Una funzione periodica può essere espressa come la somma dei seni e/o coseni di differenti frequenze e ampiezze (serie di Fourier).
Una funzione di durata finita può essere espressa come integrale di seno e/o coseni, moltiplicati per opportune funzioni-peso (trasformata di Fourier).
Visto che trattiamo di funzioni (immagini) di natura finita, il nostro interesse principale è nella trasformata di Fourier.
La trasformata di Fourier continua f(x) di una variabile reale x è definita come: (fig.1).
Come è noto, la variabile u è interpretabile come frequenza.
La notazione esponenziale è usata in conseguenza dell’identità di Eulero.
Infatti, essendo (vedi fig.2) la
F(u) è composta dalla somma di infiniti termini sinusoidali e cosinusoidali, e ogni valore di u determina la frequenza della coppia seno-coseno corrispondente.
L’anti-trasformata è definita come (vedi fig.1).
La trasformata e l’anti-trasformata esistono se f(x) è continua e integrabile e se F(u) è integrabile.
Se f(x) è reale, F(u) è in generale complessa: (vedi fig.2)
La potenza spettrale (o densità spettrale) è data da: (vedi fig.1).
È immediata l’estensione al caso bidimensionale: (vedi fig.2).
Le condizioni di esistenza sono la continuità e l’integrabilità della f(x,y) e l’integrabilità della F(u,v).
u e v sono le variabili frequenze, definite nel piano delle frequenze.
Le espressioni dello spettro, della fase e della densità spettrale sono analoghe a quelle del caso 1-D.
Campionando una f(x) continua in N punti distanti Δx si ottiene: (vedi fig.1).
Pertanto la funzione variabile discreta x si può scrivere come: (vedi fig.2).
Esempio di campionamento di una funzione continua: (vedi fig.3).
In altri termini, nel caso discreto 1-D la f(x) diventa una sequenza di campioni, uniformemente distanziati di Δx: f(0), f(1), f(2), …, f(N-1).
Con questa notazione, la coppia di trasformate discrete nel caso 1-D è la seguente: (vedi fig.).
Anche la frequenza u è una variabile discreta.
In analogia a quanto visto per la f(x), i valori u = 0,1, …, N-1 nella DFT corrispondono ai campioni della trasformata continua per 0, Δu, …, (n-1)Δu.
Quindi F(u) rappresenta F(uΔu), così come f(x) rappresenta f(x0+xΔx). La differenza è che il campionamento di F(u) comincia nell’origine dell’asse frequenza.
La relazione tra Δu e Δx è data da Δu = 1/NΔx
Nel caso 2-D, la trasformata della sequenza bidimensionale f(x,y) è: (vedi figura),
con u=0, …, M-1 e v=0, …, N-1 che sono gli indici relativi agli assi delle frequenze discretizzati, mentre M e N sono le dimensioni (in pixel) dell’immagine.
Analogamente, la anti-trasformata è: (vedi figura).
con x = 0, …, M-1 e y = 0, …, N-1. Il campionamento della f(x,y) ha luogo nei punti di una griglia bidimensionale, con passi Δx e Δy.
Per la F(u,v) valgono considerazioni analoghe a quelle fatte nel caso monodimensionale.
In figura vediamo un esempio dell’applicazione della trasformata di Fourier.
L’informazione associata alla fase è in realtà molto più importante di quanto non appaia da questo esempio.
La visualizzazione dello spettro riguarda in realtà non |F(u,v)| ma una sua versione compressa logaritmicamente, come si vedrà in seguito.
Quando si visualizza lo spettro di Fourier come immagine di intensità. Esso manifesta in genere una dinamica molto più grande di quella riproducibile su un tipico display, per cui solo le parti più luminose dello spettro risultano visibili.
Per esempio, lo spettro dell’immagine di Lena varia tra 0 (circa) e 6.47×106. Effettuando la normalizzazione necessaria per visualizzarlo con L = 256 livelli di grigio, solo pochissime parti molto luminose sono visibili.
A ciò si può ovviare, come noto, mediante una compressione di tipo logaritmico, visualizzando, invece che lo spettro, una funzione del tipo: (vedi figura).
C è una costante di scala, che va scelta opportunamente per far ricadere i valori trasformati nel range voluto, cioè in [0, L-1].
Una importante proprietà della DFT è la separabilità. Infatti possiamo scrivere: (vedi figura 1) con u,v = 0,1, …, N-1.
Analogamente la f(x,y): (vedi figura 2) con x,y = 0, 1 , …, N-1.
Il principale vantaggio della proprietà di separabilità è che la F(u,v) può essere ottenuta applicando in due passi successivi la trasformata 1-D, come risulta evidente scrivendo: (vedi figura 1) dove (vedi figura 2).
Per ogni valore di x, l’espressione in parentesi è una trasformata 1-D nel dominio di v (con v = 0,1,…, N-1).
Pertanto la funzione 2-D F(x,y) è ottenuta effettuando una trasformata lungo ogni riga della f(x,y) e moltiplicando il risultato per N.
F(u,v) è a questo punto calcolata effettuando una trasformata lungo ogni colonna di F(x,y).
Lo stesso risultato può essere ottenuto trasformando prima per colonne e poi per righe.
Considerazioni del tutto analoghe possono essere fatte per la trasformazione inversa.
Le proprietà di traslazione della coppia di trasformate di Fourier sono:
f(x,y)exp[j2π(u0x+v0y)/N]↔F(u-u0, v-v0)
e
f(x-x0), y-y0)↔F(u,v)exp[-j2π(ux0+vy0)/N]
In altre parole, moltiplicando f(x,y) per l’esponenziale mostrato e trasformando il prodotto, si ottiene una traslazione dell’origine del piano delle frequenze nel punto (u0,v0).
Analogamente, moltiplicando F(u,v) per l’esponenziale mostrato e anti-trasformando il prodotto, si ottiene uno spostamento dell’origine del piano spaziale nel punto (x0,y0).
Per u0 = v0 = N/2
exp[j2π(u0x+v0y)/N] = exp[jπ(x+y)]=(-1)x+y
E quindi: f(x,y)(-1)x+y ↔ F(u-N/2, v-N/2)
Quindi la trasformata di Fourier può essere riferita al centro del piano delle frequenze, semplicemente moltiplicando f(x,y) per (-1)x+y prima della trasformazione.
Si noti inoltre che lo spostamento di f(x,y) di una quantità (x0,y0) non influenza lo spettro, in quanto: |F(u,v)exp[-j2π(ux0+vy0)/N]|=|F(u,v)|
Queste proprietà vengono utilizzate per una migliore visualizzazione dello spettro, come vedremo.
2. Digital Imaging Processing: Introduzione
4. Immagini Digitali - parte prima
5. Immagini Digitali - parte seconda
6. Dicom
7. Trasformazioni di Intensità
8. Convoluzione e Correlazione
9. Filtraggio nel Dominio Spaziale - parte prima
10. Filtraggio nel Dominio Spaziale - parte seconda
11. Trasformazioni Geometriche
14. Filtraggio nel Dominio delle Frequenze
16. Region Growing
17. Image Registration - parte prima
18. Image Registration - parte seconda
19. Computed Tomography - parte prima