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Giovanni Mettivier » 12.Trasformata di Fourier


Introduzione

Una funzione periodica può essere espressa come la somma dei seni e/o coseni di differenti frequenze e ampiezze (serie di Fourier).

Una funzione di durata finita può essere espressa come integrale di seno e/o coseni, moltiplicati per opportune funzioni-peso (trasformata di Fourier).

Visto che trattiamo di funzioni (immagini) di natura finita, il nostro interesse principale è nella trasformata di Fourier.

Jean Baptiste Joseph Fourier

Jean Baptiste Joseph Fourier


Trasformata di Fourier

La trasformata di Fourier continua f(x) di una variabile reale x è definita come: (fig.1).

Come è noto, la variabile u è interpretabile come frequenza.
La notazione esponenziale è usata in conseguenza dell’identità di Eulero.

Infatti, essendo (vedi fig.2) la

F(u) è composta dalla somma di infiniti termini sinusoidali e cosinusoidali, e ogni valore di u determina la frequenza della coppia seno-coseno corrispondente.

Figura 1

Figura 1

Figura 2

Figura 2


Trasformata di Fourier (segue)

L’anti-trasformata è definita come (vedi fig.1).

La trasformata e l’anti-trasformata esistono se f(x) è continua e integrabile e se F(u) è integrabile.

Se f(x) è reale, F(u) è in generale complessa: (vedi fig.2)

Figura 1

Figura 1

Figura 2

Figura 2


Trasformata di Fourier (segue)

La potenza spettrale (o densità spettrale) è data da: (vedi fig.1).

È immediata l’estensione al caso bidimensionale: (vedi fig.2).

Le condizioni di esistenza sono la continuità e l’integrabilità della f(x,y) e l’integrabilità della F(u,v).

u e v sono le variabili frequenze, definite nel piano delle frequenze.

Figura 1

Figura 1

Figura 2

Figura 2


Trasformata di Fourier (segue)

Le espressioni dello spettro, della fase e della densità spettrale sono analoghe a quelle del caso 1-D.

Le espressioni dello spettro, della fase e della densità spettrale sono analoghe a quelle del caso 1-D.


Trasformata di Fourier (segue)

Campionando una f(x) continua in N punti distanti Δx si ottiene: (vedi fig.1).

Pertanto la funzione variabile discreta x si può scrivere come: (vedi fig.2).

Esempio di campionamento di una funzione continua: (vedi fig.3).

Figura 1
Figura 2
Figura 3

Trasformata di Fourier (segue)

In altri termini, nel caso discreto 1-D la f(x) diventa una sequenza di campioni, uniformemente distanziati di Δx: f(0), f(1), f(2), …, f(N-1).
Con questa notazione, la coppia di trasformate discrete nel caso 1-D è la seguente: (vedi fig.).

Anche la frequenza u è una variabile discreta.

In analogia a quanto visto per la f(x), i valori u = 0,1, …, N-1 nella DFT corrispondono ai campioni della trasformata continua per 0, Δu, …, (n-1)Δu.

Trasformata di Fourier.

Trasformata di Fourier.


Trasformata di Fourier (segue)

Quindi F(u) rappresenta F(uΔu), così come f(x) rappresenta f(x0+xΔx). La differenza è che il campionamento di F(u) comincia nell’origine dell’asse frequenza.
La relazione tra Δu e Δx è data da Δu = 1/NΔx

Nel caso 2-D, la trasformata della sequenza bidimensionale f(x,y) è: (vedi figura),
con u=0, …, M-1 e v=0, …, N-1 che sono gli indici relativi agli assi delle frequenze discretizzati, mentre M e N sono le dimensioni (in pixel) dell’immagine.

Trasformata di Fourier.

Trasformata di Fourier.


Trasformata di Fourier (segue)

Analogamente, la anti-trasformata è: (vedi figura).

con x = 0, …, M-1 e y = 0, …, N-1. Il campionamento della f(x,y) ha luogo nei punti di una griglia bidimensionale, con passi Δx e Δy.

Per la F(u,v) valgono considerazioni analoghe a quelle fatte nel caso monodimensionale.

Trasformata di Fourier.

Trasformata di Fourier.


Trasformata di Fourier (segue)

In figura vediamo un esempio dell’applicazione della trasformata di Fourier.
L’informazione associata alla fase è in realtà molto più importante di quanto non appaia da questo esempio.

La visualizzazione dello spettro riguarda in realtà non |F(u,v)| ma una sua versione compressa logaritmicamente, come si vedrà in seguito.

Esempio di trasformata di una immagine reale con 256 livelli di grigio.

Esempio di trasformata di una immagine reale con 256 livelli di grigio.


Proprietà: range dinamico

Quando si visualizza lo spettro di Fourier come immagine di intensità. Esso manifesta in genere una dinamica molto più grande di quella riproducibile su un tipico display, per cui solo le parti più luminose dello spettro risultano visibili.
Per esempio, lo spettro dell’immagine di Lena varia tra 0 (circa) e 6.47×106. Effettuando la normalizzazione necessaria per visualizzarlo con L = 256 livelli di grigio, solo pochissime parti molto luminose sono visibili.
A ciò si può ovviare, come noto, mediante una compressione di tipo logaritmico, visualizzando, invece che lo spettro, una funzione del tipo: (vedi figura).

C è una costante di scala, che va scelta opportunamente per far ricadere i valori trasformati nel range voluto, cioè in [0, L-1].

Range dinamico.

Range dinamico.


Proprietà

Trasformata di Fourier normalizzata .

Trasformata di Fourier normalizzata .


Separabilità

Una importante proprietà della DFT è la separabilità. Infatti possiamo scrivere: (vedi figura 1) con u,v = 0,1, …, N-1.

Analogamente la f(x,y): (vedi figura 2) con x,y = 0, 1 , …, N-1.

Figura 1

Figura 1

Figura 2

Figura 2


Proprietà

Il principale vantaggio della proprietà di separabilità è che la F(u,v) può essere ottenuta applicando in due passi successivi la trasformata 1-D, come risulta evidente scrivendo: (vedi figura 1) dove (vedi figura 2).

Per ogni valore di x, l’espressione in parentesi è una trasformata 1-D nel dominio di v (con v = 0,1,…, N-1).
Pertanto la funzione 2-D F(x,y) è ottenuta effettuando una trasformata lungo ogni riga della f(x,y) e moltiplicando il risultato per N.
F(u,v) è a questo punto calcolata effettuando una trasformata lungo ogni colonna di F(x,y).

Figura 1

Figura 1

Figura 2

Figura 2


Riassumendo

Lo stesso risultato può essere ottenuto trasformando prima per colonne e poi per righe.
Considerazioni del tutto analoghe possono essere fatte per la trasformazione inversa.

Proprietà: Traslazione

Le proprietà di traslazione della coppia di trasformate di Fourier sono:
f(x,y)exp[j2π(u0x+v0y)/N]↔F(u-u0, v-v0)
e
f(x-x0), y-y0)↔F(u,v)exp[-j2π(ux0+vy0)/N]

In altre parole, moltiplicando f(x,y) per l’esponenziale mostrato e trasformando il prodotto, si ottiene una traslazione dell’origine del piano delle frequenze nel punto (u0,v0).
Analogamente, moltiplicando F(u,v) per l’esponenziale mostrato e anti-trasformando il prodotto, si ottiene uno spostamento dell’origine del piano spaziale nel punto (x0,y0).

Proprietà

Per u0 = v0 = N/2
exp[j2π(u0x+v0y)/N] = exp[jπ(x+y)]=(-1)x+y
E quindi: f(x,y)(-1)x+y ↔ F(u-N/2, v-N/2)
Quindi la trasformata di Fourier può essere riferita al centro del piano delle frequenze, semplicemente moltiplicando f(x,y) per (-1)x+y prima della trasformazione.
Si noti inoltre che lo spostamento di f(x,y) di una quantità (x0,y0) non influenza lo spettro, in quanto: |F(u,v)exp[-j2π(ux0+vy0)/N]|=|F(u,v)|
Queste proprietà vengono utilizzate per una migliore visualizzazione dello spettro, come vedremo.

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