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Carlo Gualtieri » 13.Il processo di gas-transfer

Il processo di gas-transfer. Generalità

In linea generale, il passaggio di una sostanza attraverso una interfaccia è un processo di trasferimento di massa (mass-transfer) interfase, legato al fatto che la sostanza si trova in una condizione di non-equilibrio fra le due fasi poste sui lati dell’interfaccia. La condizione di equilibrio o non-equilibrio dipende, in generale, dal potenziale chimico della sostanza considerata all’interno delle due fasi, che è, a sua volta, legato alla concentrazione della sostanza, che è una grandezze più facilmente misurabile. Da ciò si può intuire, come più avanti dimostrato analiticamente, che il processo di mass-transfer è in qualche maniera originato da un gradiente di concentrazione esistente fra i due lati dell’interfaccia e che è associato ad un flusso , che può avere una componente advettiva ed una componente diffusiva. Tale flusso è espresso analiticamente come una condizione ai limiti presente nell’equazione del trasporto, che viene, poi, risolta sia per via analitica che per via numerica. Il problema principale resta appunto definire dal punto di vista quantitativo tale flusso, che però dipende spesso da processi che hanno luogo su scala molto piccola e sono difficili da individuare e modellare.
Nel caso dell’interfaccia aria-acqua, essa è sede, oltre che del trasporto della quantità di moto prima descritto, di processi di trasferimento di massa che possono avere significative conseguenze sulla qualità di un corpo idrico. In particolare, tali processi riguardano il passaggio di sostanze gassose dall’atmosfera nel corpo idrico e, viceversa, dalla massa idrica verso l’atmosfera. Questi processi sono detti anche processi di gas-transfer e, più in dettaglio, l’ingresso di un gas nel corpo idrico è chiamato absorbimento, mentre il passaggio, inverso, di un gas dall’acqua in atmosfera è detto volatilizzazione; entrambi i processi, come mostrato più avanti, dipendono sia dalle caratteristiche intrinseche della sostanza gassosa considerata sia dai processi fluidodinamici che interessano la massa liquida, la massa gassosa e l’interfaccia aria-acqua.

Il processo di gas-transfer. Influenza di H_e

Per quanto riguarda le caratteristiche della sostanza che attraversa l’interfaccia, è ben noto che ad una data temperatura, la solubilità di un gas in un liquido è direttamente proporzionale alla pressione parziale del gas sopra il liquido e se la concentrazione del gas in soluzione è espressa come frazione molare, vale:

$p=H_eC_{sat}~~~~~(13.1a)$

che è detta Legge di Henry, dove p è la pressione parziale del gas [M·L^-1T^-2], He è la costante di Henry [M·L^-1T^-2mole^-1] e C_sat è la concentrazione a saturazione del gas in acqua [mole·L^-3]. La (13.1a) mette in evidenza come, per una certa pressione parziale del gas, la concentrazione a saturazione del gas e, quindi, la sua solubilità si riduce al crescere di H_e. Inoltre poiché la dissoluzione di un gas in un liquido è un processo esotermico, si ha:

$\text{gas}+\text{soluzione}\Leftrightarrow \text{soluzione piu' concentrata}+ \text{calore}~~~~~(13.2)$

da cui si ricava che un aumento della temperatura della soluzione sposta l’equilibrio della (13.2) verso sinistra, costringendo il gas a lasciare la soluzione.
La (13.1a) può assumere anche forma adimensionale utilizzando la ben nota legge dei gas ideali:

$pVol=z_enRT_a~~~~~(13.3)$

dove Vol, [L³], è il volume occupato dal gas, z_c è il fattore adimensionale di comprimibilità del gas, n è il numero di moli e T_a è la temperatura assoluta in K. Infine, R è la costante universale dei gas ideali, il cui valore è indipendente dalle altre grandezze in gioco, ma dipende solo dal sistema di misura adoperato. Essa, nel nostro caso, è pari a 8.206×10^-5 [M·L²·T^-2K^-1·mole^-1].

Il processo di gas-transfer. Influenza di H_e (segue)

Se, nell’equazione dei gas ideali si pone z_c=1, la concentrazione molare del gas può essere espressa in termini della sua pressione parziale:

$C=\frac n {Vol}=\frac p{RT_a}~~~~~(13.4)$

per cui, introducendo la (13.4) nella (13.1a) si ottiene:

$H=\frac{H_e}{RT_a}=\frac C {C_{sat}}~~~~~(13.1b)$

dove H è la costante di Henry adimensionale. Il valore della concentrazione di saturazione del gas disciolto dipende, oltre che dalla temperatura, anche dalla salinità e dalla pressione barometrica. L’effetto di questi 3 parametri può essere quantificato utilizzando delle relazioni empiriche nelle quali si osserva che sia un incremento della salinità sia un aumento della pressione barometrica determinano una riduzione della solubilità di un gas.

Il processo di gas-transfer. Influenza di H_e (segue)

Per mettere in evidenza subito l’effetto del valore della costante di Henry H_e sul processo di gas-transfer si consideri adesso, il volume di fluido in prossimità dell’interfaccia aria-acqua. Senza entrare, per ora, in dettagli che saranno affrontati in maniera rigorosa più avanti, si può osservare che tale interfaccia è dotata di una certa, sia pur limitata, rigidezza, legata alla tensione superficiale del fluido, che tende a tenere lontano dalla parete stessa i vortici turbolenti; pertanto, la zona a cavallo di tale interfaccia è costituita da due strati di fluido, uno gassoso dalla parte dell’atmosfera e l’altro liquido dalla parte del corpo idrico, i quali hanno entrambi le caratteristiche di un substrato limite idrodinamico, dove il moto è laminare ed il trasporto della quantità di moto è controllato dalla viscosità. Oltre ad intervenire sul trasporto della quantità di moto, l’interfaccia agisce anche sul trasporto della massa, per cui, all’interno di tale substrato limite idrodinamico, è contenuto un substrato limite diffusivo, dove il trasporto della massa dipende solo dalla diffusività molecolare del gas nel fluido (Fig.13.1). Al di fuori dei due substrati limite il moto è di tipo turbolento e, quindi, il trasporto della massa e della quantità di moto dipende dalla caratteristiche del fenomeno turbolento, che tende a creare nelle masse fluida condizioni, in una certa di misura, di omogeneità della concentrazione di gas, che si presenta, quindi, costante lungo la verticale.

Fig.13.1 – Processo di gas-transfer

Il processo di gas-transfer. Influenza di He (segue)

Ciò premesso, si faccia l’ipotesi che il flusso di gas-transfer sia proporzionale, tramite un generico coefficiente, al gradiente di concentrazione esistente fra due punti della massa fluida. Se, ora, si considera il caso di una molecola di gas che dall’atmosfera cerca di passare all’interno del corpo idrico, essa deve, in primo luogo, attraversare il substrato limite diffusivo che si trova dalla parte dell’aria (Fig.13.1); successivamente, essa deve attraversare il substrato limite diffusivo presente dalla parte dell’aria. Dall’analisi dei due flussi di gas attraverso i due substrati, che devono essere uguali, si può dimostrare che il flusso di gas-transfer vale:

$J_{gas-transfer}=\frac 1 {\frac1{k_w}+\frac{RT_a}{H_ek_g}}\left(\frac{p_g}{H_e}-C_w\right)~~~~~(13.5a)$

Il processo di gas-transfer. Influenza di H_e (segue)

Ciò che mostra come il flusso che attraversa l’interfaccia aria-acqua sia proporzionale al gradiente di concentrazione esistente fra il volume gassoso ed il volume idrico. La (13.5a) può assumere anche la forma:

$J_{gas-transfer}=K_L\left(\frac{p_g}{H_e}-C_l\right)~~~~~(13.5b)$

ovvero:

$J_{gas-transfer}=K_L\left(C_{sat}-C_{w}\right)~~~~~(13.5c)$

dove K_L, che è pari a:

$K_L=\frac 1 {\frac 1{k_w}+\frac{RT_a}{H_e k_g}}=k_w\frac {H_e}{H_e+RT_a(k_w/k_g)}~~~~~(13.6a)$

è il coefficiente di gas-transfer.
Tale risultato conferma come il processo di gas-transfer sia influenzato dalle caratteristiche della sostanza considerata ed, in particolare, da H_e.

Il processo di gas-transfer. Influenza di H_e (segue)

Inoltre, esso mette in evidenza che il passaggio di un gas dall’atmosfera o viceversa, attraverso l’interfaccia aria-acqua, dipende dalla resistenza che esso incontra nell’attraversare i due substrati diffusivi laminari posti sui lati dell’interfaccia. L’effetto di questi due substrati, ossia tale resistenza all’attraversamento, può essere vista come analoga a quella offerta da due resistori in serie al passaggio di corrente elettrica; in tal caso, infatti, la resistenza totale R_tot vale:

$R_{tot}=R_g+R_w~~~~~(13.7)$

dove R_g e R_w sono, rispettivamente, la resistenza al passaggio del gas offerta dal substrato diffusivo gassoso e dal substrato diffusivo liquido, pari a:

$R_s=\frac{RT_a}{H_e k_s}~~~~~~~R_w=\frac 1 {k_w}~~~~~(13.8)$

per cui la resistenza in ogni substrato diffusivo è proprio uguale al reciproco del rispettivo coefficiente di gas-transfer k_g e k_w.

Il processo di gas-transfer. Influenza di H_e (segue)

E’ chiaro, ora, è possibile sia che le due resistenze R_g e R_w abbiano lo stesso ordine di grandezza oppure che una delle due prevalga sull’altra; in altre parole, può capitare che il passaggio del gas sia controllato dal substrato gassoso, da quello liquido o da entrambi nella stessa misura. Tale aspetto è molto importante perché consente di limitare l’analisi dell’interazione della turbolenza con il processo di gas-transfer ad uno solo dei due substrati diffusivi. Al fine di capire in quale situazione ci si trova, si può mettere in relazione le due resistenze nella forma:

$\frac{R_w}{R_{tot}}=\frac{R_w}{R_g+R_w}=\frac{\frac 1 {k_w}}{\frac{RT_a}{H_e k_g}+\frac 1 {k_w}}=\frac{H_e}{H_e+RT_a(k_w/k_g)}~~~~~(13.9)$

Il processo di gas-transfer. Influenza di He (segue)

Va osservato che nei laghi k_g varia all’incirca fra 100 e 12000 m/giorno, mentre k_w assume mediamente valori compresi fra 0.1 e 10 m/giorno; pertanto, il rapporto k_w/k_g varia di solito fra 0.001 e 0.01, dove i valori maggiori si osservano nei piccoli laghi dove la presenza del vento tende a tenere basso k_g. Il diagramma in Fig.13.2 presenta la relazione esistente fra R_w/R_tot ed H_e. Il diagramma è, in pratica, diviso in 3 zone; nella prima, per valori bassi di H_e, il fattore limitante del processo di gas-transfer è il substrato gassoso, nella seconda, per valori intermedi della costante di Henry, la resistenza al passaggio dipende da entrambi i substrati diffusivi, mentre, infine, nella terza, per valori elevati di H_e, ossia caratteristica dei gas poco solubili o insolubili, il processo è controllato dal substrato diffusivo liquido, per cui occorre tenere conto solo dei processi fluidodinamici che hanno luogo all’interno della massa idrica lontano ed in prossimità dell’interfaccia.

Fig.13.2 - Resistenza al gas-transfer nel substrato diffusivo liquido

Effetto della turbolenza sul gas-transfer

Se, adesso, si fa riferimento a sostanze gassose poco solubili, come, ad esempio, l’ossigeno e l’azoto, la resistenza offerta dal substrato gassoso al processo di gas-transfer è trascurabile e, quindi, tale processo è, in pratica, controllato dal substrato diffusivo liquido (liquid-film controlled). In tal caso, la (13.6a) diventa:

$K_L\approx k_w~~~~~(13.6b)$

ossia il coefficiente di gas-transfer K_L coincide con k_w, che è il coefficiente di trasferimento del gas attraverso il substrato diffusivo posto dal lato liquido dell’interfaccia. In linea generale, si possono distinguere 3 casi, in base al meccanismo di produzione della turbolenza, con le conseguenti ricadute sul processo di gas-transfer attraverso l’interfaccia aria-acqua (Fig.13.3):

turbolenza indotta dal fondo e dalle pareti (bottom-shear generated turbulence), quando il fenomeno turbolento ha origine dall’interazione fra il fluido in movimento per gravità e le pareti che lo contengono. Tale situazione è tipica del moto in un canale a pelo libero, come in un fiume o in un corso d’acqua in genere ed in tal caso la struttura della turbolenza è influenzata dalla presenza del pelo libero e, pertanto le sue caratteristiche sono diverse da quelle in un condotto in pressione nei pressi del piano di simmetria;

Effetto della turbolenza sul gas-transfer (segue)

turbolenza indotta dal vento (wind-shear generated turbulence), quando il vento investendo la superficie idrica di un lago, del mare etc., trasmette all’interfaccia aria-acqua degli sforzi tangenziali i quali inducono nel corpo idrico correnti di deriva ed onde. In questo caso. la struttura della turbolenza nei pressi del pelo libero è in stretta relazione con le ondulazioni del pelo libero e col numero di Froude. Questi moti superficiali influiscono sul trasferimento di massa e di energia dall’atmosfera alla massa idrica. Si noti che l’energia del campo di moto ondoso si trasferisce al campo di moto medio della corrente idrica e da questo al campo di moto turbolento. L’accoppiamento e l’interazione fra questi tre campi di moto, ossia ondoso, medio e turbolento, influisce sul processo di gas-transfer attraverso l’interfaccia aria-acqua;

turbolenza indotta sia dal vento che dal perimetro bagnato (combined wind/stream turbulence), dove sulla massa idrica agiscono sia lo sforzo sul pelo libero che quello lungo le pareti ed il fondo del canale. Questa situazione è tipica degli estuari e dei fiumi di grosse dimensioni, dove, quindi, gli effetti del vento e della corrente sul processo di gas-transfer possono essere considerati, in prima approssimazione, come additivi.

Nel seguito si considera solo il caso di turbolenza indotta dal fondo e dalle pareti, tipico dei fiumi.

Effetto della turbolenza sul gas-transfer (segue)

Come detto prima, la turbolenza interviene a modificare le caratteristiche idrodinamiche sia nella massa fluida che in prossimità dell’interfaccia aria-acqua, per cui, di conseguenza, essa ha influenza sul processo di gas-transfer che ha luogo attraverso tale interfaccia. E’, tuttavia piuttosto difficile quantificare nel dettaglio tale duplice influenza all’interfaccia in quanto essa dipende, in linea di principio, dalle velocità presenti nelle due fasi sui due lati dell’interfaccia, dalla scabrezza dell’interfaccia, dalle forze di attrito e di adesione, dalla tensione superficiale e da altri parametri nonché dagli effetti di anisotropia che il pelo libero introduce nelle equazioni della turbolenza. Va, comunque, ricordato che, come già accennato in precedenza, l’effetto della turbolenza non riesce ad estendersi fino all’interfaccia aria-acqua, in quanto questa può essere considerata come una parete dotata di una sia pur minima rigidezza, legata alla tensione superficiale del fluido, e, quindi, in grado di attenuare in una certa misura i vortici provenienti dalla massa fluida; in altre parole, l’interfaccia tende a impedire ai vortici, specie se grandi, di avvicinarsi troppo ad essa, costringendoli a muoversi in direzione parallela all’interfaccia stessa.

Effetto della turbolenza sul gas-transfer (segue)

Tale considerazione spiega la formazione, in prossimità dell’interfaccia, di un substrato limite idrodinamico in regime laminare (VBL), detto anche, come è noto, substrato viscoso o substrato laminare di cui si è già discusso nella Lezione n.8. La turbolenza non riesce ad erodere completamente tale substrato che, in definitiva, rappresenta una zona di resistenza al trasporto della quantità di moto, della massa e del calore. In particolare, all’interno di tale substrato viscoso, il trasporto della quantità di moto è controllato dalle forze viscose e, quindi, il suo spessore δ_VBL può essere definito come la distanza dall’interfaccia dove la diffusività turbolenta verticale della corrente D_t-z o D_t-vert, che tende a ridursi avvicinandosi all’interfaccia aria-acqua, eguaglia la viscosità cinematica del fluido v. Sul fondo, lo spessore δ_VBL vale:
$\delta_{VBL}=\frac {11.6 v}{u^*}~~~~~(13.10)$
dove u* è la velocità di attrito alla parete; δ_VBL è dell’ordine di 10^-3÷10^-4 m. Tale valore può, in prima approssimazione, costituire un ordine di grandezza anche per quanto succede all’interfaccia aria-acqua.

Effetto della turbolenza sul gas-transfer (segue)

Avvicinandosi ulteriormente all’interfaccia, la diffusività turbolenta verticale della corrente D_t-z continua a ridursi, fino ad eguagliare la diffusività molecolare D_m, che è sempre inferiore alla viscosità cinematica del fluido. Ciò definisce, quindi, lo spessore del substrato diffusivo, dove il trasporto del gas resta sempre dipendente dalla diffusività molecolare del gas stesso e che resta, quindi, sempre contenuto all’interno del substrato limite idrodinamico; in particolare, tale spessore vale:

$\delta_{DBL}=\frac{\delta_{VBL}}{Sc^{1/3}}~~~~~(13.11)$

dove Sc è un parametro adimensionale chiamato il numero di Schmidt, definito come Sc=v/D_m, ossia come rapporto fra la viscosità cinematica del liquido e la diffusività molecolare del gas trasferito attraverso l’interfaccia aria-acqua. In altre parole, il numero di Schmidt rappresenta il rapporto fra la diffusività della quantità di moto e la diffusività della massa; esso è funzione della coppia fluido-gas considerata ed è normalmente dell’ordine di 10²÷10³. La (13.11) mostra che δ_CBL è, per le sostanze caratteristiche dell’Idraulica Ambientale, pari, all’incirca fra 1/13 ed 1/6 dello spessore del substrato laminare idrodinamico δ_VBL, per cui è dell’ordine di 10^-4÷10^-5 m, ossia di decine o centinaia di μm.
Al di fuori di tale strato, la presenza della turbolenza riesce a miscelare completamente la sostanza determinandone un profilo all’incirca uniforme lungo la profondità.

Effetto della turbolenza sul gas-transfer

Dal punto di vista puramente idrodinamico, l’effetto della turbolenza sul substrato diffusivo liquido può essere, in sintesi, illustrato nella maniera che segue. I vortici turbolenti tendono a rimescolare in continuazione la massa fluida, trasportando particelle liquide in zone anche molto lontane da quelle di provenienza; ciò avviene anche nei riguardi dell’interfaccia aria-acqua, dove i vortici trasportano particelle liquide provenienti da zone della massa idrica anche molto lontane dal pelo libero. L’effetto di tale trasporto è duplice. In primo luogo, i vortici intervengono a fermare la crescita dello spessore del substrato diffusivo; subito dopo, essi vanno ad erodere tale substrato, introducendo in esso le particelle idriche trasportate ed allontanando da esso le particelle idriche ivi presenti.

Effetto della turbolenza sul gas-transfer (segue)

Dal punto di vista del processo di gas-transfer, va, a questo punto, osservato che le particelle idriche trasportate dai vortici turbolenti sono caratterizzate da un valore della concentrazione del gas certamente inferiore a quello delle particelle inizialmente appartenenti al substrato diffusivo, le quali sono poste quasi direttamente a contatto con l’atmosfera e, quindi, hanno un valore di concentrazione prossimo a quello presente all’interfaccia aria-acqua, che nelle ipotesi fatte in precedenza, è invariabile, in quanto l’atmosfera può essere schematizzata come una sorgente infinita, a concentrazione costante. Quando le particelle trasportate dalla turbolenta raggiungono la zona in prossimità dell’interfaccia, esse si trovano esposte al flusso gassoso proveniente dall’atmosfera e, quindi, vedono incrementata la loro concentrazione, per effetto di un processo di diffusione molecolare. Pertanto, le particelle inizialmente nella massa liquida si arricchiscono di gas, mentre, allo stesso tempo, nella massa fluida arrivano particelle, precedentemente all’interfaccia, con elevate concentrazioni del gas. Quanto finora mostrato, induce ad ritenere che la presenza della turbolenza abbia i seguenti effetti sul substrato limite diffusivo:

il substrato limite diffusivo non può crescere indefinitamente, ma deve avere uno spessore δ_CBL medio;
il flusso gassoso attraverso l’interfaccia aria-acqua J_{gas-transfer-z} deve avere, parimenti, un valore medio, ossia deve esistere un coefficiente di gas-transfer medio.

Effetto della turbolenza sul gas-transfer (segue)

In sintesi, si può, pertanto, concludere che i processi turbolenti presenti nel corpo idrico interagiscono con lo strato di miscelazione, prima definito, con due effetti:

dal punto di vista idrodinamico, i vortici turbolenti rinnovano il substrato diffusivo, sostituendo le particelle idriche che lo compongono ed arrestano la crescita del substrato diffusivo;
dal punto di vista del gas-transfer, i vortici turbolenti muovendosi verso l’interfaccia mettono in moto il substrato limite diffusivo, aumentando l’effettività diffusività del gas, rispetto al valore di semplice diffusività molecolare, con un conseguente incremento del flusso gassoso entrante J_{gas-transfer-z}; inoltre, dal momento che la concentrazione iniziale nella massa idrica C_w e quella a saturazione C_sat sono indipendenti dallo spessore δ_CBL, la ridotta crescita di tale spessore rende più elevato il gradiente di concentrazione presente e, quindi, in base alla (13.5c), fa ulteriormente aumentare anche il flusso gassoso entrante J_{gas-transfer-z}. Pertanto, nel complesso, l’effetto della turbolenza all’interno del corpo idrico è quello di determinare un incremento del flusso di gas entrante dall’atmosfera nel corpo idrico.

Resta, infine, quindi, confermato che il processo di gas-transfer è controllato sia dalle caratteristiche della sostanza che dalle condizioni idrodinamiche del corpo idrico.
E’ chiaro, infine, che quanto ora messo in evidenza all’interno della massa idrica e dal lato liquido dell’interfaccia aria-acqua vale anche all’interno della massa atmosferica sovrastante, sia lontano che in prossimità dell’interfaccia.

Modelli per la stima di K_L

Chiarito, almeno a livello qualitativo, l’effetto che la turbolenza ha sulle caratteristiche idrodinamiche in prossimità dell’interfaccia aria-acqua e sul processo di gas-transfer, saranno, adesso, illustrati alcuni modelli proposti per la stima del coefficiente di gas-transfer K_L.
La maniera più semplice di modellare l’interazione fra la turbolenza e il substrato diffusivo liquido consiste nell’ipotizzare che tale substrato abbia, comunque, uno spessore costante. Tale ipotesi è alla base del modello del doppio strato di Lewis e Whitman, che, più in generale, assume come costanti gli spessori di entrambi i substrati diffusivi presenti sui due lati dell’interfaccia aria-acqua. In altre parole, la turbolenza presente nelle masse fluide non riesce ad erodere in maniera significativa in due substrati, per cui all’interno di ciascun substrato il fluido resta, in pratica, indisturbato, senza alcuna concreta interazione con il processo turbolento in corso nella massa fluida, ed il trasporto del gas è legato unicamente alla diffusività molecolare del gas stesso.

Modelli per la stima di K_L(segue)

Nel caso, prima prescelto, in cui il processo di gas-transfer dipende soltanto dal substrato diffusivo liquido, si può assumere che la concentrazione del gas all’interno di tale substrato sia lineare e che, quindi, il coefficiente di gas-transfer valga:

$K_L=\frac{D_{m-z}}{\delta_{CBL}}~~~~~(13.12)$

dove tale coefficiente è dato dal rapporto fra il coefficiente di diffusione molecolare in direzione verticale del gas e lo spessore del substrato diffusivo posto dal lato liquido dell’interfaccia aria-acqua. In altre parole, secondo il modello di Lewis e Whitman, il coefficiente di gas-transfer cresce linearmente con la diffusività molecolare del gas. E’ chiaro che l’ipotesi di partenza, ossia che la turbolenza esistente nei fluidi ed, in particolare, nella massa liquida non sia in grado di interagire in maniera significativa con il substrato diffusivo, erodendolo, per cui tale substrato conserva inalterato il suo spessore costante nel tempo, può essere realistica solo in situazioni molto particolari, come, ad esempio, in un lago, ma in assenza di vento. Inoltre, il modello di Lewis e Whitman non fornisce alcuna indicazione sul valore dello spessore δ_CBL, che resta l’unico parametro da determinare nella (13.12), per cui resta, al di là delle poco realistiche ipotesi di partenza, di difficile applicazione pratica.

Modelli per la stima di K_L (segue)

Il modello di penetrazione (penetration model), proposto per la prima volta da Higbie, cerca di descrivere in maniera fisicamente più appropriata il meccanismo che controlla lo sviluppo del substrato diffusivo liquido all’interfaccia aria-acqua, tenendo presente l’effettiva interazione fra i processi turbolenti e tale substrato. Infatti, nelle condizioni idrodinamiche più comuni in un corso d’acqua, i vortici turbolenti riescono ad interagire in maniera efficace con il substrato, modificandone profondamente la dinamica e la struttura nella maniera illustrata in precedenza. Si fa l’ipotesi che il tempo di permanenza all’interfaccia di ogni particella idrica trasportata dalla turbolenza in prossimità del pelo libero sia uguale a t_r, detto tempo di rinnovo. In tal caso, il coefficiente di gas-transfer ha espressione:

$K_L=\sqrt{\frac{4D_{m-z}}{\pi t_r}}~~~~~(13.13)$

Tale approccio, pur essendo basata su un approccio più realistico al problema, presenta il grave problema di dover definire il valore del tempo di rinnovo tr, ossia dell’intervallo di tempo durante il quale le particelle liquide trasportate all’interfaccia dalla turbolenza restano esposte al flusso gassoso proveniente dall’atmosfera. Resta, tuttavia, l’interessante risultato di avere messo il coefficiente di gas-transfer K_L in relazione, oltre che con la diffusività molecolare del gas, con il tempo di contatto del fluido all’interfaccia.
Il modello di Higbie è stato, successivamente, modificato da Danckwerts, con il modello chiamato modello del rinnovo della superficie (surface renewal), in base alla considerazione che le particelle liquide non restano all’interfaccia per lo stesso intervallo di tempo ma secondo una durata che può essere considerata come una funzione casuale, ossia esprimibile attraverso una certa legge di distribuzione di probabilità.

Modelli per la stima di K_L (segue)

Tale funzione di distribuzione rappresenta la probabilità che la singola particella di acqua sia esposta all’interfaccia per un tempo tr, prima di essere allontanata dall’interfaccia stessa. La funzione di distribuzione della probabilità per il tempo di esposizione delle particelle liquide all’interfaccia vale:

$\varphi=r~exp~(-rt)~~~~~(13.14)$

dove t è un generico tempo ed il tasso di rinnovo r [T^-1], è pari a:

$r=\frac 1 {t_r}~~~~~(13.15)$

ossia è il reciproco del tempo medio di permanenza all’interfaccia , detto anche tempo di contatto; in tal caso, una qualsiasi particella idrica può restare in corrispondenza dell’interfaccia per un tempo compreso fra 0 e ∞. Sulla base di queste ipotesi si può dimostrare che il coefficiente di gas-transfer vale:

$K_L=\sqrt{D_{m-z}~r}~~~~~(13.16)$

che mostra come il coefficiente di gas-transfer è proporzionale al prodotto della diffusività molecolare del gas per la frequenza di rinnovo del substrato diffusivo; in altre parole, quanto più spesso la turbolenza va ad interagire, rinnovandone le particelle idriche, il substrato diffusivo, tanto più il flusso gassoso all’interno della massa idrica è cospicuo.

Modelli per la stima di K_L (segue)

Tale risultato è particolarmente importante in quanto la frequenza di rinnovo r, che è il parametro chiave del modello di Higbie-Danckwerts, ancora da stimare, è una caratteristica della turbolenza, può essere messa in relazione con il fenomeno turbolento. Va, inoltre, osservato che mentre, nel modello del doppio strato di Lewis e Whitman, esiste una relazione lineare fra K_L e D_m, nel modello del ricambio della superficie di Higbie-Danckwerts, la relazione è fra K_L e D_m^0.5.

Modelli per la stima di K_L (segue)

Il modello del ricambio della superficie di Higbie-Danckwerts ha il pregio di proporre una interpretazione dinamica nel meccanismo mediante il quale le particelle liquide e quelle di aria vengono a contatto in corrispondenza dell’interfaccia aria-acqua; inoltre, l’individuazione, come parametro-chiave, del tasso di rinnovo r, ossia della frequenza con cui la turbolenza interviene ad interagire con il substrato diffusivo liquido consente di trovare una strada per mettere il processo di gas-transfer in relazione con le caratteristiche della turbolenza stessa, agente all’interno del volume idrico. In tale ambito, due sono gli approcci finora proposti al fine di stimare il tasso di rinnovo r:

nel modello chiamato large-eddy model, si fa l’ipotesi che il tasso di rinnovo del substrato dipenda soprattutto dai vortici più grandi, quelli sulla scala integrale, della turbolenza. E’ noto che tali vortici si sviluppano secondo scale temporali e spaziali che sono dell’ordine di grandezza di quelle del moto medio, ossia la velocità media V_media ed il tirante idrico h della corrente. In base a tale modello, il coefficiente di gas-transfer vale:

$\frac{K_L}{u^*}=K_L^*\approx Sc^{-1/2}Re^{*-1/2}~~~~~(13.17)$

Modelli per la stima di K_L (segue)

nel modello chiamato small-eddy model, il tasso di rinnovo del substrato è messo in relazione con i microvortici della microscala di Kolmogorov, responsabili della dissipazione dell’energia cinetica turbolenta per effetto della viscosità del fluido. In tal senso, questo modello rappresenta un approccio esattamente opposto a quello visto in precedenza, che ipotizza che il processo di gas-transfer sia legato alla scala integrale del fenomeno turbolento. In base a tale modello, il coefficiente di gas-transfer vale:

$\frac{K_L}{u^*}=K_L^*\approx Sc^{-1/2}Re^{*-1/4}~~~~~(13.18)$