più gradi di libertà

Anali modale 

Si dimostra che il moto di un sistema a n gradi di libertà può ottenersi come combinazione di n “modi di vibrare elementari” detti anche “modi naturali di vibrare“.

Ogni modo naturale di vibrare ha un proprio periodo Ti e si caratterizza per la particolare forma della configurazione deformata.

Sia il periodo che l’importanza di questi modi va via via decrescendo nel passaggio dal primo al n-mo modo.

Per ognuno degli n modi di vibrare, la struttura può essere considerata come un oscillatore semplice, essendo caratterizzata da un unico valore del periodo Ti.
Per ognuno di essi è dunque immediato individuare, attraverso lo spettro di risposta elastico in termini di accelerazioni, il sistema di forze sismiche ad esso associato.
Gli effetti delle forze sismiche corrispondenti agli n modi di vibrare vengono combinati utilizzando diverse tecniche (in genere la tecnica più adottata è la SRSS).

Modi elementari o modi naturali di vibrare

Modi elementari o modi naturali di vibrare


Sistemi elastici a più gradi di libertà

Analisi statica equivalente

Per strutture dotate di una certa regolarità può ritenersi che il primo modo di vibrare sia, in assoluto, quello più importante, al punto tale da trascurare completamente tutti gli altri.

In questa ipotesi, la deformata corrispondente al primo modo può essere assimilata ad una retta ed il corrispondente periodo di vibrazione (periodo fondamentale) può essere valutato in modo approssimato in funzione dell’altezza dell’intera struttura:

T* = C H ¾ ≈ T1

dove:
H è l’altezza dell’edificio, calcolata dal piano di fondazione;

C è

0.085 per edifici con struttura a telaio in acciaio;
0.075 per edifici con struttura a telaio in calcestruzzo;
0.05 per tutti gli altri edifici.

Primo modo di vibrare e sua semplificazione

Primo modo di vibrare e sua semplificazione


Sistemi elastici a più gradi di libertà (segue)

Analisi statica equivalente

L’oscillatore a più gradi di libertà si riduce quindi, in queste ipotesi, ad un SDOF caratterizzato da un periodo T* e da una massa (o peso sismico) pari alla somma delle masse (o dei pesi sismici) dei singoli piani.

È dunque immediato, attraverso lo spettro di risposta elastico in termini di accelerazioni ricavarsi la forza sismica totale che agisce sull’intera struttura che risulterà pari a:

FTOT = WTOT · PGA · S(T*)

Quest’ultima viene successivamente distribuita tra i vari piani dell’edificio in modo tale da ottenere in un sistema di forze linearmente crescente dal basso verso l’alto.
Tale distribuzione risulta essere perfettamente affine all’unico modo di vibrare che si è considerato importante.

Il coefficiente di distribuzione della forza totale è proporzionale all’altezza e alla percentuale di peso sismico del piano i-esimo.

Analisi statica equivalente: rappresentazione grafica

Analisi statica equivalente: rappresentazione grafica

Valore della forza al piano i-esimo

Valore della forza al piano i-esimo


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