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Fabio Montagnaro » 4.Processi reattivi del char: aspetti reattoristici

Solido in flusso a pistone, Shrinking Core Model -SCM- (I)

Si riportano in questa lezione i dettagli relativi alle equazioni di progetto reattoristiche per alcuni casi di interesse. Il primo di essi prevede particelle di combustibile reagenti secondo lo SCM, ed alimentate ad un sistema in flusso a pistone.

Ciò può essere realizzato, ad es., mediante un nastro-griglia mobile, sul quale vengono caricate le particelle di combustibile, e che garantisce che tutte le particelle permangano lo stesso tempo t_P all’interno del reattore (perché è in realtà il nastro a trasportare le particelle). La griglia forata permette inoltre, con alimentazione del gas ossidante dal basso verso l’alto, il contatto solido-gas.

Sia il solido alimentato caratterizzato da una assegnata distribuzione granulometrica, definita tramite y(R_i), la frazione volumetrica di particelle aventi raggio R_i. Tali frazioni, per ipotesi costitutiva dello SCM (raggio di particella costante), essendo esse espresse su base volumetrica e non massica, restano costanti durante il processo.

Solido in flusso a pistone, SCM (II)

Il tempo di completa conversione è quindi:

$\tau \left(R_{i}\right)=\tau_{d.e.} \left(R_{i}\right) + \tau_{d.i.} \left(R_{i}\right) + \tau_{cin} \left(R_{i}\right) \hspace{1 cm} \text{(1)}$

Sia R_i^* un particolare valore del raggio particellare, per cui τ(R_i^*)=t_P. Ciò significa, chiaramente, che le particelle di raggio R_i^* permangono nel reattore esattamente il tempo necessario alla loro completa conversione. A maggior ragione, risulteranno completamente convertite le particelle più fini.

Quindi, il grado di burn-off è X_C=1 per R_i≤R_i^*.

Solido in flusso a pistone, SCM (III)

Per particelle di raggio R_i>R_i^*, bisogna impostare la (2):

$t_{P} =\tau_{d.e.} \left(R_{i}\right) X_{C} + \tau_{d.i.} \left(R_{i}\right) \left[1+2\left(1-X_{C}\right)-3\left(1-X_{C}\right)^{\frac {2} {3}} \right] + \tau_{cin} \left(R_{i}\right) \left[1-\left(1-X_{C}\right)^{\frac {1} {3}} \right] \hspace{1 cm} \text{(2)}$

che restituisce il profilo (chiaramente decrescente) X_C(R_i), come schematizzato in Figura.

Pertanto, effettuando la media pesata di X_C(R_i) sulla base della rilevanza di ciascuna frazione granulometrica (la funzione che ne pesa l’effetto è y(R_i)), si giunge all’equazione di progetto complessiva, che lega il grado di conversione globale medio al tempo di residenza nel sistema in flusso a pistone:

$\bar {X_{C}} =\sum_{R_{i}^{min}}^{R_{i}^{max}} \left[X_{C}\left(R_{i}\right) y\left(R_{i}\right)\right]\ \hspace{1 cm} \text{(3)}$

Profilo qualitativo del grado di burn-off in funzione del raggio particellare.

Applicazione numerica in caso di regime cinetico (I)

Si consideri, per semplicità di calcolo, il caso di regime cinetico controllante (plug flow con tempo di residenza t_P=8 min, SCM). In Figura si riporta:

1. la distribuzione granulometrica del solido alimentato (y(R_i=50 μm)=0.3, e così via; si è scelta per semplicità una distribuzione trimodale);

2. il valore per la concentrazione di C nel char e di ossidante nel bulk gassoso, così come il valore per la costante cinetica, in accordo a quanto visto in una lezione precedente;

3. l’espressione per il tempo di completa conversione nel caso in esame, ed il suo valore calcolato in funzione dei tre raggi particellari esaminati.

Dati per la soluzione del problema.

Applicazione numerica in caso di regime cinetico (II)

Quindi, si nota come il tempo di completa conversione per particelle di raggio 50 μm sia inferiore al tempo di residenza. Queste particelle presenteranno grado di burn-off unitario.

Per gli altri due tagli granulometrici, si applica l’equazione di progetto per ricavare l’incognita X_C. Particelle di raggio 100 μm presenteranno X_C=98.8%, e così via (Figura).

Applicando infine la media pesata (equazione di progetto complessiva), si ottiene il valor medio del grado di conversione, pari a 92.5%.

Soluzione numerica del problema.

Solido in flusso miscelato, SCM (I)

L’altro caso qui trattato riguarda un flusso miscelato (particelle che si convertono comunque in accordo allo SCM), ad esempio realizzabile, per un solido, in un reattore a letto fluidizzato. Trascurando i fenomeni di attrition/frammentazione (trattati in dettaglio altrove), anche qui si ritiene che le frazioni y(R_i) restino costanti durante il processo. Si ricorda la definizione di distribuzione dei tempi di permanenza, E(t) [tempo^-1], tale che:

$\int_{t_{1} }^{t_{2} } E\left(t\right)dt\$

rappresenti la frazione di elementi (particelle, in questo caso) che permangono nel reattore per un tempo compreso tra t₁ e t₂. Si ricorda inoltre che, per un sistema in flusso miscelato con tempo medio di residenza $\bar{t}$ , vale la (4), che tra l’altro rispetta la condizione generale (5):

$E\left(t\right)=\frac {1}{\bar{t}} exp\left(-\frac{t} {\bar{t}}\right) \hspace{1 cm} \text{(4)}$

$\int_0^{+\infty} E\left(t\right)dt=1 \hspace{1 cm} \text{(5)}$

Solido in flusso miscelato, SCM (II)

Si fissi un particolare raggio particellare, R_i.

Queste particelle presenteranno un tempo di completa conversione (τ), ma (a differenza del caso precedente) non permarranno tutte lo stesso tempo nel reattore. Solo quelle che risiederanno un tempo t≥τ, saranno caratterizzate da X_C=1.

In altri termini, si può affermare che particelle identiche, presentando una distribuzione di tempi di residenza, avranno una distribuzione di gradi di conversione.

Solido in flusso miscelato, SCM (III)

Si ricava quindi, per particelle di una data dimensione, il grado di conversione medio, dove il profilo X_C(t) è dettato dalle equazioni di progetto viste in una lezione precedente:

$\bar{X_{C}}= \int_0^{\tau} X_{C}\left(t\right) E\left(t\right)dt + \int_\tau^{+\infty} 1 \times E\left(t\right)dt\ \hspace{1 cm} \text{(6)}$

L’approccio presentato nella (6) può naturalmente essere esteso a tutti i tagli granulometrici, per poi (mediante media pesata) ottenere il grado di conversione complessivo su tutto il sistema:

$\bar {\bar{X_{C}} } =\sum_{R_{i}^{min}}^{R_{i}^{max}} \left[\bar{X_{C} }\left(R_{i}\right) y\left(R_{i}\right)\right]\ \hspace{1 cm} \text{(7)}$

Risoluzione per solido in flusso miscelato, SCM, regime diffusivo esterno (I)

Si faccia riferimento, a titolo di esempio, al caso dettato in epigrafe. Per esso, si ricorda che X_C(t)=t/τ_d.e., e l’obiettivo è qui di ricavare il grado di conversione medio per un dato taglio granulometrico, in accordo alla (6). L’estensione all’intero campione polidisperso, come in (7), è poi immediata.

Si riscrive la (6) come in Figura in alto, e si osserva come, per la risoluzione ulteriore dell’integrale evidenziato in colore, sia necessario invocare il metodo di integrazione per parti (Figura in basso). Si consideri t come la funzione f, e la funzione esponenziale come la funzione g’.

Applicazione dell’equazione di progetto al caso in esame.

Formula di integrazione per parti.

Risoluzione per solido in flusso miscelato, SCM, regime diffusivo esterno (II)

In Figura in alto sono riportati i passaggi intermedi relativi alla sola risoluzione dell’integrale evidenziato in colore.

Sostituendo la soluzione, e mediante ulteriori passaggi, si perviene alla formulazione finale dell’equazione di progetto (Figura in basso).

Passaggi matematici di servizio.

Equazione di progetto risolta per il caso in esame.

Risoluzione per solido in flusso miscelato, SCM, regime diffusivo esterno (III)

Per reattore differenziale, $\bar{t}$ →0, è chiaramente $\bar{X_{C} }$ →0. Viceversa, per tempi di residenza molto lunghi, andando al limite ed applicando la regola di de l’Hôpital, è:

$\bar{X_{C} }=\lim_ {\bar{t} \to +\infty } \frac {1-exp\left(-\frac{\tau_{d.e.}} {\bar{t}}\right) } {\frac{\tau_{d.e.}} {\bar{t}} }=\lim_ {\bar{t} \to +\infty } \frac {\frac{-\tau_{d.e.}} {\bar{t}^{2}}exp\left(-\frac{\tau_{d.e.}} {\bar{t}}\right) } {\frac{-\tau_{d.e.}} {\bar{t}^{2}} } =1 \hspace{1 cm} \text{(8)}$

Se invece si immagina fissato $\bar{t}$ , si osserva che per particelle molto grandi (τ_d.e.→+∞) è chiaramente $\bar{X_{C} }$ →0. Viceversa, per particelle molto piccole (τ_d.e.→0), andando al limite ed applicando anche qui la regola di de l’Hôpital, è:

$\bar{X_{C} }=\lim_ {\tau_{d.e.} \to 0 } \frac {1-exp\left(-\frac{\tau_{d.e.}} {\bar{t}}\right) } {\frac{\tau_{d.e.}} {\bar{t}} }=\lim_ {\tau_{d.e.} \to 0 } \frac {\frac{1} {\bar{t}}exp\left(-\frac{\tau_{d.e.}} {\bar{t}}\right) } {\frac{1} {\bar{t}} } =1 \hspace{1 cm} \text{(9)}$