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Trasformata z. – Sistemi LTI

Introduzione

La trasformata zeta o z- transform realizza una trasformazione dal dominio del tempo discreto al dominio – z, dove z è una variabile complessa. Viene usata allo stesso modo in cui le trasformate di Laplace e di Fourier vengono utilizzate per i segnali del tempo continuo.
Una motivazione rilevante per l’introduzione della z-transform sta nel fatto che la trasformata di Fourier non converge per tutte le sequenze, pertanto è utile una generalizzazione che comprenda una più ampia classe di segnali.
Un vantaggio importante sta nel fatto che nella notazione della z-transform l’analisi dei sistemi discreti è più conveniente che con la Fourier-Transform. Questo, in particolare, per lo studio dei sistemi discreti come i filtri numerici in termini di poli e zeri.

Laplace transform e z-transforms: segnali a tempo continuo e a tempo discreto

Ricordiamo la definizione della Laplace transform, una trasformata particolarmente importante nell’analisi dei circuiti analogici.
La trasformata di Laplace della funzione x(t), una funzione causale, tale che x(t)= 0 per t < 0:
$X(s)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-st}dt$ ,
oppure $X(s)=\int_{0^{-}}^{\infty}x(t)e^{-st}dt$
dove s =σ+jω è una variabile complessa,
$X(s)=\int_{0}^{\infty}x(t)e^{-st}dt$
fissato s₁, in modo tale che X(s) non abbia singolarità ( funzione analitica) per s> s₁ è possibile ottenere la Laplace transform inversa
$x(t)=\int_{\sigma_{1}-j\infty}^{\sigma_{1}+j\infty}X(s)e^{st}ds$
La z-transform si può derivare dall’equazione per la X(s) sopra campionando il segnale a tempo continuo x(t) .
Si ottiene così x(nT_s ) normalmente denotato come x[n]. Assumendo T_s=1 e discretizzando, l’integrale diventa una sommatoria.
$X(e^{s})=\sum_{0}^{\infty}x[n]e^{-sn}$
Sostituendo la variabile e^s con z abbiamo una prima derivazione della z-transform e precisamente la trasformata zeta monolatera.
$X ^{+}(z)=\sum_{n=0}^{\infty}x[n]z^{-n}$

Relazione tra Laplace, Fourier e z-transform

Come per la trasformata di Laplace, anche per la z-transform, le funzioni della base sono sinusoidi con inviluppo di ampiezza decrescente o crescente, contrariamente alle funzioni di base della trasformata di Fourier che sono sinusoidi ad ampiezza costante.

Infatti osservando che
$z=e^{s}=e^{\sigma}e^{j\omega}$
e posto $e^{\sigma}=r$ si ha $z=re^{j\omega}$ ,
da cui esponenziali ad ampiezza decrescente per σ<1 , ampiezza costante per σ=0 ed ampiezza crescente per σ>1.

Corrisponenza tra piano S e piano Z

Piano s: tempo continuo → Laplace transform
Piano z: tempo discreto → z-transform
Le variabili in frequenza del piano s e del piano z sono variabili complesse con parte reale e parte immaginaria e possono essere visualizzate come punti nel piano complesso.
Tali punti sono individuati in forma rettangolare (piano s, s=σ+jω) o polare (piano z, z= re^jω)
La trasformata di Laplace di un segnale campionato è periodica con un periodo di 2π.

Corrispondenza piano s e piano z.

Corrispondenza tra frequenze f e angoli in radianti nel piano z

Come visto nelle immagini precedenti, supponendo di chiudere la parte sinistra del piano s , delimitata dall’asse immaginario, facendo coincidere il meno infinito immaginario con l’infinito immaginario abbiamo la rappresentazione del semipiano s con l’interno del cerchio unitario. Esso rappresenta la parte stabile , dove ci sono gli esponenziali decrescenti, mentre la parte destra del piano s viene collocata all’esterno del cerchio unitario , lì ci sono gli esponenziali complessi crescenti e quindi la zona di instabilità.
La regione di segnali e sistemi causali e stabili è all’interno del cerchio unitario.
I punti dell’asse jω si trovano sul cerchio unitario
La figura a lato, in alto, illustra la corrispondenza tra angoli e frequenza di campionamento. Un angolo di 2 pi corrisponde ad una frequenza di campionamento Fs Hz.
Quindi una frequenza di f Hz corrisponde ad un angolo φ dato da
$\varphi=\frac{2\pi}{F_{s}}f$ radianti

Relazione tra le variabili in frequenza nel continuo e nel discreto nel caso di campionamento uniforme .

Sequenze discrete e z-transform

Una derivazione più diretta della z-transform è data con la seguente definizione:
La z-transform. di una sequenza x[n] è una funzione continua della variabile complessa z, data da
$X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}$
(funzione analitica – serie di Laurent)
Questa definizione fornisce la z-transform bilatera.
Es.: data la sequenza bilatera finita x[n]= 1 ,-2,0, -1 con n=-1,0,1, 2
$X(z)=1z^{1}-2z^{0}+0z^{-1}-1z^{-2}$
La z-transform monolatera della stessa sequenza è data da:
$X ^{+} (z)=\sum_{n=0}^{\infty}x[n]z^{-n}$

$X(z)=-2z^{0}+0z^{-1}-1z^{-2}$

Ad ogni z-transform va associata la sua regione di convergenza (Region Of Convergence –ROC )
Le due z-transform, mono e bilatera, sono equivalenti per sequenze monolatere destre, quando x[n]=0 per n < 0.

Applicazioni della z-transform

Applicazione della z-transform bilatera
In generale la variabile complessa è z=r e^jω.
$X(re^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n](re^{j\omega})^{-n}$
oppure
$X(re^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}(x[n]r^{-n})e^{-j\omega n}$
Questa espressione per r=1 si riduce alla trasf. di F. e può essere interpretata come la DTFT della sequenza moltiplicata per un esponenziale r^-n.
Questo prodotto porta alla condizione di convergenza della z-transform anche se la F-transform non converge.
Esempio: la sequenza u[n], gradino unitario, non è assolutamente sommabile,ma moltiplicata per l’esponenziale decrescente lo diventa.
La ROC in questo caso è data da tutti i punti del piano complesso per i quali |z|>1.

Regione di convergenza

Come già detto, la z-transform. è una serie infinita, essa esiste solo per quei valori della variabile z per i quali la sommatoria è finita. l’insieme di tali valori di z costituisce la regione di convergenza ROC ( region of convergence).
La z-transform di una sequenza va sempre associa alla regione di convergenza che le compete.
Esempi :
1. Impulso unitario δ[n], z-transform
$X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta[n]z^{-n}=\delta[0]z^{-0}=1$

Esempio: due sequenze diverse con stessa z-transform, ma due regioni di convergenza diverse

Sequenza n° 1 aⁿ u[n] monolatera destra a < 1
Sua z-transform
$X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a^{n}z^{-n}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}(az^{-1})^{n}$
Converge per
$|az^{-1}|<1$ o |z|>|a|
$=\frac{1}{1-az^{-1}}=\frac{z}{z-a}$
ROC tutti i punti del piano zeta all’esterno del cerchio di raggio a centrato in zero.

Sequenza causale - monolatera destra.

Esempio (segue)

Sequenza n° 2 : x[n] = -aⁿ u[-n-1] monolatera sinistra
Sua z-transform:

$X(z)=-\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}=-\sum_{n=-\infty}^{\infty}a^{n}u[-n-1]z^{-n}=-\sum_{n=-\infty}^{-1}(a^nz^{-n})$

$=-\sum_{n=1}^{\infty}a^{-n}z^{n}=1-\sum_{n=0}^{\infty}(a^{-1}z)^{n}$

Converge per $|a^{-1}z|<1$

ossia |z|<|a|

$X(z)=1-\frac{1}{1-a^{-1}z}=\frac{z}{z-a}$

ROC: tutti i punti del piano z interni al cerchio di raggio a e centro zero

Sequenza anticausale - monolatera sinistra.

In verde visualizzazione delle regioni di convergenza

Altri tipi di sequenze

Bilatere: infinite e finite
Bilatera infinita

$x[n]=a^{n}u[n]-b^{n}u[-n-1]$

Per la z-transform vale la proprietà di linearità e quindi è possibile calcolare separatamente le z-transform delle due sequenze, come negli esempi precedenti e poi sommmarle per ottenere la X(z).
Calcolare la regione di convergenza supponendo a < b ed entrambi <1.
Sequenze di lunghezza finita
$x[n]=\begin{cases}a^{n}, & 0 < n < N-1\\0, & altrimenti\end{cases}$
La z-transform in questo caso è
$X(z)=\sum_{n=0}^{N-1}a^{n}z^{-n}=\sum_{n=0}^{N-1}(az^{-1})^{n} =\frac{1-(az^{-1})^{N}}{1-az^{-1}}=\frac{1}{z^{N-1}}\frac{z^{N}-a^{N}}{z-a}$

ROC
In questo caso la somma sarà finita, perché c’è un numero di termini finito e si suppone che il prodotto a·z^-1 sia finito, cioè che |a|< ∞ e z ≠ 0. La ROC, infatti, comprende tutto il piano z ad eccezione dell’origine z=0. Le N radici del numeratore sono $z_{k}=ae^{j(2\pi k/N)}$ , k=0, 1, …,N-1.
Non ci sono poli se non nell’origine, il polo a z=a viene cancellato dallo zero a z=a.

Esempio: possibili ROC

Alcune proprietà della z-transform

Linearità:
$ax_{1}[n]+bx_{2}[n]\longleftrightarrow aX_{1}(z)+ & bX_{2}(z)\\$
Shift a sinistra
$x[n+k] & =z^{k}X(z)$
Shift a destra
$x[n-k] & =z^{-k}X(z)$
Moltiplicazione per n
$nx[n]\longleftrightarrow & -z\frac{dF(z)}{dz}$
Convoluzione nel tempo
$x_{1}[n]\star x_{2}[n]\longleftrightarrow & X_{1}(z)X_{2}(z)$
Teorema del valore iniziale
$x[0]=\lim_{z\rightarrow\infty}X(z)$
Teorema del valore finale
$\lim_{n\rightarrow\infty}x[n]=\lim_{z\rightarrow1}(z-1)X(z)$

Alcune sequenze a tempo discreto e loro z-transform

$\begin{array}{ccc} x[n] & X(z) & Roc\\ \delta[n] & 1 & tutto-il-piano-z\\ \delta[n-k] & z^{-k} & tutto-il-piano-escluso-lo-zero\\ a^{n}u[n] & \frac{z}{z-a} & |z|>a\\ u[n] & \frac{z}{z-a} & |z|>1\\ e^{-naT}u[n] & \frac{z}{z-e^{-aT}} & |e^{-aT}z^{-1}|<1\end{array}$

altre sequenze e loro z-transform

$\begin{array}{cc}u[n]-u[n-k]&\frac{z^{k}-1}{z^{k-1}(z-1)}\\ nu[n]&\frac{z}{(z-1)^{2}}\\ n^{2}u[n]&\frac{z(z+1)}{(z-1)3}\\{} [n+1]u[n]&\frac{z^{2}}{(z-1)2}\\ a^{n}nu[n]&\frac{az}{(z-a)^{2}}\\ a^{n}n^{2}u[n]&\frac{az(z+a)}{(z-a)^{3}}\\ a^{n}n[n+1]u[n]&\frac{2az^{2}}{(z-a)^{3}}\end{array}$