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Fabio Montagnaro » 14.Evoluzione dinamica di processi chimici: trasformate di Laplace per funzioni di interesse

Generalità (I)

Per lo studio dell’evoluzione dinamica di processi chimici, in cui è necessario risolvere equazioni di bilancio sotto forma di equazioni differenziali lineari/linearizzate, si può fare uso del concetto di trasformata di Laplace. Essa, per una generica funzione del tempo f(t), è definita come:

$\mathcal{L}[f(t)]=\int_{0}^{+\infty}f(t)exp(-st)\,dt \hspace{1 cm} \text{(1)}$

Pertanto, questo operatore trasforma la funzione f(t) in una funzione g(s), dove s è una variabile ausiliaria avente le dimensioni [t^-1]. Si nota che le dimensioni di g(s) sono quelle di f(t) moltiplicate per un tempo.

Generalità (II)

La trasformata di Laplace è un operatore lineare; valgono ad es. le seguenti:

$\mathcal{L} [\alpha f(t)]=\int_{0}^{+\infty}\alpha f(t)exp(-st)\,dt=\alpha \mathcal{L}[f(t)] \hspace{1 cm} \text{(2)}$

$\mathcal{L} [\alpha_{1} f_{1} (t)+\alpha_{2} f_{2} (t)]=\int_{0}^{+\infty} [\alpha_{1} f_{1} (t)+\alpha_{2} f_{2} (t)]exp(-st)\,dt=\alpha_{1} \mathcal{L}[f_{1} (t)]+\alpha_{2} \mathcal{L}[f_{2} (t)] \hspace{1 cm} \text{(3)}$

Seguono vari esempi di trasformate di Laplace per funzioni di interesse.

Funzione costante

Il primo semplice esempio fa riferimento alla funzione costante f(t)=A. Il risultato del calcolo è riportato in Figura.

Trasformata di Laplace per funzione costante.

Funzione esponenziale decrescente/crescente

Per la funzione esponenziale decrescente f(t)=exp(-at), con a avente le dimensioni [t^-1], l’elaborazione è riportata in Figura in alto.

Per analogia, è possibile calcolare la trasformata di Laplace per funzione esponenziale crescente f(t)=exp(at), e quindi generalizzare con la formula in Figura in basso.

Trasformata di Laplace per funzione esponenziale decrescente.

Trasformata di Laplace per funzione esponenziale decrescente/crescente (formula generale).

Funzione lineare (rampa) (I)

Per questa funzione f(t)=t, rappresentata in Figura in alto, è necessario svolgere un integrale applicando il metodo di integrazione per parti, che si richiama in Figura in basso. A questo fine, sia t la funzione h(t) ed exp(-st) la funzione k’(t).

Funzione rampa.

Metodo di integrazione per parti.

Funzione lineare (rampa) (II)

Si riporta in Figura il procedimento per il calcolo della relativa trasformata di Laplace, segnalando il termine che si annulla.

Trasformata di Laplace per funzione rampa.

Funzione quadratica (parabolica)

Anche per questa funzione f(t)=t², rappresentata in Figura in alto, è necessario svolgere un integrale applicando il metodo di integrazione per parti. In questo caso, sia t² la funzione h(t) ed exp(-st) la funzione k’(t).

Si riporta in Figura in basso il procedimento per il calcolo della relativa trasformata di Laplace, segnalando il termine che si annulla. Si nota inoltre che l’integrale che compare al secondo addendo è, per definizione, L[f(t)=t]=1/s² come risolto precedentemente.

Funzione quadratica.

Trasformata di Laplace per funzione quadratica.

Funzione potenza generica

Per estensione, in Figura, si riporta la formula generalizzata per la funzione potenza f(t)=tⁿ, che risulta verificata anche nel caso degenere di n=0: L[f(t)=t⁰=1]=0!/s=1/s, come visto per funzioni costanti.

Trasformata di Laplace per funzione potenza (formula generale).

Funzione Delta di Dirac (impulso) (I)

Si definisca innanzitutto una funzione ausiliaria f(t), come in Figura (A ha le dimensioni di un tempo).

Per essa si può determinare l’espressione per la trasformata di Laplace, ovviamente arrestando l’integrazione in t=A, poiché oltre la funzione assume valore identicamente nullo.

Si nota inoltre come tale funzione abbia area sottesa unitaria, per definizione.

Trasformata di Laplace per funzione ausiliaria.

Funzione Delta di Dirac (impulso) (II)

La funzione ausiliaria può essere espressa per ogni valore di A, quindi anche al limite di A→0. Si otterrà una funzione particolare, detta δ(t) (Delta di Dirac), che ha la proprietà di assumere valore infinito in t=0, e nullo altrove.

La sua area sottesa deve essere unitaria, per quanto detto prima, e il calcolo della sua trasformata di Laplace, anch’essa unitaria, è riportato in Figura invocando la regola di de l’Hôpital.

Trasformata di Laplace per funzione Delta di Dirac.

Funzione derivata

Si consideri ora il caso particolare, ma di notevole interesse, di voler trasformare secondo Laplace non una funzione f(t), ma la sua derivata. Bisognerà ricorrere nuovamente alla regola di integrazione per parti, assumendo qui h(t)=exp(-st), e k’(t)=df(t)/dt.

La risoluzione è riportata in Figura, osservando come l’integrale che compare applicando il metodo per parti coincida, per definizione, con L[f(t)].

La comparsa, nella soluzione, del termine f(0) richiama la necessità di fissare una condizione iniziale per la funzione f(t), indispensabile per risolvere l’equazione differenziale anche con il metodo delle trasformate di Laplace.

Trasformata di Laplace per funzione derivata.

Funzione integrale

L’altro caso particolare, anch’esso di notevole interesse pure per applicazioni relative al controllo di processi chimici, consiste nel voler trasformare secondo Laplace l’integrale (compreso tra 0 e t) di una funzione f(t). Anche qui bisognerà ricorrere alla regola di integrazione per parti, assumendo h(t) come la funzione integrale, e k’(t)=exp(-st).

La risoluzione è riportata in Figura, segnalando il termine che si annulla ed osservando come (anche qui) l’integrale che compare applicando il metodo per parti coincida, per definizione, con L[f(t)].