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Immacolata Ortosecco » 7.Rappresentazione in serie di Fourier di segnali periodici a tempo discreto

Rappresentazione in serie di Fourier di segnali periodici a tempo discreto

La trattazione dello sviluppo in serie di F. per segnali a tempo discreto è strettamente parallela a quella per i segnali a tempo continuo.

Ci sono però delle differenze importanti:

la rappresentazione di segnali periodici a tempo discreto è una serie finita,
non ci sono problemi di convergenza.

Serie di Fourier per il Tempo Discreto

$\text{[math]}$

Questo nuovo simbolo di sommatoria per intendere che la somma va fatta su un numero N di esponenziali complessi, inoltre la serie è finita.

L’ insieme è costituito da N valori consecutivi di k.

I coefficienti a_k sono i coefficienti di Fourier.

Essi rappresentano l’ampiezza delle componenti in frequenza ed il loro insieme è lo spettro del segnale.

I coefficienti possono essere reali o complessi.

Vediamo ora:

quali segnali periodici a tempo discreto si possono rappresentare con una tale serie e
come si possono trovare i coefficienti a_k

Serie di F. per TD

Si possono rappresentare tutti i segnali periodici a tempo discreto, di periodo N: x[n+N]=x[n]. Nella serie compariranno tutti e soli gli esponenziali complessi periodici di periodo N con pulsazioni

$komega_{0&#125~~~~~~ k=0,pm1,pm2, pm3 ... N-1$

e con

$\omega_{0}=\frac{2\pi}{N}$

Serie di F. per TD (segue)

Rappresentiamo la nostra sequenza x[n] come combinazione lineare di φ_k[n]

$x[n]=sum_{k=langle Nrangle&#125=a_kphi_k[n]=sum_{k=langle Nrangle&#125a_k e^{jkomega_0 n&#125=sum_{klangle Nrangle&#125a_k e^{jk(2pi/N)n&#125$

I valori di k variano in un ‘range’ di N interi consecutivi, come già detto, possono essere : k=0, 1,..N-1 oppure k=1, 2,..N

e così via.

Questo perché gli esponenziali complessi a tempo discreto che differiscono di un multiplo di 2π sono identici.

Questo per la serie di Fourier a tempo discreto.

Noti i coefficienti a_k della serie è possibile realizzare l’operazione inversa per ottenere x[n].

Serie di F. per TD (segue)

I coefficienti della serie li determiniamo come soluzione del sistema lineare come segue. Dato

$x[n]=\underset{k=<N>}{\sum}a_{k}e^{jk\omega_{_{0}}n}$

I valori di x[n] per n= 0,1,2,…N-1 sono

$\text{[math]}$

$\vdots$

$\text{[math]}$

Questo è un sistema di N equazioni nelle N incognite $a_{0&#125, a_{1&#125, ... a_{N-1&#125$

Forma chiusa per i coefficienti a_k

E’ possibile ottenere l’espressione in forma chiusa per gli a_k in termini dei valori x[n].

Data la formula di sintesi

$\text{[math]}$

moltiplichiamo entrambi i lati per $e^{-jlomega_{0&#125n&#125$ e poi sommiamo su n, otteniamo

$\underset{n=<N>}{\sum}x[n]e^{-jl\omega_{0}n}=\underset{n=<N>}{\sum}\left(\underset{k=<N>}{\sum}a_{k}e^{jk\omega_{0}n}\right)e^{-jl\omega_{0}n}$

$\underset{n=<N>}{\sum}a_{k}\left(\underset{n=<N>}{\sum}e^{j(k-l)\omega_{0}n}\right)$

Forma chiusa per i coefficienti a_k (segue)

$\underset{k=<N>}{\sum}e^{j(k-l)\omega_{0}n}=N\delta[k-l]$

per l’ortogonalità.

Da cui i coefficienti per la formula di analisi.

Gli a_k sono anche detti coefficienti spettrali di x[n]. Se k varia da 1 a N otteniamo

$x[n]=a_{1}\phi_{1}[n]+a_{2}\phi_{2}[n]a_{1}+...a_{N}\phi_{N}[n]$

Serie per segnali periodici a TD

Equazione di sintesi

$\text{[math]}$

Equazione di analisi

$\text{[math]}$

Gli $a_{k&#125$ soddisfano l’uguaglianza $a_{k+N&#125= a_{k&#125$

che è una speciale proprietà dei coefficienti di F a TD.

Data la periodicità di x[n], occorrono solo N valori nel dominio del tempo ed in quello della frequenza per specificare il segnale.

Segue un esempio di sviluppo in serie del segnale onda quadra a tempo discreto a lato.

Onda quadra periodica a tempo discreto.

Ricostruzione dell’onda quadra a TD

$hat{x&#125[n]=underset{k=-M+1&#125{sum^{M&#125&#125a_{k&#125e^{jk(2pi/N)n&#125$

Se N è dispari e M=(N-1)/2 la somma è fatta esattamente su N termini ed abbiamo per l’equazione di sintesi $hat{x&#125[n]=underset{k=-M+1&#125{sum^{M&#125&#125a_{k&#125e^{jk(2pi/N)n&#125$

Se M=N/2 questa somma consiste di N termini e possiamo concludere che

$hat{x&#125[n]=x[n]$

Abbiamo visto che un segnale a tempo continuo può assumere su ogni singolo periodo un continuo di valori e nessuna delle somme parziali fornisce il valore esatto di x(t). Per esso nasce un problema di convergenza della serie quando cerchiamo di valutare il limite al tendere ad infinito del numero di termini con conseguente fenomeno di Gibbs.

Nel caso discreto la somma è finita e converge sempre.

Ricostruzione dell’onda quadra a TD (segue)

Ricostruzione con coefficienti di F. da 3 a 9

Sono stati calcolati i coefficienti di F. e sono stati utilizzati per ricostruire il segnale primautilizzandone 3 , poi 5 ,7 ed infine tutti e 9.

Serie per la sequenza coseno

Data la sequenza coseno x[n]=cos(pi*3/5*n) Trovare i coefficienti della serie.

Applicare la formula di Eulero.

Esempio: y[n]=cos(3*pi*/5*n); Periodo N=10 ω₀=pi*3/5

$x[n]=frac{1&#125{2&#125(e^{jomega_{0&#125n&#125+e^{-jomega_{0&#125n&#125)$

Gli a_k sono : a₀=0 a₁ =1/2 a_-1=1/2

Tutti gli altri hanno valore zero.

Serie per la sequenza seno

Data la sequenza seno x[n]=sin(pi*3/5*n), trovare i coefficienti della serie.

Applicare la formula di Eulero.

Esempio: y[n]=sin(3*pi*/5*n);

Periodo N=10, ω₀=pi*3/5

$x[n]=frac{1&#125{2j&#125(e^{jomega_{0&#125n&#125-e^{-jomega_{0&#125n&#125)$

Gli a_k sono: a₀=0 a₁ =1/2j a_-1=-1/2j

Tutti gli altri hanno valore zero.

Le proprietà

Le proprietà della serie discreta sono fortemente simili a quelle della serie nel continuo.

Ne esaminiamo solo alcune:

Shift in tempo

$x[n-n_{0&#125]longmapsto a_{k&#125e^{-jk(2pi/N)n_{0&#125&#125$

Shift in frequenza

$e^{jM(2pi/N)n&#125x[n]longmapsto a_{k-M&#125$

Le proprietà

Moltiplicazione

Questa proprietà è una di quelle che risente delle differenze tra tempo continuo e tempo discreto. Il prodotto di due sequenze periodiche di periodo N è anch’esso periodico di periodo N e i coefficienti di F. della sequenza x[n]y[n] , che indichiamo con c_k sono sono dati dalla convoluzione dei coefficienti di F. delle due sequenze.

Se x[n] ↔ a_k y[n] ↔ b_k

$\text{[math]}$