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Sergio Beraldo » 10.Equilibrio Generale, Economia del Benessere


Equilibrio generale

La nozione di equilibrio generale competitivo è stata sviluppata nel corso di un periodo di tempo molto lungo:

  • Leon Walras (1874)
  • Abraham Wald (1936)
  • Arrow e Debreu (1954)
  • Debreu (1959)

Contributo di Arrow e Debreu: esiste un equilibrio in una economia competitiva; tale equilibrio possiede proprietà socialmente desiderabili.

Il modello di Arrow-Debreu

Prevede due tipi di agenti:

  • consumatori (famiglie)
  • produttori (Imprese)

I consumatori:

  • hanno una dotazione (endowment) iniziale di beni;
  • possiedono azioni delle imprese che danno luogo al pagamento di dividendi.

Le imprese:

  • utilizzano i fattori della produzione (inputs) e la conoscenza tecnologica di cui dispongono, per ottenere una certa quantità di prodotto (output).

L’obiettivo dei consumatori è quello di massimizzare la propria utilità.

L’obiettivo delle imprese è la massimizzazione del profitto. I profitti sono distribuiti agli azionisti.

L’economia Arrow-Debreu

Le quantità di beni scambiate da ciascun singolo agente sono trascurabili rispetto alle quantità complessivamente scambiate; pertanto, nessun agente, singolarmente preso, può influire significativamente sui prezzi di mercato; i prezzi di mercato non sono, in altri termini, variabili strategiche (price-taking behaviour).

I consumatori e le imprese agiscono come unità indipendenti e interagiscono solo attraverso il sistema dei prezzi.

Non vi sono esternalità. Non vi sono beni pubblici.

Il modello di Arrow e Debreu

Il numero di beni oggetto di scambio è finito (i = 1,…,n).

Ogni bene si distingue per il tempo e il luogo in cui sarà disponibile.

A ciascun bene è associato un prezzo.

Il prezzo del bene i-esimo è indicato con pi.

E’ possibile interpretare pi come le unità di numerario cui occorre rinunciare per ottenere un’unità del bene i-esimo.

Consumatori

I consumatori utilizzano il reddito che gli deriva dalla vendita (parziale o totale) della propria dotazione iniziale e dai dividendi azionari, per acquistare i beni che desiderano. Tali beni sono poi consumati.

Il numero di consumatori è pari a

h = 1, … H

Ciascun consumatore ha un insieme di consumo Xh che descrive i piani di consumo realizzabili.

L’insieme dei piani di consumo realizzabili (consumption set) si assume convesso.

Si suppone che le preferenze di ciascun consumatore siano:

  • riflessive
  • complete
  • transitive
  • continue
  • strettamente convesse

Consumatori

Preferenze con le caratteristiche indicate precedentemente sono descritte da una funzione di utilità continua e strettamente quasi – concava.

La funzione di utilità dell’individuo h è scritta come:

Uh = (x1h, …, xnh)

dove xih è il consumo del bene i-esimo da parte di h.

Ciascun individuo ha una dotazione iniziale degli n beni 0h = (0ih, .., 0nh)

Se il bene n è offerto da h, allora xih < 0.

Consumatori

Le quote delle j = 1, …, m imprese di proprietà dell’individuo h sono indicate da:

(S1h, …, Smh), Sjh ≥ 0

Se l’impresa j realizza profitti pari a Πj, l’individuo h riceve dividendi pari a Sjhπj.

Non esiste un mercato azionario, pertanto le quote di proprietà di ciascun individuo rimangono fisse.

Ogni consumatore sceglie il proprio vettore di consumo Uh = (x1h, …, xn) in modo da massimizzare l’utilità nel rispetto del vincolo di bilancio:

\max U_h(x_{1h}, ..., x_{nh})

s.t.\sum_{i=1}^np_ix_{ih}\leq \sum_{i=1}^np_i0_{ih}+\sum_{j=1}^mS_{jh}\pi_j

Consumatori

Data l’ipotesi di stretta quasi-concavità della funzione di utilità, la soluzione del problema del consumatore è tale da determinare univocamente la funzione di domanda per ciascun bene:

x_{ih}=x_{ih}(p, 0_h, S_h\pi)

La domanda aggregata del bene i è dunque data da:

X_i=\sum_{h=1}^H x_{ih}=X_i(p, 0_h, S_h, pi)

Produttori

Ogni impresa sceglie un piano di produzione in modo da massimizzare il profitto.

Ciascuna impresa è caratterizzata da un insieme di piani di produzione realizzabili (production set) Yi, combinazioni input-output, che cattura la tecnologia a disposizione dell’impresa.

Gli inputs sono indicati con il segno negativo.

Si supponga che l’impresa scelga il piano di produzione yi=(-2,3). Se il vettore dei prezzi è p =(2,2), il profitto dell’impresa è dato da:

\pi_i=py_i=(2,2)\cdot (-2,3)=2

In generale ciascuna impresa sceglie un piano di produzione realizzabile, yi in modo tale da massimizzare il profitto:

\max x_{yi}py_i

s.t.\;y_i\in\;Y_j

Insieme delle possibilità produttive.

Insieme delle possibilità produttive.


Produttori

La soluzione del programma di massimizzazione dell’impresa determina l’offerta di ciascun bene da parte dell’impresa yji = yji(p).

L’offerta aggregata del bene i è dunque data da:

Y_i=\sum_{j=1}^my_{ij}=Y_i(p)

Equilibrio

L’economia è in equilibrio quando la domanda di ciascun bene è pari all’offerta.

Per definire precisamente l’equilibrio, si noti che il profitto di ciascuna impresa può essere espresso come funzione dei prezzi:

\pi_j=py_j=py_j(p)=\pi_j(p)

Si noti anche che, data la dotazione iniziale di ciascun consumatore e le quote azionarie in suo possesso, la domanda aggregata del bene i può essere espressa come:

X_i=X_i(p,\pi(p))=X_i(p)

E’ possibile pertanto definire l’eccesso di domanda del bene i-esimo, come funzione dei prezzi soltanto (si ricordi che Oih rappresenta la dotazione iniziale del bene i da parte dell’individuo h):

Z_i(p)=X_i(p)-Y_i(p)-\sum_{h=1}^HO_{ih}

Equilibrio

In termini formali, un insieme di prezzi di equilibrio soddisfa le seguenti condizioni:

Z_i(p)\leq 0, i= 1, ... n\hspace{2,3cm}[1]

Z_i(p) < 0\text{ se e solo se  }p_i=0\hspace{1cm}[2]

La condizione [2] considera il caso in cui l’economia sia dotata di una risorsa per cui non è previsto alcun uso.

Prescindendo dalla situazione prevista dalla condizione [2], si può dire che un vettore di prezzi, p=(p1, …, pn) è un equilibrio walrasiano se Zi(p)=0, i=1, …,n.

Si suppone che l’equilibrio sia raggiunto da aggiustamenti del vettore dei prezzi fino a che il sistema non perviene ad un equilibrio.

Si deve ad Arrow e Debreu la dimostrazione dell’esistenza di un equilibrio walrasiano per l’economia che si sta considerando. Più complessa è la questione relativa all’effettivo raggiungimento di tale equilibrio (dato che non  vi è alcun riferimento al processo di formazione dei prezzi nella descrizione del modello).

Ottimalità paretiana

Un insieme di piani di consumo \{\hat  x_h\} è Pareto ottimale se non esiste un insieme alternativo di piani di consumo \{\dot x_h\} che sia realizzabile e tale che:

U_h(\dot x_h)\geq (\hat x_h), h=1, ..., H
U_h(\dot x_h) > U_h(\hat x_h),\hspace{0,5cm}\text{per almeno un individuo}

Definizione di equilibrio competitivo (opzionale)

Una matrice [\hat p,\{\hat x_h\}, \{\y_i\}] è un equilibrio competitivo se:

\hat x_h \in X^h, \hat p\hat x_h\leq \hat p0^h+\sum_{j=1}^mS_{jh}\hat p\hat y_j\hspace{2cm}h=1,..., H

y_i\in Y^j\hspace{6cm}j=1,..., m

Inoltre

U_h(\hat x_h)\geq U_h(x_h)\text{  per tutti gli  }x_h \in X^h\text{  tale che  }\hat px_h\leq \hat p0^h+\sum_{j=1}^mS_{jh}\hat p\hat y_i

\hat p\hat y_j\geq \hat py_j, \text{  per tutti gli  }y_j \in Y^j

\hat x\leq \hat y+0

Sia [\hat p,\{\hatx_h\},\{\hat y_i\}] un equilibrio competitivo.
Allora [\{\hat x_h\}, \{\hat y_i\}] è un ottimo paretiano.

I materiali di supporto della lezione

Una trattazione più approfondita del materiale discusso in queste slides è reperibile in Richard G. Lipsey e A. Chrystal, Economia, 2006, Zanichelli, capp. 1-2.

Una buona definizione di economia di mercato è reperibile on-line: Princeton

Su Adam Smith, si veda anche la voce disponibile su Treccani

La letteratura sul dilemma del prigioniero (e sui fallimenti di mercato) è sconfinata.

Si veda Treccani

DARP (questo articolo è più avanzato, ma ancora alla portata di studenti che seguono un corso base di economia)

Un'interessante prospettiva su sviluppo e fallimenti del mercato (dovuta al premio Nobel Joseph Stiglitz) è reperibile su JStore

Per una trattazione elementare del materiale esposto in questa lezione gli studenti possono utilmente consultare: N. Gregory Mankiv, Principi di Economia, 2007, Zanichelli, (Quarta ed.), cap. 4

Una trattazione più approfondita si trova in Richard G. Lipsey e A. Chrystal, Economia, 2006, Zanichelli, capp. 3.

Sul concetto di mercato e sulle determinanti dei prezzi è possibile consultare dall'enciclopedia Treccani le voci: Mercato e Prezzo

Molto istruttiva è la pagina curata dall'Istituto Nazionale di Statistica (ISTAT)

Per una trattazione elementare del materiale esposto in questa lezione gli studenti possono utilmente consultare: N. Gregory Mankiv, Principi di Economia, 2007, Zanichelli, (Quarta ed.), cap. 4

Una trattazione più approfondita si trova in Richard G. Lipsey e A. Chrystal, Economia, 2006, Zanichelli, capp. 3.

Sul concetto di mercato e sulle determinanti dei prezzi è possibile consultare la voce mercato e prezzo sull'Enciclopedia Treccani

Molto istruttiva è questa pagina curata dall'Istituto Nazionale di Statistica (ISTAT)

Una trattazione più approfondita si trova in Richard G. Lipsey e A. Chrystal, Economia, 2006, Zanichelli, cap 4.

Sul concetto di elasticità è possibile consultare la voce sull'Enciclopedia Treccani

Per una trattazione elementare del materiale esposto in questa lezione gli studenti possono utilmente consultare: N. Gregory Mankiv, Principi di Economia, 2007, Zanichelli, (Quarta ed.), cap. 4

Una trattazione più approfondita si trova in Richard G. Lipsey e A. Chrystal, Economia, 2006, Zanichelli, cap. 8

Sui costi, un'analisi maggiormente formalizzata e disponibile on-line è disponibile sul: Corso di Microeconomia - © Daniele Checchi

Sui costi di produzione molto istruttivo è questo videoreso disponibile dall'Università di Berkeley

Per una trattazione elementare del materiale esposto in questa lezione gli studenti possono utilmente consultare: N. Gregory Mankiv, Principi di Economia, 2007, Zanichelli, (Quarta ed.), cap.21

Una trattazione più approfondita si trova in Richard G. Lipsey e A. Chrystal, Economia, 2006, Zanichelli, capp. 6-7.

Si veda anche Consumer theory 2. Preferences and Utility function

Tra le risorse reperibili on-line, si veda anche la voce "Funzione d'utilità"su Treccani

Per una trattazione elementare del materiale esposto in questa lezione gli studenti possono utilmente consultare: N. Gregory Mankiv, Principi di Economia, 2007, Zanichelli, (Quarta ed.).

Una trattazione più approfondita si trova in Richard G. Lipsey e A. Chrystal, Economia, 2006, Zanichelli, capp. 7.

Molto utile questo video sull'Example Income and Subsitution Effects For Normal and Inferior Goods

Per una trattazione elementare del materiale esposto in questa lezione gli studenti possono utilmente consultare: N. Gregory Mankiv, Principi di Economia, 2007, Zanichelli, (Quarta ed.), cap.22

Molto interessante la lezione che Daniel Kahneman ha tenuto in occasione del conferimento del premio Nobel per l'economia l'8 dicembre 2002

Utili da visitare, anche per i materiali che si possono scaricare,i siti web di alcuni tra i più importanti economisti comportamentali: Ernst Fehr; Herbert Gintis; Robert Sugden

Per una trattazione elementare del materiale esposto in questa lezione gli studenti possono utilmente consultare: N. Gregory Mankiv, Principi di Economia, 2007, Zanichelli, (Quarta ed.), cap.14

Una trattazione più approfondita si trova in Richard G. Lipsey e A. Chrystal, Economia, 2006, Zanichelli, cap. 10.

Tra le risorse reperibili on-line, si veda anche la voce Concorrenza Perfetta disponibile sull'Enciclopedia Treccani

Per quanto riguarda l'equilibrio generale ed i teoremi dell'economia del benessere, una trattazione introduttiva è reperibile in H.S.Rosen & T. Gayer, Scienza delle Finanze, McGraw-Hill, 2014, cap. 3.

Per la dimostrazione del Primo teorema dell'economia del benessere, si può consultare: G.D.Myles, Public Economics, Cambridge University Press, 1995

A. Jehle & P.J. Reny, Advanced Microeconomic Theory, Pearson, 2011.

Sull'idea di ordine spontaneo e sull'interpretazione dei teoremi del benessere consiglio di leggere il capitolo 2 dall'eccellente libro di Samuel Bowles, Microeconomia, la cui edizione italiana è edita dall'Università di Siena. Questo capitolo è disponibile on-line (occorre solo fare un po' attenzione alla traduzione!).

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